导学案——相似三角形判定定理的证明

1 导学案——相似三角形判定定理的证明 【学习目标】 1.熟记三个判定定理的内容. 2.三个判定定理的证明过程. 3.学选会用适当的方法证明结论的成立性. 【要点梳理】 要点一、两角分别相等的两个三角形相似 已知：如图,在△ABC 和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′.求证：△ABC∽△A′B′C ′. 证明：在△ABC 的边 AB（或它的延长线）上截取 AD=A′D′,过点 D 作 BC 的平行线，交 AC 于点 E,则∠ADE=∠B，∠AED=∠C, 过点 D 作 AC 的平行线，交 BC 与点 F,则 ∴ ∵DE∥BC,DF∥AC, ∴四边形 DFCE 是平行四边形. ∴DE=CF. ∴ . 而∠ADE=∠B,∠DAE=∠BAC,∠AED==∠C, ∴△ADE∽△ABC. ∵∠A=∠A′,∠ADE=∠B=∠B′,AD=A′B′, ∴△ADE∽△A′B′C′. ∴△ABC∽△A′B′C′. 要点诠释：证明这个定理的正确性，是把它转化为平行线分线段成比例来证明的，注意转化 时 辅助线的做法. 要点二、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 ( .AD AE AB AC = 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例） (AD CF AB CB = 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）. AE CF AC CB = AD AE DE AB AC BC = =2 已知，在△ABC 和△A′B′C′中，∠A=∠A′, ,求证：△ABC∽△A′B′C′. 证明：在△ABC 的边 AB（或它的延长线）上截取 AD=A′B′,过点 D 作 BC 的平行线， 交 AC 于点 E,则 ∠B=∠ADE,∠C=∠AED, ∴△ABC∽△ADE(两个分别相等的两个三角形相似). ∴ . ∵ ,AD=A′B′, ∴ ∴ ∴AE=A′C′ 而∠A=∠A′ ∴△ADE≌△A′B′C′. ∴△ABC∽△A′B′C′. 要点诠释：利 用 了 转 化 的 数 学 思 想 ， 通 过 添 设 辅 助 线 ， 将 未 知 的 判 定 方 法 转 化 为 已 知 两 组 角 对 应 相 等 推 得 相 似 或 已 知 平 行 推 得 相 似 的 . 要点三、三边成比例的两个三角形相似 已知：在在△ABC 和△A′B′C′中，∠A=∠A′, . 求证：△ABC∽△A′B′C′. ' ' ' ' AB AC A B A C = AB AC AD AE = ' ' ' ' AB AC A B A C = ' ' AB AC AD A C = ' ' AC AC AE A C = ' ' ' ' ' ' AB BC AC A B B C A C = =3 证明：在△ABC 的边 AB，AC（或它们的延长线）上截取 AD=A′B′,AD=A′B′,连接 DE. ∵ ，AD=A′B′,AE=A′C′, ∴ 而∠BAC=∠DAE, ∴△ABC∽△ADE(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似). ∴ 又 ，AD= A′B′, ∴ ∴ ∴DE=B′C′, ∴△ADE≌△A′B′C′， ∴△ABC∽△A′B′C′. 【典型例题】 类型一、两角分别相等的两个三角形相似 1、（2016•云南模拟）如图，在△ABC 中，∠C=90°，DM⊥AB 于点 M，DN⊥BC 于 点 N，交 AB 于点 E． 求证：△DME∽△BCA． 【思路点拨】先证明∠DEM=∠A，再由∠C=∠DME=90°，根据有两组角对应相等的两个三 角形相似即可证明△DME∽△BCA． 【答案与解析】 证明：∵∠C=90°，DM⊥AB 于点 M，DN⊥BC 于点 N， ∴∠C=∠ENB=∠DME=90°， ∴AC∥DN， ∴∠BEN=∠A， ∵∠BEN=∠DEM， ∴∠DEM=∠A． 在△DME 与△BCA 中， ， ∴△DME∽△BCA． 