导学案——反比例函数

1 导学案——反比例函数 【学习目标】 1. 理解反比例函数的概念和意义，能根据问题的反比例关系确定函数解析式． 2. 能根据解析式画出反比例函数的图象，初步掌握反比例函数的图象和性质． 3. 会用待定系数法确定反比例函数解析式，进一步理解反比例函数的图象和性质． 4. 会解决一次函数和反比例函数有关的问题． 【要点梳理】 【高清课堂 反比例函数 知识要点】 要点一、反比例函数的定义 一般地，形如 ( 为常数， )的函数称为反比例函数，其中 是自变量， 是函数，自变量 的取值范围是不等于 0 的一切实数. 要点诠释：（1）在 中，自变量 是分式 的分母，当 时，分式 无意义， 所以自变量 的取值范围是 ，函数 的取值范围是 .故函 数图象与 轴、 轴无交点. 　　（2） ( )可以写成 ( )的形式，自变量 的指数是 －1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数 这一条件. （3） ( )也可以写成 的形式，用它可以迅速地求出反比例 函数的比例系数 ，从而得到反比例函数的解析式. 要点二、确定反比例函数的关系式 确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数 中，只有一个待 定系数 ，因此只需要知道一对 的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出 的值， 从而确定其解析式. 　　用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是： 　 （1）设所求的反比例函数为： ( )； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程； （3）解方程求出待定系数 的值； （4）把求得的 值代回所设的函数关系式 中. 要点三、反比例函数的图象和性质 ky x = k 0k ≠ x y ky x = x x y x y ky x = x ky x = k ky x = 0k ≠ x k x 0x = k x 0y ≠ ky x = k x y、 k k k ky x =2 　　1、 反比例函数的图象特征： 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、 四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与 轴、 轴相交，只是无限靠近两坐 标轴. 要点诠释：（1）若点( )在反比例函数 的图象上，则点( )也在此图象 上，所以反比例函数的图象关于原点对称； （2）在反比例函数 ( 为常数， ) 中，由于 ，所以 两个分支都无限接近但永远不能达到 轴和 轴． 2、画反比例函数的图象的基本步骤： （1）列表：自变量的取值应以 0 为中心，在 0 的两侧取三对（或三对以上）互为相反 数的值，填写 值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数； （2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点； （3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量 从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠 近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交； （4）反比例函数图象的分布是由 的符号决定的：当 时，两支曲线分别位于第 一、三象限内，当 时，两支曲线分别位于第二、四象限内． 3、反比例函数的性质 （1）如图 1，当 时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内， 值随 值的增大而减小； 　 （2）如图 2，当 时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内， 值随 值的增大而增大； 要点诠释：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情 况，反比例函数的增减性都是由反比例系数 的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置 和函数的增减性，也可以推断出 的符号. 要点四：反比例函数 ( )中的比例系数 的几何意义 ky x = k 0k ≠ x y a b， a b− −， x y y k 0k > 0k < 0k > y x 0k < y x k k k3 过双曲线 ( ) 上任意一点作 轴、 轴的垂线，所得矩形的面积为 . 