导学案——解直角三角形及其应用

1 导学案——解直角三角形及其应用 【学习目标】 1．了解解直角三角形的含义，会综合运用平面几何中有关直角三角形的知识和锐角三角函数的定义解 直角三角形； 2．会运用有关解直角三角形的知识解决实际生活中存在的解直角三角形问题． 【要点梳理】 要点一、解直角三角形 　　在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形. 　　在直角三角形中，除直角外，一共有 5 个元素，即三条边和两个锐角. 　　设在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C 所对的边分别为 a、b、c，则有： 　　①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理). 　　②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°. 　　③边角之间的关系： 　　　 ， ， ， 　　　 ， ， . 　　④ ，h 为斜边上的高. 要点诠释： 　　(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为 90°)，是已知值. 　　(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系). 　　(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解. 要点二、解直角三角形的常见类型及解法 已知条件 解法步骤 两直角边(a，b) 由 求∠A， ∠B=90°－∠A， 两 边 斜边，一直角边(如 c，a) 由 求∠A， ∠B=90°－∠A， 锐角、邻边 (如∠A，b) ∠B=90°－∠A， ， Rt△ABC 一 边 一 角 一直角边 和一锐角 锐角、对边 (如∠A，a) ∠B=90°－∠A，2 ， 斜边、锐角(如 c，∠A) ∠B=90°－∠A， ， 要点诠释： 　　1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元 素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算. 　　2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件 为边. 要点三、解直角三角形的应用 解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数 量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键. 　　解这类问题的一般过程是： 　　(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出 几何图形，建立数学模型. 　　(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的 问题. 　　(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形. 　　(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解. 　　拓展： 　　在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念： 　　(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母 表示. 　　坡度(坡比)：坡面的铅直高度 h 和水平距离 的比叫做坡度，用字母 表示，则 ，如图， 坡度通常写成 = ∶ 的形式. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做 俯角，如图. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方3 向 PA，PB，PC 的方位角分别为是 40°，135°，245°. 　　　　　　　　　　　　 　　(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于 90°的水平角，叫做方向角，如图②中的 目标方向线 OA，OB，OC，OD 的方向角分别表示北偏东 30°，南偏东 45°，南偏西 80°，北偏西 60°. 