待定系数法求二次函数的解析式

1 待定系数法求二次函数的解析式 【学习目标】 1. 能用待定系数法列方程组求二次函数的解析式； 2.经历探索由已知条件特点，灵活选择二次函数三种形式的过程，正确求出二次函数的解析式，二次函 数三种形式是可以互相转化的． 【要点梳理】 要点一、用待定系数法求二次函数解析式 1.二次函数解析式常见有以下几种形式 ： (1)一般式： (a，b，c 为常数，a≠0)； (2)顶点式： (a，h，k 为常数，a≠0)； (3)交点式： ( ， 为抛物线与 x 轴交点的横坐标，a≠0)． 2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下 第一步，设：先设出二次函数的解析式，如 或 ， 或 ，其中 a≠0； 第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程 (组)； 第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数； 第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中． 要点诠释： 在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：①当已知抛物线上的三点坐标时， 可设函数的解析式为 ；②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时．可设 函数的解析式为 ；③当已知抛物线与 x 轴的两个交点(x1，0)，(x2，0)时，可设函数 的解析式为 ． 【典型例题】 类型一、用待定系数法求二次函数解析式 1．已知二次函数的图象过（－1，－9）、（1，－3）和（3，－5）三点，求此二次函数的解析式. 【答案与解析】 本题已知三点求解析式，可用一般式.设此二次函数的解析式为 y=ax2+bx+c(a≠0)，由题意得： 2y ax bx c= + + 2( )y a x h k= − + 1 2( )( )y a x x x x= − − 1x 2x 2y ax bx c= + + 2( )y a x h k= − + 1 2( )( )y a x x x x= − − 2y ax bx c= + + 2( )y a x h k= − + 1 2( )( )y a x x x x= − −2 解得 　　 ∴所求的二次函数的解析式为 y=-x2+3x-5. 【总结升华】若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式：y=ax2+bx+c (a≠0). 举一反三： 【高清课程名称：待定系数法求二次函数的解析式 高清 ID 号： 356565 关联的位置名称（播放点名称）：例 1】 【变式】（2014 秋•岳池县期末）已知二次函数图象过点 O（0，0）、A（1，3）、B（﹣2，6），求函数的 解析式和对称轴． 【答案与解析】 解：设二次函数的解析式为 y=ax2+bx+c， 把 O（0，0）、A（1，3）、B（﹣2，6）各点代入上式得 解得 ， ∴抛物线解析式为 y=2x2+x； ∴抛物线的对称轴 x=﹣ =﹣ =﹣ ． 2．（2015•巴中模拟）已知抛物线的顶点坐标为 M（1，﹣2），且经过点 N（2，3），求此二次函数 的解析式． 【答案与解析】 解：已知抛物线的顶点坐标为 M（1，﹣2）， 设此二次函数的解析式为 y=a（x﹣1）2﹣2， 把点（2，3）代入解析式，得： a﹣2=3，即 a=5， ∴此函数的解析式为 y=5（x﹣1）2﹣2． 【总结升华】本题已知顶点，可设顶点式. 举一反三： 【高清课程名称：待定系数法求二次函数的解析式 高清 ID 号： 356565 关联的位置名称（播放点名称）：例 2】 【变式】在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为 ，且过点 . （1）求该二次函数的解析式； （2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平 移后所得图象与 轴的另一个交点的坐标. 