二次函数y=ax2(a≠0)的图象与性质

1 二次函数 y=ax2(a≠0)的图象与性质 【学习目标】 1．经历探索二次函数 y=ax2 和 y=ax2＋c 的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图 象三者联系起来的经验． 2．会作出 y=ax2 和 y=ax2＋c 的图象，并能比较它们与 y=x2 的异同，理解 a 与 c 对二次函数图象的影 响． 3．能说出 y=ax2＋c 与 y=ax2 图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 4．体会二次函数是某些实际问题的数学模型． 5.掌握二次函数 y=ax2(a≠0)与 y=ax2+c (a≠0)的图象之间的关系. 【要点梳理】 要点一、二次函数 y=ax2（a≠0）的图象与性质 1.二次函数 y=ax2(a≠0)的图象 二次函数 y=ax2 的图象（如图），是一条关于 y 轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线. 抛物线 y=ax2（a≠0）的对称轴是 y 轴，它的顶点是坐标原点.当 a＞ 0 时，抛物线的开口向上，顶 点是它的最低点；当 a＜0 时，抛物线的开口向下，顶点是它的最高点. 2.二次函数 y=ax2(a≠0)的图象的画法——描点法 描点法画图的基本步骤：列表、描点、连线. （1）列表：选择自变量取值范围内的一些适当的 x 的值，求出相应的 y 值，填入表中.（自变量 x 的值写在第一行，其值从左到右，从小到大.） （2）描点：以表中每对 x 和 y 的值为坐标，在坐标平面内准确描出相应的点.一般地，点取的越多， 图象就越准确. （3）连线：按照自变量的值由小到大的顺序，把所描的点用平滑的曲线连结起来. 要点诠释： （1）用描点法画二次函数 y=ax2（a≠0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量 x 的 值，然后计算出对应的 y 值. （2）二次函数 y=ax2(a≠0)的图象，是轴对称图形，对称轴是 y 轴．y=ax2(a≠0)是最简单的二次函 数.2 （3）画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 轴的交点，与 轴的交点. 3.二次函数 y=ax2(a≠0)的图象的性质 二次函数 y=ax2（a≠0）的图象的性质，见下表： 函数 　 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 函数变化 最大（小）值 y=ax2 a＞0 向上 （0，0） y 轴 x＞0 时，y 随 x 增 大而增大； x＜0 时，y 随 x 增 大而减小. 　当 x=0 时， y 最小=0 y=ax2 a＜0 向下 （0，0） y 轴 x＞0 时，y 随 x 增 大而减小； x＜0 时，y 随 x 增 大而增大. 　当 x=0 时， y 最大=0 要点诠释： 顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数 相同，那么抛物线的开口方向、开 口大小完全相同，只是顶点的位置不同. │a│相同，抛物线的开口大小、形状相同. │a│越大，开口越小，图象两边越靠近 y 轴，│a│越小，开口越大，图象两边越靠近 x 轴. 要点二、二次函数 y=ax2+c(a≠0)的图象与性质 1.二次函数 y=ax2+c(a≠0)的图象 （1） （2） x y a 0a > 0a < xO y ( )2 0y ax c c= + > c y x O c ( )2 0y ax c c= + < y xO c ( )2 0y ax c c= + > y x O c ( )2 0y ax c c= + > 2 ( 0, 0)y ax c a c= + < > 0x > 0x < 0x > 0x < 0x = y c=最小值 0x = y c=最大值 ( )2 0y ax a= ≠ ( )2 0y ax c a= + ≠ ( )2 0y ax a= ≠ ( )2 0y ax c a= + ≠4 抛物线 的对称轴是 y 轴，顶点坐标是(0，c)，与抛物线 的形状相 同． 函数 的图象是由函数 的图象向上（或向下）平移 个单位得到 的，顶点坐标为(0，c)． 抛物线 y＝ax2(a≠0)的对称轴、最值与顶点密不可分，其对称轴即为过顶点且与 x 轴垂直的一条直 线，其顶点横坐标 x＝0，抛物线平移不改变抛物线的形状，即 a 的值不变，只是位置发生变化而已． 【典型例题】 类型一、二次函数 y=ax2（a≠0）的图象与性质 1．（2014•宁夏）已知 a≠0，在同一直角坐标系中，函数 y=ax 与 y=ax2 的图象有可能是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】本题可先由一次函数 y=ax 图象得到字母系数的正负，再与二次函数 y=ax2 的图象相比较看 是否一致．（也可以先固定二次函数 y=ax2 图象中 a 的正负，再与一次函数比较．） 