平行线分线段成比例及相似多边形

平行线分线段成比例及相似多边形 【学习目标】 1. 平行线分线段成比例及其推论. 2. 平行线分线段成比例及其推论的应用. 3.相似多边形的有关概念. 【要点梳理】 要点一、平行线分线段成比例及其推论 平行线分线段成比例，一般地，有如下基本事实： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例. 要点诠释： (1).对应线段成比例可用下面的语言形象表示： 等等. （2）有推论可以得出以下结论： 要点二、行线分线段成比例及其推论的应用 行线分线段成比例及其推论的应用主要是来求线段的长度. 要点三、相似多边形的有关概念 相似多边形：各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形.它的符号是“∽”， 读作“相似于”. 相似比：相似多边形的对应边的比叫做相似比. 要点诠释： （1）相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； 　　（2）“全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个 图形是全等. （3）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． 【典型例题】 类型一、平行线分线段成比例及其推论 1、如 图 ， 直 线 AD∥ BE∥ CF， BC= AC， DE=4， 那 么 EF 的 值 是 __________. 右全 左全 右上 左上 全 上 全 上 下 上 下 上 === ,, 1 3【思路点拨】根 据 BC= AC 可 得 ， 再 根 据 条 件 AD∥ BE∥ CF， 可 得 ， 再 把 DE=4 代 入 可 得 EF 的 值 ． 【答案】2. 【解析】 解：∵ BC= AC， ∴ ， ∵ AD∥ BE∥ CF， ∴ ， ∵ DE=4， ∴ =2， ∴ EF=2． 故 答 案 为 ： 2． 【总结升华】此 题 主 要 考 查 了 平 行 线 分 线 段 成 比 例 定 理 ， 关 键 是 掌 握 三 条 平 行 线 截 两 条 直 线 ， 所 得 的 对 应 线 段 成 比 例 ． 2、（2015•安庆一模）如图，△ABC 的顶点 A 是线段 PQ 的中点，PQ∥BC，连接 PC、 QB，分别交 AB、AC 于 M、N，连接 MN，若 MN=1，BC=3，求线段 PQ 的长． 【思路点拨】根据 PQ∥BC 可得 ，进而得出 ，再解答即可． 【答案与解析】 解：∵PQ∥BC， ∴ = ， ∴ ， 1 3 2 1 AB BC = AB DE BC EF = 1 3 2 1 AB BC = AB DE BC EF = 4 EF∴ ， ∵AP=AQ， ∴PQ=3． 【总结升华】此题考查了平行线段成比例，关键是根据平行线等分线段定理进行解答． 举一反三 【变式】如图 ，直 线 a∥ b∥ c，直 线 m、n 与 a、b、c 分 别 交 于 点 A、C、E、B、D、 F， 已 知 AC=4， CE=6， BD=3， 则 BF 等 于 ______________. 【答案】7.5. 类型二、平行线分线段成比例及其推论的应用 3、如 图 ， 已 知 梯 形 ABCD 中 ， AB∥ DC， △ AOB 的 面 积 等 于 9， △ AOD 的 面 积 等 于 6， AB=7， 求 CD 的 长 ． 【思路点拨】根 据 △ AOB 的 面 积 等 于 9， △ AOD 的 面 积 等 于 6， 可 知 OB： OD 的 值 ， 再 根 据 平 行 线 分 线 段 成 比 例 即 可 求 解 ． 【答案与解析】 解 ： ∵ AB∥ DC， ∴ ， ∵ △ AOB 的 面 积 等 于 9， △ AOD 的 面 积 等 于 6， ∴ ， ∴ ， ∵ AB=7， ∴ CD= ． 【总结升华】主 要 考 查 了 平 行 线 分 线 段 成 比 例 和 等 高 三 角 形 的 面 积 的 比 等 于 对 应 底 边 的 比 的 性 质 ， 熟 练 掌 握 性 质 是 解 题 的 关 键 ． 