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导学案——相似三角形判定定理的证明
【学习目标】
1.熟记三个判定定理的内容.
2.三个判定定理的证明过程.
3.学选会用适当的方法证明结论的成立性.
【要点梳理】
要点一、两角分别相等的两个三角形相似
已知:如图,在△ABC 和△A′B′C′中,∠A=∠A′,∠B=∠B′.求证:△ABC∽△A′B′C
′.
证明:在△ABC 的边 AB(或它的延长线)上截取 AD=A′D′,过点 D 作 BC 的平行线,交 AC
于点 E,则∠ADE=∠B,∠AED=∠C,
过点 D 作 AC 的平行线,交 BC 与点 F,则
∴
∵DE∥BC,DF∥AC,
∴四边形 DFCE 是平行四边形.
∴DE=CF.
∴ .
而∠ADE=∠B,∠DAE=∠BAC,∠AED==∠C,
∴△ADE∽△ABC.
∵∠A=∠A′,∠ADE=∠B=∠B′,AD=A′B′,
∴△ADE∽△A′B′C′.
∴△ABC∽△A′B′C′.
要点诠释:证明这个定理的正确性,是把它转化为平行线分线段成比例来证明的,注意转化
时 辅助线的做法.
要点二、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
( .AD AE
AB AC
= 平行于三角形一边的直线与其他两边相交,截得的对应线段成比例)
(AD CF
AB CB
= 平行于三角形一边的直线与其他两边相交,截得的对应线段成比例).
AE CF
AC CB
=
AD AE DE
AB AC BC
= =2
已知,在△ABC 和△A′B′C′中,∠A=∠A′, ,求证:△ABC∽△A′B′C′.
证明:在△ABC 的边 AB(或它的延长线)上截取 AD=A′B′,过点 D 作 BC 的平行线,
交 AC 于点 E,则
∠B=∠ADE,∠C=∠AED,
∴△ABC∽△ADE(两个分别相等的两个三角形相似).
∴ .
∵ ,AD=A′B′,
∴
∴
∴AE=A′C′
而∠A=∠A′
∴△ADE≌△A′B′C′.
∴△ABC∽△A′B′C′.
要点诠释:利 用 了 转 化 的 数 学 思 想 , 通 过 添 设 辅 助 线 , 将 未 知 的 判 定 方 法 转 化 为
已 知 两 组 角 对 应 相 等 推 得 相 似 或 已 知 平 行 推 得 相 似 的 .
要点三、三边成比例的两个三角形相似
已知:在在△ABC 和△A′B′C′中,∠A=∠A′, .
求证:△ABC∽△A′B′C′.
' ' ' '
AB AC
A B A C
=
AB AC
AD AE
=
' ' ' '
AB AC
A B A C
=
' '
AB AC
AD A C
=
' '
AC AC
AE A C
=
' ' ' ' ' '
AB BC AC
A B B C A C
= =3
证明:在△ABC 的边 AB,AC(或它们的延长线)上截取 AD=A′B′,AD=A′B′,连接 DE.
∵ ,AD=A′B′,AE=A′C′,
∴
而∠BAC=∠DAE,
∴△ABC∽△ADE(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似).
∴
又 ,AD= A′B′,
∴
∴
∴DE=B′C′,
∴△ADE≌△A′B′C′,
∴△ABC∽△A′B′C′.
【典型例题】
类型一、两角分别相等的两个三角形相似
1、(2016•云南模拟)如图,在△ABC 中,∠C=90°,DM⊥AB 于点 M,DN⊥BC 于
点 N,交 AB 于点 E.
求证:△DME∽△BCA.
【思路点拨】先证明∠DEM=∠A,再由∠C=∠DME=90°,根据有两组角对应相等的两个三
角形相似即可证明△DME∽△BCA.
【答案与解析】
证明:∵∠C=90°,DM⊥AB 于点 M,DN⊥BC 于点 N,
∴∠C=∠ENB=∠DME=90°,
∴AC∥DN,
∴∠BEN=∠A,
∵∠BEN=∠DEM,
∴∠DEM=∠A.
在△DME 与△BCA 中,
,
∴△DME∽△BCA.
【总结升华】本题考查了相似三角形的判定,方法有(1)平行线法:平行于三角形的一边
的直线与其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似;(2)三边法:三组对应边的比
' ' ' '
AB AC
A B A C
=
AB AC
AD AE
=
AB BC
AD DE
=
' ' ' '
AB BC
A B B C
=
' '
AB BC
AD B C
=
' '
BC BC
DE B C
=4
相等的两个三角形相似;(3)两边及其夹角法:两组对应边的比相等且夹角对应相等的两
个三角形相似;(4)两角法:有两组角对应相等的两个三角形相似.
