导学案——相似三角形判定定理的证明
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导学案——相似三角形判定定理的证明

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资料简介
1 导学案——相似三角形判定定理的证明 【学习目标】 1.熟记三个判定定理的内容. 2.三个判定定理的证明过程. 3.学选会用适当的方法证明结论的成立性. 【要点梳理】 要点一、两角分别相等的两个三角形相似 已知:如图,在△ABC 和△A′B′C′中,∠A=∠A′,∠B=∠B′.求证:△ABC∽△A′B′C ′. 证明:在△ABC 的边 AB(或它的延长线)上截取 AD=A′D′,过点 D 作 BC 的平行线,交 AC 于点 E,则∠ADE=∠B,∠AED=∠C, 过点 D 作 AC 的平行线,交 BC 与点 F,则 ∴ ∵DE∥BC,DF∥AC, ∴四边形 DFCE 是平行四边形. ∴DE=CF. ∴ . 而∠ADE=∠B,∠DAE=∠BAC,∠AED==∠C, ∴△ADE∽△ABC. ∵∠A=∠A′,∠ADE=∠B=∠B′,AD=A′B′, ∴△ADE∽△A′B′C′. ∴△ABC∽△A′B′C′. 要点诠释:证明这个定理的正确性,是把它转化为平行线分线段成比例来证明的,注意转化 时 辅助线的做法. 要点二、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 ( .AD AE AB AC = 平行于三角形一边的直线与其他两边相交,截得的对应线段成比例) (AD CF AB CB = 平行于三角形一边的直线与其他两边相交,截得的对应线段成比例). AE CF AC CB = AD AE DE AB AC BC = =2 已知,在△ABC 和△A′B′C′中,∠A=∠A′, ,求证:△ABC∽△A′B′C′. 证明:在△ABC 的边 AB(或它的延长线)上截取 AD=A′B′,过点 D 作 BC 的平行线, 交 AC 于点 E,则 ∠B=∠ADE,∠C=∠AED, ∴△ABC∽△ADE(两个分别相等的两个三角形相似). ∴ . ∵ ,AD=A′B′, ∴ ∴ ∴AE=A′C′ 而∠A=∠A′ ∴△ADE≌△A′B′C′. ∴△ABC∽△A′B′C′. 要点诠释:利 用 了 转 化 的 数 学 思 想 , 通 过 添 设 辅 助 线 , 将 未 知 的 判 定 方 法 转 化 为 已 知 两 组 角 对 应 相 等 推 得 相 似 或 已 知 平 行 推 得 相 似 的 . 要点三、三边成比例的两个三角形相似 已知:在在△ABC 和△A′B′C′中,∠A=∠A′, . 求证:△ABC∽△A′B′C′. ' ' ' ' AB AC A B A C = AB AC AD AE = ' ' ' ' AB AC A B A C = ' ' AB AC AD A C = ' ' AC AC AE A C = ' ' ' ' ' ' AB BC AC A B B C A C = =3 证明:在△ABC 的边 AB,AC(或它们的延长线)上截取 AD=A′B′,AD=A′B′,连接 DE. ∵ ,AD=A′B′,AE=A′C′, ∴ 而∠BAC=∠DAE, ∴△ABC∽△ADE(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似). ∴ 又 ,AD= A′B′, ∴ ∴ ∴DE=B′C′, ∴△ADE≌△A′B′C′, ∴△ABC∽△A′B′C′. 【典型例题】 类型一、两角分别相等的两个三角形相似 1、(2016•云南模拟)如图,在△ABC 中,∠C=90°,DM⊥AB 于点 M,DN⊥BC 于 点 N,交 AB 于点 E. 求证:△DME∽△BCA. 【思路点拨】先证明∠DEM=∠A,再由∠C=∠DME=90°,根据有两组角对应相等的两个三 角形相似即可证明△DME∽△BCA. 【答案与解析】 证明:∵∠C=90°,DM⊥AB 于点 M,DN⊥BC 于点 N, ∴∠C=∠ENB=∠DME=90°, ∴AC∥DN, ∴∠BEN=∠A, ∵∠BEN=∠DEM, ∴∠DEM=∠A. 在△DME 与△BCA 中, , ∴△DME∽△BCA. 