举一反三 【变式】如 图 ， 在 △ ABC 中 ， 点 D， E 分 别 在 边 AB， AC 上 ， DE∥ BC， 已 知 AE=6， 2 2 2 4 2 DM AB = = 2 3 DO BO = 2 3 CD DO AB CO = = 14 3， 则 EC 的 长 是 （ 　 　 ） A．4.5 B．8 C．10.5 D．14 【答案】解 ： ∵ DE∥ BC， ∴ △ ADE∽ △ ABC， ∴ ， ∴ ， 解 得 ： EC=8． 故 选 ： B． 4、如 图 ， 直 线 l1∥ l2∥ l3， 若 AB=2， BC=3， DE=1， 则 EF 的 值 为 （ 　 　 ） A B C 6 D 【答案】B. 【解析】解 ： ∵ 直 线 l1∥ l2∥ l3， ∴ ， ∵ AB=2， BC=3， DE=1， ∴ ， ∴ EF= ， 故 选 B． 【总结升华】本 题 考 查 平 行 线 分 线 段 成 比 例 定 理 的 应 用 ， 注 意 ： 一 组 平 行 线 截 两 条 直 线 ， 所 截 的 对 应 线 段 成 比 例 ． 举一反三 【变式】如图 ， 已 知 在 △ ABC 中 ， 点 D、 E、 F 分 别 是 边 AB、 AC、 BC 上 的 点 ， DE∥ BC， EF∥ AB， 且 AD： DB=3： 5， 那 么 CF： CB 等 于 （ 　 　 ） 3 7 AD AB = AD AE AB AC = 6 3 6 7 AE AC EC = =+ 2 3 3 2 1 6 AB DE AC EF = 2 1 3 EF = 3 2 A． 5： 8 B． 3： 8 C． 3： 5 D． 2： 5 【答案】解 ： ∵ AD： DB=3： 5， ∴ BD： AB=5： 8， ∵ DE∥ BC， ∴ CE： AC=BD： AB=5： 8， ∵ EF∥ AB， ∴ CF： CB=CE： AC=5： 8． 故 选 A． 类型三、相似多边形的有关概念 5、如 图 是 一 个 由 12 个 相 似（ 形 状 相 同 ，大 小 不 同 ）的直 角 三 角 形 所 组 成 的 图 案 ， 它 是 否 有 点 像 一 个 商 标 图 案 ？ 你 能 否 也 用 相 似 图 形 设 计 出 几 个 美 丽 的 图 案 ？ 最 好 再 给 你 设 计 的 图 案 取 一 个 名 字 ． 【思路点拨】相 似 图 形 是 指 形 状 相 同 的 图 形 ． 根 据 相 似 图 形 进 行 变 换 可 以 形 成 一 些 美 丽 的 图 案 ． 【答案与解析】解 ： 由 12 个 相 似 的 直 角 三 角 形 形 成 的 图 案 很 有 创 意 ， 给 人 以 美 的 享 受 ， 可 以 作 为 一 个 商 标 的 图 案 ． 以 下 几 个 图 案 分 别 是 用 相 似 形 设 计 的 美 丽 图 案 ． 【总结升华】考 查 的 是 相 似 图 形 ， 相 似 图 形 是 指 形 状 相 同 的 图 形 ． 把 一 组 相 似 图 形 进 行 变 换 可 以 得 到 美 丽 的 图 案 ． 6.（2014•南通）如图，点 E 是菱形 ABCD 对角线 CA 的延长线上任意一点，以线段 AE 为边作一个菱形 AEFG，且菱形 AEFG∽菱形 ABCD，连接 EB，GD． （1）求证：EB=GD； （2）若∠DAB=60°，AB=2，AG= ，求 GD 的长．【思路点拨】（1）利用相似多边形的对应角相等和菱形的四边相等证得三角形全等后即可 证得两条线段相等； （2）连接 BD 交 AC 于点 P，则 BP⊥AC，根据∠DAB=60°得到 然后求得 EP=2 ，最后利用勾股定理求得 EB 的长即可求得线段 GD 的长即可． 【答案与解析】（1）证明：∵菱形 AEFG∽菱形 ABCD， ∴∠EAG=∠BAD， ∴∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB， ∴∠EAB=∠GAD， ∵AE=AG，AB=AD， ∴△AEB≌△AGD， ∴EB=GD； （2）解：连接 BD 交 AC 于点 P，则 BP⊥AC， ∵∠DAB=60°， ∴∠PAB=30°， ∴BP= AB=1， AP= = ，AE=AG= ， ∴EP=2 ， ∴EB= = = ， ∴GD= ． 