类型二、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
2、如图,在△ABC 中,M、N 分别为 AB、AC 边上的中点.D、E 为 BC 边上的两点,且 DE=BD+EC,
ME 与 ND 交于点 O,请你写出图中一对全等的三角形,并加以证明.
【思路点拨】因为 M、N 分别为 AB、AC 边上的中点,∠A=∠A,可证明△AMN∽△ABC,则
MN∥BC,又因为 DE=BD+EC,所以有△MON≌△EOD.
【答案与解析】
解:△MON≌△EOD.
证明:∵M、N 分别为 AB、AC 边上的中点,
∴AM:AB=1:2,AN:AC=1:2.
∵∠A=∠A,
∴△AMN∽△ABC.
∴∠AMN=∠ABC,MN= BC.
∴MN∥BC.
∴∠OMN=∠OED,∠ONM=∠ODE.
∵DE=BD+EC,
∴DE= BC.
∴MN=DE.
∴△MON≌△DOE.
【总结升华】三角形全等的判定是中考的热点,一般以考查三角形全等的方法为主,判定两
个三角形全等,先根据已知条件或求证的结论确定三角形,然后再根据三角形全等的判定方
法,看缺什么条件,再去证什么条件.
举一反三
【变式】如图,点 O 是△ABC 的垂心(垂心即三角形三条高所在直线的交点),连接 AO 交 CB
的延长线于点 D,连接 CO 交 AB 的延长线于点 E,连接 DE.求证:△ODE∽△OCA.5
【答案】
证明:∵O 是垂心,
∴AO⊥CD,
∴∠CDO=90°,
同理∠AEO=90°,
∴∠AEO=∠CDO,
在△AEO 和△CDO 中
,
∴△AEO∽△CDO,
∴ ,
∴ ,
在△ODE 和△OCA 中
,
∴△ODE∽△OCA.
3、(2015•大庆模拟)如图,△ABC 中,AB=5,BC=3,CA=4,D 为 AB 的中点,过
点 D 的直线与 BC 交于点 E,若直线 DE 截△ABC 所得的三角形与△ABC 相似,则 DE 的长
是多少?
【答案与解析】解:∵D 为 AB 的中点,
∴BD= AB= ,
∵∠DBE=∠ABC,
∴当∠DEB=∠ACB 时,△BDE∽△BAC 时,如图 1,则 = ,即 = ,解得 DE=2;
当∠BDE=∠ACB 时,如图 2,DE 交 AC 于 F,6
∵∠DAF=∠CAB,
∴△ADF∽△ACB,
∴△BDE∽△BCA,
∴ = ,即 = ,解得 DE= ,
综上所述,若直线 DE 截△ABC 所得的三角形与△ABC 相似,则 DE=2 或 .
【总结升华】本题考查了相似三角形判定和性质,其次要注意分类讨论思想的运用.
举一反三
【变式】如图,已知点 P 是边长为 4 的正方形 ABCD 内一点,且 PB=3,BF⊥BP,垂足是 B.请
在射线 BF 上找一点 M,使以点 B、M、C 为顶点的三角形与△ABP 相似.(请注意:全等图形
是相似图形的特例)
【答案】解:在射线 BF 上截取线段 ,连接 M1C,
⇒ ,
⇒∠ABP=∠CBM1,
∴△M1BC∽△ABP.
在射线 BF 上截取线段 BM2=BP=3,连接 M2C,
⇒△CBM2≌△ABP.(全等必相似)7
∴在射线 BF 上取 或 BM2=3 时,M1,M2 都为符合条件的 M.
类型三、三边成比例的两个三角形相似
4、如图,小正方形的边长均为 1,则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC 相似的
是( )
A
.
B
.
C
.
D
.
【思路点拨】首先求得△ABC 三边的长,然后分别求得 A,B,C,D 各三角形的三边的长,
然后根据三组对应边的比相等的两个三角形相似,即可求得答案.