【总结升华】本题考查了相似三角形的判定，方法有（1）平行线法：平行于三角形的一边 的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比 ' ' ' ' AB AC A B A C = AB AC AD AE = AB BC AD DE = ' ' ' ' AB BC A B B C = ' ' AB BC AD B C = ' ' BC BC DE B C =4 相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两 个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 类型二、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 2、如图，在△ABC 中，M、N 分别为 AB、AC 边上的中点．D、E 为 BC 边上的两点，且 DE=BD+EC， ME 与 ND 交于点 O，请你写出图中一对全等的三角形，并加以证明． 【思路点拨】因为 M、N 分别为 AB、AC 边上的中点，∠A=∠A，可证明△AMN∽△ABC，则 MN∥BC，又因为 DE=BD+EC，所以有△MON≌△EOD． 【答案与解析】 解：△MON≌△EOD． 证明：∵M、N 分别为 AB、AC 边上的中点， ∴AM：AB=1：2，AN：AC=1：2． ∵∠A=∠A， ∴△AMN∽△ABC． ∴∠AMN=∠ABC，MN= BC． ∴MN∥BC． ∴∠OMN=∠OED，∠ONM=∠ODE． ∵DE=BD+EC， ∴DE= BC． ∴MN=DE． ∴△MON≌△DOE． 【总结升华】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两 个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方 法，看缺什么条件，再去证什么条件． 举一反三 【变式】如图，点 O 是△ABC 的垂心（垂心即三角形三条高所在直线的交点），连接 AO 交 CB 的延长线于点 D，连接 CO 交 AB 的延长线于点 E，连接 DE．求证：△ODE∽△OCA．5 【答案】 证明：∵O 是垂心， ∴AO⊥CD， ∴∠CDO=90°， 同理∠AEO=90°， ∴∠AEO=∠CDO， 在△AEO 和△CDO 中 ， ∴△AEO∽△CDO， ∴ ， ∴ ， 在△ODE 和△OCA 中 ， ∴△ODE∽△OCA． 3、（2015•大庆模拟）如图，△ABC 中，AB=5，BC=3，CA=4，D 为 AB 的中点，过 点 D 的直线与 BC 交于点 E，若直线 DE 截△ABC 所得的三角形与△ABC 相似，则 DE 的长 是多少？ 【答案与解析】解：∵D 为 AB 的中点， ∴BD= AB= ， ∵∠DBE=∠ABC， ∴当∠DEB=∠ACB 时，△BDE∽△BAC 时，如图 1，则 = ，即 = ，解得 DE=2； 当∠BDE=∠ACB 时，如图 2，DE 交 AC 于 F，6 ∵∠DAF=∠CAB， ∴△ADF∽△ACB， ∴△BDE∽△BCA， ∴ = ，即 = ，解得 DE= ， 综上所述，若直线 DE 截△ABC 所得的三角形与△ABC 相似，则 DE=2 或 ． 【总结升华】本题考查了相似三角形判定和性质，其次要注意分类讨论思想的运用． 举一反三 【变式】如图，已知点 P 是边长为 4 的正方形 ABCD 内一点，且 PB=3，BF⊥BP，垂足是 B．请 在射线 BF 上找一点 M，使以点 B、M、C 为顶点的三角形与△ABP 相似．（请注意：全等图形 是相似图形的特例） 【答案】解：在射线 BF 上截取线段 ，连接 M1C， ⇒ ， ⇒∠ABP=∠CBM1， ∴△M1BC∽△ABP． 在射线 BF 上截取线段 BM2=BP=3，连接 M2C， ⇒△CBM2≌△ABP．（全等必相似）7 ∴在射线 BF 上取 或 BM2=3 时，M1，M2 都为符合条件的 M． 类型三、三边成比例的两个三角形相似 4、如图，小正方形的边长均为 1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似的 是（　　） 　A ． B ． C ． D ． 【思路点拨】首先求得△ABC 三边的长，然后分别求得 A，B，C，D 各三角形的三边的长， 然后根据三组对应边的比相等的两个三角形相似，即可求得答案． 