二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质

1 二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质 【学习目标】 1. 会用描点法画二次函数 的图象；会用配方法将二次函数 的解 析式写成 的形式； 2.通过图象能熟练地掌握二次函数 的性质； 3.经历探索 与 的图象及性质紧密联系的过程，能运用二次函数的图象 和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想． 【要点梳理】 要点一、二次函数 与 之间的相互关系 1.顶点式化成一般式 　 　 从 函 数 解 析 式 我 们 可 以 直 接 得 到 抛 物 线 的 顶 点 (h ， k) ， 所 以 我 们 称 为 顶 点 式 ， 将 顶 点 式 去 括 号 ， 合 并 同 类 项 就 可 化 成 一 般 式 ． 2.一般式化成顶点式 ． 对照 ，可知 ， ． ∴ 抛物线 的对称轴是直线 ，顶点坐标是 ． 要点诠释： 1．抛物线 的对称轴是直线 ，顶点坐标是 ，可以当作公 式加以记忆和运用． 2．求抛物线 的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这 三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用． 2 ( 0)y ax bx c a= + + ≠ 2y ax bx c= + + 2( )y a x h k= − + 2y ax bx c= + + 2y ax bx c= + + 2( )y a x h k= − + 2 ( 0)y ax bx c a= + + ≠ = − + ≠2( ) ( 0)y a x h k a 2( )y a x h k= − + 2( )y a x h k= − + 2( )y a x h k= − + 2y ax bx c= + + 2 2 2 2 2 2 2 b b b by ax bx c a x x c a x x ca a a a       = + + = + + = + + − +              2 24 2 4 b ac ba x a a − = + +   2( )y a x h k= − + 2 bh a = − 24 4 ac bk a −= 2y ax bx c= + + 2 bx a = − 24,2 4 b ac b a a  −−   2y ax bx c= + + 2 bx a = − 24,2 4 b ac b a a  −−   2y ax bx c= + +2 要点二、二次函数 的图象的画法 1.一般方法：列表、描点、连线； 2.简易画法：五点定形法. 其步骤为： (1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点 M，并用虚线画出对称 轴． (2)求抛物线 与坐标轴的交点， 当抛物线与 x 轴有两个交点时，描出这两个交点 A、B 及抛物线与 y 轴的交点 C，再找到点 C 关于对 称轴的对称点 D，将 A、B、C、D 及 M 这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来． 要点诠释： 当抛物线与 x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与 y 轴的交点 C 及对称点 D，由 C、M、D 三 点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点 A、B，然后 顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象， 要点三、二次函数 的图象与性质 1.二次函数 图象与性质 函数 二次函数 （a、b、c 为常数，a≠0） 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当 时，y 随 x 的增 大而减小；在对称轴的右侧，即当 时， y 随 x 的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当 时，y 随 x 的增大而增大；在对称轴的右侧， 即当 时，y 随 x 的增大而减 小．