特别如：东南方向指的是南偏东 45°，东北方向指的是北偏东 45°，西南方向指的是南偏西 45°，西 北方向指的是北偏西 45°. 要点诠释： 　　1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最 好画出它的示意图. 　　2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形 来解. 　　　　　　 　　3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意 图，进而根据条件选择合适的方法求解. 【典型例题】 类型一、解直角三角形 1．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，a、b、c 分别是∠A、∠B、∠C 的对边，根据下列条件，解这个直 角三角形． (1)∠B=60°，a＝4； (2)a＝1， ． 【答案与解析】 3b =4 (1)∠A＝90°－∠B＝90°－60°＝30°． 由 知， ． 由 知， ． (2)由 得∠B＝60°，∴ ∠A＝90°-60°＝30°． ∵ ，∴ ． 【总结升华】解直角三角形的两种类型是：(1)已知两边；(2)已知一锐角和一边．解题关键是正确选择 边角关系．常用口诀：有弦(斜边)用弦(正弦、余弦)，无弦(斜边)用切(正切)． (1)首先用两锐角互余求锐角∠A，再利用∠B 的正切、余弦求 b、c 的值； (2)首先用正切求出∠B 的值，再求∠A 的值，然后由正弦或余弦或勾股定理求 c 的值． 举一反三： 【高清课程名称：解直角三角形及其应用 高清 ID 号：395952 关联的位置名称（播放点名称）：例 1（1）-（3）】 【变式】（1）已知∠C=90°，a=2 ，b=2 ，求∠A、∠B 和 c；（2）已知 sinA= , c=6 ，求 a 和 b； 【答案】（1）c=4；∠A=60°、∠B=30°； （2）a=4；b= 2．（2015•湖北）如图，AD 是△ABC 的中线，tanB= ，cosC= ，AC= ．求： （1）BC 的长； （2）sin∠ADC 的值． 【答案与解析】 解：过点 A 作 AE⊥BC 于点 E， ∵cosC= ， ∴∠C=45°， 在 Rt△ACE 中，CE=AC•cosC=1， ∴AE=CE=1， 在 Rt△ABE 中，tanB= ，即 = ， ∴BE=3AE=3， ∴BC=BE+CE=4； （2）∵AD 是△ABC 的中线， ∴CD= BC=2， tan bB a = tan 4 tan 60 4 3b a B= = × = ° cos aB c = 4 8cos cos60 ac B = = = ° tan 3bB a = = 2 2 2a b c+ = 2 2 4 2c a b= + = = 3 2 3 2 55 ∴DE=CD﹣CE=1， ∵AE⊥BC，DE=AE， ∴∠ADC=45°， ∴sin∠ADC= ． 【总结升华】正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键，注意锐角三角函数的概念的正确应用． 类型二、解直角三角形在解决几何图形计算问题中的应用 3．（2016•盐城）已知△ABC 中，tanB= ，BC=6，过点 A 作 BC 边上的高，垂足为点 D，且满足 BD：CD=2：1，则△ABC 面积的所有可能值为　 　． 【思路点拨】分两种情况，根据已知条件确定高 AD 的长，然后根据三角形面积公式即可求得． 【答案】8 或 24． 【解析】 解：如图 1 所示： ∵BC=6，BD：CD=2：1， ∴BD=4， ∵AD⊥BC，tanB= ， ∴ = ， ∴AD= BD= ， ∴S△ABC= BC•AD= ×6× =8； 如图 2 所示： ∵BC=6，BD：CD=2：1， ∴BD=12，6 ∵AD⊥BC，tanB= ， ∴ = ， ∴AD= BD=8， ∴S△ABC= BC•AD= ×6×8=24； 综上，△ABC 面积的所有可能值为 8 或 24， 故答案为 8 或 24． 【总结升华】本题考查了解直角三角形，以及三角函数的定义，三角形面积，分类讨论思想的运用是本 题的关键． 举一反三： 【高清课程名称：解直角三角形及其应用 高清 ID 号：395952 关联的位置名称（播放点名称）：例 2】 【变式】 （2015•河南模拟）如图，在等腰 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=6，D 是 AC 上一点，若 tan∠DBA= ，则 AD 的长为多少? 