【答案与解析】 解：如图：AB= = ，AC= = ，BC=2， A、∵DE= = ，DF= = ，EF=1， ∴ ， ∴△DEF∽△BAC， 故 A 选项正确； B、∵MN= = ，MK= = ，NK=3， ∴ ， =1， ， ∴△MNK 与△ABC 不相似， 故 B 选项错误； C、∵PQ= =2 ，PR= = ，QR=1， ∴ = = ， = ， = ， ∴△PQR 与△ABC 不相似， 故 C 选项错误；8 D、∵GH= = ，GL= = ，HL=2， ∴ = ， = ， = ， ∴△GHL 与△ABC 不相似， 故 D 选项错误． 故选：A． 【总结升华】此题考查了相似三角形的判定．此题难度适中，三组对应边的比相等的两个三 角形相似定理的应用是解此题的关键． 5、如图，若 A、B、C、D、E，甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使△ABC 与△DEF 相似，则点 F 应是甲、乙、丙、丁四点中的（　　） 【思路点拨】令每个小正方形的边长为 1，分别求出两个三角形的边长，从而根据相似三角 形的对应边成比例即可找到点 F 对应的位置． 【答案与解析】 解：根据题意，△ABC 的三边之比为 1： ： ， 要使△ABC∽△DEF，则△DEF 的三边之比也应为 1： ： ， 经计算只有甲点合适， 故选 A． 【总结升华】本题考查了相似三角形的判定定理： （1）两角对应相等的两个三角形相似． （2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似． （3）三边对应成比例的两个三角形相似． 举一反三 【变式】如 图 ， A， B， C， D， E， G， H， M， N 都 是 方 格 纸 中 的 格 点 （ 即 小 正 方 形 的 顶 点 ），要 使 △ DEF 与 △ ABC 相 似 ， 则 点 F 应 是 G， H， M， N 四 点 中 的 （ 　 　 ） A．H 或 N B．G 或 H C．M 或 N D．G 或 M 【答案】C.9 解：设小 正 方 形 的 边 长 为 1，则 △ ABC 的 各 边 分 别 为 3、 、 ，只 能 F 是 M 或 N 时 ， 其 各 边 是 6、 2 ， 2 ． 与 △ ABC 各 边 对 应 成 比 例 ， 故 选 C． 13 10 13 1010 【巩固练习】 一、选择题 1. （2015•深圳校级模拟）若△ABC∽△DEF，且 AB：DE=1：3，则 S△ABC：S△DEF=（　　） A．1：3 　 B．1：9　 C．1： 　　D．1：1.5 2．已 知 如 图：（ 1）、（ 2）中各 有 两 个 三 角 形 ， 其 边 长 和 角 的 度 数 已 在 图 上 标 注 ， 图（ 2）中 AB、CD 交 于 0 点 ，对 于 各 图 中 的 两 个 三 角 形 而 言 ，下 列 说 法 正 确 的 是 （ 　 　 ） A．都相似 B．都不相似 C．只有（1）相似 D．只有（2）相似 3．（2016•盐城）如图，点 F 在平行四边形 ABCD 的边 AB 上，射线 CF 交 DA 的延长线于 点 E，在不添加辅助线的情况下，与△AEF 相似的三角形有（　　） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 4．如图，分别以下列选项作为一个已知条件，其中不一定能得到△AOB∽△COD 的是（　　） A． ∠BAC=∠BDC B． ∠ABD=∠ACD C D 5．如果一个三角形能够分成两个与原三角形都相似的三角形，我们把这样的三角形称为孪 生三角形，那么孪生三角形是（　　） 　 A． 不存在 B． 等腰三角形 C． 直角三角形 D． 等腰三角形或直角三角形 6．在△ABC 与△A′B′C′中，有下列条件：（1） ；（2） ；（3）∠A=∠A′；（4）∠C=∠C′．如果从中任取两个条件组成一组， 那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有多少组（　　） 　 A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 AO DO CO BO = AO OD OB CO =11 二、填空题 7．如图，D、E 分别是△ABC 的边 AB、AC 上的点，连接 DE，要使△ADE∽△ACB，还需添加 一个条件　 （只需写一个）． 8．