简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当 时，y 有最小值， 抛物线有最高点，当 时，y 有 2 ( 0)y ax bx c a= + + ≠ 2y ax bx c= + + 2 ( 0)y ax bx c a= + + ≠ 2 0( )y ax bx c a= + + ≠ 2y ax bx c= + + 0a > 0a < 2 bx a = − 2 bx a = − 24,2 4 b ac b a a  −−   24,2 4 b ac b a a  −−   2 bx a < − 2 bx a > − 2 bx a < − 2 bx a > − 2 bx a = − 2 bx a = −3 最大值， 2.二次函数 图象的特征与 a、b、c 及 b2-4ac 的符号之间的关系 项目 字母 字母的符号 图象的特征 a＞0 开口向上a a＜0 开口向下 ab＞0(a，b 同号) 对称轴在 y 轴左侧b ab＜0(a，b 异号) 对称轴在 y 轴右侧 c=0 图象过原点 c＞0 与 y 轴正半轴相交c c＜0 与 y 轴负半轴相交 b2-4ac=0 与 x 轴有唯一交点 b2-4ac＞0 与 x 轴有两个交点b2-4ac b2-4ac＜0 与 x 轴没有交点 要点四、求二次函数 的最大（小）值的方法 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当 时， ． 要点诠释： 如果自变量的取值范围是 x1≤x≤x2，那么首先要看 是否在自变量的取值范围 x1≤x≤x2 内， 若在此范围内，则当 时， ，若不在此范围内，则需要考虑函数在 x1≤x≤x2 范 围内的增减性，如果在此范围内，y 随 x 的增大而增大，则当 x＝x2 时， ；当 x＝ x1 时 ， ， 如 果 在 此 范 围 内 ， y 随 x 的 增 大 而 减 小 ， 则 当 x ＝ x1 时 ， ；当 x＝x2 时， ，如果在此范围内，y 值有增有减，则需考察 x＝x1，x＝x2， 时 y 值的情况． 24 4 ac by a −=最小值 24 4 ac by a −=最大值 2 0( )y ax bx c a= + + ≠ 2 ( 0)y ax bx c a= + + ≠ 2 bx a = − 24 4 ac by a −=最值 2 b a − 2 bx a = − 24 4 ac by a −=最值 2 2 2y ax bx c= + +最大值 2 1 1y ax bx c= + +最小值 2 bx a = − 2 1 1=ax +bx +y c最大值 2 2 2=ax +bx +y c最小值4 【典型例题】 类型一、二次函数 的图象与性质 1. 抛物线 与 y 轴交于(0，3)点： (1)求出 m 的值并画出这条抛物线； (2)求它与 x 轴的交点和抛物线顶点的坐标； (3)x 取什么值时，抛物线在 x 轴上方？ (4)x 取什么值时，y 的值随 x 值的增大而减小？ 【答案与解析】 (1)由抛物线 与 y 轴交于(0，3)可得 m＝3． ∴ 抛物线解析式为 ，如图所示． (2)由 得 ， ． ∴ 抛物线与 x 轴的交点为(-1，0)、(3，0)． ∵ ， ∴ 抛物线的顶点坐标为(1，4)． (3)由图象可知：当-1＜x＜3 时，抛物线在 x 轴上方． (4)由图象可知：当 x≥1 时，y 的值随 x 值的增大而减小． 【总结升华】研究函数问题一般都应与图象结合起来，借助于图象的直观性求解更形象与简洁． (1)将点(0，3)代入解析式中便可求出 m 的值，然后用描点法或五点作图法画抛物线； (2)令 y＝0 可求抛物线与 x 轴的交点，利用配方法或公式法可求抛物线顶点的坐标； (3)、(4)均可利用图象回答，注意形数结合的思想， 举一反三： 【高清课程名称：二次函数 的图象与性质 高清 ID 号： 392790 关联的位置名称（播放点名称）：练习 2-3】 【变式】（2015•泰安）某同学在用描点法画二次函数 y=ax2+bx+c 的图象时，列出了下面的表格： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … 2 ( 0)y ax bx c a= + + ≠ 2 ( 1)y x m x m= − + − + 2 ( 1)y x m x m= − + − + 2 2 3y x x= − + + 2 2 3 0x x− + + = 1 1x = − 2 3x = 2 22 3 ( 1) 4y x x x= − + + = − − + 2 ( 0)y ax bx c a= + + ≠5 y … ﹣11 ﹣2 1 ﹣2 ﹣5 … 由于粗心，他算错了其中一个 y 值，则这个错误的数值是（　　） A. -11 B. -2 C. 1 D. -5 【答案】D. 