【答案与解析】解：作 DE⊥AB 于 E，如图， ∵∠C=90°，AC=BC=6， ∴△ACB 为等腰直角三角形，AB= AC=6 ， ∴∠A=45°， 在 Rt△ADE 中，设 AE=x，则 DE=x，AD= x， 在 Rt△BED 中，tan∠DBE= = ， ∴BE=5x， ∴x+5x=6 ，解得 x= ， ∴AD= × =2． 7 类型三、解直角三角形在解决实际生活、生产问题中的应用 4．某过街天桥的截面图为梯形，如图所示，其中天桥斜面 CD 的坡度为 （i＝1: 是指 铅直高度 DE 与水平宽度 CE 的比)，CD 的长为 10 m，天桥另一斜面 AB 的坡角∠ABC＝45°． (1)写出过街天桥斜面 AB 的坡度； (2)求 DE 的长； (3)若决定对该过街天桥进行改建，使 AB 斜面的坡度变缓，将其 45°坡角改为 30°，方便过路群 众，改建后斜面为 AF，试计算此改建需占路面的宽度 FB 的长(结果精确到.0.01 m)． 【答案与解析】 (1)作 AG⊥BC 于 G，DE⊥BC 于 E， 在 Rt△AGB 中，∠ABG＝45°，AG＝BG． ∴ AB 的坡度 ． (2)在 Rt△DEC 中，∵ ，∴ ∠C＝30°． 又∵ CD＝10 m．∴ ． (3)由(1)知 AG＝BG＝5 m，在 Rt△AFG 中，∠AFG＝30°， ，即 ，解得 ． 答：改建后需占路面的宽度 FB 的长约为 3.66 m． 【总结升华】（1）解梯形问题常作出它的两条高，构造直角三角形求解．（2）坡度是坡面的铅直高度与 水平宽度的比，它等于坡角的正切值． 5．腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑．为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点 C， 利用三角板测得雕塑顶端 A 点的仰角为 30°，底部 B 点的俯角为 45°，小华在五楼找到一点 D，利用三 角板测得 A 点的俯角为 60°(如图所示)．若已知 CD 为 10 米，请求出雕塑 AB 的高度．(结果精确到 0.1 米，参考数据 ＝1.73)． 1: 3i = 3 1AGi BG ′ = = 3tan 3 DEC EC ∠ = = 1 5m2DE CD= = tan AGAFG FG ∠ = 3 5 3 5FB = + 5 3 5 3.66(m)FB = − = 38 【答案与解析】 过点 C 作 CE⊥AB 于 E． ∵ ∠D＝90°－60°＝30°，∠ACD＝90°－30°＝60°， ∴ ∠CAD＝180°－30°－60°＝90°． ∵ CD＝10，∴ AC＝ CD＝5． 在 Rt△ACE 中， AE＝AC·sin∠ACE＝5×sin 30°＝ ， CE＝AC·cos ∠ACE＝5×cos 30°＝ ， 在 Rt△BCE 中，∵ ∠BCE＝45°， ∴ ≈6.8(米)． ∴ 雕塑 AB 的高度约为 6.8 米． 【总结升华】此题将实际问题抽象成数学问题是解题关键，从实际操作（用三角形板测得仰角、俯角） 过程中，提供作辅助线的方法，同时对仰角、俯角等概念不能模糊． 1 2 5 2 5 32 5 5 53 ( 3 1)2 2 2AB AE BE= + = + = +9 【巩固练习】 一、选择题 1.在△ABC 中，∠C＝90°， ，则 tan B＝( )． A． B． C． D． 2．（2016•绍兴）如图，在 Rt△ABC 中，∠B=90°，∠A=30°，以点 A 为圆心，BC 长为半径画弧交 AB 于点 D，分别以点 A、D 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧交于点 E，连接 AE，DE，则∠EAD 的余弦 值是（　　） A． B． C． D． 3．河堤、横断面如图所示，堤高 BC＝5 米，迎水坡 AB 的坡比是 1: (坡比是坡面的铅直高度 BC 与水 平宽度 AC 之比)，则 AC 的长是( )． A． 米 B．10 米 C．15 米 D． 米 4．如图所示，正方形 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 O，点 M、N 分别为 OB、OC 的中点， 则 cos∠OMN 的值为( )． A． B． C． D．1 第 3 题 第 4 题 第 5 题 5．如图所示，某游乐场一山顶滑梯的高为 h，滑梯的坡角为α，那么滑梯长 为 ( ) A． B． C． D． 6．