《图形的相似》全章复习与巩固

1 《图形的相似》全章复习与巩固 【学习目标】 1、了解比例的基本性质，线段的比、成比例线段； 2、通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，理解相似多边形对应角相等、 对应边成比例、周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方； 3、探索并掌握相似三角形的判定方法，并能利用这些性质和判定方法解决生活中的一些 实际问题； 4、了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小，在同一直角坐标系中，感受 位似变换后点的坐标变化； 5、结合相似图形性质和判定方法的探索和证明，进一步培养推理能力，发展逻辑思维能 力和推理论证的表达能力，以及综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、相似图形及比例线段 1．相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures). 要点诠释： 　 (1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两 个图形全等； 2.相似多边形 如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形． 要点诠释： （1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．2 （2）相似多边形对应边的比称为相似比. 3. 比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等， 如 a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 要点诠释： （1）若 a:b=c:d ，则 ad=bc；（d 也叫第四比例项） （2）若 a:b=b:c ，则 =ac（b 称为 a、c 的比例中项）． 4.平行线分线段成比例： 基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例. 要点二、相似三角形 1. 相似三角形的判定: 判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形 相似. 判定方法（二）：两角分别相等的两个三角形相似.　 要点诠释： 　　要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直 角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 判定方法（三）：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 要点诠释： 　　此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角 必须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 判定方法（四）：三边成比例的两个三角形相似. 2.相似三角形的性质： （1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等； （2）相似三角形中的重要线段的比等于相似比； 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. (3) 相似三角形周长的比等于相似比； （4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。 3.相似多边形的性质： （1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似多边形的周长比等于相似比． （3）相似多边形的面积比等于相似比的平方． 要点三、位似 1.位似图形定义: 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一 点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 2.