导学案——二次函数的概念

1 导学案——二次函数的概念 【学习目标】 1.理解函数的定义、函数值、自变量、因变量等基本概念； 2.了解表示函数的三种方法——解析法、列表法和图像法； 3.会根据实际问题列出函数的关系式，并写出自变量的取值范围； 4.理解二次函数的概念，能够表示简单变量之间的二次函数关系. 【要点梳理】 要点一、函数的概念 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 x，y，对于自变量 x 在某一范围内的每一个确定值， y 都有惟一确定的值与它对应，那么就说 y 是 x 的函数. 对于自变量 x 在可以取值范围内的一个确定的值 a，函数 y 有惟一确定的对应值，这个对应值叫做 当 x=a 时函数的值，简称函数值. 要点诠释： 　　对于函数的概念，应从以下几个方面去理解： 　　（1）函数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系； 　　（2）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于 x 允许取的每一个值，y 是否都有惟一确定的值 与它相对应； （3）函数自变量的取值范围，应要使函数表达式有意义，在解决实际问题时，还必须考虑使实际 问题有意义. 要点二、函数的三种表示方法 表示函数的方法，常见的有以下三种： 　 （1）解析法：用来表示函数关系的数学式子叫做函数的表达式，（或解析式），用数学式子表示函数 的方法称为解析法. 　 （2）列表法：用一个表格表达函数关系的方法. 　 （3）图象法：用图象表达两个变量之间的关系的方法. 要点诠释： 函数的三种表示方法各有不同的长处.解析式法能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有 的函数都能列出解析式；列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的对应值，这会对某些特定的数值 带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等；图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，而 且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色. 对照表如下： 表示方法 全面性 准确性 直观性 形象性2 列表法 × ∨ ∨ × 解析式法 ∨ ∨ × × 图象法 × × ∨ ∨ 要点三、二次函数的概念 一般地，形如 y=ax2+bx+c（a, b, c 是常数，a≠0）的函数叫做 x 的二次函数. 若 b=0，则 y=ax2+c； 若 c=0，则 y=ax2+bx； 若 b=c=0，则 y=ax2.以上三种形式都是二次函数的特 殊形式，而 y=ax2+bx+c（a≠0）是二次函数的一般式. 在二次函数的一般式 y=ax2+bx+c（a≠0）中，ax 叫函数的二次项，bx 叫函数的一次项，c 叫常数 项；a 叫二次项系数，b 叫一次项系数，c 叫常数项. 要点诠释： （1）如果 y=ax2+bx+c(a,b,c 是常数，a≠0)，那么 y 叫做 x 的二次函数．这里，当 a=0 时就不是二 次函数了，但 b、c 可分别为零，也可以同时都为零． （2）判断系数时，首先要将二次函数化成一般式，再对照定义写出，特别要注意的是系数要包含 其前面的符号. 【典型例题】 类型一、函数的相关概念 1、下列说法正确的是（　　） 　　Ａ.变量 满足 ，则 是 的函数； 　　Ｂ.变量 满足 ，则 是 的函数； 　　Ｃ.变量 满足 ，则 是 的函数； 　　Ｄ.变量 满足 ，则 是 的函数. 【思路点拨】严格依照函数的概念进行判断. 【答案】A； 【解析】B、C、D 三个选项，对于一个确定的 的值，都有两个 值和它对应，不满足单值对应的条件， 所以不是函数. 【总结升华】理解函数的概念，关键是函数与自变量之间是单值对应关系，自变量的值确定后，函数值 是惟一确定的. 举一反三： 23 【变式】如图的四个图象中，不表示某一函数图象的是（　　 ） 　　　 【答案】B. 2、求函数 的自变量的取值范围. 【思路点拨】要使函数有意义，需 或 解这个不等式组即可. 【答案与解析】 解：要使函数 有意义，则需要 　　　　即 或 　　　　解方程组得，自变量取值是 或 . 【总结升华】自变量的取值范围是使函数有意义的 x 的值. 3、如图所示，用一段长 30 米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度为 15 米)的矩形菜园 ABCD，设 AB 的长为 x 米，则菜园的面积 y(单位：米 2)与 x(单位：米)的函数关系式为_____ ___(写自变量的取值 范围)． 【思路点拨】根据矩形的周长和一边 AB 的长表示出另一临边 AD 的长，再根据矩形的面积公式来求解. 【答案】 （0＜x≤15） 【解析】解：∵矩形的周长为 30 米，边 AB 长 x 米，∴AD= 米， 21 152y x x= − + 30 2 x−4 ∴矩形的面积 y=x = （0＜x≤15） 【总结升华】考虑到实际情况，对于自变量 x 来说，一定不能超过墙的长度. 