导学案——投影与视图

1 导学案——投影与视图 【学习目标】 1.在观察、操作、想象等活动中增强对空间物体的把握和理解能力； 2.通过实例了解中心投影与平行投影； 3.会画直棱柱、圆柱、圆锥和球的三种视图； 4.能根据三种视图描述简单的几何体. 【要点梳理】 要点一、投影 1. 投影现象 物体在光线的照射下，会在地面或其他平面上留下它的影子，这就是投影现象.影子所在的平面称 为投影面. 2. 中心投影 　　手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一点发出的，这样的光线照射在物体上所形成的投影，称 为中心投影. 相应地，我们会得到两个结论： (1)等高的物体垂直地面放置时，如图 1 所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光 源远的物体它的影子长. 　　　　　　　　　 　　(2)等长的物体平行于地面放置时，如图 2 所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源 越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短. 　　在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点 在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置. 要点诠释： 光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影，光源或物体的方向改变，则该物体的影子的方 向也发生变化，但光源、物体的影子始终分离在物体的两侧. 3.平行投影 　　1.平行投影的定义 太阳光线可看成平行光线，平行光线所形成的投影称为平行投影. 相应地，我们会得到两个结论： 　　①等高的物体垂直地面放置时，如图 1 所示，在太阳光下，它们的影子一样长. 　　　　　　　　 　　②等长的物体平行于地面放置时，如图 2 所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本 身的长度. 　　2. 物高与影长的关系2 ①在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小 在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东， 影长也是由长变短再变长. ②在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例. 　　即： . 　　利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等. 　　注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长. 要点诠释： 　　1．平行投影是物体投影的一种，是在平行光线的照射下产生的.利用平行投影知识解题要分清不同 时刻和同一时刻. 　　2．物体与影子上的对应点的连线是平行的就说明是平行光线. 4、正投影 　　　如图所示，图(1)中的投影线集中于一点，形成中心投影；图(2)(3)中，投影线互相平行，形成 平行投影；图(2)中，投影线斜着照射投影面；图(3)中投影线垂直照射投影面(即投影线正对着投影面)， 我们也称这种情形为投影线垂直于投影面.像图(3)这样，当平行光线与投影面垂直时，这种投影称为正 投影. 要点诠释： 　　正投影是特殊的平行投影，它不可能是中心投影. 　　 要点二、中心投影与平行投影的区别与联系 1.区别： 　　（1）太阳光线是平行的，故太阳光下的影子长度都与物体高度成比例；灯光是发散的，灯光下的 影子与物体高度不一定成比例. 　　（2）同一时刻，太阳光下影子的方向总是在同一方向，而灯光下的影子可能在同一方向，也可能 在不同方向. 2.联系： 　　（1）中心投影、平行投影都是研究物体投影的一种，只不过平行投影是在平行光线下所形成的投 影，通常的平行光线有太阳光线、月光等，而中心投影是从一点发出的光线所形成的投影，通常状况下， 灯泡的光线、手电筒的光线等都可看成是从某一点发射出来的光线. 　　（2）在平行投影中，同一时刻改变物体的方向和位置，其投影也跟着发生变化；在中心投影中， 同一灯光下，改变物体的位置和方向，其投影也跟着发生变化.