【答案】（1） ．    −=++ −=++ −=+− 539 3 9 cba cba cba    −= = −= 5 3 1 c b a (1 4)A −， (3 0)B ， x 2 2 3y x x= − −3 （2）令 ，得 ，解方程，得 ， ． ∴二次函数图象与 轴的两个交点坐标分别为 和 ． ∴二次函数图象向右平移 1 个单位后经过坐标原点． 平移后所得图象与 轴的另一个交点坐标为 . 3．（2016•丹阳市校级模拟）抛物线的图象如图，则它的函数表达式是　 　．当 x　 　 时，y＞0． 【思路点拨】观察可知抛物线的图象经过（1，0），（3，0），（0，3），可设交点式用待定系数法得到二 次函数的解析式．y＞0 时，求 x 的取值范围，即求抛物线落在 x 轴上方时所对应的 x 的值． 【答案】y=x2﹣4x+3．x＜1，或 x＞3 【解析】 解：观察可知抛物线的图象经过（1，0），（3，0），（0，3）， 由“交点式”，得抛物线解析式为 y=a（x﹣1）（x﹣3）， 将（0，3）代入， 3=a（0﹣1）（0﹣3）， 解得 a=1． 故函数表达式为 y=x2﹣4x+3． 由图可知当 x＜1，或 x＞3 时，y＞0． 【总结升华】在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关 系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次 方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与 x 轴 有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 类型二、用待定系数法解题 4．已知抛物线经过(3，5)，A(4，0)，B(-2，0)，且与 y 轴交于点 C． (1)求二次函数解析式； (2)求△ABC 的面积． 【答案与解析】 (1)设抛物线解析式为 (a≠0)，将(3，5)代入得 ， ∴ ． ∴ ． 即 ． 0y = 2 2 3 0x x− − = 1 3x = 2 1x = − x (3 0)， ( 1 0)− ， x (4 0)， ( 2)( 4)y a x x= + − 5 (3 2) (3 4)a= + − 1a = − ( 2)( 4)y x x= − + − 2 2 8y x x= − + +4 (2)由(1)知 C(0，8)， ∴ ． 【总结升华】此题容易误将(3，5)当成抛物线顶点．将抛物线解析式设成顶点式． 1 (4 2) 8 242ABCS = + × =△5 【巩固练习】 一、选择题 1. 对于任何的实数 t，抛物线 y=x2 + (2-t) x + t 总经过一个固定的点，这个点是 ( ) A. (l, 3) B.（-l, 0) C.（-1, 3) D. (1, 0) 2．如图所示为抛物线 的图象，A、B、C 为抛物线与坐标轴的交点，且 OA＝OC＝1，则下 列关系中正确的是（ ） A． B． C． D． 3．（2016•东平县二模）如果抛物线 y=x2﹣6x+c﹣2 的顶点到 x 轴的距离是 3，那么 c 的值等于（　　） A．8 B．14 C．8 或 14 D．﹣8 或﹣14 4．老师出示了小黑板上题后．小华说：过点(3，0)；小彬说：过点(4，3)；小明说：a＝1，小颖说： 抛物线被 x 轴截得的线段长为 2，你认为四个人的说法中，正确的有( ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 5．（2015•高淳县一模）已知二次函数 y=a（x﹣h）2+k（a＞0）的图象过点 A（0，1）、B（8，2），则 h 的值可以是（　　） 　 A．3 B． 4 C． 5 D． 6 6．如图所示，正方形 ABCD 的边长为 1，E、F、G、H 分别为各边上的点，且 AE＝BF＝CG＝DH，设小正方 形 EFGH 的面积为 S，AE 为 x，则 S 关于 x 的函数图象大致是( ) 二、填空题 7．已知二次函数的图象经过原点及点 ，且图象与 x 轴的另一交点到原点的距离为 1，则该二 次函数的解析式为_ _______． 