用函数观点看一元二次方程

1 用函数观点看一元二次方程 【学习目标】 1.会用图象法求一元二次方程的近似解；掌握二次函数与一元二次方程的关系； 2.会求抛物线与 x 轴交点的坐标，掌握二次函数与不等式之间的联系； 3.经历探索验证二次函数 与一元二次方程的关系的过程，学会用函数的观点去看 方程和用数形结合的思想去解决问题． 【要点梳理】 要点一、二次函数与一元二次方程的关系 1.二次函数图象与 x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 　　求二次函数 (a≠0)的图象与 x 轴的交点坐标，就是令 y＝0，求 中 x 的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与 x 轴 的交点的个数，它们的关系如下表： 二次函数 一元二次方程判别式 图象 与 x 轴的交点坐标 根的情况 △＞0 抛物线 与 x 轴 交 于 ， 两 点，且 ， 此时称抛物线与 x 轴相交 一元二次方程 有两个不相等的实数根 △＝0 抛物线 与 x 轴交切于 这一点，此时称 抛物线与 x 轴相切 一元二次方程 有 两 个 相 等 的 实 数 根 △＜0 抛物线 与 x 轴无交点，此时称抛物线与 x 轴相离 一元二次方程 在实数范围内无解（或称 无实数根） 2 ( 0)y ax bx c a= + + ≠ 2y ax bx c= + + 2 0ax bx c+ + = 2 ( 0)y ax bx c a= + + ≠ 2 0( 0)ax bx c a+ + = ≠2 4b ac= −△ 0a > 0a < 2 ( 0)y ax bx c a= + + ≠ 1( ,0)x 2( ,0)x 1 2( )x x< 2 1,2 4 2 b b acx a − ± −= 2 0( 0)ax bx c a+ + = ≠ 2 1,2 4 2 b b acx a − ± −= 0a > 0a < 2 ( 0)y ax bx c a= + + ≠ ,02 b a  −   2 0( 0)ax bx c a+ + = ≠ 1 2 2 bx x a = = − 0a > 0a < 2 ( 0)y ax bx c a= + + ≠ 2 0( 0)ax bx c a+ + = ≠2 　要点诠释： 　　 二次函数图象与 x 轴的交点的个数由 的值来确定的. 　 (1)当二次函数的图象与 x 轴有两个交点时， ，方程有两个不相等的实根； 　　(2)当二次函数的图象与 x 轴有且只有一个交点时， ，方程有两个相等的实根； 　　(3)当二次函数的图象与 x 轴没有交点时， ，方程没有实根. 2.抛物线与直线的交点问题 抛物线与 x 轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛物线 (a≠0)与 y 轴交点和二次函数与一次函数 的交点问题． 抛物线 (a≠0)与 y 轴的交点是(0，c)． 抛物线 (a≠0)与一次函数 (k≠0)的交点个数由方程组 的解的个数决定． 当方程组有两组不同的解时 两函数图象有两个交点； 当方程组有两组相同的解时 两函数图象只有一个交点； 当方程组无解时 两函数图象没有交点． 总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题． 要点诠释： 求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求 方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题． 要点二、利用二次函数图象求一元二次方程的近似解 　　用图象法解一元二次方程 的步骤： 1.作二次函数 的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数； 2. 确定一元二次方程 的根的取值范围．即确定抛物线 与 x 轴交点的横坐标的大致范围； 3. 在(2)确定的范围内，用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用 表格的形式求出相应的 y 值． 4.确定一元二次方程 的近似根．在(3)中最接近 0 的 y 值所对应的 x 值即是一元 二次方 的近似根． 要点诠释： 　　求一元二次方程 的近似解的方法（图象法）： 2y ax bx c= + + 1y kx b= + ( 0)k ≠ 2y ax bx c= + + 2y ax bx c= + + 1y kx b= + 1 2 ,y kx b y ax bx c = +  = + + ⇔ ⇔ ⇔3 　(1)直接作出函数 的图象，则图象与 x 轴交点的横坐标就是方程 的根； 　(2)先将方程变为 再在同一坐标系中画出抛物线 和直线 图象交点 的横坐标就是方程的根； 　(3)将方程化为 ，移项后得 ，设 和 ，在同一坐 标系中画出抛物线 和直线 的图象，图象交点的横坐标即为方程 的 根. 