在中心投影中，固定物体的位置和方向， 改变灯光的位置，物体投影的方向和位置也要发生变化. 要点诠释： 　　在解决有关投影的问题时必须先判断准确是平行投影还是中心投影，然后再根据它们的具体特点进 一步解决问题. 要点三、视图3 1.三视图 　　（1）视图 　　 用正投影的方法绘制的物体在投影面上的图形，称为物体的视图. 　　（2）三视图 　　在实际生活和工程中，人们常常从正面、左面和上面三个不同方向观察一个物体，分别得到这个物 体的三个视图.通常我们把从正面得到的视图叫做主视图，从左面得到的视图叫做左视图，从上面得到 的视图叫做俯视图. 主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视图. 2.三视图之间的关系 （1）位置关系 　　一般地，把俯视图画在主视图下面，把左视图画在主视图右面，如图(1)所示. 　　　　　　　　　　　 　　（2）大小关系 　　三视图之间的大小是相互联系的，遵循主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视 图与俯视图的宽相等的原则.如图(2)所示. 要点诠释： 　　三视图把物体的长、宽、高三个方面反映到各个视图上，具体地说，主视图反映物体的长和高；俯 视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和宽，抓住这些特征能为画物体的三视图打下坚实的基础. 3.画几何体的三视图 画一个几何体的三视图时，要从三个方面观察几何体，具体画法如下： 　　(1)确定主视图的位置，画出主视图； 　　(2)在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”； 　　(3)在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”. 　　几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线要画成虚线. 要点诠释： 　　画一个几何体的三视图，关键是把从正面、上方、左边三个方向观察时所得的视图画出来，所以， 首先要注意观察时视线与观察面垂直，即观察到的平面图是该图的正投影；其二，要注意正确地用虚线 表示看不到的轮廓线；其三，要充分发挥想象，多实践，多与同学交流探讨，多总结；最后，按三视图 的位置和大小要求从整体上画出几何体的三视图. 4.由三视图想象几何体的形状 　　由三视图想象几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象主体图的前面、上面和 左侧面，然后综合起来考虑整体图形. 要点诠释： 　　由物体的三视图想象几何体的形状有一定的难度，可以从如下途径进行分析：(1)根据主视图、俯 视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状以及几何体的长、宽、高；(2)根据实线和虚线 想象几何体看得见和看不见的轮廓线；(3)熟记一些简单的几何体的三视图会对复杂几何体的想象有帮 助；(4)利用由三视图画几何体与由几何体画三视图为互逆过程，反复练习，不断总结方法.4 【典型例题】 类型一、投影的作图与计算 1．如何才能使如图所示的两棵树在同一时刻的影长分别与它们的原长相等，试画图说明． 【答案与解析】 (1)如图所示．可在同一方向上画出与原长相等的影长，此时为平行投影． (2)如图所示，可在两树外侧不同方向上画出与原长相等的影子，连结影子的顶点与树的顶点．相 交于点 P．此时为中心投影，P 点即为光源位置． 【总结升华】连结物体顶点与其影长的顶点，如果得到的是平行线，即为平行投影；如果得到相交直线， 则为中心投影，这是判断平行投影与中心投影的方法，也是确定中心投影光源位置的基本做法．但若中 心投影光源在两树同侧时，图中的两棵树的影长不可能同时与原长相等，所以点光源可以选在两树之 间．特别提醒：易错认为只有平行投影才能使两棵树在同一时刻的影长分别与它们的原长相等，从而漏 掉上图这一情形． 举一反三： 【变式】与一盏路灯相对，有一玻璃幕墙，幕墙前面的地面上有一盆花 CD 和一棵树 AB．晚上，幕墙反 射路灯，灯光形成那盆花的影子 DF，树影 BE 是路灯灯光直接形成的，如图所示，你能确定此时路灯光 源的位置吗? 