【总结升华】本题考查了相似三角形的判定,方法有(1)平行线法:平行于三角形的一边 的直线与其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似;(2)三边法:三组对应边的比 ' ' ' ' AB AC A B A C = AB AC AD AE = AB BC AD DE = ' ' ' ' AB BC A B B C = ' ' AB BC AD B C = ' ' BC BC DE B C =4 相等的两个三角形相似;(3)两边及其夹角法:两组对应边的比相等且夹角对应相等的两 个三角形相似;(4)两角法:有两组角对应相等的两个三角形相似. 类型二、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 2、如图,在△ABC 中,M、N 分别为 AB、AC 边上的中点.D、E 为 BC 边上的两点,且 DE=BD+EC, ME 与 ND 交于点 O,请你写出图中一对全等的三角形,并加以证明. 【思路点拨】因为 M、N 分别为 AB、AC 边上的中点,∠A=∠A,可证明△AMN∽△ABC,则 MN∥BC,又因为 DE=BD+EC,所以有△MON≌△EOD. 【答案与解析】 解:△MON≌△EOD. 证明:∵M、N 分别为 AB、AC 边上的中点, ∴AM:AB=1:2,AN:AC=1:2. ∵∠A=∠A, ∴△AMN∽△ABC. ∴∠AMN=∠ABC,MN= BC. ∴MN∥BC. ∴∠OMN=∠OED,∠ONM=∠ODE. ∵DE=BD+EC, ∴DE= BC. ∴MN=DE. ∴△MON≌△DOE. 【总结升华】三角形全等的判定是中考的热点,一般以考查三角形全等的方法为主,判定两 个三角形全等,先根据已知条件或求证的结论确定三角形,然后再根据三角形全等的判定方 法,看缺什么条件,再去证什么条件. 举一反三 【变式】如图,点 O 是△ABC 的垂心(垂心即三角形三条高所在直线的交点),连接 AO 交 CB 的延长线于点 D,连接 CO 交 AB 的延长线于点 E,连接 DE.求证:△ODE∽△OCA.5 【答案】 证明:∵O 是垂心, ∴AO⊥CD, ∴∠CDO=90°, 同理∠AEO=90°, ∴∠AEO=∠CDO, 在△AEO 和△CDO 中 , ∴△AEO∽△CDO, ∴ , ∴ , 在△ODE 和△OCA 中 , ∴△ODE∽△OCA. 3、(2015•大庆模拟)如图,△ABC 中,AB=5,BC=3,CA=4,D 为 AB 的中点,过 点 D 的直线与 BC 交于点 E,若直线 DE 截△ABC 所得的三角形与△ABC 相似,则 DE 的长 是多少? 【答案与解析】解:∵D 为 AB 的中点, ∴BD= AB= , ∵∠DBE=∠ABC, ∴当∠DEB=∠ACB 时,△BDE∽△BAC 时,如图 1,则 = ,即 = ,解得 DE=2; 当∠BDE=∠ACB 时,如图 2,DE 交 AC 于 F,6 ∵∠DAF=∠CAB, ∴△ADF∽△ACB, ∴△BDE∽△BCA, ∴ = ,即 = ,解得 DE= , 综上所述,若直线 DE 截△ABC 所得的三角形与△ABC 相似,则 DE=2 或 . 【总结升华】本题考查了相似三角形判定和性质,其次要注意分类讨论思想的运用. 举一反三 【变式】如图,已知点 P 是边长为 4 的正方形 ABCD 内一点,且 PB=3,BF⊥BP,垂足是 B.请 在射线 BF 上找一点 M,使以点 B、M、C 为顶点的三角形与△ABP 相似.(请注意:全等图形 是相似图形的特例) 【答案】解:在射线 BF 上截取线段 ,连接 M1C, ⇒ , ⇒∠ABP=∠CBM1, ∴△M1BC∽△ABP. 在射线 BF 上截取线段 BM2=BP=3,连接 M2C, ⇒△CBM2≌△ABP.(全等必相似)7 ∴在射线 BF 上取 或 BM2=3 时,M1,M2 都为符合条件的 M. 类型三、三边成比例的两个三角形相似 4、如图,小正方形的边长均为 1,则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC 相似的 是(  )  A . B . C . D . 【思路点拨】首先求得△ABC 三边的长,然后分别求得 A,B,C,D 各三角形的三边的长, 然后根据三组对应边的比相等的两个三角形相似,即可求得答案. 