导学案——相似三角形的性质及应用

1 导学案——相似三角形的性质及应用 【学习目标】 1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算； 2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实 际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）. 【要点梳理】 要点一、相似三角形的应用 1.测量高度 测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的 原理解决. 要点诠释：测量旗杆的高度的几种方法： 平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法 2.测量距离 测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。 　1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段 DC、BD、CE 的距离（长度），根据相似三角 形的性质，求出 AB 的长. 2．如乙图所示，可先测 AC、DC 及 DE 的长，再根据相似三角形的性质计算 AB 的长. 　　 要点诠释：　 1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离; 　　2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物 体影子之比等于其对应高的比; 　　3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）; 4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角． 要点二、相似三角形的性质 1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 3. 相似三角形周长的比等于相似比. ∽ ，则2 由比例性质可得： 4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方. ∽ ，则 分别作出 与 的高 和 ，则 要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 【典型例题】 类型一、相似三角形的应用 1. 在斜坡的顶部有一铁塔 AB，B 是 CD 的中点，CD 是水平的，在阳光的照射下，塔影 DE 留在坡面上。已知铁塔底座宽 CD=12m，塔影长 DE=18m，小明和小华的身高都是 1.6m，同 一时刻，小明站在点 E 处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长 分别为 2m 和 1m，那么塔高 AB 为（ ）. A.24m B.22m C.20m D.18m 【答案】 A. 2 1 1 2 2 =1 1 2 2 ABC A B C BC AD k B C k A DS kS B C A D B C A D′ ′ ′ ′ ′ ′ ′⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = =′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′⋅ ⋅ △ △3 【解析】过点 D 做 DN⊥CD 交光线 AE 于点 N，则 ,DN=14.4， 又∵AM:MN=1.6:1，∴AM=1.6MN=1.6BD=1.6×6=9.6(m). ∴塔高 AB=AM+DN=14.4+9.6=24(m)，所以选 A. 【总结升华】解决本题的难点是把塔高的影长分为在平地和斜坡上两部分；关键是利用平 地和斜坡上的物高与影长的比得到相应的部分塔高的长度． 举一反三： 【变式】已知：如图，阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下 1.5m 宽的亮区 DE.亮区 一边到窗下的墙脚距离 CE=1.2m，窗口高 AB=1.8m，求窗口底边离地面的高度 BC. 　　　　　 　　 【答案】作 EF⊥DC 交 AD 于 F. ∵AD∥BE，∴ 又∵ ， 　　　 ∴ ， ∴ . 　　　 ∵AB∥EF， AD∥BE， 1.6 0.82 DN DE = =4 ∴四边形 ABEF 是平行四边形， ∴EF=AB=1.8m. 　　　 ∴ m. 2.（2015 春•江津区校级月考）如图，直立在 B 处的标杆 AB=2.4m，直立在 F 处的观 测者从 E 处看到标杆顶 A、树顶 C 在同一条直线上（点 F，B，D 也在同一条直线上）．已 知 BD=8m，FB=2.5m，人高 EF=1.5m，求树高 CD． 【答案与解析】解：过 E 作 EH⊥CD 交 CD 于 H 点，交 AB 于点 G，如下图所示： 由已知得，EF⊥FD，AB⊥FD，CD⊥FD， ∵EH⊥CD，EH⊥AB， ∴四边形 EFDH 为矩形， ∴EF=GB=DH=1.5 米，EG=FB=2.5 米，GH=BD=8 米， ∴AG=AB﹣GB=2.4﹣1.5=0.9 米， ∵EH⊥CD，EH⊥AB， ∴AG∥CH， ∴△AEG∽△CEH， ∴ = ， ∴ = ， 解得：CH=3.78 米， ∴DC=CH+DH=3.78+1.5=5.28 米． 答：故树高 DC 为 5.2 米． 【总结升华】本题考查了相似三角形在实际问题中的运用，关键是正确作出辅助线，构造出 相似三角形． 类型二、相似三角形的性质 3.（2016•本溪）如图，△ABC 中，AC=6，AB=4，点 D 与点 A 在直线 BC 的同侧， 且∠ACD=∠ABC，CD=2，点 E 是线段 BC 延长线上的动点，当△DCE 和△ABC 相似时， 线段 CE 的长为　 　．5 【思路点拨】根据题目中的条件和三角形的相似，可以求得 CE 的长，本题得以解决． 【答案】3 或 ． 【解析】 解：∵△DCE∽△ABC，∠ACD=∠ABC，AC=6，AB=4，CD=2， ∴∠A=∠DCE， ∴ 或 即 或 解得，CE=3 或 CE= 故答案为：3 或 ． 【总结升华】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的 条件，利用三角形的相似解答． 举一反三 【变式】在锐角△ABC 中，AD,CE 分别为 BC,AB 边上的高，△ABC 和△BDE 的面积分别等于 18 和 2，DE=2,求 AC 边上的高. 【答案】过点 B 做 BF⊥AC,垂足为点 F， ∵AD,CE 分别为 BC,AB 边上的高， ∴∠ADB=∠CEB=90°， 又∵∠B=∠B， ∴Rt△ADB∽Rt△CEB, ∴ , 且∠B=∠B， ∴△EBD∽△CBA, ,BD AB BD BE BE CB AB CB = =即6 ∴ , ∴ , 又∵DE=2， ∴AC=6， ∴ 4.（2015•齐齐哈尔）如图，正方形 ABCB1 中，AB=1．AB 与直线 l 的夹角为 30°，延 长 CB1 交直线 l 于点 A1，作正方形 A1B1C1B2，延长 C1B2 交直线 l 于点 A2，作正方形 A2B2C2B3，延长 C2B3 交直线 l 于点 A3，作正方形 A3B3C3B4，…，依此规律，则 A2014A2015=　 　． 【思路点拨】本题考查相似三角形的判定与性质以及正方形的性质，根据已知条件得到 A1B1= ，AA1=2，同理：A2A3=2（ ）2，A3A4=2（ ）3，从而找出规律答案即可求 出． 【答案与解析】2（ ）2014 解：∵四边形 ABCB1 是正方形， ∴AB=AB1，AB∥CB1， ∴AB∥A1C， ∴∠CA1A=30°， ∴A1B1= ，AA1=2， ∴A1B2=A1B1= ， ∴A1A2=2 ， 同理：A2A3=2（ ）2， A3A4=2（ ）3， … ∴AnAn+1=2（ ）n， 2 2 1 18 9 BED BCA DE AC S S  = = =   △ △ 1 3 DE AC = 1 18 62ABC AC BFS = ⋅ = ∴△ ， BF= .7 ∴A2014A2015=2（ ）2014， 故答案为：2（ ）2014． 【总结升华】本题是相似性质的运用与找规律相结合的一道题，要注意从特殊到一般形式的 变换规律. 举一反三： 【变式】如图，已知 中， ， ， ， ，点 在 上， (与点 不重合)， 点在 上. (1)当 的面积与四边形 的面积相等时，求 的长. 　　(2)当 的周长与四边形 的周长相等时，求 的长. 【答案】 (1)∵ ， . 　　　　　 , ∽ . 　　　　　 . . . 　　　 　 (2)∵ 的周长与四边形 的周长相等. 　　　　　 , =6. 　　　　　 , ∽ . 　　　　　 . , ,8 . 　　　　 9 【巩固练习】 一、选择题 1．