【答案】作法如下： ①连结 FC 并延长交玻璃幕墙于 O 点； ②过点 O 作直线 OG 垂直于玻璃幕墙面； ③在 OC 另一侧作∠POG＝∠FOG 且交 EA 延长线于点 P． P 点即此时路灯光源位置，如图所示．5 2.（2015·盐城校级模拟）如图，小明与同学合作利用太阳光线测量旗杆的高度，身高 1.6m 的小 明落在地面上的影长为 BC=2.4m． （1）请你在图中画出旗杆在同一时刻阳光照射下落在地面上的影子 EG； （2）若小明测得此刻旗杆落在地面的影长 EG=16m，请求出旗杆 DE 的高度． 【思路点拨】 （1）连结 AC，过 D 点作 DG∥AC 交 BC 于 G 点，则 GE 为所求； （2）先证明 Rt△ABC∽△RtDGE，然后利用相似比计算 DE 的长． 【答案与解析】解：（1）影子 EG 如图所示； （2）∵DG∥AC， ∴∠G=∠C， ∴Rt△ABC∽△RtDGE， ∴ = ，即 = ，解得 DE= ， ∴旗杆的高度为 m． 【总结升华】本题考查了平行投影，也考查了相似三角形的判定与性质． 举一反三： 【变式】如图，小亮利用所学的数学知识测量某旗杆 AB 的高度． （1）请你根据小亮在阳光下的投影，画出旗杆 AB 在阳光下的投影．6 （2）已知小亮的身高为 1.72m，在同一时刻测得小亮和旗杆 AB 的投影长分别为 0.86m 和 6m，求旗杆 AB 的高． 【答案】解：（1）如图所示： （2）如图，因为 DE，AB 都垂直于地面，且光线 DF∥AC， 所以 Rt△DEF∽Rt△ABC， 所以 ， 即 ， 所以 AB=12（m）． 答：旗杆 AB 的高为 12m． 类型二、三视图 3．如图，分别从正面、左面、上面观察该立体图形，能得到什么平面图形． 【答案与解析】从正面看该几何体是三角形，从左面看该几何体是长方形，从上面看该几何体是一长方 形中带一条竖线．如图： DE EF AB BC = 1.72 0.86 6AB =7 【总结升华】本题考查了几何体的三视图的判断． 举一反三： 【变式】如图，画出这些立体图形的三视图． 【答案】（1）如图： （2）如图： （3）如图：8 （4）如图： 4．（2015·惠州校级月考）如图是由几个小立方体所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该 位置小立方体的个数，请画出这个几何体的主视图和左视图． 【思路点拨】由已知条件可知，主视图有 3 列，每列小正方数形数目分别为 2，2，3，左视图有 3 列， 每列小正方形数目分别为 1，3，2．据此可画出图形． 【答案与解析】解：如图所示： 【总结升华】本题考查几何体的三视图画法．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列 数与俯视图的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左视图的列 数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字． 类型三、三视图的有关计算 5．（2016•荆州）如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：cm），根据图中所示数据计算这个 几何体的表面积为　 　cm2．9 【思路点拨】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状，确定圆锥的母 线长和底面半径，从而确定其表面积． 【答案与解析】 解：由主视图和左视图为三角形判断出是锥体，由俯视图是圆形可判断出这个几何体应该是圆锥； 根据三视图知：该圆锥的母线长为 3cm，底面半径为 1cm， 故表面积=πrl+πr2=π×1×3+π×12=4πcm2． 故答案为：4π． 【总结升华】考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考 查． 举一反三： 【变式】某物体的三视图如图： （1）此物体是什么体； （2）求此物体的全面积． 【答案】 解：（1）根据三视图的知识，主视图以及左视图都为矩形，俯视图是一个圆，故可判断出该几何体为 圆柱． （ 2 ） 根 据 圆 柱 的 全 面 积 公 式 可 得 ， 20 π × 40+2 × π × 10 =1000 π ．210 投影与视图—巩固练习 【巩固练习】 一、选择题 1.