8．已知二次函数对称轴为 x＝2，且在 x 轴上截得的线段长为 6，与 y 轴交点为(0，-2)， 2y ax bx c= + + 1a b+ = − 1a b− = − 2b a< 0ac < 已知抛物线 2 3y ax bx= + + 与 x 轴交于(1，0)，试添 加一个条件，使它的对称轴为直线 x＝2． 1 1,2 4  − −  6 则此二次函数的解析式为 ． 9．（2016•长宁区一模）已知二次函数 y=ax2+bx，阅读下面表格信息，由此可知 y 与 x 的函数关系式 是　 　． x ﹣1 1 y 0 2 10．（2015•河南一模）二次函数的图象如图所示，则其解析式为　　． 11．如图所示，已知二次函数 的图象经过点(-1，0)，(1，-2)，该图象与 x 轴的另一个 交点为 C，则 AC 长为________． 第 11 题 第 12 题 12．在如图所示的直角坐标系中，已知点 A（1，0），B（0，-2），将线段 AB 绕点 A 按逆时针方向 旋转 90°至 AC． （1）点 C 的坐标为 ； （2）若抛物线 经过点 C，则抛物线的解析式为 ． 三、解答题 13．已知 (a≠0)经过 A(-3，2)，B(1，2)两点，且抛物线顶点 P 到 AB 的距离为 2， 求此抛物线的解析式． 14．（2015•大庆模拟）如图，抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于 A（﹣1，0），B（3，0）两点． （1）求该抛物线的解析式； （2）求该抛物线的对称轴以及顶点坐标； （3）设（1）中的抛物线上有一个动点 P，当点 P 在该抛物线上滑动到什么位置时，满足 S△PAB=8，并求 出此时 P 点的坐标． 2y x bx c= + + 21 22y x ax= − + + 2y ax bx c= + +7 15．已知，如图所示，抛物线 与 x 轴相交于两点 A(1，0)，B(3，0)，与 y 轴相交于 点 C(0，3)． (1)求抛物线的函数关系式； (2)若点 是抛物线 上的一点，请求出 m 的值，并求出此时△ABD 的面 积． 【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】A； 【解析】把 y=x2 + (2-t) x + t 化为 y=x2+2x+(1-x)t, 因为对于任何的实数 t， 抛物线 y=x2 + (2-t) x + t 总经过一个固定的点，所以与 t 的值无关，即 1-x=0，x=1,代入 y=x2+2x+(1-x)t,得 y=3,过定点（1,3），故选 A. 2.【答案】B； 【解析】由图知 A(-1，0)，C(0，1)代入 中得 ∴ a-b＝-1． 3.【答案】C. 【解析】根据题意 =±3，解得 c=8 或 14．故选 C． 4.【答案】C； 【解析】小颖说的不对，其他人说的对． 5.【答案】A； 2y ax bx c= + + 7 ,2D m     2y ax bx c= + + 2y ax bx c= + + 0, 1, a b c c − + =  =8 【解析】把 A（0，1）、B（8，2）分别代入 y=a（x﹣h）2+k（a＞0）得 ， ②﹣①得 64a﹣16ah=1， 解得 a= ＞0， 所以 h＜4．故选 A． 6.【答案】B； 【解析】∵ AB＝BC＝CD＝DA＝1，AE＝BF＝CG＝DH＝x， ∴ AH＝DG＝CF＝BE＝1-x． ∴ ， ∴ ， 又 0≤x≤1，其图象应为开口向上，自变量从 0 到 1 之间的抛物线部分，故选 B． 二、填空题 7．【答案】 或 ； 【解析】抛物线经过点(1，0)或(-1，0)． 8．【答案】 ； 【解析】由对称轴 x＝2 和抛物线在 x 轴上截得的线段长为 6，可知抛物线与 x 轴的两个交点 为(-1，0)，(5，0)，然后设交点式易求解． ∵ 抛物线的对称轴为 x＝2，且在 x 轴上截得线段长为 6， ∴ 抛物线与 x 轴两交点为(-1，0)，(5，0)． 设二次函数解析式为 y＝a(x+1)(x-5) (a≠0)． 将点(0，2)代入上式得-2＝a(0+1)(0-5)， ∴ ．