导学案——切线长定理

1 导学案——切线长定理 【学习目标】 1.了解切线长定义,掌握切线长定理； 2.了解圆外切四边形定义及性质； 3. 利用切线长定理解决相关的计算和证明. 【要点梳理】 要点一、切线长定理 1．切线长： 　　经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长. 要点诠释： 　　切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理： 　　从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点诠释： 　　切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等. 要点二、圆外切四边形的性质 1.圆外切四边形 四边形的四条边都与同一个圆相切,那这个四边形叫做圆的外切四边形. 2.圆外切四边形性质 圆外切四边形的两组对边之和相等. 【典型例题】 类型一、切线长定理 1．（2015 秋•湛江校级月考）已知 PA、PB 分别切⊙O 于 A、B，E 为劣弧 AB 上一点，过 E 点的切线 交 PA 于 C、交 PB 于 D． （1）若 PA=6，求△PCD 的周长． （2）若∠P=50°求∠DOC． 【答案与解析】 解：（1）连接 OE， ∵PA、PB 与圆 O 相切， ∴PA=PB=6， 同理可得：AC=CE，BD=DE， △PCD 的周长=PC+PD+CD=PC+PD+CE+DE=PA+PB=12； （2）∵PA PB 与圆 O 相切，2 ∴∠OAP=∠OBP=90°∠P=50°， ∴∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣50°=130°， 在 Rt△AOC 和 Rt△EOC 中， ， ∴Rt△AOC≌Rt△EOC（HL）， ∴∠AOC=∠COE， 同理：∠DOE=∠BOD， ∴∠COD= ∠AOB=65°． 【总结升华】本题考查的是切线长定理和全等三角形的判定和性质，掌握切线长定理是解题的关键． 2． 如图，△ABC 中，∠ACB=90°，以 AC 为直径的⊙O 交 AB 于 D，E 为 BC 中点. 求证：DE 是⊙O 切线. 【答案与解析】 连结 OD、CD，AC 是直径，∴OA=OC=OD，∴∠OCD=∠ODC， ∠ADC=90°，∴△CDB 是直角三角形. ∵E 是 BC 的中点，∴DE=EB=EC，∴∠ECD=∠EDC，∠ECD+∠OCD=90°， ∴∠EDC+∠ODC=90°，即 OD⊥ED， ∴DE 是⊙O 切线. 【总结升华】自然连接 OD，可证 OD⊥DE. 举一反三： 【变式】已知：如图，⊙O 为 的外接圆， 为⊙O 的直径，作射线 ，使得 平分 ， 过点 作 于点 .求证： 为⊙O 的切线. 【答案】连接 . ∵ ，∴ . ∵ ，∴ . ∴ . ABC∆ BC BF BA CBF∠ A AD BF⊥ D DA O F D CB A 34 21 O F D CB A AO AO BO= 2 3∠ = ∠ BA CBF∠平分 1 2∠ = ∠ 3 1∠ = ∠3 ∴ ∥ . ∵ ,∴ .∴ . ∵ 是⊙O 半径，∴ 为⊙O 的切线. 　 3．如图，正方形 ABCD 边长为 4cm，以正方形的一边 BC 为直径在正方形 ABCD 内作半圆，过 A 作 半圆的切线，与半圆相切于 F 点，与 DC 相交于 E 点，则△ADE 的面积（　　） A.12 B.24 C.8 D.6 【答案】D； 【解析】 ∵AE 与圆 O 切于点 F， 显然根据切线长定理有 AF=AB=4cm，EF=EC， 设 EF=EC=xcm， 则 DE=（4﹣x）cm，AE=（4+x）cm， 在三角形 ADE 中由勾股定理得： （4﹣x）2+42=（4+x）2， ∴x=1cm， ∴CE=1cm， ∴DE=4﹣1=3cm， ∴S△ADE=AD•DE÷2=3×4÷2=6cm2． 【总结升华】此题主要考查圆的切线长定理，正方形的性质和勾股定理等知识，解答本题关键是运用 切线长定理得出 AB=AF，EF=EC． 类型二、圆外切四边形 　 4.