二次函数y=a（x-h)2+k(a≠0)的图象与性质

1 二次函数 y=a（x-h)2+k(a≠0)的图象与性质 【学习目标】 1.会用描点法画出二次函数 (a、h、k 常数，a≠0)的图象．掌握抛物线 与 图象之间的关系； 2.熟练掌握函数 的有关性质，并能用函数 的性质解决一些实际问题； 3.经历探索 的图象及性质的过程，体验 与 、 、 之间的转化过程，深刻理解数学建模思想及数形结合的思想方法． 【要点梳理】 要点一、函数 与函数 的图象与性质 1.函数 的图象与性质 2.函数 的图象与性质 要点诠释： 二次函数 的图象常与直线、三角形、面积问题结合在一起，借助它的图象 2( )y a x h k= − + 2( )y a x h k= − + 2y ax= 2( )y a x h k= − + 2( )y a x h k= − + 2( )y a x h k= − + 2( )y a x h k= − + 2y ax= 2y ax k= + 2( )y a x h= − 2( ) + ( 0y a x h k a= − ≠ ） 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时， 随 的增大而增大； 时， 随 的增大而减小； 时， 有最小值 ． 向下 x=h 时， 随 的增大而减小； 时， 随 的增大而增大； 时， 有最大值 ． 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时， 随 的增大而增大； 时， 随 的增大而减小； 时， 有最小值 ． 向下 x=h 时， 随 的增大而减小； 时， 随 的增大而增大； 时， 有最大值 ． 2( ) ( 0)y a x h a= − ≠ 2( ) ( 0)y a x h k a= − + ≠ 2( ) ( 0)y a x h a= − ≠ 2( ) ( 0)y a x h k a= − + ≠ a 0a > ( )0h， x h> y x x h< y x x h= y 0 0a < ( )0h， x h> y x x h< y x x h= y 0 a 0a > ( )h k， x h> y x x h< y x x h= y k 0a < ( )h k， x h> y x x h< y x x h= y k2 与性质．运用数形结合、函数、方程思想解决问题． 要点二、二次函数的平移 1.平移步骤： ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 ，确定其顶点坐标 ； ⑵ 保持抛物线 的形状不变，将其顶点平移到 处，具体平移方法如下： 2.平移规律： 在原有函数的基础上“ 值正右移，负左移； 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上 加下减”． 要点诠释： ⑴ 沿 轴平移:向上（下）平移 个单位， 变成 （或 ） ⑵ 沿 x 轴平移：向左（右）平移 个单位， 变成 （或 ） 【典型例题】 类型一、二次函数 图象及性质 1.已知 是由抛物线 向上平移 2 个单位长度，再向右平移 1 个单位长度 得到的抛物线． (1)求出 a、h、k 的值； (2)在同一坐标系中，画出 与 的图象； (3)观察 的图象，当 x 取何值时，y 随 x 的增大而增大；当 x 取何值时，y 随 x 增 大而减小，并求出函数的最值； ( )2y a x h k= − + ( )h k， 2y ax= ( )h k， h k cbxaxy ++= 2 y m cbxaxy ++= 2 mcbxaxy +++= 2 mcbxaxy −++= 2 cbxaxy ++= 2 m cbxaxy ++= 2 cmxbmxay ++++= )()( 2 cmxbmxay +−+−= )()( 2 2( )y a x h k= − + 21 2y x= − 2( )y a x h k= − + 21 2y x= − 2( )y a x h k= − + 2( ) ( 0)y a x h k a= − + ≠3 (4)观察 的图象，你能说出对于一切 x 的值，函数 y 的取值范围吗? 