如图所示，身高为 1.6 米的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在 C 处时，他头顶端的影子正好与 旗杆顶端的影子重合，并测得 AC＝2.0 米，BC＝8.0 米，则旗杆的高度是( ) A．6.4 米 B．7.0 米 C．8.0 米 D．9.0 米 2．（2015·淄博模拟）下列图形中，表示两棵小树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是（　　） A． B． C． D． 3．有一正方体，六个面上分别写有数字 1、2、3、4、5、6，有三个人从不同的角度观察的结果如图所 示．如果记 6 的对面的数字为 a，2 的对面的数字为 b，那么 a+b 的值为( ) A．3 B．7 C．8 D．11 4．（2016•永州）圆桌面（桌面中间有一个直径为 0.4m 的圆洞）正上方的灯泡（看作一个点）发出的光 线照射平行于地面的桌面后，在地面上形成如图所示的圆环形阴影．已知桌面直径为 1.2m，桌面离地面 1m，若灯泡离地面 3m，则地面圆环形阴影的面积是（　　） A．0.324πm2 B．0.288πm2 C．1.08πm2 D．0.72πm2 5．如图所示，王华晚上由路灯 A 下的 B 处走到 C 处时，测得影子 CD 的长为 1 米，继续往前走 3 米到达 E 处时，测得影子 EF 的长为 2 米，已知王华的身高是 1.5 米，那么路灯 A 的高度 AB 等于( ) A．4.5 米 B．6 米 C．7.2 米 D．8 米 第 5 题 第 6 题11 6．由 n 个相同的小正方体堆成的几何体，其视图如图所示，则 n 的最大值是( ) A．18 13．19 C．20 D．21 二、填空题 7．如图所示上体育课，甲、乙两名同学分别站在 C、D 的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知 甲、乙同学相距 1 米，甲身高 1.8 米，乙身高 1.5 米，则甲的影长是________米． 第 7 题 第 8 题 8．如图所示，小明在 A 时测得某树的影长为 2m，B 时又测得该树的影长为 8m，若两次日照的光线互相 垂直，则树的高度为________m． 9．如图，四个几何体中，它们各自的三个视图（主视图、左视图和俯视图）有两个相同，而另外一个 不同的几何体是_____________．（填写序号） 10．（2016•盐城）如图是由 6 个棱长均为 1 的正方体组成的几何体，它的主视图的面积为　 　． 11.下图是由两个长方体组合而成的一个立体图形的三视图，根据图中所标尺寸(单位：mm)，计算出这 个立体图形的表面积是________mm2． 12．如图是一个由若干个正方体搭建而成的几何体的主视图与左视图，那么下列图形中可以作为该几何 体的俯视图的序号是：____________（多填或错填得 0 分，少填酌情给分）．12 三、解答题 13.明和小丽在操场上玩耍，小丽突然高兴地对小明说：“我踩到你的‘脑袋’了．”如图即表示此时小 明和小丽的位置． （1）请画出此时小丽在阳光下的影子； （2）若已知小明身高为 1.60m，小明和小丽之间的距离为 2m，而小丽的影子长为 1.75m，求小丽的身 高． 14．（2015·石河子校级月考）（1）画出图中的 10 块小立方块搭成几何体的主视图、左视图和俯视 图． （2）一个由几个相同的小立方体搭成的几何体的俯视图如右图所示，方格里的数字表示该位置的小立 方体的个数，请你画出这个几何体的主视图和左视图． 15．学习投影后，小明、小颖利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化 规律．如图所示，在同一时间，身高为 1.6 m 的小明(AB)的影子 BC 长是 3m，而小颖(EH)刚好在路灯灯13 泡的正下方 H 点，并测得 HB＝6m． (1)请在图中画出形成影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置 G； (2)求路灯灯泡的垂直高度 GH； (3)如果小明沿线段 BH 向小颖(点 H)走去，当小明走到 BH 中点 B1 处时，求其影子 B1C1 的长；当小 明继续走剩下的路程的 到 B2 处时，求其影子 B2C2 的长；当小明继续走剩下路程的 到 B3 处 时，……按此规律继续走下去，当小明走剩下路程的 到 处时，其影子 的长为 ________m(直接用含 n 的代数式表示)． 