【答案与解析】
解:如图:AB= = ,AC= = ,BC=2,
A、∵DE= = ,DF= = ,EF=1,
∴ ,
∴△DEF∽△BAC,
故 A 选项正确;
B、∵MN= = ,MK= = ,NK=3,
∴ , =1, ,
∴△MNK 与△ABC 不相似,
故 B 选项错误;
C、∵PQ= =2 ,PR= = ,QR=1,
∴ = = , = , = ,
∴△PQR 与△ABC 不相似,
故 C 选项错误;8
D、∵GH= = ,GL= = ,HL=2,
∴ = , = , = ,
∴△GHL 与△ABC 不相似,
故 D 选项错误.
故选:A.
【总结升华】此题考查了相似三角形的判定.此题难度适中,三组对应边的比相等的两个三
角形相似定理的应用是解此题的关键.
5、如图,若 A、B、C、D、E,甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点,为使△ABC 与△DEF
相似,则点 F 应是甲、乙、丙、丁四点中的( )
【思路点拨】令每个小正方形的边长为 1,分别求出两个三角形的边长,从而根据相似三角
形的对应边成比例即可找到点 F 对应的位置.
【答案与解析】
解:根据题意,△ABC 的三边之比为 1: : ,
要使△ABC∽△DEF,则△DEF 的三边之比也应为 1: : ,
经计算只有甲点合适,
故选 A.
【总结升华】本题考查了相似三角形的判定定理:
(1)两角对应相等的两个三角形相似.
(2)两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.
(3)三边对应成比例的两个三角形相似.
举一反三
【变式】如 图 , A, B, C, D, E, G, H, M, N 都 是 方 格 纸 中 的 格 点 ( 即 小 正 方 形
的 顶 点 ),要 使 △ DEF 与 △ ABC 相 似 , 则 点 F 应 是 G, H, M, N 四 点 中 的 ( )
A.H 或 N B.G 或 H C.M 或 N D.G 或 M
【答案】C.9
解:设小 正 方 形 的 边 长 为 1,则 △ ABC 的 各 边 分 别 为 3、 、 ,只 能 F 是 M
或 N 时 , 其 各 边 是 6、 2 , 2 . 与 △ ABC 各 边 对 应 成 比 例 , 故 选 C.
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【巩固练习】
一、选择题
1. (2015•深圳校级模拟)若△ABC∽△DEF,且 AB:DE=1:3,则 S△ABC:S△DEF=( )
A.1:3 B.1:9 C.1: D.1:1.5
2.已 知 如 图:( 1)、( 2)中各 有 两 个 三 角 形 , 其 边 长 和 角 的 度 数 已 在 图 上 标 注 ,
图( 2)中 AB、CD 交 于 0 点 ,对 于 各 图 中 的 两 个 三 角 形 而 言 ,下 列 说 法 正 确 的 是
( )
A.都相似 B.都不相似 C.只有(1)相似 D.只有(2)相似
3.(2016•盐城)如图,点 F 在平行四边形 ABCD 的边 AB 上,射线 CF 交 DA 的延长线于
点 E,在不添加辅助线的情况下,与△AEF 相似的三角形有( )
A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个
4.如图,分别以下列选项作为一个已知条件,其中不一定能得到△AOB∽△COD 的是( )
A. ∠BAC=∠BDC B. ∠ABD=∠ACD C D
5.如果一个三角形能够分成两个与原三角形都相似的三角形,我们把这样的三角形称为孪
生三角形,那么孪生三角形是( )
A. 不存在 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形
6.在△ABC 与△A′B′C′中,有下列条件:(1) ;(2)
;(3)∠A=∠A′;(4)∠C=∠C′.如果从中任取两个条件组成一组,
那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有多少组( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
AO DO
CO BO
= AO OD
OB CO
=11
二、填空题
7.如图,D、E 分别是△ABC 的边 AB、AC 上的点,连接 DE,要使△ADE∽△ACB,还需添加
一个条件 (只需写一个).
8.如图,四边形 ABCD 和四边形 ACED 都是平行四边形,点 R 为 DE 的中点,BR 分别交 AC、CD
于点 P、Q.则图中相似三角形(相似比为 1 除外)有 .
9.如图,方格纸中每个小正方形的边长为 1,△ABC 和△DEF 的顶点都在格点上(小正方形
的顶点).P1,P2,P3,P4,P5 是△DEF 边上的 5 个格点,请在这 5 个格点中选取 2 个作为三
角形的顶点,使它和点 D 构成的三角形与△ABC 相似,写出所有符合条件的三角
形 .
10.如图,∠1=∠2=∠3,有几对三角形相似,请写出其中的两
对 .