举一反三： 【变式】圆的半径是 1cm，假设半径增加 xcm，圆的面积增加 ycm ，则 y 与 x 的关系式为：_____ ___. 【答案】 类型二、函数的三种表示方法 4、问题情境 已知矩形的面积为 a（a 为常数，a＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？ 数学模型 设该矩形的长为 x，周长为 y，则 y 与 x 的函数关系式为 ． 探索研究 ⑴我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数 的图象性质． ①填写下表，画出函数的图象： ②观察图象，写出该函数两条不同类型的性质； ③在求二次函数 y=ax2＋bx＋c（a≠0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得 到．请你通过配方求函数 (x＞0)的最小值． 解决问题 ⑵用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案． 【思路点拨】本题告诉我们一种研究问题的方法，从最基本的函数研究起，慢慢到较复杂的函数.所以 一定要跟着题目教给我们的思路走. × 30 2 x− 21 152 x x− + 2 2 2y x xπ π= + 2( )( 0)ay x xx = + ＞ 1 ( 0)y x xx = + ＞ 1y x x = +5 【答案与解析】 解⑴①y 的值依次是： ， ， ，2， ， ， ． 函数 的图象如图． ②本题答案不唯一，下列解法供参考． 当 时， 随 增大而减小；当 时, 随 增大而增大；当 时函数 的最小值为 2． ③ = = = 当 =0，即 时，函数 的最小值为 2． ⑵当该矩形的长为 时，它的周长最小，最小值为 ． 【总结升华】本题属于阅读理解型问题，要好好阅读材料，根据题目的提示一步步往下进行.综合考察 了列表法、图形法和解析法三种函数的表示方法. 类型三、二次函数的概念 5、（2015 秋·武威校级月考）一个二次函数 . （1）求 k 的值. （2）求当 x=3 时，y 的值？ 【思路点拨】关键要考虑两点：一是自变量的最高次数为 2，二是最高次项系数不能为 0. 17 4 10 3 5 2 5 2 10 3 17 4 1y x x = + ( 0)x > 0 1x< < y x 1x > y x 1x = 1y x x = + ( 0)x > 1y x x = + 2 21( ) ( )x x + 2 21 1 1( ) ( ) 2 2x x xx x x + − ⋅ + ⋅ 21( ) 2x x − + 1x x − 1x = 1y x x = + ( 0)x > a 4 a 2 3 4( 1) 2 1k ky k x x− += − + −6 【答案与解析】 　　 解（1）依题意有 　， 解之得，k=2. 　 　　　(2)把 k=2 代入函数解析式中得： y=x2+2x-1, 当 x=3 时，y=14. 【总结升华】此题考察二次函数的定义和函数值. 举一反三： 【变式 1】函数 是二次函数，则 m 的值是( )． A．3 B．-3 C．±2 D．±3 【答案】B. 【变式 2】（2015 秋·合肥校级月考）已知函数 是二次函数，求 m 的值，并指 出二次项系数，一次项系数及常数项. 【答案与解析】 解：由题意得 ∴ ， ∴m= -2. ∴函数为 y=-3x2+2x+2 ∴ 二 次 项 系 数 为 -3 ， 一 次 项 系 数 为 2 ， 常 数 项 为 2. | | 1( 3) 3 1my m x x−= − + − 2 3 4 2 1 0 k k k  − + =  − ≠ 2 ( 1) 2m my m x x m+= − + − 2 2 1 0 m m m  + =  − ≠ 2 1 1 m m m = − =   或 ≠7 【巩固练习】 一.选择题 1.下列平面直角坐标系中的曲线，不能表示 y 是 x 的函数的是（ ） 2.在函数 中，自变量 的取值范围是（ ） A.x＞-1 且 x≠1 B. x≥-1 C. x≥-1 且 x≠1 D. x＞-1 3.张大伯出去散步，从家走了 20 分钟，到一个离家 900 米的阅报亭，看了 10 分钟报纸后，用了 15 分 钟返回到家，下面哪个图形表示张大伯离家时间与距离之间的关系（ ） 4.（2015 秋·青海校级月考）若 是二次函数，则 m 的值是( )． A.5 B.1 C.1 或 5 D.以上都不对. 5.一台机器原价 60 万元，如果每年的折旧率是 x，两年后这台机器的价格为 y 万元，则 y 与 x 之间的函 数关系式为( )． A．y＝60(1-x)2 B.y＝60(1-x) C．y＝60-x2 D．y＝60(1+x)2 6.汽车的刹车距离 y (m)与开始刹车时的速度 x(m/s)之间满足二次函数 若汽车某次的 刹车距离为 5 m，则开始刹车时的速度为( )． A．40 m/s B．20m/s C．10 m/s D．5 m/s 二.填空题 7. 一 个 圆 柱 的 高 与 底 面 直 径 相 等 ， 试 写 出 它 的 表 面 积 S 与 底 面 半 径 r 之 间 的 函 数 关 系 式 ___________________. 1 1 xy x += − x 21 ( 0)20y x x= > 2 6 7( 1) m my m x − += −8 8.（2015 秋·乌鲁木齐校级月考）若 是二次函数，则 a= . 9.