【答案与解析】 (1)∵ 抛物线 向上平移 2 个单位长度， 再向右平移 1 个单位长度得到的抛物线是 ， ∴ ， ， ． (2)函数 与 的图象如图所示． (3)观察 的图象知，当 时，y 随 x 的增大而增大； 当 时，y 随 x 增大而减小，当 x＝1 时，函数 y 有最大值是 2． (4)由图象知，对于一切 x 的值，总有函数值 y≤2． 【 总 结 升 华 】 先 根 据 平 移 的 性 质 求 出 抛 物 线 平 移 后 的 抛 物 线 的 解 析 式 ， 再 对 比 得到 a、h、k 的值，然后画出图象，由图象回答问题． 举一反三： 【 高 清 课 程 名 称 ： 《 二 次 函 数 》 专 题 第 二 讲 ： 函 数 与 函 数 的图象与性质 高清 ID 号： 391919 关联的位置名称（播放点名称）：练习 3】 【变式】把二次函数 的图象先向左平移 2 个单位，再向上平移 4 个单位，得到二次函 数 的图象． （1）试确定 a、h、k 的值； （2）指出二次函数 的开口方向，对称轴和顶点坐标，分析函数的增减性． 【答案】（1） .（2）开口向下，对称轴 x=1, 顶点坐标为（1，-5）， 2( )y a x h k= − + 21 2y x= − 21 ( 1) 22y x= − − + 1 2a = − 2k = 21 ( 1) 22y x= − − + 21 2y x= − 21 ( 1) 22y x= − − + 1x < 1x > 21 2y x= − 2( )y a x h k= − + 2( )y a x h k= − + 21 ( 1) 12y x= − + − 2( )y a x h k= − + 1 , 1, 52a h k= − = = − 1h = 2( ) ( 0)y a x h a= − ≠ 2( ) ( 0)y a x h k a= − + ≠4 当 x≥1 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x＜1 时，y 随 x 的增大而增大. 2. 已知函数 ，则使 y=k 成立的 x 值恰好有三个，则 k 的值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D； 【解析】函数 的图象如图： ， 根据图象知道当 y=3 时，对应成立的 x 恰好有三个， ∴k=3． 故选 D． 【总结升华】此题主要考查了利用二次函数的图象解决交点问题，解题的关键是把解方程的问题转换为 根据函数图象找交点的问题． 类型二、二次函数 性质的综合应用 3.（2014 秋•滨海县期末）已知：二次函数 y=x2﹣4x+3． （1）求出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； （2）求出该抛物线与 x 轴的交点坐标； （3）当 x 取何值时，y＜0． 【解析】解：（1）∵y=x2﹣4x+3， ∴y=（x﹣2）2﹣1， ∴对称轴为：直线 x=2， ∴顶点（2，﹣1）； （2）令 y=0， 则，x2﹣4x+3=0， ∴（x﹣1）（x﹣3）=0， ∴x1=1，x2=3， ∴与 x 轴的交点坐标为（1，0），（3，0）； （3）当 1＜x＜3 时，y＜0． 【总结升华】本题考查了二次函数的性质，抛物线与 x 轴坐标的求解方法，二次函数与不等式，熟记性 质并把函数解析式整理成顶点式形式求解更简便． 举一反三： 【变式】（2014 秋•岑溪市期末）已知抛物线 y=2（x﹣1）2﹣8． ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 3 5 1 3 x x y x x  − −=  − − ≤ ＞ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 3 5 1 3 x x y x x  − −=  − − ≤ ＞ 2( ) ( 0)y a x h k a= − + ≠5 （1）直接写出它的顶点坐标：　　，对称轴：　　； （2）x 取何值时，y 随 x 增大而增大？ 【答案与解析】 解：（1）抛物线 y=2（x﹣1）2﹣8 的顶点坐标为（1，﹣8），对称轴为直线 x=1； 故答案为（1，﹣8），直线 x=1； （2）当 x＞1 时，y 随 x 增大而增大． 4. 