导学案——图形的位似

1 导学案——图形的位似 【学习目标】 1、了解位似多边形的概念，知道位似变换是特殊的相似变换，能利用位似的方法，将 一个图形放大或缩小； 2、能在同一坐标系中，感受图形放缩前后点的坐标的变化. 【要点梳理】 要点一、位似多边形 1.位似多边形定义: 如果两个相似多边形任意一组对应顶点所在的直线都经过同一个点 O，且每组对应点 与点 O点的距离之比都等于一个定值 k，例如，如下图，OA′=k·OA（k≠0），那么这样的 两个多边形叫做位似多边形，点 O 叫做位似中心. 要点诠释： 位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成 位似图形. 2.位似图形的性质: （1）位似图形的对应点相交于同一点，此点就是位似中心； 　（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比； 　（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行. 3. 平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同： 图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状 没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似 的． 4. 作位似图形的步骤 　　第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心； 　　第二步：作位似中心与各关键点连线； 　　第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例； 　　第四步：顺次连接各对应点. 要点诠释： 位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中 心不同的画法.2 要点二、坐标系中的位似图形 在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数 k(k≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|. 要点诠释：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k， 那么位似图形对应点的坐标等于原来点的坐标乘以（或除以）k 或-k. 【典型例题】 类型一、位似多边形 1. 下列每组的两个图形不是位似图形的是（　　）. A. B. C. D. 【思路点拨】根 据 位 似 图 形 的 概 念 对 各 选 项 逐 一 判 断 ， 即 可 得 出 答 案 ． 【答案】D 【解析】解：对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形． 据此可得 A、B、C 三个图形中的两个图形都是位似图形； 而 D 的对应顶点的连线不能相交于一点，故不是位似图形． 故选 D． 【总结升华】位似与相似既有联系又有区别，相似仅要求两个图形形状完全相同；而位似是 在相似的基础上要求对应点的连线相交于一点． 举一反三 【变式】在小孔成像问题中， 根据如图 4 所示，若 O 到 AB 的距离是 18cm，O 到 CD 的距离是 6cm，则像 CD 的长是物 AB 长的 （ ）.3 A. 3 倍 B. C. D.不知 AB 的长度，无法判断 【答案】C 2. 利用位似图形的方法把五边形 ABCDE 放大 1.5 倍. 【答案与解析】即是要画一个五边形 A′B′C′D′E′，要与五边形 ABCDE 相似且相似比 为 1.5. 画法是： 1．在平面上任取一点 O. 2．以 O 为端点作射线 OA、OB、OC、OD、OE. 3．在射线 OA、OB、OC、OD、OE 上分别取点 A′、B′、C′、D′、E′，使 OA′:OA＝ OB ′:OB＝OC′:OC＝OD′:OD＝OE′:OE＝1.5. 4．连结 A′B′、B′C′、C′D′、D′E′、E′A′. 这样： A′B′ AB ＝ B′C′ BC ＝ C′D′ CD ＝ D′E′ DE ＝ A′E′ AE ＝1.5. 则五边形 A′B′C′D′E′为所求.另外一种情况，所画五边形跟原五边形分别在位似中 心的两侧. 【总结升华】由本题可知，利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小. 举一反三 【变式】在已知三角形内求作内接正方形． 