如果一个直角三角形的两条边长分别是 6 和 8，另一个与它相似的直角三角形边长分别 是 3 和 4 及 x，那么 x 的值（ ）. A．只有 1 个　 B．可以有 2 个 　　C．有 2 个以上，但有限　　　 D．有无数个 2. （2015•哈尔滨）如图，四边形 ABCD 是平行四边形，点 E 在 BA 的延长线上，点 F 在 BC 的延长线上，连接 EF，分别交 AD，CD 于点 G，H，则下列结论错误的是（　　） 　 A． = B． = C． = D． = 3. （2016•兰州）已知△ABC∽△DEF，若△ABC 与△DEF 的相似比为 ，则△ABC 与△ DEF 对应中线的比为（　　） A． B． C． D． 4．如图 G 是△ABC 的重心，直线 过 A 点与 BC 平行.若直线 CG 分别与 AB、 交于 D、E 两点，直线 BG 与 AC 交于 F 点，则△AED 的面积 ：四边形 ADGF 的面积=( ). 　　A．1：2 　　　B．2：1 　　　C．2：3 　　　D．3：2 　　　　　　　　　　　　　　　　 5. 如图，将△ABC 的高 AD 四等分，过每一个分点作底边的平行线，把三角形的面积分成 四部分 S1、S2、S3、S4，则 S1︰S2︰S3︰S4 等于（　　）. A.1︰2︰3︰4　 B.2︰3︰4︰5 　 C.1︰3︰5︰7 　 D.3︰5︰7︰910 　　 6．如图，在□ABCD 中，E 为 CD 上一点，DE：CE=2：3，连结 AE、BE、BD，且 AE、BD 交 于点 F，则 　　S△DEF：S△EBF：S△ABF 等于( ). A.4：10：25　　　 B.4：9：25　 　　C.2：3：5　 　　D.2：5：25 　　 　　 二、填空题 7.（2015•自贡）将一副三角板按图叠放，则△AOB 与△DOC 的面积之比等于　　． 8. 如 图 ， △ ABC 中 ， 点 D 在 边 AB 上 ， 满 足 ∠ ADC= ∠ ACB, 若 AC=2 ， AD=1 ， 则 DB=_________. 9.如图，在△PAB 中，M、N 是 AB 上两点，且△PMN 是等边三角形，△BPM∽△PAN，则∠APB 的度数是 _______________.11 10. （2016•衡阳）若△ABC 与△DEF 相似且面积之比为 25：16，则△ABC 与△DEF 的周 长之比为　 　． 11. 如图，丁轩同学在晚上由路灯 AC 走向路灯 BD，当他走到点 P 时，发现身后他影子的顶 部刚好接触到路灯 AC 的底部，当他向前再步行 20m 到达 Q 点时，发现身前他影子的顶部刚 好接触到路灯 BD 的底部，已知丁轩同学的身高是 1.5m，两个路灯的高度都是 9m，则两路灯 之间的距离是_________________. 12.如图，锐角△ABC 中，AD,CE 分别为 BC,AB 边上的高，△ABC 和△BDE 的面积分别等于 18 和 2，DE=2， 则 AC 边上的高为______________. 三、解答题 13. 为了测量图（1）和图（2）中的树高，在同一时刻某人进行了如下操作： 图（1）：测得竹竿 CD 的长为 0.8 米，其影 CE 长 1 米，树影 AE 长 2.4 米． 图（2）：测得落在地面的树影长 2.8 米，落在墙上的树影高 1.2 米，请问图（1）和 图（2）中的树高各是多少？ 14.（1）阅读下列材料，补全证明过程： 　　已知：如图，矩形 ABCD 中，AC、BD 相交于点 O，OE⊥BC 于 E，连结 DE 交 OC 于点 F， 作 FG⊥BC 于 G．求证：点 G 是线段 BC 的一个三等分点．12 　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　证明：在矩形 ABCD 中，OE⊥BC，DC⊥BC， 　　　　　∴　OE∥DC．∵　 ＝ ，∴　 ＝ ＝ ．∴　 ＝ ． 　　　　　…… （2）请你仿照（1）的画法，在原图上画出 BC 的一个四等分点（要求保留画图痕迹，可不 写画法及证明过程）．　 15. （2015•滕州市校级四模）某车库出口处设置有“两段式栏杆”，点 A 是栏杆转动的支点， 点 E 是栏杆两段的连接点，当车辆经过时，栏杆 AEF 升起后的位置如图 1 所示（图 2 为其 几何图形）．其中 AB⊥BC，DC⊥BC，EF∥BC，∠EAB=150°，AB=AE=1.2m，BC=2.4m． （1）求图 2 中点 E 到地面的高度（即 EH 的长． ≈1.73，结果精确到 0.01m，栏杆宽度忽 略不计）； （2）若一辆厢式货车的宽度和高度均为 2m，这辆车能否驶入该车库？