如图所示，在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝16 cm，AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于 D，连接 BD， 若 ，则 BD 的长是( )． A．4 cm B．6 cm C．8 cm D．10 cm 7．如图所示，一艘轮船由海平面上 A 地出发向南偏西 40°的方向行驶 40 海里到达 B 地，再由 B 地向北 偏西 的方向行驶 40 海里到达 C 地，则 A、C 两地相距( )． 4sin 5A = 4 3 3 4 3 5 4 5 3 5 3 10 3 1 2 2 2 3 2 l sin h α tan h α cos h α sinh α 3cos 5BDC∠ = 20°10 A．30 海里 B．40 海里 C．50 海里 D．60 海里 第 6 题 第 7 题 第 8 题 8．如图所示，为了测量河的宽度，王芳同学在河岸边相距 200m 的 M 和 N 两点分别测定对岸一棵树 P 的 位置，P 在 M 的正北方向，在 N 的北偏西 30°的方向，则河的宽度是( )． A． m B． m C． m D．100m 二、填空题 9．（2015•揭西县一模）在菱形 ABCD 中，DE⊥AB， ，BE=2，则 tan∠DBE 的值是　　． 10．如图所示，等边三角形 ABC 中，D、E 分别为 AB、BC 边上的点，AD＝BE，AE 与 CD 交于点 F，AG⊥CD 于点 G，则 的值为________． 11．如图所示，一艘海轮位于灯塔 P 的东北方向，距离灯塔 海里的 A 处，它沿正南方向航行一段 时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 30°方向上的 B 处，则海轮行驶的路程 AB 为________海里(结果 保留根号)． 12．如图所示，直角梯形 ABCD 中，AB⊥BC，AD∥BC，BC＞AD，AD＝2，AB＝4，点 E 在 AB 上，将△CBE 沿 CE 翻折，使 B 点与 D 点重合，则∠BCE 的正切值是________． 200 3 200 3 3 100 3 AG AF 40 211 13．如图所示．线段 AB、DC 分别表示甲、乙两座建筑物的高．AB⊥BC，DC⊥BC，两建筑物间距离 BC＝30 米，若甲建筑物高 AB＝28 米，在 A 点测得 D 点的仰角α＝45°，则乙建筑物高 DC＝__ __ 米． 第 12 题 第 13 题 第 14 题 14.在一次夏令营活动中，小明同学从营地 A 出发，要到 A 地的北偏东 60°方向的 C 处，他先沿正东方 向走了 200m 到达 B 地，再沿北偏东 30°方向走，恰能到达目的地 C(如图所示)，那么，由此可知， B、C 两地相距________m． 三、解答题 15．如图所示，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树 DE 的高度，他们在这棵树正前方一 座楼亭前的台阶上 A 点处测得树顶端 D 的仰角为 30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点 C 处，测 得树顶端 D 的仰角为 60°．已知 A 点的高度 AB 为 2 米，台阶 AC 的坡度为 1: (即 AB:BC＝ 1: )，且 B、C、E 三点在同一条直线上．请根据以上条件求出树 DE 的高度(测倾器的高度忽略不 计)． 16. （2016•包头）如图，已知四边形 ABCD 中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，AB=6，CD=4，BC 的延长 线与 AD 的延长线交于点 E． （1）若∠A=60°，求 BC 的长； （2）若 sinA= ，求 AD 的长． （注意：本题中的计算过程和结果均保留根号） 3 312 17．（2015•资阳）北京时间 2015 年 04 月 25 日 14 时 11 分，尼泊尔发生 8.1 级强烈地震，我国积极组织 抢险队赴地震灾区参与抢险工作．如图，某探测队在地面 A、B 两处均探测出建筑物下方 C 处有生命迹 象，已知探测线与地面的夹角分别是 25°和 60°，且 AB=4 米，求该生命迹象所在位置 C 的深度．（结果 精确到 1 米．参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5， ≈1.7） 【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】B； 【解析】如图，sin A＝ ，设 BC＝4x．