探索——相似三角形相似的条件

探索――相似三角形相似的条件 【学习目标】 1.相似三角形的概念. 2.相似三角形的三个判定定理. 3.黄金分割. 4. 进一步探索相似三角形的判定及其应用，提高运用“类比”思想的自觉性，提高推理能力. 【要点梳理】 要点一、相似三角形的概念 相似三角形：三个角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形. 要点诠释： (1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即 ∽ ，则说明点 A 的对应点 是 A′，点 B 的对应点是 B′，点 C 的对应点是 C′； (2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三 角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为 1 时，两个三角形全等. 要点二、相似三角形的三个判定定理 定理：两角分别相等的两个三角形相似. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 三边成比例的两个三角形相似. 要点诠释： （1）要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形 而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. （2）此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两 边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 要点三、相似三角形的常见图形及其变换： 要点四、黄金分割 1.定义： 一般地，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC 两段,如果 AC AB ? BC AC ,那么线段 AB 被点 C 黄 金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点，AC 与 AB 的比叫做黄金比. 要点诠释： AC ? 5 ?1 2 A B ≈0.618AB(0.618 是黄金分割的近似值， 5 ?1 2 是黄金分割的准确值). 1 2.作一条线段的黄金分割点： 如图，已知线段 AB，按照如下方法作图： （1）经过点 B 作 BD⊥AB，使 BD= 1 2 AB. （2）连接 AD，在 DA 上截取 DE=DB. （3）在 AB 上截取 AC=AE.则点 C 为线段 AB 的黄金分割点. 要点诠释： 一条线段的黄金分割点有两个. 【典型例题】 类型一、相似三角形的概念 1、买 西 瓜 为 什 么 挑 大 个 ？ 思 驰 是 一 个 好 奇 心 很 强 的 女 孩 ，凡 事 都 喜 欢 问 个 为 什 么 ．一 天 ，思 驰 跟 爸 爸 上 街 买 西 瓜 ．见 爸 爸选中的全是大个西瓜，她的小脑袋瓜又转开了：买西瓜为什么挑大个？ “你这个沈老师的得意门生，能用学过的数学知识解决吗？”，爸爸“将”了思驰一军． 回到学校，思驰就找来远兮一起商量．两人便开始了一番精彩对话． 思驰：西瓜可以近似看成球体，可以应用球的体积公式． 远兮：大西瓜和小西瓜的皮厚几乎相等． 思驰：人们买瓜是为了吃瓤． 远兮：瓤的体积在整个西瓜体积中占的比越大越好． 思驰：两者的体积比如何求呢？ 经 过 一 段 时 间 的 商 讨 ，她 们 提 出 了 解 决 方 案 ：设 瓜 瓤（ 视 为 球 体 ）的 半 径 为 r，瓜 皮 厚 度 为 a， 4 ?r 3 则瓤和整个瓜的体积比为： 3 4 3 ? 3 r 3 3 ? (r ? a ) (r ? a ) ?( r r?a ) ＜1 当 a 一定时， 值越大， ( r （ 3 r r?a ) 3 的 值 越 接 近 于 1， 即 西 瓜 越 大 ， 瓤 与 整 个 瓜 的 体 积 比 越 接 近 于 1． 思 驰 把 解 决 方 案 讲 给 父 亲 听 后 ，父 亲 充 满 了 赞 许 之 意 ，但 父 亲 同 时 又 提 出 了 ：你 能 用 你 正 在 学 习的相似图形知识解决问题吗？等你学完图形的相似这一章后，我相信你还能找出新的方法 的． 问题：你认为生活中还有哪些与它类似的情形？ 【思路点拨】通 过 选 西 瓜 的 方 法 学 会 分 析 解 决 生 活 中 简 单 的 实 际 问 题 ， 将 西 瓜 沿 球 心 所 在 直 线 切 开 ，得 到 瓤 和 皮 两 个 圆 ，根 据 相 似 形 的 性 质 ，计 算 其 半 径 的 比 ，得 到 面 积 比 ，从 而 得 出 正 确 结果． 【答案与解析】 解 ： 如 图 ， 设 西 瓜 外 径 为 R， 西 瓜 内 径 为 r， 瓜 皮 厚 度 为 a， 2 于是两圆面积比为 Sr SR ? r 2 2 (r ? a ) ， 当 r 越 大 时 ， Sr： SR 越 接 近 与 1， 故西瓜越大越合算． 与此类似，买鸡蛋也应挑大个的． 【总结升华】此 题 是 一 道 材 料 分 析 题 ， 通 过 题 目 信 息 所 给 出 的 研 究 方 法 ， 进 行 探 究 是 解 答 此 类 题目的基本思路． 类型二、相似三角形的三个判定定理 2. （2016?兴化市校级二模）如图，在正方形 ABCD 中，E、F 分别是边 AD、CD 上的点，AE=ED， DF= DC，连接 EF 并延长交 BC 的延长线于点 G． （1）求证：△ABE∽△DEF； （2）若正方形的边长为 4，求 BG 的长． 【思路点拨】 （1）利用正方形的性质，可得∠A=∠D，根据已知可得 角相等三角形相似，可得△ABE∽△DEF； （2）根据平行线分线段成比例定理，可得 CG 的长，即可求得 BG 的长． 【答案与解析】 （1）证明：∵ABCD 为正方形， ∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°， ∵AE=ED， ∴ ， ，根据有两边对应成比例且夹 ∵DF= DC， ∴ ∴ ， ， ∴△ABE∽△DEF； （2）解：∵ABCD 为正方形， ∴ED∥BG， ∴ ， 又∵DF= DC，正方形的边长为 4， ∴ED=2，CG=6， 3 ∴BG=BC+CG=10． 【总结升华】 此题考查了相似三角形的判定 （有两边对应成比例且夹角相等三角形相似） 正方形的性质、 、 平行线分线段成比例定理等知识的综合应用．解题的关键是数形结合思想的应用． 举一反三 【变式】如 图 ， 已 知 在 △ ABC 与 △ DEF 中 ， ∠ C=54°， ∠ A=47°， ∠ F=54°， ∠ E=79°， 求 证 ： △ ABC∽ △ DEF． 【答案】 解 ： 在 △ ABC 中 ， ∠ B=180°-∠ A-∠ C=79°， 在 △ ABC 和 △ DEF 中 ， ? ? B＝ ? E ， ? ? ? A＝ ? D ∴ △ ABC∽ △ DEF． 3、 （2015?大庆模拟）如图，△ ABC 中，AB=5，BC=3，CA=4，D 为 AB 的中点，过点 D 的直线与 BC 交于点 E，若直线 DE 截△ ABC 所得的三角形与△ ABC 相似，则 DE 的长为多少？ 【答案与解析】解：∵D 为 AB 的中点， ∴BD= AB= ， ∵∠DBE=∠ABC， ∴当∠DBE=∠ACB 时，△ BDE∽△BAC 时，如图 1，则 = ，即 = ，解得 DE=2； 当∠BDE=∠ACB 时，如图 2，DE 交 AC 于 F， 4