位似图形的性质: （1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上； （2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比； （3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行. 要点诠释： (1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能 构成位似图形. （2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点 为位似中心，相似比为 k，那么位似图形对应点的坐标的比等于 k 或-k. 2b3 【典型例题】 类型一、相似图形及比例线段 1. （2016•崇明县一模）如图，已知 AD∥BE∥CF，它们依次交直线 l1、l2 于点 A、B、C 和点 D、E、F， ，AC=14； （1）求 AB、BC 的长； （2）如果 AD=7，CF=14，求 BE 的长． 【思路点拨】（1）由平行线分线段成比例定理和比例的性质得出 ，即可求出 AB 的长，得出 BC 的长； （2）过点 A 作 AG∥DF 交 BE 于点 H，交 CF 于点 G，得出 AD=HE=GF=7，由平行线 分线段成比例定理得出比例式求出 BH，即可得出结果． 【答案与解析】 解：（1）∵AD∥BE∥CF， ∴ ， ∴ ， ∵AC=14，∴AB=4， ∴BC=14﹣4=10； （2）过点 A 作 AG∥DF 交 BE 于点 H，交 CF 于点 G，如图所示： 又∵AD∥BE∥CF，AD=7， ∴AD=HE=GF=7， ∵CF=14， ∴CG=14﹣7=7， ∵BE∥CF， ∴ ， ∴BH=2， ∴BE=2+7=9． 举一反三 【变式】如图，已知直线 a∥b∥c，直线 m、n 与 a、b、c 分别交于点 A、C、E、B、D、 F，AC＝4，CE＝6，BD＝3，则 BF ＝（ ）4 　　　　　　　　　 　　A．7 　　　B．7.5 　　　C．8 　　　D．8.5 【答案】B. 类型二、相似三角形 2. 如图所示，在 4×4 的正方形方格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在边长为 1 的小正 方形的顶点上． 　　　　　　 (1)∠ABC=________，BC=________； (2)判断△ABC 与△DEF 是否相似，并说明理由. 【答案与解析】 (1)135°， 　　　 (2)△ABC 和△DEF 相似(或△ABC∽△DEF). 　　　　 因为 ， ，所以 . 　　　　 又因为∠ABC=∠DEF=90°+45°=135°，所以△ABC∽△DEF. 【总结升华】根据正方形的性质和格点三角形的特点，从边角方面去探究两三角形有关 角的度数和边的长度，利用两边对应成比例且夹角相等证明两三角形相似． 举一反三： 【变式】下列 4×4 的正方形网格中，小正方形的边长均为 1，三角形的顶点都在格点 上，则与△ABC 相似的三角形所在的网格图形是（　　）.5 A． B． C． D． 【答案】B. 3.（ 2015• 杨 浦 区 三 模 ）如图所示，在△ABC 中，D 是 AC 的中点，E 是线段 BC 延 长线上一点，过点 A 作 AF∥BC 交 ED 的延长线于点 F，连接 AE，CF． 求证：（1）四边形 AFCE 是平行四边形； （2）FG•BE=CE•AE． 【答案与解析】 （1）证明：∵AF∥BC， ∴∠AFD=∠DEC， ∵∠FDA=∠CDE，D 是 AC 的中点， ∴△ADF≌△EDC， ∴AF=CE， ∵AF∥BC， ∴四边形 AFCE 是平行四边形； （2）证明：∵四边形 AFCE 是平行四边形， ∴∠AFC=∠AEC，AF=CE， ∵AF∥BC， ∴∠FAB=∠ABE， ∴△AFG∽△BEA， ∴ ， ∴FG•BE=AF•AE， ∴FG•BE=CE•AE． 【总结升华】此题主要考查了平行四边形的判定与性质和相似三角形的判定与性质，根据已 知得出证明等积式需证明△AFG∽△BEA 是解决问题的关键． 4.（ 2015• 宁 夏 ） 在平行四边形 ABCD 中，E 为 BC 边上的一点．连结 AE． （1）若 AB=AE，求证：∠DAE=∠D； （2）若点 E 为 BC 的中点，连接 BD，交 AE 于 F，求 EF：FA 的值．