要点三、抛物线与 x 轴的两个交点之间的距离公式 当△＞0 时，设抛物线 与 x 轴的两个交点为 A( ，0)，B( ，0)，则 、 是一 元二次方程 的两个根．由根与系数的关系得 ， ． ∴ 即 （△＞0）． 要点四、抛物线与不等式的关系 二次函数 (a≠0)与一元二次不等式 (a≠0)及 (a≠ 0)之间的关系如下 ： 判别式 抛物线 与 x 轴的交点 不等式 的解集 不等式 的解 集 △＞0 或 △＝0 （或 ） 无解 2y ax bx c= + + 1x 2x 1x 2x 2 =0ax bx c+ + 1 2 bx x a + = − 1 2 cx x a = 2 2 1 2 1| | | | ( )AB x x x x= − = − 2 1 2 1 2( ) 4x x x x= + − 2 4 = − ×   b c a a 2 2 4b ac a −= 2 4 | | b ac a −= | | | |AB a = △ 2y ax bx c= + + 2 0ax bx c+ + > 2 0ax bx c+ + < 1 2( )x x< 0a > 2y ax bx c= + + 2 0ax bx c+ + > 2 0ax bx c+ + < 1x x< 2x x> 1 2x x x< < 1x x≠ 2x x≠4 △＜0 全体实数 无解 注：a＜0 的情况请同学们自己完成． 要点诠释： 抛物线 在 x 轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的 x 的所有值就是不等式 的解集；在 x 轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的 x 的所有值就是不等式 的解集．不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号． 【典型例题】 类型一、二次函数图象与坐标轴交点 1. 已知抛物线 ．求：(1)k 为何值时，抛物线与 x 轴有两个交点； (2)k 为何值时，抛物线与 x 轴有唯一交点；(3)k 为何值时，抛物线与 x 轴没有交点． 【答案与解析】 ． (1)当 ，且 ，即当 k＞-3 且 k≠-1 时，抛物线与 x 轴有两个交 点． (2)当 ，且 2(k+1)≠0．即当 k＝-3 时，抛物线与 x 轴有唯一交点． (3)当 b2-4ac＝8k+24＜0，且 2(k+1)≠0．即当 k＜-3 时，抛物线与 x 轴不相交． 【总结升华】根据抛物线与 x 轴的交点个数可确定字母系数的取值范围，其方法是根据抛物线与 x 轴的 交点个数，推出△值的性质，即列出关于字母系数的方程(或不等式)，通过方程(或不等式)求 解． 特别提醒：易忽视二次项系数 2(k+1)≠0 这一隐含条件． 举一反三： 【高清课程名称： 用函数观点看一元二次方程 高清 ID 号： 356568 关联的位置名称（播放点名称）：例 1-2】 【变式】（2014 秋•越秀区期末）二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）写出方程 ax2+bx+c=0 的两个根； （2）写出不等式 ax2+bx+c＞0 的解集； （3）求 y 的取值范围． 2y ax bx c= + + 2 0ax bx c+ + > 2 0ax bx c+ + < 22( 1) 4 2 3y k x kx k= + + + − 2 2 2 24 (4 ) 4 2( 1)(2 3) 16 8(2 3) 8 24b ac k k k k k k k− = − × + − = − − − = + 2 4 8 24 0b ac k− = + > 2( 1) 0k + ≠ 2 4 8 24 0b ac k− = + =5 【答案】 解：（1）如图所示：方程 ax2+bx+c=0 的两个根为：﹣5 和 1； （2）如图所示：不等式 ax2+bx+c＞0 的解集为：﹣5＜x＜1； （3）∵抛物线与坐标轴分别交于点 A（﹣5，0），B（1，0），C（0，5）， 设抛物线解析式为：y=a（x+5）（x﹣1）， ∵抛物线过点 C（0，5）， ∴5=a×5×（﹣1）， 解得：a=﹣1， ∴抛物线解析式为：y=﹣（x+5）（x﹣1）=﹣x2﹣4x+5， ∵a=﹣1＜0， ∴当 x=﹣ =﹣2 时， y 最大=﹣（﹣2+5）（﹣2﹣1）=9， ∴y 的取值范围为：y≤9． 