【答案与解析】 解:如图:AB= = ,AC= = ,BC=2, A、∵DE= = ,DF= = ,EF=1, ∴ , ∴△DEF∽△BAC, 故 A 选项正确; B、∵MN= = ,MK= = ,NK=3, ∴ , =1, , ∴△MNK 与△ABC 不相似, 故 B 选项错误; C、∵PQ= =2 ,PR= = ,QR=1, ∴ = = , = , = , ∴△PQR 与△ABC 不相似, 故 C 选项错误;8 D、∵GH= = ,GL= = ,HL=2, ∴ = , = , = , ∴△GHL 与△ABC 不相似, 故 D 选项错误. 故选:A. 【总结升华】此题考查了相似三角形的判定.此题难度适中,三组对应边的比相等的两个三 角形相似定理的应用是解此题的关键. 5、如图,若 A、B、C、D、E,甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点,为使△ABC 与△DEF 相似,则点 F 应是甲、乙、丙、丁四点中的(  ) 【思路点拨】令每个小正方形的边长为 1,分别求出两个三角形的边长,从而根据相似三角 形的对应边成比例即可找到点 F 对应的位置. 【答案与解析】 解:根据题意,△ABC 的三边之比为 1: : , 要使△ABC∽△DEF,则△DEF 的三边之比也应为 1: : , 经计算只有甲点合适, 故选 A. 【总结升华】本题考查了相似三角形的判定定理: (1)两角对应相等的两个三角形相似. (2)两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似. (3)三边对应成比例的两个三角形相似. 举一反三 【变式】如 图 , A, B, C, D, E, G, H, M, N 都 是 方 格 纸 中 的 格 点 ( 即 小 正 方 形 的 顶 点 ),要 使 △ DEF 与 △ ABC 相 似 , 则 点 F 应 是 G, H, M, N 四 点 中 的 (     ) A.H 或 N B.G 或 H C.M 或 N D.G 或 M 【答案】C.9 解:设小 正 方 形 的 边 长 为 1,则 △ ABC 的 各 边 分 别 为 3、 、 ,只 能 F 是 M 或 N 时 , 其 各 边 是 6、 2 , 2 . 与 △ ABC 各 边 对 应 成 比 例 , 故 选 C. 13 10 13 1010 【巩固练习】 一、选择题 1. (2015•深圳校级模拟)若△ABC∽△DEF,且 AB:DE=1:3,则 S△ABC:S△DEF=(  ) A.1:3   B.1:9  C.1:   D.1:1.5 2.已 知 如 图:( 1)、( 2)中各 有 两 个 三 角 形 , 其 边 长 和 角 的 度 数 已 在 图 上 标 注 , 图( 2)中 AB、CD 交 于 0 点 ,对 于 各 图 中 的 两 个 三 角 形 而 言 ,下 列 说 法 正 确 的 是 (     ) A.都相似 B.都不相似 C.只有(1)相似 D.只有(2)相似 3.(2016•盐城)如图,点 F 在平行四边形 ABCD 的边 AB 上,射线 CF 交 DA 的延长线于 点 E,在不添加辅助线的情况下,与△AEF 相似的三角形有(  ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 4.如图,分别以下列选项作为一个已知条件,其中不一定能得到△AOB∽△COD 的是(  ) A. ∠BAC=∠BDC B. ∠ABD=∠ACD C D 5.如果一个三角形能够分成两个与原三角形都相似的三角形,我们把这样的三角形称为孪 生三角形,那么孪生三角形是(  )   A. 不存在 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 6.在△ABC 与△A′B′C′中,有下列条件:(1) ;(2) ;(3)∠A=∠A′;(4)∠C=∠C′.如果从中任取两个条件组成一组, 那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有多少组(  )   A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 AO DO CO BO = AO OD OB CO =11 二、填空题 7.如图,D、E 分别是△ABC 的边 AB、AC 上的点,连接 DE,要使△ADE∽△ACB,还需添加 一个条件  (只需写一个). 8.