6 【答案与解析】 证明：（1）在平行四边形 ABCD 中，AD∥BC， ∴∠AEB=∠EAD， ∵AE=AB， ∴∠ABE=∠AEB， ∴∠B=∠EAD， ∵∠B=∠D， ∴∠DAE=∠D； （2）∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∴△BEF∽△AFD， ∴ ， ∵E 为 BC 的中点， ∴BE= BC= AD， ∴EF：FA=1：2． 【总结升华】此题考查了相似三角形的判定与性质与平行四边形的性质．熟练掌握平行四边 形的性质是解题的关键． 举一反三 【变式】如图，在平行四边形 ABCD 中，E 是 CD 上的一点，DE：EC=2：3，连接 AE、BE、BD， 且 AE、BD 交于点 F，则 S△DEF：S△EBF：S△ABF=（　　）. A．2：5：25 B．4：9：25 C．2：3：5 D．4：10：25 【答案】D.7 5.如图所示，已知在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB=DC=AD=6，∠ABC=60°，点 E，F 分 别在线段 AD，DC 上(点 E 与点 A，D 不重合)，且∠BEF=120°，设 ， . 　　　　　　　　　　　　 　　 (1)求 y 与 x 的函数解析式； 　　 (2)当 x 为何值时，y 有最大值？最大值是多少？ 【答案与解析】 (1)在梯形 ABCD 中，AD∥BC， 　　　 AB=DC=AD=6，∠ABC=60°，所以∠A=∠D=120°， 　　　 所以∠AEB+∠ABE=180°-120°=60°. 　　　 因为∠BEF=120°，所以∠AEB+∠DEF=180°-120°=60°， 　　　 所以∠ABE=∠DEF. 　　　 所以△ABE∽△DEF，所以 . 　　　 因为 ， ，所以 ， 　　　 所以 y 与 x 的函数解析式是 . 　　　 (2) ， 　　　　所以当 时，y 有最大值，最大值为 . 【总结升华】本题考查了等腰梯形的性质，相似三角形的判定和性质，以及二次函数的最 值问题. 举一反三 【变式】如图所示，在 Rt△ABC 中，∠A=90°，AB=8，AC=6．若动点 D 从点 B 出发，沿线 段 BA 运动到点 A 为止，运动速度为每秒 2 个单位长度．过点 D 作 DE∥BC 交 AC 于点 E， 设动点 D 运动的时间为 x 秒，AE 的长为 y． 　　(1)求出 y 关于 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； 　　(2)当 x 为何值时，△BDE 的面积 S 有最大值，最大值为多少? 　　　　　　　　　　　8 【答案】 (1)因为 DE∥BC，所以△ADE∽△ABC， 　　　　所以 . 　　　　又因为 AB=8，AC=6， ， ， 　　　　所以 ，即 ， 　　　　自变量 x 的取值范围为 . 　　　 (2) 　　　　　 . 　　　　所以当 时，S 有最大值，且最大值为 6. 类型三、位似 6. 将下图中的△ABC 作下列变换，画出相应的图形，指出三个顶点的坐标所发生的 变化． 　　(1)沿 y 轴负方向平移 1 个单位； 　　(2)关于 x 轴对称； 　　(3)以 C 点为位似中心，放大到 1.5 倍． 　　　　　 【答案与解析】 变换后的图形如下图所示．9 　　　　 　　　　(1)将△ABC 沿 y 轴负方向平移 1 个单位后得到△A1B1C1， 　　　 　A1(-5，-1)，B1(0，2)，C1(0，-1)． 　　　 　即横坐标不变，纵坐标减小． 　　　　(2)将△ABC 关于 x 轴对称后，得△A2B2C2，A2(-5，0)，B2(0，-3)，C2(0，0)． 　　　 　即横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数． 　　　　(3)将△ABC 以 C 点为位似中心，放大到 1.5 倍得△A3B3C3(有 2 个三角形)， 　　　 　显然，A3(-5×1.5，0)，B3(0，3×1.5)，C3(0，0)， 　　　 　即 A3(-7.5，0)，B 3(0，4.5)，C 3(0，0),或 A 3（7.5,0）、B 3（0，-4.5）、C 3 （0,0）. 【总结升华】本题应先按图形变换的要求画出相应的图形，再求出变换后图形的点的坐标， 第(3)问可先求变换后图形的点的坐标，但注意此时的位似中心是原点．