过双曲线 ( ) 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形 的面积为 . 要点诠释：只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴 的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的. 【典型例题】 类型一、反比例函数定义 【高清课堂 反比例函数 例 1】 1、当 为何值时 是反比例函数？ 【思路点拨】根据反比例函数解析式 ，也可以写成 的形式， 后一种表达方法中 的次数为-1，由此可知函数是反比例函数，要具备的两个条件为 且 ，二者必须同时满足，缺一不可． 【答案与解析】 解：令 由①得， ＝±1，由②得， ≠1． 综上， ＝－1，即 ＝－1 时， 是反比例函数． 【总结升华】反比例函数解析式的三种形式：① ；② ；③ ． 类型二、确定反比例函数解析式 【高清课堂 反比例函数 例 2】 2、（2014 春•裕民县校级期中）正比例函数 y=2x 与双曲线 的一个交点坐标为 A （2，m）． （1）求出点 A 的坐标； （2）求反比例函数关系式． x ky = 0k ≠ k x ky = 0k ≠ 2 k x y k 2 2( 1) ky k x −= − ( 0)ky kx = ≠ 1( 0)y kx k−= ≠ x 2 2 1k − = − 1 0k − ≠ 2 2 1, 1 0, k k  − = −  − ≠ ① ② k k k k 2 2( 1) ky k x −= − ky x = 1y kx−= .( 0)xy k k= ≠4 【答案与解析】 解：（1）将 A 点坐标是（2，m）代入正比例 y=2x 中，得：m=4， 则 A（2，4）； （2）将 A（2，4）代入反比例解析式中，得：4= ，即 k=8， 则反比例函数解析式 y= ． 【总结升华】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了待定系数法，熟练掌握 待定系数法是解本题的关键． 举一反三： 【高清课堂 反比例函数 例 3】 【变式】已知 ， 与 成正比例， 与 成反比例，且当 ＝1 时， ＝7；当 ＝2 时， ＝8． (1) 与 之间的函数关系式； (2)自变量的取值范围； (3)当 ＝4 时， 的值． 【答案】 解：(1)∵ 与 成正比例， ∴ 设 ． ∵ 与 成反比例， ∴ 设 ． ∴ ． 把 与 分别代入上式，得 ∴ 所以 与 的函数解析式为 ． (2)自变量的取值范围是 ≠0． (3)当 ＝4 时， ． 1 2y y y= + 1y x 2y x x y x y y x x y 1y x 1 1 1( 0)y k x k= ≠ 2y x 2 2 2( 0)ky kx = ≠ 2 1 2 1 ky y y k x x = + = + 1 7 x y =  = 2 8 x y =  = 1 2 2 1 7, 2 8.2 k k kk + = + = 1 2 3, 4. k k =  = y x 43y x x = + x x 43 4 134y = × + =5 类型三、反比例函数的图象和性质 3、（2016•宁夏）正比例函数 y1=k1x 的图象与反比例函数 y2= 的图象相交于 A，B 两点，其中点 B 的横坐标为﹣2，当 y1＜y2 时，x 的取值范围是（　　） A．x＜﹣2 或 x＞2 B．x＜﹣2 或 0＜x＜2 C．﹣2＜x＜0 或 0＜x＜2 D．﹣2＜x＜0 或 x＞2 【思路点拨】由正、反比例函数的对称性结合点 B 的横坐标，即可得出点 A 的横坐标，再 根据两函数图象的上下关系结合交点的横坐标，即可得出结论． 【答案】B． 【解析】解：∵正比例和反比例均关于原点 O 对称，且点 B 的横坐标为﹣2， ∴点 A 的横坐标为 2． 观察函数图象，发现： 当 x＜﹣2 或 0＜x＜2 时，一次函数图象在反比例函数图象的下方， ∴当 y1＜y2 时，x 的取值范围是 x＜﹣2 或 0＜x＜2． 【总结升华】本题考查了反比例函数与一次函数交点的问题、反比例函数的性质以及正比例 函数的性质，解题的关键是求出点 A 的横坐标．本题属于基础题，难度不大，根据正、反 比例的对称性求出点 A 的横坐标，再根据两函数的上下位置关系结合交点坐标即可求出不 等式的解集． 举一反三： 【变式】（2014 春•邓州市校级期中）已知四个函数 y=﹣x+1，y=2x﹣1，y=﹣ ，y= ，其 中 y 随 x 的增大而减小的有（　　）个． A.4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D； 提示：解：y=﹣x+1 中 k=﹣1＜0，所以 y 随 x 的增大而减小，正确； y=2x﹣1 中 k=2＞0，所以 y 随 x 的增大而增大，故本选项，错误； y=﹣ 是反比例函数，其增减性必须强调在双曲线的每一支上，故错误； y= 是反比例函数，其增减性必须强调在双曲线的每一支上，故错误． 