导学案——弧长和扇形面积

1 导学案——弧长和扇形面积 【学习目标】 1.通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索 n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式，并应用这 些公式解决问题； 2. 能准确计算组合图形的面积. 【要点梳理】 要点一、弧长公式 　　半径为 R 的圆中 　　360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式： 　　n°的圆心角所对的圆的弧长公式： (弧是圆的一部分) 要点诠释： 　　(1)对于弧长公式，关键是要理解 1°的圆心角所对的弧长是圆周长的 ，即 ； 　　(2)公式中的ｎ表示 1°圆心角的倍数，故ｎ和 180 都不带单位，R 为弧所在圆的半径； 　　(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求 出第三个量. 要点二、扇形面积公式 1.扇形的定义 　　由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形. 2.扇形面积公式 　　半径为 R 的圆中 　　360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式： 　　n°的圆心角所对的扇形面积公式： 要点诠释： 　　(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是 1°的扇形面积是圆面积的 ， 即 ； 　　(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积 S、扇形半径 R、扇形的圆心角，知道其中的两个量 就可以求出第三个量. 　　(3)扇形面积公式 ，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式 有点 类似，可类比记忆； 　　(4)扇形两个面积公式之间的联系： . 【典型例题】 类型一、弧长和扇形的有关计算 1．如图（1），AB 切⊙O 于点 B，OA= ，AB=3，弦 BC∥OA，则劣弧 的弧长为（ ）．2 3 BC2 A． B． C． D． 图（1） 【答案】A. 【解析】连结 OB、OC，如图（2） 则 ，OB= ， ， ， 由弦 BC∥OA 得 ， 所以△OBC 为等边三角形， . 则劣弧 的弧长为 ，故选 A. 图（2） 【总结升华】主要考查弧长公式： . 举一反三： 【变式】制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算如图所示的管道的展直 长度，即 的长(结果精确到 0.1mm) 　　　　　　　　　　　　　　　　　 【答案】R=40mm，n=110 　　　　∴ 的长= = ≈76.8(mm) 　　　　因此，管道的展直长度约为 76.8mm． 【高清 ID 号：359387 高清课程名称： 弧长 扇形 圆柱 圆锥 关联的位置名称（播放点名称）：经典例题 1-2】 2．如图，⊙O 的半径等于 1，弦 AB 和半径 OC 互相平分于点 M.求扇形 OACB 的面积（结果保留π） 3 3 π 3 2 π π 3 2 π 0OBA∠ °＝9 3 0A∠ °＝3 0AOB∠ °＝6 60OBC AOB∠ ∠ = °＝ 0BOC∠ °＝6 60 3 3=180 3 π πBC C B AO3 【答案与解析】∵弦 AB 和半径 OC 互相平分， ∴OC⊥AB， OM=MC= OC= OA． ∴∠B=∠A=30°， ∴∠AOB=120° ∴S 扇形= ． 【总结升华】运用了垂径定理的推论，考查扇形面积计算公式. 举一反三： 【高清 ID 号：359387 高清课程名称：弧长 扇形 圆柱 圆锥 关联的位置名称（播放点名称）：经典例题 1-2】 【变式】如图（1），在△ABC 中，BC=4，以点 A 为圆心，2 为半径的⊙A 与 BC 相切于点 D，交 AB 于 E， 交 AC 于 F，点 P 是⊙A 上的一点，且∠EPF=40°，则图中阴影部分的面积是（　　）． A． B． C． D． 图（1） 【答案】连结 AD，则 AD⊥BC， △ABC 的面积是： BC•AD= ×4×2=4， ∠A=2∠EPF=80°． 则扇形 EAF 的面积是： 故阴影部分的面积=△ABC 的面积-扇形 EAF 的面积= ． 图（2） 故选 B． 