（2015•西青区二模）已知四边形 ABCD 中，AB∥CD，⊙O 为内切圆，E 为切点． （Ⅰ）如图 1，求∠AOD 的度数； （Ⅱ）如图 1，若 AO=8cm，DO=6cm，求 AD、OE 的长； （Ⅲ）如图 2，若 F 是 AD 的中点，在（Ⅱ）中条件下，求 FO 的长． DB AO AD DB⊥ 90BDA∠ = ° 90DAO∠ = ° AO DA4 【答案与解析】解：（Ⅰ）∵⊙O 为四边形 ABCD 的内切圆， ∴AD、AB、CD 为⊙O 的切线， ∴OD 平分∠ADC，OA 平分∠BAD， 即∠ODA= ∠ADC，∠OAD= ∠BAC， ∵AB∥CD， ∴∠ADC+∠BAC=180°， ∴∠ODA+∠OAD=90°， ∴∠AOD=90°； （Ⅱ）在 Rt△AOD 中，∵AO=8cm，DO=6cm， ∴AD= =10（cm）， ∵AD 切⊙O 于 E， ∴OE⊥AD， ∴ OE•AD= OD•OA， ∴OE= = （cm）； （Ⅲ）∵F 是 AD 的中点， ∴FO= AD= ×10=5（cm）． 【总结升华】本题考查了三角形的内切圆与内心，也考查了切线长定理． 举一反三： 【变式】在圆外切四边形 ABCD 中，AB:BC:CD:AD 只可能是（ ）. A.2:3:4:5 B.3:4:6:5 C.5:4:1:3 D.3:4:2:5 【 答 案 】 B.5 【巩固练习】 一、选择题 1. 下列说法中，不正确的是 ( ) A．三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点 B．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部 C．垂直于半径的直线是圆的切线 D．三角形的内心到三角形的三边的距离相等 2．△ABC 的三边长分别为 a、b、c，它的内切圆的半径为 r，则△ABC 的面积为（ ） A. （a＋b＋c）r B.2（a＋b＋c） C. （a＋b＋c）r D.（a＋b＋c）r 3.（2015•黔西南州）如图，点 P 在⊙O 外，PA、PB 分别与⊙O 相切于 A、B 两点，∠P=50°，则∠AOB 等于（　　） A．150° B．130° C．155° D．135° 4. 如图所示，⊙O 的外切梯形 ABCD 中，如果 AD∥BC，那么∠DOC 的度数为( ) 　A.70°　　　 B.90° 　　 　C.60°　　　 D.45° 　　　　 第 4 题图 第 5 题图 5．如图，PA、PB 分别是⊙O 的切线，A、B 为切点，AC 是⊙O 的直径，已知∠BAC=35°，∠P 的度数 为（　　） A.35° B.45° C.65° D.70° 6．已知如图所示，等边△ABC 的边长为 2 cm，下列以 A 为圆心的各圆中， 半径是 3cm 的圆是( ) 　　 2 1 3 16 二、填空题 7．如图，⊙I 是△ABC 的内切圆，切点分别为点 D、E、F，若∠DEF=52o，则∠A 的度为________． 第 7 题图 第 8 题图 第 9 题图 8．如图，一圆内切于四边形 ABCD，且 AB=16，CD=10，则四边形 ABCD 的周长为________． 9．如图，已知⊙O 是△ABC 的内切圆，∠BAC=50o，则∠BOC 为____________度． 10．如图， 、 分别切⊙ 于点 、 ，点 是⊙ 上一点，且 ，则 ____ 度． 第 10 题图 第 11 题图 11．如图，PA 与⊙O 相切，切点为 A，PO 交⊙O 于点 C，点 B 是优弧 CBA 上一点，若∠ABC=32°，则∠P 的度数为 . 12.（2015•鄂州）已知点 P 是半径为 1 的⊙O 外一点，PA 切⊙O 于点 A，且 PA=1，AB 是⊙O 的弦， AB= ，连接 PB，则 PB=　 　． 三、解答题 13．已知，如图，A 是⊙O 外一点，AB，AC 分别与⊙O 相切于点 B，C，P 是 BC 上任意一点，过点 P 作⊙O 的切线，交 AB 于点 M，交 AC 于点 N，设 AO=d，BO=r．求证：△AMN 的周长是一个定值，并 求出这个定值． PA PB O A B E O 60=∠AEB =∠P7 14. 已知：如图，PA，PB，DC 分别切⊙O 于 A，B，E 点． (1)若∠P=40°，求∠COD； (2)若 PA=10cm，求△PCD 的周长． 15.（2015•南丹县一模）如图，∠C=90°，⊙O 是 Rt△ABC 的内切圆，分别切 BC，AC，AB 于点 E，F， G，连接 OE，OF．