10 【巩固练习】 一、选择题 1．如图，已知 ，那么下列结论正确的是( ). 　　　 　　A． 　　　B． 　　　 C． 　　　D． 4. （2016•盐城）如图，点 F 在平行四边形 ABCD 的边 AB 上，射线 CF 交 DA 的延长线于 点 E，在不添加辅助线的情况下，与△AEF 相似的三角形有（　　） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 3．如图，小正方形的边长均为 1，则下列图中的三角形(阴影部分)与 相似的是( ). 　　　 4.如图，△ABC 中，A，B 两个顶点在 x 轴的上方，点 C 的坐标是(-1，0)．以点 C 为位似 中心，在 x 轴的下方作△ABC 的位似图形△A′B′C，并把△ABC 的边长放大到原来的 2 倍．设点 B 的对应点 B′的横坐标是 ，则点 B 的横坐标是（ ）. 　　　　　　　　　　　 　　 　　A． 　　　B． 　 C． 　　　D． 5．（2015•咸宁）如图，以点 O 为位似中心，将△ABC 放大得到△DEF．若 AD=OA，则△ABC 与△DEF 的面积之比为（　　）11 A．1：2 B．1：4 C．1：5 D．1：6 6. 如图，在正方形 ABCD 中，E 是 CD 的中点，P 是 BC 边上的点，下列条件中不能推出△ABP 与以点 E、C、P 为顶点的三角形相似的是( ). 　　　　　 A．∠APB=∠EPC　　 　 B．∠APE=90°　 　 C．P 是 BC 的中点 　　　D．BP： BC=2：3 7. 如图，在△ABC 中，EF∥BC， ,，S 四边形 BCFE=8，则 S△ABC=（　　）. A．9　　　B．10　　　 C．12　　 D．13 8.如图，六边形 ABCDEF∽六边形 GHIJKL，相似比为 2：1，则下列结论正确的是 （　　）. A．∠E=2∠K B．BC=2HI C．六边形 ABCDEF 的周长=六边形 GHIJKL 的周长 D．S 六边形 ABCDEF=2S 六边形 GHIJKL 二、填空题 9. 在□ABCD 中， 在 上，若 ，则 ___________. 　　　　　 1 2 AE EB =12 10. （2016•衡阳）若△ABC 与△DEF 相似且面积之比为 25：16，则△ABC 与△DEF 的周 长之比为　 ． 11. 如图，梯形 ABCD 中，AD∥BC，AC、BD 交于 O 点，S△AOD:S△COB=1:9，则 S△DOC:S△BOC=_______. 　　　　　　 12. 在相同时刻的物高与影长成比例.小明的身高为 1.5 米，在地面上的影长为 2 米，同时 一古塔在 面上的影长为 40 米，则古塔高为________. 13.（2015•金华）如图，直线 l1、l2、…l6 是一组等距的平行线，过直线 l1 上的点 A 作两 条射线，分别与直线 l3、l6 相交于点 B、E、C、F．若 BC=2，则 EF 的长是　 　． 14．如图，在△ABC 中，MN∥BC，若∠C=68°，AM：MB＝1：2，则∠MNA=_______度，AN： NC＝_____________. 15.如图，点D,E分别在AB、AC上，且∠ABC=∠AED。若DE=4，AE=5，BC=8，则AB的长为 _________. 第 14 题 第 15 题 16. －油桶高 0.8m，桶内有油，一根木棒长 1m，从桶盖小口斜插入桶内，一端到桶底，另 一端到小口，抽出木棒，量得棒上浸油部分长 0.8m，则桶内油面的高度为　　　 . 三、解答题 17. 如图，等腰直角△ABC 的斜边 AB 所在的直线上有点 E、F，且∠E+∠F=45°，AE=3， 设 AB=x，BF=y，求 y 关于 x 的函数解析式. 　　　 18. 一块直角三角形木板，一直角边是 1.5 米，另一直角边长是 2 米，要把它加工成面积 最大的正方形桌面，甲、乙二人的加式方法分别如图 1、图 2 所示，请运用所学知识13 B E F CH D A G 说明谁的加工方法符合要求. 　 图 1 图 2 19. 如图,是一块底边 BC 长为 120mm，高 AH 为 80mm 的三角形余料，现要把它加工成正方形 DEFG 零件，使得正方形的四个顶点 D、E、F、G 都在三角形三边上，其中 E、F 在 BC 边上， 求加工后正方形的边长. 　　　 20.