类型二、利用图象法求一元二次方程的解 2. 利用函数的图象，求方程组 的解. 【答案与解析】 在同一直角坐标系中画出函数 和 的图象， 　　　如图，得到它们的交点坐标(-2，0)，(3，15)， 　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　6 则方程组 的解为 . 【总结升华】可以通过画出函数 和 的图象，得到它们的交点，从而得到方程组 的解. 类型三、二次函数与一元二次方程的综合运用 3. 已知关于 x 的二次函数 ． (1)探究 m 满足什么条件时，二次函数 y 的图象与 x 轴的交点的个数为 2，1，0． (2)设二次函数 y 的图象与 x 轴的交点为 A( ，0)，B( ，0)，且 与 y 轴的交点为 C， 它的顶点为 M，求直线 CM 的解析式． 【答案与解析】 (1) 令 y ＝ 0 ， 得 ： ， △ ＝ ， 当 △ ＞ 0 时 ， 方 程 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 ， 即 ，∴ ． 此时，y 的图象与 x 轴有两个交点． 当△＝0 时，方程有两个相等的实数根，即 ，∴ ． 此时，y 的图象与 x 轴只有一个交点． 当△＜0 时，方程没有实数根，即 ，∴ ． 此时，y 的图象与 x 轴没有交点． ∴ 当 时，y 的图象与 x 轴的交点的个数为 2； 当 时，y 的图象与 x 轴的交点的个数为 1； 当 时，y 的图象与 x 轴的交点的个数为 0． (2)由根与系数的关系得 ， ． ． ∵ ，∴ ，∴ ， 解得： ， ． 2 2(2 1) 3 4y x m x m m= − − + + + 1x 2x 2 2 1 2 5x x+ = 2 2(2 1) 3 4 0x m x m x− − + + + = 2 2[ (2 1)] 4( 3 4) 16 15m m m m− − − + + = − − 16 15 0m− − > 15 16m < − 16 15 0m− − = 15 16m = − 16 15 0m− − < 15 16m > − 15 16m < − 15 16m = − 15 16m > − 1 2 2 1x x m+ = − 2 1 2 3 4x x m m= + + 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2( ) 2 (2 1) 2( 3 4) 2 10 7x x x x x x m m m m m+ = + − = − − + + = − − 2 2 1 2 5x x+ = 22 10 7 5m m− − = 2 5 6 0m m− − = 1 6m = 2 1m = −7 ∵ ，∴ m＝-1．∴ ． 令 x＝0，得 ，∴ 二次函数 y 的图象与 y 轴的交点 C 的坐标为(0，2)． 又 ，∴ 顶点 M 的坐标为 ． 设过 C(0，2)与 M 的直线解析式为 ， 则 解得 ∴ 直线 CM 的解析式为 ． 【总结升华】根据二次函数与一元二次方程的关系，将函数转化为一元二次方程，再利用判别式，讨论 二次函数的图象与 x 轴的交点个数，利用根与系数关系建立关于 m 的方程，求出 m 值，得二次 函数解析式，分别求出 C 点、M 点坐标，进而求出直线方程． 举一反三： 【变式】已知抛物线 ． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）若 ，且抛物线与 轴交于整数点，求此抛物线的解析式． 【答案】 （1）依题意，得 ， ∴ ， ∴抛物线的顶点坐标为 ． （2）∵抛物线与 轴交于整数点， ∴ 的根是整数． ∴ ． ∵ ，∴ 是整数． ∴ 是完全平方数． ∵ ， ∴ ，∴ 取 1，4，9， ． 15 16m < − 2 3 2y x x= + + 2y = 2 2 3 13 2 2 4y x x x = + + = + −   3 1,2 4  − −   3 1,2 4  − −   y kx b= + 2 , 1 3 ,4 2 b k b =− − = + 3 ,2 2. k b  =  = 3 22y x= + )(2442 是常数mmmxmxy −+−= 1 55 m< < x 0≠m 22 4 2 =−−=−= m m a bx m mmm a bacy 4 4244 4 4 22 )()( −−−=−= 24 16816 22 −=−−= m mmm )2,2( − x 02442 =−+− mmxmx 24 16 4 (4 2) 2 222 2 m m m m mx m m ± − −= = ± 0m > 22x m = ± 2 m 1 55 m< < 2 2 105 m < < 2 m 24 16 4 (4 2) 2 222 2 m m m m mx m m ± − −= = ±8 当 时， ； 当 时， ； 当 时， ． ∴ 的值为 2 或 或 ． ∴抛物线的解析式为 或 或 ． 