11.如图,在 3×4 的方格上,每个方格的边长为 1 个单位,△ABC 的顶点都在方格的格点
位置.若点 D 在格点位置上(与点 A 不重合),且使△DBC 与△ABC 相似,则符合条件的点 D
共有 个.12
12.(2015•六合区一模)如图,在 Rt△ABC 中,AC=8,BC=6,直线 l 经过 C,且 l∥AB,P
为 l 上一个动点,若△ABC 与△PAC 相似,则 PC= .
三、解答题
13. 如图,在矩形 ABCD 中,AB=12cm,BC=8cm.点 E、F、G 分别从点 A、B、C 三点同时出发,
沿矩形的边按逆时针方向移动.点 E、G 的速度均为 2cm/s,点 F 的速度为 4cm/s,当点 F 追
上点 G(即点 F 与点 G 重合)时,三个点随之停止移动.设移动开始后第 t 秒时,△EFG 的
面积为 S(cm2)
(1)当 t=1 秒时,S 的值是多少?
(2)写出 S 和 t 之间的函数解析式,并指出自变量 t 的取值范围;
(3)若点 F 在矩形的边 BC 上移动,当 t 为何值时,以点 E、B、F 为顶点的三角形与以点
F、C、G 为顶点的三角形相似?请说明理由.
14. (2016 春•昌平区期末)如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,M 是 BC 的中点,过点 A
作 AM 的垂线,交 CB 的延长线于点 D.求证:△DBA∽△DAC.
15.如图,在△ABC 和△ADE 中, = = ,点 B、D、E 在一条直线上,求证:
△ABD∽△ACE.
【答案与解析】13
一、选择题
1.【答案】B.
【解析】∵△ABC∽△DEF,且 AB:DE=1:3,
∴S△ABC:S△DEF=1:9.故选 B.
2.【答案】A;
【解析】如 图 ( 1) ∵ ∠ A=35° , ∠ B=75° ,
∴ ∠ C=180° -∠ A-∠ B=70° ,
∵ ∠ E=75° , ∠ F=70° ,
∴ ∠ B=∠ E, ∠ C=∠ F,
∴ △ ABC∽ △ DEF;
如 图 ( 2) ∵ OA=4, OD=3, OC=8, OB=6,
∴ ,
∵ ∠ AOC=∠ DOB,
∴ △ AOC∽ △ DOB.
故 选 A.
3.【答案】C.
【解析】∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴AD∥BC,AB∥DC,
∴△AEF∽△CBF,△AEF∽△DEC,
∴与△AEF 相似的三角形有 2 个.
故选:C.
4.【答案】C;
【解析】A、若∠BAC=∠BDC,结合∠AOB=∠COD,可得△AOB∽△COD,故本选项错误;
B、若∠ABD=∠ACD,结合∠AOB=∠COD,可得△AOB∽△COD,故本选项错误;
C、若 = ,因为只知道∠AOB=∠COD,不符合两边及其夹角的判定,不一定能
得到△AOB∽△COD,故本选项正确.
D、若 = ,结合∠AOB=∠COD,根据两边及其夹角的方法可得△AOB∽△COD,
故本选项错误;
故选 C.
5.【答案】C;
【解析】∵△ABD∽△CBD,
∴∠ADB=∠BDC
OA OC
OD OB
=14
又∵∠ADB+∠BDC=180°,
∴∠ADB=∠BDC= ×180°=90°,
∵△ADB∽△ABC,ABC△∽△BDC,
∴∠ABC=∠ADB=∠BDC=90°,
∴△ABC 为直角三角形.
故选:C.
6.【答案】C;
【解析】能判断△ABC∽△A′B′C′的有:(1)(2),(2)(4),(3)(4),
∴能判断△ABC∽△A′B′C′的共有 3 组.
故选 C.
二、填空题
7.【答案】如∠ADE=∠C 或∠AED=∠B 或 AD:AC=AE:AB 或 AD•AB=AE•AC 等;
【解析】∵∠A 是公共角,
∴当∠ADE=∠C 或∠AED=∠B 时,△ADE∽△ACB(有两角对应相等的三角形相
似),
当 AD:AC=AE:AB 或 AD•AB=AE•AC 时,△ADE∽△ACB(两组对应边的比相等且夹
角对应相等的两个三角形相似),
∴要使△ADE∽△ACB,还需添加一个条件:答案不唯一,如∠ADE=∠C 或∠AED=∠
B 或 AD:AC=AE:AB 或 AD•AB=AE•AC 等.