（2015•岳阳）如图，正方形 ABCD 中，M 为 BC 上一点，F 是 AM 的中点，EF⊥AM，垂足为 F，交 AD 的延长线于点 E，交 DC 于点 N． （1）求证：△ABM∽△EFA； （2）若 AB=12，BM=5，求 DE 的长． 【答案与解析】 一．选择题 1．【答案】A. 　【解析】考点：平行线分线段成比例. 2．【答案】A. 【解析】考点：相似三角形的性质. 3．【答案】A 【解析】考点：相似三角形的判定. 4.【答案】C． 【解析】∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥DC，14 ∴△AEF∽△CBF，△AEF∽△DEC， ∴与△AEF 相似的三角形有 2 个． 5．【答案】B. 【解析】∵以点 O 为位似中心，将△ABC 放大得到△DEF，AD=OA， ∴OA：OD=1：2， ∴△ABC 与△DEF 的面积之比为：1：4．故选：B． 6．【答案】C. 7.【答案】A. 【解析】 求出 的值，推出△AEF∽△ABC，得出 ，把 S 四边形 BCFE=8 代入求 出即可． 8.【答案】B. 【解析】根据相似多边形的性质对各选项进行逐一分析即可． 二．填空题 9．【答案】3:5. 10.【答案】5：4． 【解析】∵△ABC 与△DEF 相似且面积之比为 25：16， ∴△ABC 与△DEF 的相似比为 5：4； ∴△ABC 与△DEF 的周长之比为 5：4． 11．【答案】1:3 . 【解析】∵S△AOD:S△COB=1:9， ，∵△AOD 与△DOC 等高，∴S△AOD:S△DOC=1:3， 　　　　　 ∴S△DOC:S△BOC=1:3. 12．【答案】30m. 13．【答案】5. 【解析】∵l3∥l6， ∴BC∥EF， ∴△ABC∽△AEF， ∴ = ， ∵BC=2， ∴EF=5． 14．【答案】68°，1:2. 【解析】首先，想到定理的含义，再结合图形分析（或进行比例变形）就可直接求出结 果.　 15.【答案】10. 【解析】∵∠ABC=∠AED，∠BAC=∠EAD∴△AED∽△ABC，∴ ，DE=10. 16.【答案】0.64m. AE AB 1 9 AEF ABC S S =△ △ AE DE AB CB =15 【解析】将实际问题转化为几何问题是解题的关键，即由题意可得 Rt△ABC，其中 AB=1m，AC=0.8m，BD=0.8m，DE//BC，将问题转化为求 CE 的长，由平行线分线段 成比例定理计算即得. 三. 解答题 17．【解析】解：△ABC 为等腰直角三角形，∠CAB=∠CBA=45°，∠E+∠F=45°， 　　　　　∠E+∠ECA=∠CAB=45°，∠F+∠BCF=∠CBA=45°， 　　　　　所以∠ECA=∠F，∠E=∠BCF， 　　　　　所以△ECA∽△CFB， ，3y=CA2= x2，即 y= x2. 18．【解析】乙加工的方法符合要求. 　　 　解：设甲加工桌面长 xm， 　　　　　过点 C 作 CM⊥AB，垂足是 M，与 GF 相交于点 N， 　　　　　由 GF∥DE，可得三角形相似， 　　　　　而后由相似三角形性质可以得到 CN：CM=GF：AB，即(CM-x)：CM=x：AB. 　　　　　由勾股定理可得 AB=2.5m，由 ，可求得 CM=1.2m， 　　　　　故此可求得 x= m； 　　　　　设乙加工桌面长 ym， 　　　　　由 FD∥BC，得到 Rt△AFD∽Rt△ACB， 　　　　　所以 AF：AC=FD：BC，即(2-y)：2=y：1.5，解得 y= ， 　　　　　很明显 x＜y，故 x2＜y2，所以乙加工的方法符合要求. 19．【解析】设加工后正方形的边长为 xmm，则 ∵△BDE∽△BAH， ∴DE/AH=BD/AB，即 x/80=BD/AB. 同理，DG/BC=AD/AB，即 x/120=AD/AB. ∴x/80＋x/120=1，解得 x=48. 答：加工后正方形的边长为 48mm. 　　　　　 20.【解析】证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AB=AD，∠B=90°，AD∥BC， ∴∠AMB=∠EAF， 又∵EF⊥AM， ∴∠AFE=90°， ∴∠B=∠AFE， ∴△ABM∽△EFA； （2）解：∵∠B=90°，AB=12，BM=5， ∴AM= =13，AD=12， ∵F 是 AM 的中点，16 ∴AF= AM=6.5， ∵△ABM∽△EFA， ∴ ， 即 ， ∴AE=16.9， ∴DE=AE﹣AD=4.9．