如图所示，抛物线 的顶点为 C，与 y 轴交点为 A，过点 A 作 y 轴的垂线，交抛 物线于另一点 B． (1)求直线 AC 的解析式 ； (2)求△ABC 的面积； (3)当自变量 x 满足什么条件时，有 ? 【答案与解析】 (1)由 知抛物线顶点 C(-1，0)，令 x＝0，得 ， ∴ ．由待定系数法可求出 ， ， ∴ ． (2)∵ 抛物线 的对称轴为 x＝-1，根据抛物线对称性知 ． ∴ ． (3)根据图象知 或 时，有 ． 【总结升华】 图象都经过 A 点和 C 点，说明 A 点、C 点同时出现在两个图象上，A、C 两点的坐 标均满足两个函数的解析式，解答这类题时，要画出函数图象，结合几何图形的性质，运用数形结合的 思想和抛物线的对称性，特别要慎重处理平面直角坐标系中的坐标(数)与线段长度(形)之间的关系，不 要出现符号上的错误，充分利用函数图象弄清函数值与自变量的关系，利用图象比较函数值的大小，或 根 据 函 数 值 的 大 小 ， 确 定 自 变 量 的 变 化 范 围 ． 2 1 3( 1)y x= + 2y kx b= + 1 2y y> 2 1 3( 1)y x= + 3y = (0, 3)A 3b = 3k = 2 3 3y x= + 2 1 3( 1)y x= + ( 2, 3)B − 1 2 3 32ABCS = × × =△ 0x > 1x < − 1 2y y>6 【巩固练习】 一、选择题 1.若抛物线 的开口向下，则 m 的值为( )． A．3 B．-3 C． D． 2.抛物线 的顶点坐标，对称轴分别是( )． A．(2，0)，直线 x＝-4 B．(-2，0)，直线 x＝4 C．(1，3)，直线 x＝0 D．(0，-4)，直线 x＝0 3.两条抛物线 与 在同一坐标系内，下列说法中不正确的是（ ） A．顶点相同 B．对称轴相同 C．开口方向相反 D．都有最小值 4.关于 ， ， 的图像，下列说法中不正确的是（ ） A．顶点相同 B．对称轴相同 C．图像形状相同 D．最低点相同 5．（2015•市北区一模）在同一直角坐标系中，函数 y=kx2﹣k 和 y=kx+k（k≠0）的图象大致是（　　）. A. B. C. D. 6.图中是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在 处时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面 2 m， 水面宽 4 m．如图所示建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是( )． A． B． C． D． 二、填空题 7.抛物线 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ． 8.将抛物线 向上平移 5 个单位后，得到的抛物线的解析式是____ ____． 2 10(2 ) my m x −= + 2 3 2 3− 2 4y x= − − 2y x= 2y x= − 21 3y x= 2y x= 23y x= l 22y x= − 22y x= 21 2y x= − 21 2y x= 23y x= − 2y x= −7 9.已知(x1，y1)，(x2，y2)是抛物线 (a≠0)上的两点．当 时， ，则 a 的取值范 围是________． 10. （2015•巴中模拟）对于二次函数 y=ax2，已知当 x 由 1 增加到 2 时，函数值减少 4，则常数 a 的值 是　　． 11.抛物线 与 的形状相同，其顶点坐标为（0，1），则其解析式为 ． 12．如图，⊙O 的半径为 2， 是函数 的图象， 是函数 的图象，则阴影部分的面 积是 . 三、解答题 13．（2014•仙桃）如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽 4 米时，拱顶（拱桥洞的最高点） 离水面 2 米，水面下降 1 米时，水面的宽度为多少米？ 14.已知直线 与 x 轴交于点 A，抛物线 的顶点平移后与点 A 重合． (1)求平移后的抛物线 C 的解析式； (2)若点 B( ， )，C( ， )在抛物线 C 上，且 ，试比较 ， 的大小． 15. 