2 1 3 1 A1 B1 C1D1 E1 A B C D E4 【答案与解析】 作法： （1）在 AB 上任取一点 G′，作 G′D′⊥BC； （2）以 G′D′为边，在△ABC 内作一正方形 D′E′F′G′； （3）连接 BF′，延长交 AC 于 F； （4）作 FG∥CB，交 AB 于 G，从 F、G 分别作 BC 的垂线 FE， GD； ∴四边形 DEFG 即为所求． 类型二、坐标系中的位似图形 3.（2015•漳州）如图，在 10×10 的正方形网格中，点 A，B，C，D 均在格点上，以 点 A 为位似中心画四边形 AB′C′D′，使它与四边形 ABCD 位似，且相似比为 2． （1）在图中画出四边形 AB′C′D′； （2）填空：△AC′D′是　 　三角形． 【思路点拨】 （1）延长 AB 到 B′，使 AB′=2AB，得到 B 的对应点 B′，同样得到 C、D 的对应点 C′，D′， 再顺次连接即可； ED G F F' E'D' A B C G'5 （2）利用勾股定理求出 AC′2=42+82=80，AD′2=62+22=40，C′D′2=62+22=40，那么 AD′=C′D′，AD′2+C′D′2=AC′2，即可判定△AC′D′是等腰直角三角形． 【答案与解析】 解：（1）如图所示： （2）∵AC′2=42+82=16+64=80，AD′2=62+22=36+4=40，C′D′2=62+22=36+4=40， ∴AD′=C′D′，AD′2+C′D′2=AC′2， ∴△AC′D′是等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角． 【总结升华】本题考查了作图﹣位似变换．画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，② 分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似 图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．同时考查了勾股定理及其逆定 理等知识．熟练掌握网格结构以及位似变换的定义是解题的关键． 4. （2016 春•威海期末）如图△ABC 的顶点坐标分别为 A（1，1），B（2，3），C （3，0）． （1）以点 O 为位似中心画△DEF，使它与△ABC 位似，且相似比为 2． （2）在（1）的条件下，若 M（a，b）为△ABC 边上的任意一点，则△DEF 的边上与点 M 对应的点 M′的坐标为　 　． 【思路点拨】 （1）把点 A、B、C 的横、纵坐标都乘以 2 可得到对应点 D、E、F 的坐标，再描点可得△ DEF；把点 A、B、C 的横、纵坐标都乘以﹣2 可得到对应点 D′、E′、F′的坐标，然后描点可 得△D′E′F′； （2）利用以原点为位似中心的位似变换的对应点的坐标特征求解． 【答案与解析】 解：（1）如图，△DEF 和△D′E′F′为所作；6 （2）点 M 对应的点 M′的坐标为（2a，2b）或（﹣2a，﹣2b）． 故答案为（2a，2b）或（﹣2a，﹣2b）． 【总结升华】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相 交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．在 平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k，那么位似图形对应点 的坐标的比等于 k 或﹣k． 举一反三： 【变式】如图，将△AOB 中各顶点的纵坐标，横坐标分别乘-1，得到的图形与原图形相比 有什么变化？作出所得的图形，这个过程可以看作是一个什么图形变换？ 【答案】 解：图形的形状和大小都没有变化；可以看作是△AOB 绕 O点按逆时针方向旋转 180°得到 的.7 【巩固练习】 一. 选择题 1.下面给出了相似的一些命题： （1）菱形都相似；（2）等腰直角三角形都相似；（3）正方形都相似；（4）矩形都相 似；（5）正六边形都相似；其中正确的有（　　）. A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 2.下列说法错误的是（　　 ）. A.位似图形一定是相似图形. B.相似图形不一定是位似图形. C.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比. D.位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行. 3.下列说法正确的是（　　 ） . A.