【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】C； 【解析】由题意得， ，即 ， ∴ 旗杆的高度为 8.0 米． 2.【答案】A； 【解析】A、影子平行，且较高的树的影子长度大于较低的树的影子，故本选项正确； B、影子的方向不相同，故本选项错误； C、影子的方向不相同，故本选项错误； D、相同树高与影子是成正比的，较高的树的影子长度小于较低的树的影子，故本选项错 误． 故选 A． 3.【答案】B； 【解析】可在一小正方体各个面上按图示要求标上数字，也可发挥空间分析与想象力作出判断， a＝3，b＝4，∴a+b＝7． 4.【答案】D． 【解析】如图所示：∵AC⊥OB，BD⊥OB， ∴△AOC∽△BOD， ∴ = ，即 = ， 解得：BD=0.9m， 同理可得：AC′=0.2m，则 BD′=0.3m， ∴S 圆环形阴影=0.92 π﹣0.32π=0.72π（m2）． 故选：D． 1 3 1 4 1 1n + nB n nB C AC AB =该学生的身高 旗杆的高度 1.6 2.0 8.0 2.0 = +旗杆高14 5.【答案】B； 【解析】如图所示，GC⊥BC，AB⊥BC， ∴ GC∥AB． ∴ △GCD∽△ABD，∴ ． 设 BC＝x，则 ．同理，得 ． ∴ x＝3．∴ ． ∴ AB＝6． 6.【答案】A； 【解析】这道题在俯视图上操作，参照主视图从左到右，最左边一列有 3 层，每个方格上最大标上 3， 中间一列有 2 层，每个方格上最大标上 2，最右边一列有 3 层，每个方格上最大标上 3，共 计 18，即 n 的最大值是 18(如图所示)． 二、填空题 7．【答案】6； 【解析】△AED∽△ABC，∴ ，即 ．∴AD＝5．∴ AC＝CD+AD＝6. 8．【答案】4； 【解析】首先将实际问题转化为几何模型，如图所示，已知∠EDF＝90°，DG⊥EF 于 G，EG＝2， GF＝8，求 DG．易证△DEG∽△FDG， ∴ ． 即 DG2＝2×8＝16 DC GC DB AB = 1 1.5 1x AB =+ 2 1.5 5x AB =+ 1 1.5 3 1 AB =+ BC ED AC AD = 1.8 1.5 1 AD AD =+ DG GF EG DG =15 ∴ DG＝4(m)． 9．【答案】③④ 【解析】正方体的主视图、左视图和俯视图都是正方形； 球的主视图、左视图和俯视图都是圆； 圆锥的主视图和左视图是等腰三角形，俯视图是圆； 圆柱主视图和左视图是等腰长方形，俯视图是圆； 故答案为：③④； 10.【答案】5． 【解析】主视图如图所示， ∵由 6 个棱长均为 1 的正方体组成的几何体， ∴主视图的面积为 5×12=5， 故答案为 5． 11．【答案】200； 【解析】由三视图可知立体图形由上下两个长方体构成，上面长方体长 4、宽 2、高 4，下面长方体 长 6，宽 8、高 2，去掉重合部分，表面积为：6×8×2+8×2×2+6×2×2+4×4×2+4×2×2＝ 200． 12．【答案】①②③ 【解析】综合左视图跟主视图，从正面看，第一行第 1 列有 3 个正方体，第一行第 2 列有 1 个或第 二行第 2 列有一个或都有一个．第二行第 1 列有 2 个正方体．故填①②③． 三、解答题 13.【答案与解析】 解：（1）如图所示：CA 即为小丽在阳光下的影子； （2）∵小明身高为 1.60m，小明和小丽之间的距离为 2m，而小丽的影子长为 1.75m， 设小丽的身高为 xm， ∴ ， 解得：x=1.4， 答：小丽的身高为 1.4m． 14.【答案与解析】 1.6 2 1.75 x=16 解：（1）如图所示： （2）如图所示： 15.【答案与解析】 (1)如图所示： (2)由题意得△ABC∽△GHC， ∴ ，∴ ，∴ GH＝4.8m． 即路灯灯泡的垂直高度为 4.8 m． (3)∵ △A1B1C1∽△GHC1，∴ ． 设 B1C1 长为 x m，则 ， 解得 ，即 m．同理 ，解得 B2C2＝1m；…； 由此可得当小明走剩下路程的 到 处时，其影子的长为 m． AB BC GH HC = 1.6 3 6 3GH = + 1 1 1 1 1 A B B C GH HC = 1.6 4.8 3 x x = + 3 2x = 1 1 3 2B C = 2 2 2 2 1.6 4.8 2 B C B C = + 1 1n + nB 3 1n nB C n = +