故答案为:此题答案不唯一,如∠ADE=∠C 或∠AED=∠B 或 AD:AC=AE:AB 或
AD•AB=AE•AC 等.
8.【答案】△PCQ∽△RDQ∽△PAB;
【解析】∵CP∥ER,
∴△BCP∽△BER;
∵CP∥DR,
∴△PCQ∽△RDQ;
∵CQ∥AB,
∴△PCQ∽△PAB;
∴△PCQ∽△RDQ∽△PAB.
9.【答案】△DP2P5、△DP2P4、△DP4P5;
【解析】设网格的边长为 1.
则 AC= ,AB= ,BC= .
连接 DP2P5,
DP5= ,DP2= ,P2P5= .
∵ = = ,
∴△ACB∽△DP5P2.
同理可找到△DP2P4,DP4P5 和△ACB 相似.
故答案为:△DP2P5,DP2P4,DP4P5.
10.【答案】△CDE∽△CAB;△EDA∽△AEB;
【解析】∵∠2=∠3,∠C=∠C,
∴△CDE∽△CAB,15
∵∠2=∠3,
∴∠DEA=∠EAB,
∵∠1=∠3,
∴△EDA∽△AEB,
故答案为:△CDE∽△CAB;△EDA∽△AEB.
11.【答案】4;
【解析】∵方格中小正方形的边长为 1,
∴AB=1、BC= 、AC= ,
∵△DBC 与△ABC 相似,
∴BC= 、CD=2、BD= ,
如图可知这样的点 D 如图:
故答案为:4.
12.【答案】4.8 或 .
【解析】∵在 Rt△ABC 中,AC=8,BC=6,∴AB= =10,
当△ABC∽△PCA 时,则 AB:PC=BC:AC,
即 10:PC=6:8,解得:PC= ,
当△ABC∽△ACP 时,则 AB:AC=BC:PC,
即 10:8=6:PC,解得:PC=4.8.
综上可知若△ABC 与△PAC 相似,则 PC=4.8 或 .
三、解答题
13.【解析】
解:(1)如图 1,当 t=1 秒时,AE=2,EB=10,BF=4,FC=4,CG=2
由 S=S 梯形 GCBE﹣S△EBF﹣S△FCG
= × ﹣
= ×(10+2)×8﹣ ×10×4﹣
=24.
(2)①如图 1,当 0≤t≤2 时,点 E、F、G 分别在边 AB、
BC、CD 上移动,
此时 AE=2t,EB=12﹣2t,BF=4t,FC=8﹣4t,CG=2t
S=S 梯形 GCBE﹣S△EBF﹣S△FCG16
= ×(EB+CG)•BC﹣ EB•BF﹣ FC•CG
= ×8×(12﹣2t+2t)﹣ ×4t(12﹣2t)﹣ ×2t(8﹣4t)
=8t2﹣32t+48.
②如图 2,当点 F 追上点 G 时,4t=2t+8,解得 t=4
当 2<t<4 时,点 E 在边 AB 上移动,点 F、G 都在边 CD 上移动,此时 CF=4t﹣8,CG=2t
FG=CG﹣CF=2t﹣(4t﹣8)=8﹣2t
S= FG•BC= (8﹣2t)•8=﹣8t+32.
即 S=﹣8t+32
(3)如图 1,当点 F 在矩形的边 BC 上的边移动时,0≤t≤2
在△EBF 和△FCG 中,∠B=∠C=90°
1 若 = ,即 = ,
解得 t= .
又 t= 满足 0≤t≤2,所以当 t= 时,△EBF∽△FCG
2 若 = 即 = ,解得 t= .
又 t= 满足 0≤t≤2,所以当 t= 时,△EBF∽△GCF
综上所述,当 t= 或 t= 时,以点 E、B、F 为顶点的三角形与以 F、C、G 为顶点的三角
形相似.
14.【解析】
证明:∵∠BAC=90°,点 M 是 BC 的中点,
∴AM=CM,
∴∠C=∠CAM,
∵DA⊥AM,
∴∠DAM=90°,
∴∠DAB=∠CAM,
∴∠DAB=∠C,
∵∠D=∠D,
∴△DBA∽△DAC.
15.【解析】
证明:∵在△ABC 和△ADE 中, = = ,
∴△ABC∽△ADE,
∴∠BAC=∠DAE,
∴∠BAD=∠CAE,17
∵ ,
∴ ,
∴△ABD∽△ACE.