【总结升华】本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是了解相似多边形的对应边的比相 等 ， 对 应 角 相 等 ． 1 12BP AB= = ，【巩固练习】 一、选择题 1. 下列四组图形中，一定相似的是（　　） 　 A． 正方形与矩形 B． 正方形与菱形 　 C． 菱形与菱形 D． 正五边形与正五边形 2．如 图 ， 若 AB∥ CD∥ EF， 则 下 列 结 论 中 ， 与 相 等 的 是 ( ) A B C D 3．如图，在直角梯形 ABCD 中，DC∥AB，∠DAB=90°，AC⊥BC，AC=BC，∠ABC 的平分线分 别交 AD、AC 于点 E，F，则 的值是（　　） A -1 B 2+ C +1 D 4．如图，在平行四边形 ABCD 中，AC=4，BD=6，P 是 BD 上的任一点，过点 P 作 EF∥AC，与 平行四边形的两条边分别交于点 E、F，设 BP=x，EF=y，则能反映 y 与 x 之间关系的图象是 （　　） 　A ． B ． C ． D ． 5．（2015•鄂城区模拟）如图，已知 AB∥CD∥EF，AD：AF=3：5，BE=12，那么 CE 的长等于 （　　） AD AF AB EF CD EF BO OE BC BE 2 2 2 2　 A．2 B． 4 C． D． 6．如图，直线 AB∥CD∥EF，若 AC=3，CE=4，则 的值是（　　） 　 A． B． C． D． 二、填空题 7．（2014 秋•江阴市期中）给出下列几何图形：①两个圆；②两个正方形；③两个矩形；④ 两个正六边形；⑤两个等边三角形；⑥两个直角三角形；⑦两个菱形．其中，一定相似的有　 　 （填序号）． 8．在一张复印出来的纸上，一个多边形的一条边由原图中的 2cm 变成了 6cm，这次复印的 放缩比例是　 　． 9．如图，在△ABC 中，DE∥BC，AD=2，AB=6，AE=3，则 AC 的长为　　． 10．如图，在△ABC 中，若 DE∥BC， = ，DE=4cm，则 BC 的长为　　． 11．如图，直线 AD∥BE∥CF，BC= AC，DE=4，那么 EF 的值是　　．12．如图，在△ABC 中，∠BAC=30°，AB=AC，AD 是 BC 边上的中线，∠ACE= ∠BAC，CE 交 AB 于点 E，交 AD 于点 F．若 BC=2，则 EF 的长为　　 ． 三、解答题 13. 如图，直线 l1、l2、l3 分别交直线 l4 于点 A、B、C，交直线 l5 于点 D、E、F，且 l1∥l2∥l3，已知 EF：DF=5：8，AC=24． （1）求 AB 的长； （2）当 AD=4，BE=1 时，求 CF 的长． 14.（2014 秋•慈溪市期末）一个矩形 ABCD 的较短边长为 2． （1）如图①，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长； （2）如图②，已知矩形 ABCD 的另一边长为 4，剪去一个矩形 ABEF 后，余下的矩形 EFDC 与 原矩形相似，求余下矩形 EFDC 的面积． 1 215．己知：如图，在菱形 ABCD 中，点 E、F 分别在边 BC、CD，∠BAF=∠DAE，AE 与 BD 交于 点 G． （1）求证：BE=DF； （2）当 = 时，求证：四边形 BEFG 是平行四边形． 【答案与解析】 一、选择题 1．【答案】D； 【解析】解：A、正方形与矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意； B、正方形与菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故 不符合题意； C、菱形与菱形，对应边比值相等，但是对应角不一定相等，故不符合题意； D、正五边形与正五边形，对应角相等，对应边一定成比例，符合相似的定义， 故符合题意． 故选：D． 2.【答案】D. 【解析】解 ： 根 据 AB∥ CD∥ EF 得 到 ： ． 3.【答案】C； 【解析】解：作 FG⊥AB 于点 G， ∵∠DAB=90°， ∴AE∥FG， ∴ = ， ∵AC⊥BC， ∴∠ACB=90°， 又∵BE 是∠ABC 的平分线， ∴FG=FC， 在 Rt△BGF 和 Rt△BCF 中， ∴Rt△BGF≌Rt△BCF（HL）， ∴CB=GB， ∵AC=BC， ∴∠CBA=45°， AD BC AF BE =∴AB= BC， ∴ = = = = +1． 