因此二次函数解析式为 ． 即 ． 9.【答案】y=x2+x． 【解析】把 x=﹣1，y=0 和 x=1，y=2 代入 y=ax2+bx 得 ，解得 a=1，b=1， 所以 y 与 x 的函数关系式为 y=x2+x． 10．【答案】 y=﹣x2+2x+3； 【解析】由图象可知，抛物线对称轴是直线 x=1，与 y 轴交于（0，3），与 x 轴交于（﹣1，0） 设解析式为 y=ax2+bx+c， ， 1 (1 )2AEH BEF CFG DHGS S S S x x= = = = −△ △ △ △ 211 4 (1 ) 2 2 12S x x x x= − × − = − + 2y x x= + 21 1 3 3y x x= − + 22 8 25 5y x x= − − 2 5a = 2 ( 1)( 5)5y x x= + − 22 8 25 5y x x= − −9 解得 ． 故答案为：y=﹣x2+2x+3． 11．【答案】3； 【解析】由 经过点(-1，0)，(1，-2)可得 ∴ ∴ ． 其对称轴为 ，由对称性可求 C 点坐标为（2，0），∴ . 12．【答案】（1）(3，-1)；（2） . 【解析】(1)过点 C 作 CD⊥x 轴，垂足为 D，在△ACD 和△BAO 中， 由已知有∠CAD+∠BAO＝90°， 而∠ABO+∠BAO＝90°， ∴ ∠CAD＝∠ABO， 又∵ ∠CDA＝∠AOB＝90°，且由已知有 CA＝AB， ∴ △ACD≌△BAO，∴ CD＝OA＝1，AD＝BO＝2， ∴ 点 C 的坐标为(3，-1)； (2)∵ 抛物线 ，经过点 C(3，-1)， ∴ ，解得 ， ∴ 抛物线的解析式为 . 三、解答题 13.【答案与解析】 ∵ A(-3，2)，B(1，2)的纵坐标相同， ∴ 抛物线对称轴为 x＝-1． 又∵ 顶点 P 到 AB 距离为 2， ∴ P(-l，0)或 P(-1，4)． 故可设抛物线解析式为 (a≠0)或 (a≠0)． 将 B(1，2)分别代人上式得 或 ． ∴ 或 ． 14.【答案与解析】 解：（1）∵抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于 A（﹣1，0），B（3，0）两点， 2y x bx c= + + 1 0, 1 2, b c b c − + =  + + = − 1, 2, b c = −  = − 2 2y x x= − − 1 2x = 2 ( 1) 3AC = − − = 21 1 22 2y x x= − + + 21 22y x ax= − + + 211 3 3 22 a− = − × + + 1 2a = 21 1 22 2y x x= − + + 2( 1)y a x= + 2( 1) 4y a x= + + 1 2a = 1 2a = − 21 ( 1)2y x= + 21 ( 1) 42y x= − + +10 ∴方程 x2+bx+c=0 的两根为 x=﹣1 或 x=3， ∴﹣1+3=﹣b， ﹣1×3=c， ∴b=﹣2，c=﹣3， ∴二次函数解析式是 y=x2﹣2x﹣3． （2）∵y=﹣x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4， ∴抛物线的对称轴 x=1，顶点坐标（1，﹣4）． （3）设 P 的纵坐标为|yP|， ∵S△PAB=8， ∴ AB•|yP|=8， ∵AB=3+1=4， ∴|yP|=4， ∴yP=±4， 把 yP=4 代入解析式得，4=x2﹣2x﹣3， 解得，x=1±2 ， 把 yP=﹣4 代入解析式得，﹣4=x2﹣2x﹣3， 解得，x=1， ∴点 P 在该抛物线上滑动到（1+2 ，4）或（1﹣2 ，4）或（1，﹣4）时，满足 S△PAB=8． 15.【答案与解析】 （1）由已知得 解之 ∴ ． （2）∵ 是抛物线 上的点，∴ ， ∴ ． 0, 9 3 0, 3, a b c a b c c + + =  + + =  = 1, 4, 3. a b c =  = −  = 2 4 3y x x= − + 7 ,2D m     2 4 3y x x= − + 5 4m = 1 5 522 4 4ABDS = × × =△