4.（2015•中山模拟）如图，二次函数的图象与 x 轴交于 A（﹣3，0）和 B（1，0）两点，交 y 轴 于点 C（0，3），点 C、D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点 B、D． （1）求二次函数的解析式； （2）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的 x 的取值范围； （3）若直线与 y 轴的交点为 E，连结 AD、AE，求△ADE 的面积． 【答案与解析】 解：（1）设二次函数的解析式为 y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c 常数）， 根据题意得 ， 解得： ， 所以二次函数的解析式为：y=﹣x2﹣2x+3； （2）如图，一次函数值大于二次函数值的 x 的取值范围是：x＜﹣2 或 x＞1． （3）∵对称轴：x=﹣1．∴D（﹣2，3）； 设直线 BD：y=mx+n 代入 B（1，0），D（﹣2，3）： ， 解得： ， 故直线 BD 的解析式为：y=﹣x+1， 把 x=0 代入求得 E（0，1） ∴OE=1， 2 1m = 2=m 2 4m = 2 1=m 2 9m = 2 9m = m 2 1 2 9 682 2 +−= xxy xxy 22 1 2 −= 22 8 10 9 9 9y x x= − −9 又∵AB=4 ∴S△ADE= ×4×3﹣ ×4×1=4． 【总结升华】此题主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式，利用数形结合得出是解题关 键．10 【巩固练习】 一、选择题 1. 若二次函数 的最大值为 2，则 a 的值是（ ） A.4 B.-1 C.3 D.4 或-1 2．已知函数 的图象与 x 轴有交点，则 k 的取值范围是（ ） A．k＜0 B．k≤4 C．k＜4 且 k≠3 D．k≤4 且 k≠3 3．方程 的实数根的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4．如图所示的二次函数 (a≠0)的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ．你认为其中错误的有( ) A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．1 个 5．方程 的正根的个数为( ) A．3 个 B．2 个 C．1 个 D．0 个 6．（2014•济宁）“如果二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴有两个公共点，那么一元二次方程 ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若 m、n（m＜n）是关于 x 的方程 1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0 的两根，且 a＜b，则 a、b、m、n 的大小关系是（　　） 　 A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．m＜a＜n＜b 二、填空题 7 ． 已 知 二 次 函 数 的 图 象 的 顶 点 在 x 轴 上 ， 则 m 的 值 为 ． 8 ． 如 图 所 示 ， 函 数 y ＝ (k-8)x2-6x+k 的 图 象 与 x 轴 只 有 一 个 公 共 点 ， 则 该 公 共 点 的 坐 标 为 ． 第 8 题 第 9 题 2 4 1y ax x a= + + − 2( 3) 2 1y k x x= − + + 2 12 3x x x + + = 2y ax bx c= + + 2 4 0b ac− > 1c > 2 0a b− < 0a b c+ + < 2 25 2x x x − + + = 2 2(2 1) 4 4y x m x m m= − − + + +11 9．已知二次函数 (a≠0)的顶点坐标为(-1，-3.2)及部分图象(如图所示)，由图象可知 关于 x 的一元二次方程 的两个根分别为 和 ________． 10．已知二次函数 的图象关于 y 轴对称，则此图象的顶点 A 和图象与 x 轴的两个交点 B、C 构成的△ABC 的面积是________． 11．