则 AB＝5x． 根据勾股定理可得 AC＝ ，∴ ． 2.【答案】B． 【解析】如图所示：设 BC=x， ∵在 Rt△ABC 中，∠B=90°，∠A=30°， ∴AC=2BC=2x，AB= BC= x， 根据题意得：AD=BC=x，AE=DE=AB= x， 作 EM⊥AD 于 M，则 AM= AD= x， 在 Rt△AEM 中，cos∠EAD= = = ； 3.【答案】A； 4 5 BC AB = 2 2 3AC AB BC x= − = 3 3tan 4 4 AC xB BC x = = =13 【解析】由 知， (米)． 4.【答案】B； 【解析】由题意知 MN∥BC，∠OMN＝∠OBC＝45°，∴ ． 5.【答案】A； 【解析】由定义 ，∴ . 6.【答案】D； 【解析】∵ MN 是 AB 的中垂线, ∴ BD＝AD．又 ， 设 DC＝3k，则 BD＝5k，∴ AD＝5k，AC＝8k．∴ 8k＝16，k＝2，BD＝5×2＝10． 7.【答案】B； 【解析】 连接 AC，∵ AB＝BC＝40 海里，∠ABC＝40°+20°＝60°， ∴ △ABC 为等边三角形，∴ AC＝AB＝40 海里． 8.【答案】A 【解析】依题意 PM⊥MN，∠MPN＝∠N＝30°，tan30° ， ． 二、填空题 9．【答案】2； 【解析】设菱形 ABCD 边长为 t， ∵BE=2，∴AE=t﹣2，∵cosA= ，∴ ，∴ = ，∴t=5， ∴AE=5﹣2=3， ∴DE= =4， ∴tan∠DBE= = =2．故答案为：2． 10．【答案】 ； 【解析】由已知条件可证△ACE≌△CBD．从而得出∠CAE＝∠BCD． ∴ ∠AFG＝∠CAE+∠ACD＝∠BCD+∠ACD＝60°，在 Rt△AFG 中， ． 11．【答案】 ； 【解析】在 Rt△APC 中，PC＝AC＝AP·sin∠APC＝ ． 在 Rt△BPC 中，∠BPC＝90°-30°＝60°，BC＝PC·tan∠BPC＝ ， tan BCi A BC = = = 1: 3 3 5 3AC BC= = 2cos 2OMN∠ = sin h l α = sin hl α= 3cos 5 DCBDC BD ∠ = = 200 PM = 200 3PM = 3 2 3sin 60 2 AG AF = =° 40 40 3+ 240 2 402 × = 40 314 所以 AB＝AC+BC＝ ． 12．【答案】 ； 【解析】如图，连接 BD，作 DF⊥BC 于点 F，则 CE⊥BD，∠BCE＝∠BDF，BF＝AD＝2， DF＝AB＝4，所以 ． 13．【答案】58； 【解析】α＝45°，∴ DE＝AE＝BC＝30，EC＝AB＝28，DE＝DE+EC＝58 14．【答案】200； 【解析】由已知∠BAC＝∠C＝30°，∴ BC＝AB＝200. 三、解答题 15.【答案与解析】 过点 A 作 AF⊥DE 于 F，则四边形 ABEF 为矩形， ∴ AF＝BE，EF＝AB＝2．设 DE＝x， 在 Rt△CDE 中， ． 在 Rt△ABC 中，∵ ，AB＝2，∴ ． 在 Rt△AFD 中，DF＝DE-EF＝x-2． ∴ ∵ AF＝BE＝BC+CE． ∴ ，解得 ． 答：树 DE 的高度为 6 米． 16.【答案与解析】 解：（1）∵∠A=60°，∠ABE=90°，AB=6，tanA= ， ∴∠E=30°，BE=tan60°•6=6 ， 又∵∠CDE=90°，CD=4，sinE= ，∠E=30°， ∴CE= =8， 40 40 3+ 1 2 2 1tan tan 4 2 BFBCE BDF DF ∠ = ∠ = = = 3 tan tan 60 3 DE DECE xDCE = = =∠ ° 1 3 AB BC = 2 3BC = 2 3( 2)tan tan30 DF xAF xDAF −= = = −∠ ° 33( 2) 2 3 3x x− = + 6x =15 ∴BC=BE﹣CE=6 ﹣8； （2））∵∠ABE=90°，AB=6，sinA= = ， ∴设 BE=4x，则 AE=5x，得 AB=3x， ∴3x=6，得 x=2， ∴BE=8，AE=10， ∴tanE= = = = ， 解得，DE= ， ∴AD=AE﹣DE=10﹣ = ， 即 AD 的长是 ． 17.【答案与解析】 解：作 CD⊥AB 交 AB 延长线于 D，设 CD=x 米． Rt△ADC 中，∠DAC=25°， 所以 tan25°= =0.5， 所以 AD= =2x． Rt△BDC 中，∠DBC=60°， 由 tan 60°= = ， 解得：x≈3 米． 所以生命迹象所在位置 C 的深度约为 3 米．