分别在 ABC 的边 AB、AC 的反向延长线上取点 D、E，使 DE∥BC，则 ADE 是 ABC 放大后的图形. B.两位似图形的面积之比等于相似比. C.位似多边形中对应对角线之比等于相似比. D.位似图形的周长之比等于相似比的平方. 4．（2016•东营）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（﹣3，6），B（﹣9，﹣3），以原 点 O 为位似中心，相似比为 ，把△ABO 缩小，则点 A 的对应点 A′的坐标是（　　） A．（﹣1，2） B．（﹣9，18） C．（﹣9，18）或（9，﹣18） D．（﹣1，2）或（1，﹣2） 5. 下列命题：①两个正方形是位似图形；②两个等边三角形是位似图形；③两个同心圆是 位似图形；④平行于三角形一边的直线截这个三角形的两边，所得的三角形与原三角形是位 似图形.其中正确的有( ). A.1 个 　　　B.2 个　　　 C.3 个 　　　D.4 个 6．如果点 C 为线段 AB 的黄金分割点，且 AC＞BC，则下列各式不正确的是（　　）. A. AB：AC=AC：BC B. AC= C.AB= D.BC≈0.618AB 7.已知矩形 ABCD 中，AB=1，在 BC 上取一点 E，沿 AE 将△ABE 向上折叠，使 B 点落在 AD 上的 F 点，若四边形 EFDC 与矩形 ABCD 相似，则 AD=（　　）. A. B. C. D.2 5 1 2 AB − 5 1 2 AC + 5 1 2 − 5 1 2 + 38 二. 填空题 8.如果两个位似图形的对应线段长分别为 3cm 和 5cm，且较小图形周长为 30cm，则较 大图形周长为__________. 9. （2016•三明）如图，在平面直角坐标系中，已知 A（1，0），D（3，0），△ABC 与△DEF 位似，原点 O 是位似中心．若 AB=1.5，则 DE=　 　． 10．如图，以点 O 为位似中心，将五边形 ABCDE 放大后得到五边形 ，已知 OA=10cm，OA′=20cm，则五边形 ABCDE 的周长与五边形 的周长的比值是 __________． 　 　　　　　 11. △ABC 中，D、E 分别在 AB、AC 上，DE∥BC，△ADE 是△ABC 缩小后的图形.若 DE 把△ABC 的面积分成相等的两部分，则 AD：AB=________. 12. 把一矩形纸片对折，如果对折后的矩形与原矩形相似，则原矩形纸片的长与宽之 比为____________________. 13.（2015•钦州）如图，以 O 为位似中心，将边长为 256 的正方形 OABC 依次作位似变 换，经第一次变化后得正方形 OA1B1C1，其边长 OA1 缩小为 OA 的 ，经第二次变化 后得正方形 OA2B2C2，其边长 OA2 缩小为 OA1 的 ，经第，三次变化后得正方形 OA3B3C3，其边长 OA3 缩小为 OA2 的 ，…，依次规律，经第 n 次变化后，所得正方形 OAnBnCn 的边长为正方形 OABC 边长的倒数，则 n=　 　． A B C D E′ ′ ′ ′ ′ A B C D E′ ′ ′ ′ ′9 14. 如图，△ABC 中，AB=AC=4，∠BAC=36°，∠ABC 的平分线与 AC 边的交点 D 为边 AC 的黄金分割点（AD＞DC），则 BC=______________. 三． 综合题 15.如图，D、E 分别 AB、AC 上的点. 　(1)如果 DE∥BC，那么△ADE 和 △ABC 是位似图形吗？为什么？ 　(2)如果△ADE 和 △ABC 是位似图形，那么 DE∥BC 吗？为什么？ 　　　　　　　　 　 16.如图，F 在 BD 上，BC、AD 相交于点 E，且 AB∥CD∥EF， （1）图中有哪几对位似三角形，选其中一对加以证明； （2）若 AB=2，CD=3，求 EF 的长． 17. 如图 1，矩形 ODEF 的一边落在矩形 ABCO 的一边上，并且矩形 ODEF∽矩形 ABCO，其 相似比为 1：4，矩形 ABCO 的边 AB=4，BC=4 ． （1）求矩形 ODEF 的面积； （2）将图 1 中的矩形 ODEF 绕点 O 逆时针旋转一周，连接 EC、EA，△ACE 的面积是否存 在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由． 310 【答案与解析】 一、选择题 1．【答案】B 【解析】（1）菱形的角不一定对应相等，故错误； （2）（3）（5）符合相似的定义，故正确； （4）对应边的比不一定相等．故错误． 故正确的是：（2）（3）（5）．故选 B． 2．【答案】D. 3．【答案】C. 4.【答案】D. 