44 9 − π 84 9 − π 48 9 − π 88 9 − π 280 2 8= .360 9 π π× 84- 9 π A E B D C F P4 3.（2015•山西模拟）如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，AC 是直径，∠A=30°，BC=2，点 D 是 AB 的中点，连接 DO 并延长交⊙O 于点 P，过点 P 作 PF⊥AC 于点 F． （1）求劣弧 PC 的长；（结果保留 π） （2）求阴影部分的面积．（结果保留π）． 【答案与解析】 解：（1）∵点 D 是 AB 的中点，PD 经过圆心， ∴PD⊥AB， ∵∠A=30°， ∴∠POC=∠AOD=60°，OA=2OD， ∵PF⊥AC， ∴∠OPF=30°， ∴OF= OP， ∵OA=OC，AD=BD， ∴BC=2OD， ∴OA=BC=2， ∴⊙O 的半径为 2， ∴劣弧 PC 的长= = = π； （2）∵OF= OP， ∴OF=1， ∴PF= = ， ∴S 阴影=S 扇形﹣S△OPF= ﹣ ×1× = π﹣ ． 【总结升华】本题考查了垂径定理的应用,弧长公式以及扇形的面积公式等知识，求得圆的半径和扇形 的圆心角的度数是解题的关键． 类型二、组合图形面积的计算 4．（2015•槐荫区三模）如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，垂足为 E，∠CDB=30°，CD=2 ，求 图中阴影部分的面积．5 【答案与解析】 解：∵AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB， ∴CE= ． ∵∠CDB=30°， ∴∠COE=60°， 在 Rt△OEC 中，OC= =2， ∵CE=DE， ∠COE=∠DBE=60° ∴Rt△COE≌Rt△DBE， ∴S 阴影=S 扇形 OBC= π×OC2= π×4= π． 【总结升华】本题考查了垂径定理，扇形的面积等，解此题的关键是求出扇形和三角形的面积．6 【巩固练习】 一、选择题 1. 已知⊙O 的半径 OA=6，扇形 OAB 的面积等于 ，则弧 AB 所对的圆周角的度数是（ ）. A．120° B．90° C．60° D．30° 2．圆心角为 120°，弧长为 的扇形的半径为（ ）. A．6 B．9 C．18 D．36 3．已知扇形的圆心角为 120°，半径为 6，则扇形的弧长是（ ） A． B． C． D． 4．如图所示，Rt△ABC 中，∠BAC 是直角，AB＝AC＝2，以 AB 为直径的圆交 BC 于 D，则图中阴影部分的 面积为( )． A．1 B．2 C． D． 5．（2015•新宾县模拟）如图，半径为 1 的圆 O 与正五边形 ABCDE 相切于点 A、C，劣弧 AC 的长度为（　　） 　 A． π B． π C． π D． π 6．如图，4 个正方形的边长都为 1，则图中阴影部分三个小扇形的面积和为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 1 4 π+ 2 4 π− 12π 12π 8π 4π 2π 2 2π 3 8 π 3 4 π 7 4 π 4 3 π7 7．（2015•义乌市）如图，四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，⊙O 的半径为 2，∠B=135°，则劣弧 的 长________． 8．如图，某传送带的一个转动轮的半径为 40cm，转动轮转 90°传送带上的物品 A 被传送 厘米. 第 8 题图 第 9 题图 第 11 题图 9．如图所示，已知扇形的半径为 3cm，圆心角为 120°，则扇形的面积为________cm2(结果保留 π)． 10．已知弓形的弦长等于半径 R，则此弓形的面积为________．(劣弧为弓形的弧) 11．如图所示，把一块∠A＝30°的直角三角板 ABC，在水平桌面上绕点 C 按顺时针方向旋转到 的 位置．若 BC 的长为 15cm，求顶点 A 从开始到结束所经过的路径长 ． 12．如图所示，边长为 1 的菱形 ABCD 绕点 A 旋转，当 B、C 两点恰好落在扇形 AEF 的弧 EF 上时，弧 BC 的长度等于 ． 三、解答题 13．如图是两个半圆，点 O 为大半圆的圆心， AB 是大半圆的弦关与小半圆相切，且 AB=24． 问：能求出阴影部分的面积吗？若能，求出此面积；若不能，试说明理由． 14. 