提示：由函数图象关于对称轴对称，得 （﹣1，﹣2），（0，1），（1，2）在函数图象上， 把（﹣1，﹣2），（0，1），（1，﹣2）代入函数解析式，得 ， 解得 ， 函数解析式为 y=﹣3x2+1 x=2 时 y=﹣11，故选：D． 类型二、二次函数 的最值 2. 分别在下列范围内求函数 的最大值或最小值． (1)0＜x＜2； (2)2≤x≤3． 【答案与解析】 ∵ ， ∴ 顶点坐标为(1，-4)． (1)∵ x＝1 在 0＜x＜2 范围内，且 a＝1＞0， ∴ 当 x＝1 时 y 有最小值， ． ∵ x＝1 是 0＜x＜2 范围的中点，在 x＝1 两侧图象左右对称，端点处取不到，不存在最大值． (2)∵ x＝1 不在 2≤x≤3 范围内(如图所示)，又因为函数 (2≤x≤3)的图象是 抛物线 的一部分，且当 2≤x≤3 时，y 随 x 的增大而增大， ∴ 当 x＝3 时， ；当 x＝2 时， ． 2 ( 0)y ax bx c a= + + ≠ 2 2 3y x x= − − 2 22 3 ( 1) 4y x x x= − − = − − 4y = −最小值 2 2 3y x x= − − 2 2 3y x x= − − 23 2 3 3 0y = − × − =最大值 22 2 2 3 3y = − × − = −最小值6 【总结升华】先求出抛物线 的顶点坐标，然后看顶点的横坐标是否在所规定的自变量的 取值范围内，根据不同情况求解，也可画出图象，借助于图象的直观性求解，如图所示，2≤x≤ 3 为图中实线部分，易看出 x＝3 时， ；x＝2 时， ． 类型三、二次函数 性质的综合应用 3.（2015•梅州）对于二次函数 y=﹣x2+2x．有下列四个结论：①它的对称轴是直线 x=1；②设 y1=﹣x12+2x1，y2=﹣x22+2x2，则当 x2＞x1 时，有 y2＞y1；③它的图象与 x 轴的两个交点是（0，0）和 （2，0）；④当 0＜x＜2 时，y＞0．其中正确的结论的个数为（　　） A.1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C. 【解析】 解：y=﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1，故①它的对称轴是直线 x=1，①正确； ②∵直线 x=1 两旁部分增减性不一样，∴设 y1=﹣x12+2x1，y2=﹣x22+2x2，则当 x2＞x1 时，有 y2＞y1， ②错误； ③当 y=0，则 x（﹣x+2）=0，解得：x1=0，x2=2， 故它的图象与 x 轴的两个交点是（0，0）和（2，0），③正确； ④∵a=﹣1＜0， ∴抛物线开口向下， ∵它的图象与 x 轴的两个交点是（0，0）和（2，0）， ∴当 0＜x＜2 时，y＞0，④正确． 故选：C． 【总结升华】此题主要考查了二次函数的性质以及一元二次方程的解法，得出抛物线的对称轴和其交点 坐标是解题关键． 4. 一条抛物线 经过 A（2，0）和 B（6，0），最高点 C 的纵坐标是 1． （1）求这条抛物线的解析式，并用描点法画出抛物线； （2）设抛物线的对称轴与 轴的交点为 D，抛物线与 y 轴的交点为 E，请你在抛物线上另找一点 P(除点 A、B、C、E 外)，先求点 C、A、E、P 分别到点 D 的距离，再求这些点分别到直线 的距离； 2 2 3y x x= − − 0y =最大值 3y = −最小值 2 ( 0)y ax bx c a= + + ≠ 2y ax bx c= + + x y x 2y =7 (3)观察(2)的计算结果，你发现这条抛物线上的点具有何种规律?请用文字写出这个规律． 【答案与解析】 (1)由已知可得抛物线的对称轴是 ． ∴ 最高点 C 的坐标为(4，1)． 则 解得 ∴ 所求抛物线的解析式为 ． 列表： -2 0 2 4 6 8 10 -8 -3 0 1 0 -3 -8 描点、连线，如图所示： （2）取点（-2，-8）为所要找的点 P，如图所示，运用勾股定理求得 ED＝5，PD＝10， 观察图象知 AD＝2，CD＝1，点 E、P、A、C 到直线 y＝2 的距离分别是 5、10、2、1． （3）抛物线上任一点到点 D 的距离等于该点到直线 y＝2 的距离． 