如图,四边形 ABCD 和四边形 ACED 都是平行四边形,点 R 为 DE 的中点,BR 分别交 AC、CD 于点 P、Q.则图中相似三角形(相似比为 1 除外)有  . 9.如图,方格纸中每个小正方形的边长为 1,△ABC 和△DEF 的顶点都在格点上(小正方形 的顶点).P1,P2,P3,P4,P5 是△DEF 边上的 5 个格点,请在这 5 个格点中选取 2 个作为三 角形的顶点,使它和点 D 构成的三角形与△ABC 相似,写出所有符合条件的三角 形   . 10.如图,∠1=∠2=∠3,有几对三角形相似,请写出其中的两 对   . 11.如图,在 3×4 的方格上,每个方格的边长为 1 个单位,△ABC 的顶点都在方格的格点 位置.若点 D 在格点位置上(与点 A 不重合),且使△DBC 与△ABC 相似,则符合条件的点 D 共有  个.12 12.(2015•六合区一模)如图,在 Rt△ABC 中,AC=8,BC=6,直线 l 经过 C,且 l∥AB,P 为 l 上一个动点,若△ABC 与△PAC 相似,则 PC=  . 三、解答题 13. 如图,在矩形 ABCD 中,AB=12cm,BC=8cm.点 E、F、G 分别从点 A、B、C 三点同时出发, 沿矩形的边按逆时针方向移动.点 E、G 的速度均为 2cm/s,点 F 的速度为 4cm/s,当点 F 追 上点 G(即点 F 与点 G 重合)时,三个点随之停止移动.设移动开始后第 t 秒时,△EFG 的 面积为 S(cm2) (1)当 t=1 秒时,S 的值是多少? (2)写出 S 和 t 之间的函数解析式,并指出自变量 t 的取值范围; (3)若点 F 在矩形的边 BC 上移动,当 t 为何值时,以点 E、B、F 为顶点的三角形与以点 F、C、G 为顶点的三角形相似?请说明理由. 14. (2016 春•昌平区期末)如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,M 是 BC 的中点,过点 A 作 AM 的垂线,交 CB 的延长线于点 D.求证:△DBA∽△DAC. 15.如图,在△ABC 和△ADE 中, = = ,点 B、D、E 在一条直线上,求证: △ABD∽△ACE. 【答案与解析】13 一、选择题 1.【答案】B. 【解析】∵△ABC∽△DEF,且 AB:DE=1:3, ∴S△ABC:S△DEF=1:9.故选 B. 2.【答案】A; 【解析】如 图 ( 1) ∵ ∠ A=35° , ∠ B=75° , ∴ ∠ C=180° -∠ A-∠ B=70° , ∵ ∠ E=75° , ∠ F=70° , ∴ ∠ B=∠ E, ∠ C=∠ F, ∴ △ ABC∽ △ DEF; 如 图 ( 2) ∵ OA=4, OD=3, OC=8, OB=6, ∴ , ∵ ∠ AOC=∠ DOB, ∴ △ AOC∽ △ DOB. 故 选 A. 3.【答案】C. 【解析】∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AD∥BC,AB∥DC, ∴△AEF∽△CBF,△AEF∽△DEC, ∴与△AEF 相似的三角形有 2 个. 故选:C. 4.【答案】C; 【解析】A、若∠BAC=∠BDC,结合∠AOB=∠COD,可得△AOB∽△COD,故本选项错误; B、若∠ABD=∠ACD,结合∠AOB=∠COD,可得△AOB∽△COD,故本选项错误; C、若 = ,因为只知道∠AOB=∠COD,不符合两边及其夹角的判定,不一定能 得到△AOB∽△COD,故本选项正确. D、若 = ,结合∠AOB=∠COD,根据两边及其夹角的方法可得△AOB∽△COD, 故本选项错误; 故选 C. 5.【答案】C; 【解析】∵△ABD∽△CBD, ∴∠ADB=∠BDC OA OC OD OB =14 又∵∠ADB+∠BDC=180°, ∴∠ADB=∠BDC= ×180°=90°, ∵△ADB∽△ABC,ABC△∽△BDC, ∴∠ABC=∠ADB=∠BDC=90°, ∴△ABC 为直角三角形. 故选:C. 6.【答案】C; 【解析】能判断△ABC∽△A′B′C′的有:(1)(2),(2)(4),(3)(4), ∴能判断△ABC∽△A′B′C′的共有 3 组. 故选 C. 二、填空题 7.