圆心角都是 90°的扇形 OAB 与扇形 OCD 如图所示那样叠放在一起，连接 AC、BD． (1)求证：△AOC≌△BOD； (2)若 OA＝3cm，OC＝1cm，求阴影部分的面积． A B C′ ′8 15．如图所示，线段 AB 与⊙O 相切于点 C，连接 OA、OB，OB 交⊙0 于点 D，已知 OA＝OB＝6cm，AB＝ cm，求：(1)⊙O 的半径；(2)图中阴影部分的面积． 16.（2015•温州模拟）已知：如图△ABC 内接于⊙O，OH⊥AC 于 H，过 A 点的切线与 OC 的延长线交于点 D，∠B=30°， ．请求出： （1）∠AOC 的度数； （2）线段 AD 的长（结果保留根号）； （3）求图中阴影部分的面积． 【答案与解析】 一、选择题 1. 【答案】C 2. 【答案】C； 【解析】设该扇形的半径是 r,根据弧长公式 3.【答案】B； 4. 【答案】A； 【解析】连接 AD， ． 5.【答案】B； 【解析】因为正五边形 ABCDE 的内角和是（5﹣2）×180=540°， 则正五边形 ABCDE 的一个内角= =108°； 连接 OA、OB、OC， ∵圆 O 与正五边形 ABCDE 相切于点 A、C， ∴∠OAE=∠OCD=90°， ∴∠OAB=∠OCB=108°﹣90°=18°， ∴∠AOC=144° 所以劣弧 AC 的长度为 = π．故选 B． 6 3 1 2 ABCS S∆=阴影 12012 = 18.180 180 n r rl r π ππ= =，得到： ，所以9 6. 【答案】A； 【解析】由观察知道三个扇形的半径相等，都为 1，而且左边上下两个扇形的圆心角和正好等于 90 °，右上面扇形圆心角的度数为 45°，所以阴影部分的面积应为： 二、填空题 7.【答案】π； 【解析】连接 OA、OC， ∵∠B=135°， ∴∠D=180°﹣135°=45°， ∴∠AOC=90°， 则 的长= =π． 8．【答案】20π（cm）； 【解析】 (cm)． 9．【答案】3π； 【解析】由扇形面积公式得 (cm2)． 10．【答案】 ； 【解析】由弓形的弧长等于半径，可得弓形的弧所对的圆心角为 60°． 11．【答案】 ； 【解析】顶点 A 经过的路径是一段弧，弧所在的扇形的圆心角是 120°，半径 AC=2BC=30cm, . 12．【答案】 ； 【解析】 连接 AC，知 AC＝AB＝BC， ∴ ∠BAC＝60°， ∴ 弧 ． 三、解答题 13.【答案与解析】 将小圆向右平移，使两圆变成同心圆，如图，连 OB， 过 O 作 OC⊥AB 于 C 点，则 AC=BC=12， ∵AB 是大半圆的弦且与小半圆相切， ∴OC 为小圆的半径， 90 40 20180 180 n rl π π π×= = = 2 2120 3 3360 360 n RS π π π×= = =扇形 22 3 3 12 R π − 20 ( )cmπ 120 30 20 ( )180l cm π π×= = 3 π 60 1180 3BC π π= × = 2(90 45) 1 3 .360 8S π π+ × ×= =10 ∴S 阴影部分=S 大半圆-S 小半圆 = π•OB2- π•OC2 = π（OB2-OC2） = πAC2 =72π． 故答案为 72π． 14.【答案与解析】 (1)证明：同圆中的半径相等，即 OA＝OB，OC＝OD． 再由∠AOB＝∠COD＝90°，得∠1＝∠2， 所以△AOC≌△BOD． (2)解： ． 15.【答案与解析】 (1)如图所示，连接 OC，则 OC⊥AB， ∴ OA＝OB， ∴ AC＝BC＝ ． 在 Rt△AOC 中， ． ∴ ⊙O 的半径为 3 cm． (2)∵ OC＝3cm OB，∠B＝30°，∠COD＝60°． ∴ 扇形 OCD 的面积为 ． ∴ 阴影部分的面积为 ． 16. 【答案与解析】 解：（1）∵∠B=30°， ∴∠AOC=2∠B=60°； （2）∵∠AOC=60°，AO=CO， 2 2 21 1( ) (9 1) 2 (cm )4 4S S S OA OCπ π π= − = − = − =阴影 扇形AOB 扇形COD 1 1 6 3cm 3 3cm2 2AB = × = 2 2 2 26 (3 3) cm 3cmOC OA AC= − = − = 1 2 = 2 260 3 3 (cm )360 2 π π=  21 3 9 3 3 (cm )2 2 2BOC OCDS S OC CB ππ∆ −− = − =扇形11 ∴△AOC 是等边三角形； ∵OH= ， ∴AO=4； ∵AD 与⊙O 相切， ∴AD= ； （3）∵S 扇形 OAC= = π，S△AOD= ×4×4 =8 ； ∴ ．