【总结升华】(1)描点画图时，应先确定抛物线的对称轴，然后以对称轴为参照，左右对称取点． (2)计算两点之间的距离应构造两直角边分别平行于两坐标轴的直角三角形， 然后运用勾股定理求得． 举一反三： 【高清课程名称：二次函数 的图象与性质 高清 ID 号： 392790 关联的位置名称（播放点名称）：练习 4】 【变式】已知二次函数 （其中 a>0，b>0，c 1 2y y= 1 2y y< 2y ax bx c= + + 0a < 1c > 0b > 0a b c+ + > 0a b c− + > 2y ax bx c= + +9 7．把抛物线 的图象先向右平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位，所得的图象的解析式 是 ，则 a+b+c＝________． 8．如图所示，是二次函数 在平面直角坐标系中的图象．根据图形判断①c＞0； ②a+b+c＜0；③2a-b＜0；④ 中正确的是________（填写序号）． 9．（2015•长春）如图，在平面直角坐标系中，点 A 在抛物线 y=x2﹣2x+2 上运动．过点 A 作 AC⊥x 轴 于点 C，以 AC 为对角线作矩形 ABCD，连结 BD，则对角线 BD 的最小值为　　． 10．抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴的正半轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于 C 点，且线段 AB 的长为 1，△ABC 的 面积为 1，则 b 的值是_____. 11．抛物线 y=x2+kx-2k 通过一个定点，这个定点的坐标是_ ____. 12．已知抛物线 y=x2+x+b2 经过点 ，则 y1 的值是___ __. 三、解答题 13．（2015•北京）在平面直角坐标系 xOy 中，过点（0，2）且平行于 x 轴的直线，与直线 y=x﹣1 交于 点 A，点 A 关于直线 x=1 的对称点为 B，抛物线 C1：y=x2+bx+c 经过点 A，B． （1）求点 A，B 的坐标； （2）求抛物线 C1 的表达式及顶点坐标； （3）若抛物线 C2：y=ax2（a≠0）与线段 AB 恰有一个公共点，结合函数的图象，求 a 的取值范围． 2y ax bx c= + + 2 3 5y x x= − + 2 ( 0)y ax bx c a= + + ≠ 2 8 4b a ac+ >10 14．如图，已知抛物线 的图象与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，抛物线的对 称轴与 x 轴交于点 D. 点 M 从 O 点出发，以每秒 1 个单位长度的速度向 B 运动，过 M 作 x 轴的垂线， 交抛物线于点 P，交 BC 于 Q. (1)求点 B 和点 C 的坐标； (2)设当点 M 运动了 x(秒)时，四边形 OBPC 的面积为 S，求 S 与 x 的函数关系式， 并指出自变量 x 取值范围. (3)在线段 BC 上是否存在点 Q，使得△DBQ 成为以 BQ 为一腰的等腰三角形？若存在，求出点 Q 的坐 标， 若不存在，说明理由. 　　　　　　　　　 　　　　　　 15.如图，抛物线 经过直线 与坐标轴的两个交点 ，此抛物线与 轴的另一 个交点为 ，抛物线的顶点为 . (1)求此抛物线的解析式； (2)点 为抛物线上的一个动点，求使 的点 的坐标. 11 【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】D； 【解析】∵抛物线 y=ax2+bx+c（a＞0）过（﹣2，0），（2，3）两点， ∴点（﹣2，0）关于对称轴的对称点横坐标 x2 满足：﹣2＜x2＜2， ∴﹣2＜ ＜0， ∴抛物线的对称轴在 y 轴左侧且在直线 x=﹣2 的右侧．故选 D． 2.【答案】A； 【解析】由于抛物线 经过点 A(-2，0)，O(0，0)，所以其对称轴为 ， 根据抛物线对称性知当 和 时，其函数值相等， ∵ ，开口向下，当 时，y 随 x 增大而减小，又 ，∴ ． 3.【答案】C； 【解析】由图象知 ， ， ，∴ ，当 时， ， 当 时， ，∴ ①②③④正确． 4.【答案】B ； 【解析】由表可知 1＜x1＜2，∴ 0＜y1＜1，3＜x2＜4，∴ 1＜y2＜4，故 y1＜y2. 