故选：C． 4.【答案】C； 【解析】解：设 AC 交 BD 于 O， ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴OD=OB= BD=3， 当 P 在 OB 上时， ∵EF∥AC， ∴ = = ， ∴ = ， ∴y= x， 当 P 在 OD 上时， 同法可得： = = ， ∴ = ， ∴y=﹣ x+8， ∵两种情况都是一次函数，图象是直线． 故选 C． 5.【答案】C； 【解析】∵AB∥CD∥EF， ∴ = ，即 = ， ∴BC= ， ∴CE=BE﹣BC=12﹣ = ． 故选 C． 6.【答案】C； 【解析】解：∵AB∥CD∥EF ∴ ∵AC=3，CE=4 ∴ = ． 故选 C．二、填空题 7．【答案】①②④⑤； 8．【答案】1：3； 【解析】解：由题意可知，相似多边形的边长之比=相似比=2：6=1：3， 故答案为：1：3； 9．【答案】9； 【解析】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴ = ， ∴ = ， ∴AC=9， 故答案为：9． 10．【答案】12cm. 【解析】解：∵DE∥BC， ∴ = ， 又∵ = ， ∴ ， ∴ = ， ∴BC=12cm． 故答案为 12cm． 11．【答案】2. 【解析】解：∵BC= AC， ∴ = ， ∵AD∥BE∥CF， ∴ = ， ∵DE=4， ∴ =2， ∴EF=2． 故答案为：2． 12．【答案】 ﹣1. 【解析】解：过 F 点作 FG∥BC． ∵在△ABC 中，AB=AC，AD 是 BC 边上的中线，∴BD=CD= BC=1，∠BAD=∠CAD= ∠BAC=15°，AD⊥BC， ∵∠ACE= ∠BAC， ∴∠CAD=∠ACE=15°， ∴AF=CF， ∵∠ACD=（180°﹣30°）÷2=75°， ∴∠DCE=75°﹣15°=60°， ∵∠ACE= ∠BAC， ∴AF=CF. 在 Rt△CDF 中， CF=2，DF= = ， ∵FG∥BC， ∴GF：BD=AF：AD，即 GF：1=2：（2+ ）， 解得 GF=4﹣2 ， ∴EF：EC=GF：BC，即 EF：（EF+2）=（4﹣2 ）：2， 解得 EF= ﹣1． 故答案为： ﹣1． 三、解答题 13.【解析】（1）解：∵l1∥l2∥l3，EF：DF=5：8，AC=24， ∴ = = ， ∴ = ， ∴BC=15， ∴AB=AC﹣BC=24﹣15=9． （2）解：∵l1∥l2∥l3 ∴ = = ， ∴ = ， ∴OB=3， ∴OC=BC﹣OB=15﹣3=12， ∴ = = ， ∴ = ， ∴CF=4． 14. 【答案与解析】解：（1）由已知得 MN=AB=2，MD= AD= BC， ∵沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似， 22 1−∴矩形 DMNC 与矩形 ABCD 相似， = ， ∴DM•BC=AB•MN，即 BC2=4， ∴BC=2 ，即它的另一边长为 2 ； （2）∵矩形 EFDC 与原矩形 ABCD 相似， ∴ = ， ∵AB=CD=2，BC=4， ∴DF= =1， ∴矩形 EFDC 的面积=CD•DF=2×1=2． 15.【解析】 证明：（1）∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AB=AD，∠ABC=∠ADF， ∵∠BAF=∠DAE， ∴∠BAF﹣∠EAF=∠DAE﹣∠EAF， 即：∠BAE=∠DAF， ∴△BAE≌△DAF ∴BE=DF； （2）∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AD∥BC， ∴△ADG∽△EBG ∴ = 又∵BE=DF， = ∴ = = ∴GF∥BC （平行线分线段成比例） ∴∠DGF=∠DBC ∵BC=CD ∴∠BDC=∠DBC=∠DGF ∴GF=DF=BE ∵GF∥BC，GF=BE ∴四边形 BEFG 是平行四边形