故选 D．6 类型四、反比例函数综合 4、如图所示，反比例函数的图象与一次函数 的图象交于 M(2， )，N(－ 1，－4)两点. (1)求反比例函数和一次函数的关系式； (2)根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数值的 的取值范围． 【思路点拨】(1)由点 N 的坐标为(－1，－4)，根据待定系数法可求反比例函数的关系式．从 而求出点 M 的坐标．再根据 M、N 的坐标，用待定系数法可求出一次函数的关系式；(2)结合 图象位置和两交点的坐标，可得到使反比例函数大于一次函数的值的 的取值范围． 【答案与解析】 解：(1)设反比例函数的关系式为 ． 由 N(－1，－4)，得 ， ∴ ＝4． ∴ 反比例函数的关系式为 ． ∵ 点 M(2， )在双曲线 上， ∴ ． ∴ 点 M(2，2)． 设一次函数的关系式为 ，由 M(2，2)、N(－1，－4)，得 解得 ∴ 一次函数的关系式为 ． (2)由图象可知，当 ＜－1 或 0＜ ＜2 时，反比例函数的值大于一次函数的值． 【总结升华】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点 坐标同时满足两个函数的解析式．也考查了待定系数法确定函数解析式以及观察函数图象的 能力． 举一反三： y ax b= + m x x ky x = 4 1 k− = − k 4y x = m 4y x = 4 22m = = y ax b= + 2 2, 4. a b a b + = − + = − 2, 2. a b =  = − 2 2y x= − x x7 【变式】如图所示，已知正比例函数 的图象与反比例函数 的图象交于点 A(3， 2)． （1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式． （2）根据图象回答，在第一象限内，当 取何值时，反比例函数的值大于正比例函数 的值？ （3）M( )是反比例函数图象上的一动点，其中 0＜ ＜3，过点 M 作直线 MB ∥ 轴，交 轴于点 B；过点 A 作直线 AC∥ 轴交 轴于点 C，交直线 MB 于点 D．当四边形 OADM 的面积为 6 时，请判断线段 BM 与 DM 的大小关系，并说明理由． 【答案】 解：（1）将 A(3，2)分别代入 ， 中，得 ，3 ＝2． ∴ ＝6， ． ∴ 反比例函数的表达式为 ，正比例函数的表达式为 ． （2）观察图象，在第一象限内，当 0＜ ＜3 时，反比例函数的值大于正比例函数的 值． （3）BM＝DM． 理由：∵ ， ∴ ， 即 OC·OB＝12． ∵ OC＝3，∴ OB＝4，即 ＝4． ∴ ．∴ ， ． ∴ MB ＝ MD ． y ax= ky x = x m n， m x y y x ky x = y ax= 2 3 k= a k 2 3a = 6y x = 2 3y x= x 1 | | 32OMB OACS S k= = × =△ △ 6 3 3 12OMB OACOBDC OADMS S S S= + + = + + =△ △矩形 四边形 n 6 3 2m n = = 3 2MB = 3 33 2 2MD = − =8 【巩固练习】 一.选择题 1. 在反比例函数 的图象上有两点 A ，B ，当 时，有 ，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2. 如图所示的图象上的函数关系式只能是( ) ． A. B. C. D. 3. 已知 ，点 P( )在反比例函数 的图像上，则直线 不经过的象 限是( ). A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 在函数 （ 为常数）的图象上有三个点 ， ， ， 则函数值 、 、 的大小关系是（ ）. A． < < B． < < C． < < D． < < 5. （2015•历下区模拟）如图，直线 x=t（t＞0）与反比例函数 y= （x＞0）、y= （x＞ 0）的图象分别交于 B、C 两点，A 为 y 轴上任意一点，△ABC 的面积为 3，则 k 的值为（　　） A.2 B.3 C.4 D.5 6. （2016•本溪）如图，点 A、C 为反比例函数 y= 图象上的点，过点 A、C 分别 作 AB⊥x 轴，CD⊥x 轴，垂足分别为 B、D，连接 OA、AC、OC，线段 OC 交 AB 于点 E， 点 E 恰好为 OC 的中点，当△AEC 的面积为 时，k 的值为（　　） 1 2my x −= ( )1 1,x y ( )2 2,x y 1 20x x< < 1 2y y< m 0m < 0m > 1 2m < 1 2m > y x= 1y x = 2 1y x= + 1 | |y x = 0ab < a b， ay x = y ax b= + 2 1ay x − −= a 1( 1 )y− ， 2 1( )4 y− ， 3 1( )2 y， 1y 2y 3y 2y 3y 1y 3y 2y 1y 1y 2y 3y 3y 1y 2y9 A．