抛物线 （a ≠ 0）满足条件：（1） ；（2） ；（3）与 x 轴有两 个 交 点 ， 且 两 交 点 间 的 距 离 小 于 2 ． 以 下 有 四 个 结 论 ： ① ； ② ； ③ ； ④ ， 其中所有正确结论的序号是 ． 12．（2015•大庆校级三模）如图是二次函数 和一次函数 y2=kx+t 的图象，当 y1≥y2 时，x 的取值范围是　 　． 三、解答题 13．已知抛物线 与 x 轴有两个不同的交点． (1)求 k 的取值范围； (2)设抛物线与 x 轴交于 A、B 两点，且点 A 在点 B 的左侧，点 D 是抛物线的顶点，如果△ABC 是等 腰直角三角形，求抛物线的解析式． 14．如图所示，已知直线 与抛物线 交于 A、B 两点． (1)求 A、B 两点的坐标； (2)如图所示，取一根橡皮筋，端点分别固定在 A、B 两处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖在直线 AB 上方的抛物线上移动，动点 P 将与 A、B 两点构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面 积最大的三角形？如果存在，指出此时 P 点的坐标；如果不存在，请简要说明理由． 2y ax bx c= + + 2 0ax bx c+ + = 1 1.3x = 2x = 2 22( 1) 2y x m x m m= − + − + − 2y ax bx c= + + 4 0a b− = 0a b c− + > 0a < 0c > 0a b c+ + < 4 3 c ca< < 21 2y x x k= − + 1 2y x= − 21 64y x= − +12 15．（2014•南京）已知二次函数 y=x2﹣2mx+m2+3（m 是常数）． （1）求证：不论 m 为何值，该函数的图象与 x 轴没有公共点； （2）把该函数的图象沿 y 轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与 x 轴只有一个公共点？ 【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】B； 【解析】∵ 的最大值为 2， ∴ 且 ，解得 （ 舍去）．故选 B． 2.【答案】B； 【解析】当 时是一次函数，即 k=3 函数图象与 x 轴有一个交点； 当 k-3≠0 时此函数为二次函数，当△＝ ≥0，即 k≤4 且 k≠3 时，函数图象与 x 轴有交点． 综上所述，当 k≤4 时，函数图象与 x 轴有交点，故选 B． 3.【答案】A； 【解析】将判断这个方程的根的情况转化为判断函数 与 的 图 象（如图）的公共点的情况. 4.【答案】D； 【解析】由图象可知，抛物线与 x 轴有两个交点， ∴ ，故(1)正确；又抛物线与 y 轴的交点在(0，1)下方， ∴ c＜1，故(2)不正确；抛物线的对称轴在-1 与 0 之间，即 ， 又 ，∴ ，即 ，故(3)正确； 当 ，函数值小于 0，∴ a+b+c＜0，故(4)正确． 5.【答案】B； 【解析】不妨把方程化为抛物线 与双曲线 ，分别画出函数图象草图如图所示． 根据题意知，两函数图象交点的横坐标即是方程 的解，方程有正根，即交点 2 4 1y ax x a= + + − 0a < 24 ( 1) 4 24 a ay a − −= = 1a = − 4a = 3 0k − = 22 4( 3)k− − 2 2 3y x x= + + 1y x = 2 4 0b ac− > 12 b a − > − 0a < 2b a> 2 0a b− < 1x = 2 1 5 2y x x= − + + 2 2y x = 2 25 2x x x − + + =13 横坐标为正数．因在 x＞0 的范围内，两函数的图象有两个交点，即方程正根有两个，故应选 B． 6.【答案】A； 【解析】依题意，画出函数 y=（x﹣a）（x﹣b）的图象，如图所示． 函数图象为抛物线，开口向上，与 x 轴两个交点的横坐标分别为 a，b（a＜b）． 方程 1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0 转化为（x﹣a）（x﹣b）=1， 方程的两根是抛物线 y=（x﹣a）（x﹣b）与直线 y=1 的两个交点． 由 m＜n，可知对称轴左侧交点横坐标为 m，右侧为 n． 由抛物线开口向上，则在对称轴左侧，y 随 x 增大而减少，则有 m＜a；在对称轴右侧，y 随 x 增大而增大，则有 b＜n． 综上所述，可知 m＜a＜b＜n．故选：A． 二、填空题 7．【答案】 ； 【解析】即抛物线与 x 轴有唯一公共点，由△＝0 可求 . 8．