如图，四边形 ABCD 和四边形 ACED 都是平行四边形，点 R 为 DE 的中点，BR 分别交 AC、CD 于点 P、Q．则图中相似三角形（相似比为 1 除外）有　 ． 9．如图，方格纸中每个小正方形的边长为 1，△ABC 和△DEF 的顶点都在格点上（小正方形 的顶点）．P1，P2，P3，P4，P5 是△DEF 边上的 5 个格点，请在这 5 个格点中选取 2 个作为三 角形的顶点，使它和点 D 构成的三角形与△ABC 相似，写出所有符合条件的三角 形　 　． 10．如图，∠1=∠2=∠3，有几对三角形相似，请写出其中的两 对　 　． 11．如图，在 3×4 的方格上，每个方格的边长为 1 个单位，△ABC 的顶点都在方格的格点 位置．若点 D 在格点位置上（与点 A 不重合），且使△DBC 与△ABC 相似，则符合条件的点 D 共有　　个．12 12.（2015•六合区一模）如图，在 Rt△ABC 中，AC=8，BC=6，直线 l 经过 C，且 l∥AB，P 为 l 上一个动点，若△ABC 与△PAC 相似，则 PC=　　． 三、解答题 13. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=12cm，BC=8cm．点 E、F、G 分别从点 A、B、C 三点同时出发， 沿矩形的边按逆时针方向移动．点 E、G 的速度均为 2cm/s，点 F 的速度为 4cm/s，当点 F 追 上点 G（即点 F 与点 G 重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第 t 秒时，△EFG 的 面积为 S（cm2） （1）当 t=1 秒时，S 的值是多少？ （2）写出 S 和 t 之间的函数解析式，并指出自变量 t 的取值范围； （3）若点 F 在矩形的边 BC 上移动，当 t 为何值时，以点 E、B、F 为顶点的三角形与以点 F、C、G 为顶点的三角形相似？请说明理由． 14. （2016 春•昌平区期末）如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，M 是 BC 的中点，过点 A 作 AM 的垂线，交 CB 的延长线于点 D．求证：△DBA∽△DAC． 15．如图，在△ABC 和△ADE 中， = = ，点 B、D、E 在一条直线上，求证： △ABD∽△ACE． 【答案与解析】13 一、选择题 1.【答案】B. 【解析】∵△ABC∽△DEF，且 AB：DE=1：3， ∴S△ABC：S△DEF=1：9．故选 B． 2.【答案】A; 【解析】如 图 （ 1） ∵ ∠ A=35° ， ∠ B=75° ， ∴ ∠ C=180° -∠ A-∠ B=70° ， ∵ ∠ E=75° ， ∠ F=70° ， ∴ ∠ B=∠ E， ∠ C=∠ F， ∴ △ ABC∽ △ DEF； 如 图 （ 2） ∵ OA=4， OD=3， OC=8， OB=6， ∴ ， ∵ ∠ AOC=∠ DOB， ∴ △ AOC∽ △ DOB． 故 选 A． 3.【答案】C. 【解析】∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥DC， ∴△AEF∽△CBF，△AEF∽△DEC， ∴与△AEF 相似的三角形有 2 个． 故选：C． 4.【答案】C； 【解析】A、若∠BAC=∠BDC，结合∠AOB=∠COD，可得△AOB∽△COD，故本选项错误； B、若∠ABD=∠ACD，结合∠AOB=∠COD，可得△AOB∽△COD，故本选项错误； C、若 = ，因为只知道∠AOB=∠COD，不符合两边及其夹角的判定，不一定能 得到△AOB∽△COD，故本选项正确． D、若 = ，结合∠AOB=∠COD，根据两边及其夹角的方法可得△AOB∽△COD， 故本选项错误； 故选 C． 5.【答案】C； 【解析】∵△ABD∽△CBD， ∴∠ADB=∠BDC OA OC OD OB =14 又∵∠ADB+∠BDC=180°， ∴∠ADB=∠BDC= ×180°=90°， ∵△ADB∽△ABC，ABC△∽△BDC， ∴∠ABC=∠ADB=∠BDC=90°， ∴△ABC 为直角三角形． 故选：C． 6.【答案】C； 【解析】能判断△ABC∽△A′B′C′的有：（1）（2），（2）（4），（3）（4）， ∴能判断△ABC∽△A′B′C′的共有 3 组． 故选 C． 二、填空题 7．