4 B．6 C．﹣4 D．﹣6 二.填空题 7. 如图所示是三个反比例函数 、 、 的图象，由此观察得到 、 、 的大小关系是____________________（用“＜”连接）. 8. 如图，矩形 ABCD 的边 AB 与 y 轴平行，顶点 A 的坐标为（1，2），点 B 与点 D 在反比例函 数 （ ＞0）的图象上，则点 C 的坐标为　_________　． 9. （2014 春•江都市校级期末）已知 y1 与 x 成正比例（比例系数为 k1），y2 与 x 成反比例 （比例系数为 k2），若函数 y=y1+y2 的图象经过点（1，2），（2， ），则 8k 1+5k2 的值 为　　． 10. 已 知 A （ ）， B （ ） 都 在 图 象 上 ． 若 ， 则 的 值 为 　 _________　． 11. 如图，正比例函数 的图象与反比例函数 （ ＞0）的图象交于点 A，若 取 1，2，3…20，对应的 Rt△AOB 的面积分别为 ，则 ＝ ________. x ky 1= x ky 2= x ky 3= 1k 2k 3k 6y x = x 1 1,x y 2 2,x y 6y x = 1 2 3x x = − 1 2y y 3y x= ky x = k k 1 2 3 20, , ....,S S S S 1 2 20....S S S+ + +10 12. 如图所示，点 ， ， 在 x 轴上，且 ，分别过点 ， ， 作 轴的平行线，与反比例函数 ＝ （ ＞0）的图象分别交于点 ， ， ,分 别过点 ， ， 作 轴的平行线，分别于 轴交于点 ， ， ,连接 ， ， ,那么图中阴影部分的面积之和为____________. 三.解答题 13. （2016•泉州）已知反比例函数的图象经过点 P（2，﹣3）． （1）求该函数的解析式； （2）若将点 P 沿 x 轴负方向平移 3 个单位，再沿 y 轴方向平移 n（n＞0）个单位得到点 P′， 使点 P′恰好在该函数的图象上，求 n 的值和点 P 沿 y 轴平移的方向． 14. 如图所示，已知双曲线 与直线 相交于 A、B 两点．第一象限上的点 M( ， )(在 A 点左侧)是双曲线 上的动点．过点 B 作 BD∥ 轴交于 x 轴于点 D．过 N(0，－ )作 NC∥ 轴交双曲线 于点 E，交 BD 于点 C． (1)若点 D 坐标是(－8，0)，求 A、B 两点坐标及 的值． (2)若 B 是 CD 的中点，四边形 OBCE 的面积为 4，求直线 CM 的解析式． 15. （2015 春•耒阳市校级月考）如图，已知点 A（﹣8，n），B（3，﹣8）是一次函数 y=kx+b 的图象和反比例函数 图象的两个交点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求直线 AB 与 x 轴的交点 C 的坐标及△AOB 的面积， 1A 2A 3A 1 1 2 2 3OA A A A A= = 1A 2A 3A y y 8 x x 1B 2B 3B 1B 2B 3B x y 1C 2C 3C 1OB 2OB 3OB ky x = 1 4y x= m n ky x = y n x ky x = k my x =11 （3）求方程 kx+b﹣ =0 的解（请直接写出答案）； （4）求不等式 kx+b﹣ ＞0 的解集（请直接写出答案）． 【答案与解析】 一.选择题 1.【答案】C； 【解析】由题意画出图象，只能在一、三象限，故 . 2.【答案】D； 【解析】画出 的图象，再把 轴下方的图象翻折上去. 3.【答案】C； 【解析】由题意 ，故 ＞0，直线 经过一、二、四象限. 4.【答案】D； 【解析】 ，故图象在二、四象限，画出图象，比较大小得 D 答案. 5.【答案】D； 【解析】解：由题意得，点 C 的坐标（t，﹣ ），点 B 的坐标（t， ）， BC= + ，则 （ + ）×t=3，解得 k=5， 故选：D． 6.【答案】C． 【解析】设点 C 的坐标为（m， ），则点 E（ m， ），A（ m， ）， ∵S△AEC= BD•AE= （ m﹣m）•（ ﹣ ）=﹣ k= ，∴k=﹣4． 二.填空题 7. 【答案】 ； 8. 【答案】（3，6）； 【解析】由题意 B 点的坐标为（1，6），D 点的坐标为（3，2），因为 ABCD 是矩形，故 C m x m x 1 2 0m− > 1y x = x 0ab a= < b y ax b= + 2 1 0a− − < 1 2 3k k k<