【答案】C； 【解析】A、函数 y=ax 中，a＞0，y=ax2 中，a＞0，但当 x=1 时，两函数图象有交点（1，a），故 A 错误； B、函数 y=ax 中，a＜0，y=ax2 中，a＞0，故 B 错误； C、函数 y=ax 中，a＜0，y=ax2 中，a＜0，但当 x=1 时，两函数图象有交点（1，a），故 C 正确； D、函数 y=ax 中，a＞0，y=ax2 中，a＜0，故 D 错误． 故选：C． 【总结升华】解此类题的基本方法有两种：方法一，根据选项逐个验证；方法二，分 a＞0 和 a＜0 两种 情况讨论直接找答案.但要注意图象的交点情况. 举一反三： 【 变 式 】在 同一 平面 直角 坐标 系中 ，一 次函 数 与二 次函 数 的图 象大 致为 （ ）． 2 ( 0)y ax c a= + ≠ 2 ( 0)y ax a= ≠ 2 ( 0)y ax c a= + ≠ 2 ( 0)y ax a= ≠ | |c y ax c= + 2y ax c= +5 【答案】B. 2.根据下列条件求 a 的取值范围： (1)函数 y＝(a-2)x2，当 x＞0 时，y 随 x 的增大而减小，当 x＜0 时，y 随 x 的增大而增大； (2)函数 y＝(3a-2)x2 有最大值； (3)抛物线 y＝(a+2)x2 与抛物线 的形状相同； (4)函数 的图象是开口向上的抛物线． 【思路点拨】根据二次函数 y= （a≠0）的图形和性质，结合草图解决问题. 【答案与解析】 (1)由题意得，a-2＜0，解得 a＜2． (2)由题意得，3a-2＜0，解得 ． (3)由题意得， ，解得 ， ． (4)由题意得， ，解得 a1＝-2，a2＝1，但 a＞0，∴a＝1． 【总结升华】解答此类问题，要注意联想二次函数的图象和性质，抓住形状、开口、最值、增减性等特 征，并结合草图去确定二次项系数的取值范围． 举一反三： 【变式】二次函数 y＝mx 有最高点，则 m＝___________． 【答案】-2. 21 2y x= − 2a ay ax += 2ax 2 3a < 1| 2 | 2a + = − 1 5 2a = − 2 3 2a = − 2 2 0 a a a  + =  > 22 −m6 3. 二次函数 的图象如图所示，点 A0 位于坐标原点，点 A1，A2，A3，…，A2013 在 y 轴的正 半轴上，点 B1，B2，B3，…，B2013 在二次函数 位于第一象限的图象上，若△A0B1A1，△A1B2A2，△ A2B3A3，…，△A2012B2013A2013 都为等边三角形，求△A2012B2013A2013 的边长． 【思路点拨】分别求出△A0A1B1，△A1A2B2，△A2A3B3 的边长，找出边长的变化规律. 【答案与解析】 如图所示，作 B1C1⊥y 轴，垂足为 C1． ∵△A0A1B1 为等边三角形，∴∠A0B1C1＝30°． 设 A0C1＝a，则 A0B1＝2a，B1C1＝ ．∴B1( ， )， ∴ ，∴ ，∴ ． 作 B2C2⊥y 轴，设 A1C2＝m，则 A1B2＝2m，C2B2＝ m， ∴ ． ∴ ． ∴2m2-m-1＝0， 即(2m+1)(m-1)＝0，∴m＝1 或 (舍)． ∴A1B2＝2． 同理可求 A2B3＝3，A3B4＝4，… ∴△A2012B2013A2013 的边长为 2013． 【总结升华】在△A0A1B1，△A1A2B2，△A2A3B3 中，运用勾股定理表示出 B1、B2、B3 的坐标，利用抛物线 22 3y x= 22 3y x= 3a 3a a 22 ( 3 )3a a= 1 2a = 0 1 1A B = 3 2 ( 3 ,1 )B m m+ 221 ( 3 )3m m+ = 1 2 −7 解析式 建立等式是关键. 类型二、二次函数 y=ax2+c(a≠0)的图象与性质 4.（2014•江阴市校级二模）关于二次函数 y=2x2+3，下列说法中正确的是（　　） A. 它的开口方向是向下； B. 当 x＜﹣1 时，y 随 x 的增大而减小； C. 它的对称轴是 x=2； D. 当 x=0 时，y 有最大值是 3. 【答案】B. 【解析】 A、∵二次函数 y=2x2+3 中，x=2＞0，∴此抛物线开口向上，故本选项错误； B、∵抛物线的对称轴 x=﹣ =0，∴当 x＜﹣1 时函数图象在对称轴左侧，y 随 x 的增大而减小，故本选 项正确； C、抛物线的对称轴为 x=0，故本选项错误； D、∵抛物线开口向上，∴此函数有最小值，故本选项错误． 故选 B． 【总结升华】本题考查了二次函数的性质，主要涉及开口方向，对称轴，与 y 轴的交点坐标，最值问题， 熟记二次函数的性质是解题的关键． 举一反三： 【变式】如图所示，抛物线 交 x 轴于 G、F，交 y 轴于点 D，在 x 轴上方的抛物线上有 两点 B、E，它们关于 y 轴对称，点 G、B 在 y 轴左侧，BA⊥OG 于点 A，BC⊥OD 于点 C．四边形 OABC 与四 边形 ODEF 的面积分别为 6 和 10，则△ABG 与△BCD 的面积之和为________． 【答案】4.（提示：10-6=4.） 5.有一个抛物线形的拱形隧道，隧道的最大高度为 6m，跨度为 8m，把它放在如图所示的平面直角 坐标系中． （1）求这条抛物线所对应的函数关系式； （2）若要在隧道壁上点 P（如图）安装一盏照明灯，灯离地面高 4.5m．求灯与点 B 的距离． 22 3y x= 2 ( 0)y ax c a= + − 1 2 11 2 x x− < − < < 1 2y y> )0(16 1 2 >= CCS13 （3）根据图象得，当 C≥8cm 时，S≥4 cm2．