【解析】∵A（﹣3，6），B（﹣9，﹣3），以原点 O 为位似中心，相似比为 ，把△ABO 缩 小，∴点 A 的对应点 A′的坐标为（﹣3× ，6× ）或[﹣3×（﹣ ），6×（﹣ ）]，即 A′点的坐标为（﹣1，2）或（1，﹣2）． 5．【答案】B 【解析】由位似图形的概念可知③和④对，故选 B. 6．【答案】D. 【解析】∵AC＞BC， ∴AC 是较长的线段， 根据黄金分割的定义可知：AB：AC=AC：BC，AC= , AB= AC≈0.618AB．故选 D． 7.【答案】B. 【解析】∵AB=1， 设 AD=x，则 FD=x-1，FE=1， ∵四边形 EFDC 与矩形 ABCD 相似， ∴ ， ， 解得 , ,（负值舍去）， 5 1 2 AB − 5 1 2 AC + EF AD FD AB = 1 1 1 x x =− 1 1+ 5= 2x 2 1- 5= 2x11 经检验 是原方程的解．故选 B． 二、填空题 8.【答案】50cm. 9.【答案】4.5． 【解析】∵△ABC 与 DEF 是位似图形，它们的位似中心恰好为原点，已知 A 点坐标为（1， 0），D 点坐标为（3，0）， ∴AO=2，DO=5， ∴ = = ， ∵AB=1.5， ∴DE=4.5． 故答案为：4.5． 10.【答案】1：2． 　 【解析】∵五边形 ABCDE 与五边形 A′B′C′D′E′位似，OA=10cm，OA′=20cm， 　　　　∴五边形 ABCDE∽五边形 A′B′C′D′E′，且相似比为：OA：OA′=10：20=1：2， 　　　　∴五边形 ABCDE 的周长与五边形 A′B′C′D′E′的周长的比为：OA：OA′=1： 2． 　　　　 故答案为：1：2． 11.【答案】 . 【解析】由 BC∥DE 可得△ADE∽△ABC，所以 ，故 . 12.【答案】 . 【解析】矩形 ABCD 对折后所得矩形与原矩形相似，则矩形 ABCD∽矩形 BFEA，设矩形的 长为 a，宽为 b．则 AB=CD=b，AD=BC=a，BF=AE= ，根据矩形相似，对应边的 比相等得到： 即： ，则 b2= ∴ ∴ 13. 【答案】16. 【解析】由图形的变化规律可得 1 1+ 5= 2x 2:1 2 a ,BF EF AB BC = 2 = a b b a 2 2 a 2 2 =2,a b 2= 1 a b12 ×256= ， 解得 n=16． 14. 【答案】 . 【解析】∵AB=AC，∠A=36°， ∴∠ABC=∠C=72°， 又 BD 平分∠ABC， ∴∠ABD=∠CBD=36°， ∴∠BDC=72°， ∴BC=BD=AD， ∵D 点是 AC 的黄金分割点， ∴BC=AD=4× = . 三．解答题 15.【答案与解析】 (1)△ADE 和 △ABC 是位似图形.理由是： 　 DE∥BC，所以∠ADE=∠B， ∠AED=∠C.所以△ADE∽△ABC，所以 . 又因为 点 A 是△ADE 和 △ABC 的公共点，点 D 和点 B 是对应点，点 E 和点 C 是对应点，直线 BD 与 CE 交于点 A，所以△ADE 和 △ABC 是位似图形. 　 (2)DE∥BC.理由是： 　 因为△ADE 和△ABC 是位似图形， 　 所以△ADE∽△ABC 　 所以∠ADE=∠B 　 所以 DE∥BC. 16.【答案与解析】 解：（1）△DFE 与△DBA，△BFE 与△BDC，△AEB 与△DEC 都是位似图形， 理由：∵AB∥CD∥EF， ∴△DFE∽△DBA，△BFE∽△BDC，△AEB∽△DEC，且对应边都交于一点， ∴△DFE 与△DBA，△BFE 与△BDC，△AEB 与△DEC 都是位似图形； （2）∵△BFE∽△BDC，△AEB∽△DEC，AB=2，CD=3， ∴ = = ， ∴ = = ， 解得：EF= ． 17.【答案与解析】 （1）∵矩形 ODEF∽矩形 ABCO，其相似比为 1：4， 2 5-2 5-1 2 2 5-213 ∴S 矩形 ODEF= S 矩形 ABCO= ×4×4 = ； （2）存在． ∵OE= 所以点 E 的轨迹为以点 O 为圆心，以 2 为半径的圆， 设点 O 到 AC 的距离为 h， AC= ∴8h=4×4 ， 解得 h=2 ， ∴当点 E 到 AC 的距离为 2 +2 时，△ACE 的面积有最大值， 当点 E 到 AC 的距离为 2 -2 时，△ACE 的面积有最小值， S 最大= S 最小= 1 16 1 16 3 3 22 2 23 1 2OF OD+ = + = ( )22 2 24 4 3 8AB BC+ = + = 3 3 3 3 ( )1 8 2 3 2 8 3 82 × + = + ( )1 8 2 3 2 8 3 82 × − = − ; .