【答案】 ； 【解析】∵ 函数 的图象与 x 轴只有一个公共点， ∴ 方程 有两个相等的实数根． ∴ △＝ ．解得 k＝9 或 k＝-1． 又∵ 图象开口向下，∴ k-8＜0，即 k＜8． ∴ k＝-1．即(-1-8)x2-6x-1＝0． 解得 ． 所以函数 的图象与 x 轴的交点坐标为 ． 9．【答案】-3.3； 【解析】观察图象可知，抛物线的对称轴是 ， 到对称轴的距离为 ， 又因为 到对称轴的距离为 2.3，所以 ． 10．【答案】1； 3 4m = − 3 4m = − 1 ,03  −   2( 8) 6y k x x k= − − + 2( 8) 6 0k x x k− − + = 2( 6) 4( 8) 0k k− − − = 1 2 1 3x x= = − 2( 8) 6y k x x k= − − + 1 ,03  −   1x = − 1x 1 ( 1) 1.3 1 2.3x − − = + = 2x 2 1 2.3 3.3x = − − = −14 【解析】依题意有 2(m-1)＝0，即 m＝1，所以二次函数为 ，令 y＝0，得 x＝±1． 所以 B(-1，0)，C(1，0)，BC＝2，A(0，1)， ． 11．【答案】②④； 【解析】由条件（1） 得到抛物线的对称轴为直线 ； 由条件（2） 得到 时的函数值为正； 由条件（3）“与 x 轴有两个交点，且两交点间的距离小于 2 得到抛物线与 x 轴的两个交点位于点 与 之间， 从而得到抛物线的示意图如右． 由此可知 ， ， ， ， 所以①、③错误，②正确． 对于④，由“ 时的函数值为负”及 可知 ； 由“ 时的函数值为正”及 可知 ，所以④正确． 12．【答案】﹣1≤x≤2； 三、解答题 13.【答案与解析】 解： (1)由题意，得 ， ∴ ，即 k 的取值范围是 ． (2)设 ， ，则 ， ． ∴ ． ∵ ，又△ABD 是等腰直角三角形， ∴ ，即 ． 解得 ， ． 又∵ ，∴ 舍去． ∴ 抛物线的解析式是 ． 14.【答案与解析】 2 1y x= − + 1 2 1 12ABCS = × × =△ 4 0a b− = 2x = − 0a b c− + > 1x = − ( 3,0)− ( 1,0)− 0a > 0b > 0c > 0a b c+ + > 2x = − 4 0a b− = 4 ca > 1x = − 4 0a b− = 3 ca < 2 1( 1) 4 1 2 02 k k= − − × = − >△ 1 2k < 1 2k < 1( ,0)A x 2( ,0)B x 1 2 2x x+ = 1 2 2x x k= 2 1| | 4 8 2 1 2AB x x k k= − = − = − 214 ( 1) 2 1 12 1 2 24 2 D k ky k × − − −= = = − ×  1| | 2Dy AB= 1 1 22k k− = − 1 3 2k = − 2 1 2k = 1 2k < 2 1 2k = 21 3 2 2y x x= − −15 解：（1）依题意得 解之 所以 ， ． （2）存在．因为 AB 所在直线的方程 ，若存在点 P 使△APB 的面积最大，则点 P 在与直线 AB 平行且和抛物线只有一个交点的直线 上．设该直线分别与 x 轴、y 轴交于 G、H 两点， 如图，联立 得 ，因为抛物线与直线只有一个 交点， 所以 ， ，所以 解得 所以 ． 15.【答案与解析】 证明：∵△=（﹣2m）2﹣4×1×（m2+3）=4m2﹣4m2﹣12=﹣12＜0， ∴方程 x2﹣2mx+m2+3=0 没有实数解， 即不论 m 为何值，该函数的图象与 x 轴没有公共点； （2）解：y=x2﹣2mx+m2+3=（x﹣m）2+3， 把函数 y=（x﹣m）2+3 的图象沿 y 轴向下平移 3 个单位长度后，得到函数 y=（x﹣m）2 的图象，它的顶 点坐标是（m，0）， 因此，这个函数的图象与 x 轴只有一个公共点， 所以，把函数 y=x2﹣2mx+m2+3 的图象沿 y 轴向下平移 3 个单位长度后，得到的函数的图象与 x 轴只有一 个公共点． 21 6,4 1 ,2 y x y x  = − +  = − 1 1 6, 3, x y =  = − 2 2 4, 2, x y = −  = (6, 3)A − ( 4,2)B − 1 2y x= − 1 2y x m= − + 2 1 ,2 1 6,4 y x m y x  = − +  = − + 21 1 ( 6) 04 2x x m− + − = 21 14 ( 6) 02 4 m = − − × − =  △ 25 4m = 2 1 25 ,2 4 1 6,4 y x y x  = − +  = − + 1, 23.4 x y = = 231, 4P    16