5.【答案】A ； 【解析】由顶点(n，k)在(m，h)的上方，且对称轴相同，∴ m＝n，k＞h. 6.【答案】C ； 【解析】观察图象在 0≤x≤3 时的最低点为(1，-1)，最高点为(3，3)，故有最小值-1，有最大值 3. 二、填空题 7．【答案】11 ； 【解析】将 向左平移 3 个单位，再向上平移 2 个单位，得 ． ∴ a＝1，b＝3，c＝7. 8．【答案】②④； 【解析】观察图象知抛物线与 y 轴交于负半轴，则 ，故①是错误的；当 时， ， 即 ，故②是正确的；由于抛物线对称轴在 y 轴右侧，则 ， ∵ ，∴ ，故 ，故③是错误的；∵ ， ， ∴ ，故④是正确的． 2y ax bx c= + + 1x = − 3x = − 1x = 0a < 2x > − 2 1 3− < < 1 2y y> 0a < 1c > 02 b a − > 0b > 1x = 0a b c+ + > 1x = − 0a b c− + < 2 3 5y x x= − + 2 3 7y x x= + + 0c < 1x = 0y < 0a b c+ + < 02 b a − > 0a > 0b < 2 0a b− > 0a > 2 4 0b ac− > 2 8 4b a ac+ >12 9．【答案】1； 【解析】∵y=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1， ∴抛物线的顶点坐标为（1，1）， ∵四边形 ABCD 为矩形， ∴BD=AC， 而 AC⊥x 轴， ∴AC 的长等于点 A 的纵坐标， 当点 A 在抛物线的顶点时，点 A 到 x 轴的距离最小，最小值为 1， ∴对角线 BD 的最小值为 1． 10．【答案】-3； 【解析】设抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交点的坐标是 x1、x2，则 x2- x1=1，△ABC 的面积为 1 得 c=2, 由根与系数关系化为 ， 即 ，由 得 ， . 11．【答案】(2，4)； 【解析】若抛物线 y=x2+kx-2k 通过一个定点，则与 k 值无关，即整理 y=x2+kx-2k 得 y=x2+k（x-2）， x-2=0，解得 x=2,代入 y=x2+k（x-2），y=4,所以过点(2，4). 12．【答案】 ； 【解析】 又因为函数图象经过 ，所以 ，代入即可求得. 三、解答题 13.【答案与解析】 解：（1）当 y=2 时，则 2=x﹣1， 解得：x=3， ∴A（3，2）， ∵点 A 关于直线 x=1 的对称点为 B， ∴B（﹣1，2）． （2）把（3，2），（﹣2，2）代入抛物线 C1：y=x2+bx+c 得： 解得： ∴y=x2﹣2x﹣1． 顶点坐标为（1，﹣2）． （3）如图，当 C2 过 A 点，B 点时为临界， 1 2 3x x+ = ± = 3b a − ± 2 0b a − ＞ =3b a − 3b = − 3 413 代入 A（3，2）则 9a=2， 解得：a= ， 代入 B（﹣1，2），则 a（﹣1）2=2， 解得：a=2， ∴ 14.【答案与解析】 (1)把 x=0 代入 得点 C 的坐标为 C(0，2) 　　 把 y=0 代入 得点 B 的坐标为 B(3，0)； 　 (2)连结 OP，设点 P 的坐标为 P(x，y) 　　　　 = 　　　　　 　= 　　　　　　∵ 点 M 运动到 B 点上停止，∴ ， ∴ ( )； 　　 (3)存在. BC= = 　　　　　① 若 BQ=DQ ∵ BQ=DQ，BD=2 　　　　　　　∴ BM=1 ∴OM=3-1=2 　　　　　　　∴ ∴QM= 　　　　　　　 所以 Q 的坐标为 Q(2， )； 　　　　　② 若 BQ=BD=2 　　　　　　　∵△BQM∽△BCO，∴ = =14 　　　　　　　 ∴ = ∴ QM= 　　　　　　　　 ∵ = ∴ = 　　　　　　　　 ∴BM= ∴ OM= 　　　　　　　　 所以 Q 的坐标为 Q( ， ). 15.【答案与解析】 (1)直线 与坐标轴的交点 ， . 　　　　　　 则 解得 　　　　　　 此抛物线的解析式 . 　　　　　 (2)抛物线的顶点 ，与 轴的另一个交点 . 　　　　　　 设 ，则 . 　　　　　　 化简得 . 　　　　　　 当 ，得 或 . 或 　　　　　　 当 时，即 ，此方程无解. 　　　　　　 综上所述，满足条件的点的坐标为 或 .