已知正方形周长为 Ccm，面积为 S cm2． （1）求 S 和 C 之间的函数关系式，并画出图象； （2）根据图象，求出 S=1 cm2 时，正方形的周长； （3）根据图象，求出 C 取何值时，S≥4 cm2． 【答案与解析】 2y ax= 2 1 0x x< < 2 1y y< 2y ax c= + 23y x= 1C 21 2y x= 2C 21 2y x= − 1y x= + 22y x= − 1x 1y 2x 2y 1 2 1 2 x x− < < 1y 2y8 一、选择题 1.【答案】D； 【解析】依题意得 m2-10＝2 且 2+m＜0，即 m＝± ，且 m＜-2，所以 ． 2．【答案】D； 【解析】由函数 y=ax2+c 的图象性质可得. 3．【答案】D； 【解析】两条抛物线一个开口向上，有最小值，另一个开口向下，有最大值. 4.【答案】C； 【解析】根据图象 y=ax2 的性质，三个函数的顶点都是原点、对称轴都是 y 轴、最低点都为 0，由于 a 值不同，所以他们的图像形状不同. 5.【答案】D； 【解析】A、由一次函数 y=kx+k 的图象可得：k＞0，此时二次函数 y=kx2﹣kx 的图象应该开口向上， 错误； B、由一次函数 y=kx+k 图象可知，k＞0，此时二次函数 y=kx2﹣kx 的图象顶点应在 y 轴的负半 轴，错误； C、由一次函数 y=kx+k 可知，y 随 x 增大而减小时，直线与 y 轴交于负半轴，错误； D、正确．故选：D． 6．【答案】C； 【解析】依题意知点(2，-2)在 y＝ax2 图象上，所以-2＝a×22， ．所以 ． 二、填空题 7．【答案】向下；y 轴；（0,0）. 8．【答案】 ； 【解析】根据平移规律：上加下减. 9．【答案】a＜0 ； 【解析】∵x2＜x1＜0，y2＜y1，所以 y 随 x 的增大而增大，结合图象知，抛物线开口向下． 10．【答案】 . 【解析】当 x=1 时，y=ax2=a； 当 x=2 时，y=ax2=4a， 所以 a﹣4a=4，解得 a= ． 故答案为： ． 11．【答案】y=3x2+1 或 y=-3x2+1. 【解析】形状相同，说明 相同，所以 a= ，再将顶点坐标（0，1）代入即可求出 c. 12．【答案】2π； 【解析】根据抛物线的对称性，将 x 轴下方的阴影翻到上方，正好形成一个半圆形，半圆的面积为 . 三、解答题 2 3 2 3m = − 1 2a = − 21 2y x= − 2 5y x= − + a 3± 21 2 22 π π× = 4 3 − 4 3 − 4 3 −9 13.【答案与解析】 解：建立平面直角坐标系，设横轴 x 通过 AB，纵轴 y 通过 AB 中点 O 且通过 C 点，则通过画图可得知 O 为原点， 抛物线以 y 轴为对称轴，且经过 A，B 两点，OA 和 OB 可求出为 AB 的一半 2 米，抛物线顶点 C 坐标为 （0，2）， 通过以上条件可设顶点式 y=ax2+2，其中 a 可通过代入 A 点坐标（﹣2，0）， 到抛物线解析式得出：a=﹣0.5，所以抛物线解析式为 y=﹣0.5x2+2， 当水面下降 1 米，通过抛物线在图上的观察可转化为： 当 y=﹣1 时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线 y=﹣1 与抛物线相交的两点之间的距离， 可以通过把 y=﹣1 代入抛物线解析式得出： ﹣1=﹣0.5x2+2， 解得：x= ， 所以水面宽度增加到 米， 故答案为： ． 14.【解析】 （1）∵ ， ∴令 ，则 ， ∴ ，即抛物线 C 的顶点坐标为 ， 又抛物线 C 是由抛物线 平移得到的， ∴ ， ∴抛物线 C 的解析式为 ． （2）由（1）知，抛物线 C 的对称轴为直线 ． ∵ ， ∴当 时，y 随 x 的增大而减小， 又∵ ，∴ ． 15.【解析】 解：（1）由题意，得 ． 列表、描点、连线，图象如图： （2）根据图象得 S=1cm2 时，正方形的周长是 4cm． 1y x= + 0y = 1x = − ( 1,0)A − ( 1,0)− 22y x= − 2a = − 22( 1)y x= − + 1x = − 2 0a = − < 1x > − 1 2 11 2 x x− < − < < 1 2y y> )0(16 1 2 >= CCS10 （3）根据图象得，当 C≥8cm 时，S≥4 cm2．