【答案】如∠ADE=∠C 或∠AED=∠B 或 AD：AC=AE：AB 或 AD•AB=AE•AC 等； 【解析】∵∠A 是公共角， ∴当∠ADE=∠C 或∠AED=∠B 时，△ADE∽△ACB（有两角对应相等的三角形相 似）， 当 AD：AC=AE：AB 或 AD•AB=AE•AC 时，△ADE∽△ACB（两组对应边的比相等且夹 角对应相等的两个三角形相似）， ∴要使△ADE∽△ACB，还需添加一个条件：答案不唯一，如∠ADE=∠C 或∠AED=∠ B 或 AD：AC=AE：AB 或 AD•AB=AE•AC 等． 故答案为：此题答案不唯一，如∠ADE=∠C 或∠AED=∠B 或 AD：AC=AE：AB 或 AD•AB=AE•AC 等． 8．【答案】△PCQ∽△RDQ∽△PAB； 【解析】∵CP∥ER， ∴△BCP∽△BER； ∵CP∥DR， ∴△PCQ∽△RDQ； ∵CQ∥AB， ∴△PCQ∽△PAB； ∴△PCQ∽△RDQ∽△PAB． 9．【答案】△DP2P5、△DP2P4、△DP4P5； 【解析】设网格的边长为 1． 则 AC= ，AB= ，BC= ． 连接 DP2P5， DP5= ，DP2= ，P2P5= ． ∵ = = ， ∴△ACB∽△DP5P2． 同理可找到△DP2P4，DP4P5 和△ACB 相似． 故答案为：△DP2P5，DP2P4，DP4P5． 10．【答案】△CDE∽△CAB；△EDA∽△AEB; 【解析】∵∠2=∠3，∠C=∠C， ∴△CDE∽△CAB，15 ∵∠2=∠3， ∴∠DEA=∠EAB， ∵∠1=∠3， ∴△EDA∽△AEB， 故答案为：△CDE∽△CAB；△EDA∽△AEB． 11．【答案】4; 【解析】∵方格中小正方形的边长为 1， ∴AB=1、BC= 、AC= ， ∵△DBC 与△ABC 相似， ∴BC= 、CD=2、BD= ， 如图可知这样的点 D 如图： 故答案为：4． 12.【答案】4.8 或 . 【解析】∵在 Rt△ABC 中，AC=8，BC=6，∴AB= =10， 当△ABC∽△PCA 时，则 AB：PC=BC：AC， 即 10：PC=6：8，解得：PC= ， 当△ABC∽△ACP 时，则 AB：AC=BC：PC， 即 10：8=6：PC，解得：PC=4.8． 综上可知若△ABC 与△PAC 相似，则 PC=4.8 或 ． 三、解答题 13.【解析】 解：（1）如图 1，当 t=1 秒时，AE=2，EB=10，BF=4，FC=4，CG=2 由 S=S 梯形 GCBE﹣S△EBF﹣S△FCG = × ﹣ = ×（10+2）×8﹣ ×10×4﹣ =24. （2）①如图 1，当 0≤t≤2 时，点 E、F、G 分别在边 AB、 BC、CD 上移动， 此时 AE=2t，EB=12﹣2t，BF=4t，FC=8﹣4t，CG=2t S=S 梯形 GCBE﹣S△EBF﹣S△FCG16 = ×（EB+CG）•BC﹣ EB•BF﹣ FC•CG = ×8×（12﹣2t+2t）﹣ ×4t（12﹣2t）﹣ ×2t（8﹣4t） =8t2﹣32t+48． ②如图 2，当点 F 追上点 G 时，4t=2t+8，解得 t=4 当 2＜t＜4 时，点 E 在边 AB 上移动，点 F、G 都在边 CD 上移动，此时 CF=4t﹣8，CG=2t FG=CG﹣CF=2t﹣（4t﹣8）=8﹣2t S= FG•BC= （8﹣2t）•8=﹣8t+32． 即 S=﹣8t+32 （3）如图 1，当点 F 在矩形的边 BC 上的边移动时，0≤t≤2 在△EBF 和△FCG 中，∠B=∠C=90° 1 若 = ，即 = ， 解得 t= ． 又 t= 满足 0≤t≤2，所以当 t= 时，△EBF∽△FCG 2 若 = 即 = ，解得 t= ． 又 t= 满足 0≤t≤2，所以当 t= 时，△EBF∽△GCF 综上所述，当 t= 或 t= 时，以点 E、B、F 为顶点的三角形与以 F、C、G 为顶点的三角 形相似． 14.【解析】 证明：∵∠BAC=90°，点 M 是 BC 的中点， ∴AM=CM， ∴∠C=∠CAM， ∵DA⊥AM， ∴∠DAM=90°， ∴∠DAB=∠CAM， ∴∠DAB=∠C， ∵∠D=∠D， ∴△DBA∽△DAC． 15.【解析】 证明：∵在△ABC 和△ADE 中， = = ， ∴△ABC∽△ADE， ∴∠BAC=∠DAE， ∴∠BAD=∠CAE，17 ∵ ， ∴ ， ∴△ABD∽△ACE．