【答案】如∠ADE=∠C 或∠AED=∠B 或 AD:AC=AE:AB 或 AD•AB=AE•AC 等; 【解析】∵∠A 是公共角, ∴当∠ADE=∠C 或∠AED=∠B 时,△ADE∽△ACB(有两角对应相等的三角形相 似), 当 AD:AC=AE:AB 或 AD•AB=AE•AC 时,△ADE∽△ACB(两组对应边的比相等且夹 角对应相等的两个三角形相似), ∴要使△ADE∽△ACB,还需添加一个条件:答案不唯一,如∠ADE=∠C 或∠AED=∠ B 或 AD:AC=AE:AB 或 AD•AB=AE•AC 等. 故答案为:此题答案不唯一,如∠ADE=∠C 或∠AED=∠B 或 AD:AC=AE:AB 或 AD•AB=AE•AC 等. 8.【答案】△PCQ∽△RDQ∽△PAB; 【解析】∵CP∥ER, ∴△BCP∽△BER; ∵CP∥DR, ∴△PCQ∽△RDQ; ∵CQ∥AB, ∴△PCQ∽△PAB; ∴△PCQ∽△RDQ∽△PAB. 9.【答案】△DP2P5、△DP2P4、△DP4P5; 【解析】设网格的边长为 1. 则 AC= ,AB= ,BC= . 连接 DP2P5, DP5= ,DP2= ,P2P5= . ∵ = = , ∴△ACB∽△DP5P2. 同理可找到△DP2P4,DP4P5 和△ACB 相似. 故答案为:△DP2P5,DP2P4,DP4P5. 10.【答案】△CDE∽△CAB;△EDA∽△AEB; 【解析】∵∠2=∠3,∠C=∠C, ∴△CDE∽△CAB,15 ∵∠2=∠3, ∴∠DEA=∠EAB, ∵∠1=∠3, ∴△EDA∽△AEB, 故答案为:△CDE∽△CAB;△EDA∽△AEB. 11.【答案】4; 【解析】∵方格中小正方形的边长为 1, ∴AB=1、BC= 、AC= , ∵△DBC 与△ABC 相似, ∴BC= 、CD=2、BD= , 如图可知这样的点 D 如图: 故答案为:4. 12.【答案】4.8 或 . 【解析】∵在 Rt△ABC 中,AC=8,BC=6,∴AB= =10, 当△ABC∽△PCA 时,则 AB:PC=BC:AC, 即 10:PC=6:8,解得:PC= , 当△ABC∽△ACP 时,则 AB:AC=BC:PC, 即 10:8=6:PC,解得:PC=4.8. 综上可知若△ABC 与△PAC 相似,则 PC=4.8 或 . 三、解答题 13.【解析】 解:(1)如图 1,当 t=1 秒时,AE=2,EB=10,BF=4,FC=4,CG=2 由 S=S 梯形 GCBE﹣S△EBF﹣S△FCG = × ﹣ = ×(10+2)×8﹣ ×10×4﹣ =24. (2)①如图 1,当 0≤t≤2 时,点 E、F、G 分别在边 AB、 BC、CD 上移动, 此时 AE=2t,EB=12﹣2t,BF=4t,FC=8﹣4t,CG=2t S=S 梯形 GCBE﹣S△EBF﹣S△FCG16 = ×(EB+CG)•BC﹣ EB•BF﹣ FC•CG = ×8×(12﹣2t+2t)﹣ ×4t(12﹣2t)﹣ ×2t(8﹣4t) =8t2﹣32t+48. ②如图 2,当点 F 追上点 G 时,4t=2t+8,解得 t=4 当 2<t<4 时,点 E 在边 AB 上移动,点 F、G 都在边 CD 上移动,此时 CF=4t﹣8,CG=2t FG=CG﹣CF=2t﹣(4t﹣8)=8﹣2t S= FG•BC= (8﹣2t)•8=﹣8t+32. 即 S=﹣8t+32 (3)如图 1,当点 F 在矩形的边 BC 上的边移动时,0≤t≤2 在△EBF 和△FCG 中,∠B=∠C=90° 1 若 = ,即 = , 解得 t= . 又 t= 满足 0≤t≤2,所以当 t= 时,△EBF∽△FCG 2 若 = 即 = ,解得 t= . 又 t= 满足 0≤t≤2,所以当 t= 时,△EBF∽△GCF 综上所述,当 t= 或 t= 时,以点 E、B、F 为顶点的三角形与以 F、C、G 为顶点的三角 形相似. 14.【解析】 证明:∵∠BAC=90°,点 M 是 BC 的中点, ∴AM=CM, ∴∠C=∠CAM, ∵DA⊥AM, ∴∠DAM=90°, ∴∠DAB=∠CAM, ∴∠DAB=∠C, ∵∠D=∠D, ∴△DBA∽△DAC. 15.【解析】 证明:∵在△ABC 和△ADE 中, = = , ∴△ABC∽△ADE, ∴∠BAC=∠DAE, ∴∠BAD=∠CAE,17 ∵ , ∴ , ∴△ABD∽△ACE.

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