请说明理由． 【答案与解析】 一．选择题 1.【答案】B. 【解析】x 可能是斜边，也可能是直角边. 2.【答案】C. 【解析】∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BF，BE∥DC，AD=BC， ∴ ， ， ， 故选 C． 3.【答案】A.13 【解析】∵△ABC∽△DEF，△ABC 与△DEF 的相似比为 ，∴△ABC 与△DEF 对应中 线的比为 . 4.【答案】D. 5.【答案】C. 【解析】本题要求运用相似三角形的面积比等于相似比的平方。由 ， 所以 ，又由 ，可得 ，下略． 6.【答案】 A. 【解析】 □ABCD 中，AB∥DC，△DEF∽△ABF， 　　　　　　　 　　　　　　　(△DEF 与△EBF 等高，面积比等于对应底边的比)，所以答案选 A. 二、填空题 7.【答案】1：3. 【解析】∵∠ABC=90°，∠DCB=90° ∴AB∥CD，∴∠OCD=∠A，∠D=∠ABO， ∴△AOB∽△COD；又∵AB：CD=BC：CD= 1： ∴△AOB 与△DOC 的面积之比等于 1：3． 8.【答案】3. 【 解 析 】 ∵ ∠ ADC= ∠ ACB ， ∠ DAC= ∠ BAC, ∴ △ ACD ∽ △ ABC, ∴ AB= ∴BD=AB-AD=4-1=3. 9. 【答案】120°. 【解析】∵ △BPM∽△PAN，∴ ∠BPM＝∠A， ∵ △PMN 是等边三角形，∴ ∠A+∠APN＝60°，即∠APN+∠BPM＝60°， ∴ ∠APB＝∠BPM+∠MPN+∠APN＝60°+60°=120°． 10.【答案】5：4． 【解析】∵△ABC 与△DEF 相似且面积之比为 25：16， ∴△ABC 与△DEF 的相似比为 5：4； ∴△ABC 与△DEF 的周长之比为 5：4． 11.【答案】30m. 12.【答案】 6. 【解析】∵AD,CE 分别为 BC,AB 边上的高, ,AC AD AB AC = 2 22 41 AC AD = = ，14 ∴∠ADB=∠BEC=90°，∠ABD=∠EBC ∴Rt△ABD∽Rt△CBE. ∴ ， ∴△ABC∽△DBE. ∵相似三角形面积比为相似比的平方， ∴ = 9, ∴ =3 , ∴AC=3DE=3×2=6. ∴h=2S△ABC/AC=2×18/6=6 即 AC 边上的高是 6 . 三、解答题 13.【解析】（1）∵△CDE∽△ABE，∴ ， 又竹竿 CD 的长为 0.8 米，其影 CE 长 1 米，树影 AE 长 2.4 米， ∴ AB=1.92 米．即图 1 的树高为 1.92 米． （2）设墙上的影高落在地面上时的长度为 x，树高为 h， ∵竹竿 CD 的长为 0.8 米，其影 CE 长 1 米， ∴ . 解得 x=1.5（m）， ∴树的影长为：1.5+2.8=4.3（m）， ∴ 解得 h=3.44（m）． 14.【解析】（1）补全证明过程: 　　　　　　∵　FG⊥BC，DC⊥BC， 　　　　　　∴　FG∥DC． 　　　　　　∴　 ＝ ＝ ． 　　　　　　∵　AB＝DC， 　　　　　　∴　 ＝ ． 　　　　　 又　FG∥AB， 　　　　　 ∴　 ＝ ＝ ． 　　　　　　∴　点 G 是 BC 的一个三等分点． AB BD BC BE = 2 18 2 AC DE   =   AC DE CE CD AE AB = 1 =0.8 1.2 x 1 4.3=0.8 h15 　　　　　（2）如图，连结 DG 交 AC 于点 H，作 HI⊥BC 于 I，则点 I 是线段 BC 的一个四 等分点. 15.【解析】解：（1）如图，作 AM⊥EH 于点 M，交 CD 于点 N， 则四边形 ABHM 和 MHCN 都是矩形， ∵∠EAB=150°，∴∠EAM=60°， 又∵AB=AE=1.2 米， ∴EM=0.6 ≈0.6×1.73=1.038≈1.04（米）， ∴EH≈2.24（米）； （2）如图，在 AE 上取一点 P，过点 P 分别作 BC，CD 的垂线，垂足分别是 Q，R，PR 交 EH 于点 K，不妨设 PQ=2 米， 下面计算 PR 是否小于 2 米； 由上述条件可得 EK=EH﹣PQ=0.24 米，AM=0.6 米， ∵PK∥AM，∴△EPK∽△EAM， ∴ = ，即 = ， ∴PK=0.08 （米）， ∴PR=PK+MN=PK+BC﹣AM=0.08 +2.4﹣0.6 =1.8+0.08 ≈1.94（米）， ∵PR＜2 米，∴这辆车不能驶入该车库．