下列函数一定是二次函数的是__________.① ；② ； ③ ；④ ；⑤y=(x-3)2-x2 10.边长为 12 cm 的正方形铁片，中间剪去一个边长 x cm 的小正方形铁片，剩下的四方框铁片的面积 y(cm2)与 x(cm)之间的函数关系式为_______________． 11. 中的二次项系数 =__________,一次项系数 =__________,常数项 =__________. 12.同学聚会，每两个人之间握手一次，试写出握手的总数 m 与参加聚会的人数 n 之间的函数关系式 _______________． 三.解答题 13.（2014 秋·温岭市校级月考） 已知某商品的进价为每件 40 元，售价是每件 60 元，每周可卖出 300 件.市场调查反映：如调整价格，每涨价 1 元，每周要少卖出 10 件.假设涨价 x 元，求每周的利润 y （元）与涨价 x 之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围. 14. 如图所示，正方形 ABCD 的边长为 4 ，E、F 分别是 BC、DC 边上一动点，E、F 同时从点 C 均以 1 的速度分别向点 B、点 D 运动，当点 E 与点 B 重合时，运动停止．设运动时间为 ( )，运动 过程中△AEF 的面积为 ，请写出用 表示 的函数关系式，并写出自变量 的取值范围． 15.某地绿色、富硒产品和特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中香菇远销日本和韩国等地．上市 时，外商李经理按市场价格 10 元/千克在当地收购了 2000 千克香菇存放入冷库中．据预测，香菇的 市场价格每天每千克将上涨 0.5 元，但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计 340 元，而且 香菇在冷库中最多保存 110 天，同时，平均每天有 6 千克的香菇损坏不能出售． （1）若存放 x 天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为 y 元，试写出 y 与 x 之间的 函数关系式． （2）李经理想获得利润 22500 元，需将这批香菇存放多少天后出售？（利润＝销售总金额－收购成本 －各种费用） 【答案与解析】 一.选择题 1.【答案】B； 【解析】依据函数的定义，对于自变量 的每一个取值， 都有唯一确定的值和它对应.B 选项中对于 一个 x 值有两个 y 与之对应，所以不是函数. 2.【答案】C； cbxaxy ++= 2 xy 3−= 134 2 +−= xxy cbxxmy ++−= 2)1( 2y =( 2x- 1) - 6 a b c cm /cm s x s y x y x x y 2 2 1( 3) 2a ay a x − −= − −9 【解析】要使函数 有意义，需要 . 3.【答案】D； 4.【答案】A； 5.【答案】A ； 【解析】一年后这台机器的价格为 60-60x＝60(1-x)，两年后这台机器的价格为 y＝60(1-x)(1-x)＝ 60(1-x)2．以此类推． 6.【答案】C； 【解析】当 y＝5 时，x2＝100，x＝10． 二.填空题 7.【答案】S=6πr ； 【解析】根据圆柱的表面积=两个底面圆+侧面积，有 . 8.【答案】-1； 【解析】根据二次函数的定义，有 a2-2a-1=2，解得 a=3 或-1， 又∵a-3≠0，∴ a=-1. 9.【答案】③. 10.【答案】y＝144-x2 ； 【解析】剩下四方框的面积为两个正方形的面积差. 11.【答案】4；-4；-5 【解析】提示： 12.【答案】 【解析】n 位同学中，因为每人除自己之外都要与其余同学分别握手一次，即握(n-1)次手，考虑到 两位同学彼此的握手只算一次，所以 n 位同学共握手 次．即 二.解答题 13.【解析】 解：每件的利润为：60+x-40=(20+x)元，每周的销售量为：（300-10x）件， 所以 y=(20+x)（300-10x）=-10x +100x+6000 ∵300-10x＞0， ∴x＜30 ∴ y=(20+x)（300-10x）=-10x +100x+6000（0＜x＜30）. 14.【解析】 解： 1 1 xy x += − 1 0 1 0 x x + ≥  − ≠ 2 2 22 2 2 6S r r r rπ π π= + × = 2 2y =( 2x- 1) - 6=4x - 4x- 5. 21 1 2 2m n n= − 1 ( 1)2 n n − 21 1 1( 1)2 2 2m n n n n= − = − 2 2 ABE DAF CEFy S S S S∆ ∆ ∆= − − −正方形ABCD10 ． 15.【解析】 解：（1）由题意得 y 与 x 之间的函数关系式为： （1≤x≤110，且 x 为整数）； （2）由题意得： -10×2000-340x=22500 解方程得：x =50，x =150（不合题意，舍去） 答：李经理想获得利润 22500 元需将这批香菇存放 50 天后出售. 2 1 1 1 2 2 2BC AB BE AD DF EF FC= − − −   2 1 1 14 4 (4 ) 4 (4 )2 2 2x x x x= − × × − − × × − −  21 4 (0 4)2 x x x= − + ≤ ≤ 1 2