AO 的延长线交 BC 于点 D，AC=6，CD=2． （1）求证：四边形 OECF 为正方形； （2）求⊙O 的半径； （3）求 AB 的长．8 【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】C. 【解析】经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 2.【答案】A. 【解析】连结内心与三个顶点，则△ABC 的面积等于三个三角形的面积之和，所以△ABC 的面积 为 a·r＋ b·r＋ c·r＝ （a＋b＋c）r． 3.【答案】B； 【解析】∵PA、PB 是⊙O 的切线， ∴PA⊥OA，PB⊥OB， ∴∠PAO=∠PBO=90°， ∵∠P=50°， ∴∠AOB=130°． 故选 B． 4.【答案】B； 【解析】由 AD∥BC，得∠ADC+∠BCD=180°，又 AD、DC、BC 与⊙O 相切， 所以∠ODC= ∠ADC，∠OCD= ∠BCD，所以∠ODC+∠OCD= ×180°=90°，所以∠DOC=90°. 故选 B. 5.【答案】D； 【解析】根据切线的性质定理得∠PAC=90°，∴∠PAB=90°﹣∠BAC=90°﹣35°=55°．根据切线长定理 得 PA=PB，所以∠PBA=∠PAB=55°，所以∠P=70°． 6.【答案】C； 【解析】易求等边△ABC 的高为 3cm 等于圆的半径，所以圆 A 与 BC 相切，故选 C. 二、填空题 7．【答案】76°； 【解析】连接 ID,IF ∵∠DEF=52°， ∴∠DIF=104°， ∵D、F 是切点， ∴DI⊥AB,IF⊥AC ， ∴∠ADI=∠AFI=90°， ∴∠A=1800-1040=76°. 8.【答案】52； 【解析】提示：AB+CD=AD+BC. 9.【答案】115°； 【解析】∵∠A=500 ∴∠ABC+∠ACB=130°， ∵OB,OC 分别平分∠ABC,∠ACB， ∴∠OBC+∠OCB=65°， ∴∠BOC=1800-650=115°. 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 19 10．【答案】60°； 【解析】连结 OA、OB，则∠AOB=120°，在四边形 OAPB 中，∠P=360°-90°-90°-120°=60°. 11．【答案】26°； 【解析】连结 OA，则∠AOC=64°，∠P=90°-64°=26°. 12．【答案】1 或 ． 【解析】连接 OA， （1）如图 1，连接 OA， ∵PA=AO=1，OA=OB，PA 是⊙的切线， ∴∠AOP=45°∵OA=OB， ∴∠BOP=∠AOP=45°， 在△POA 与△POB 中， ， ∴△POA≌△POB， ∴PB=PA=1； （2）如图 2，连接 OA，与 PB 交于 C， ∵PA 是⊙O 的切线， ∴OA⊥PA， 而 PA=AO=，1 ∴OP= ； ∵AB= ， 而 OA=OB=1， ∴AO⊥BO， ∴四边形 PABO 是平行四边形， ∴PB，AO 互相平分； 设 AO 交 PB 与点 C， 即 OC= ， ∴BC= ， ∴PB= ． 故答案为：1 或 ． 三、解答题 13.【答案与解析】 解：∵AB，AC 分别与⊙O 相切， ∴OB⊥AB， ∵AO=d，BO=r， ∴AB= = ， ∵MN 切圆 O 于点 P， ∴MP=MB，NP=NC， ∴△AMN 的周长=AM+AN+MN=AM+PM+PN+AN=AM+BM+AN+PN=AB+AC=2AB=2 ，10 ∴△AMN 的周长是一个定值，这个定值为 2 ． 14. 【答案与解析】 （1）∵PA，PB,DC 分别切圆 O 于 A,B,E 点 ∴OC 与 OD 就是△PCD 的两个外角的平分线 ∴∠COD=90°- ∠P=90°-20°=70° （2）∵PA 与 PB 分别切⊙O 于 A、B 两点，CD 切⊙O 于 E， ∴PA=PA=10cm，CA=CE，DE=DB， ∴△PCD 的周长=PD+DE+EC+PC=PD+DB+CA+PC=PA+PB=20cm．故答案为 20 cm． 15. 【答案与解析】 （1）证明：∵⊙O 是 Rt△ABC 的内切圆，分别切 BC，AC，AB 于点 E，F，G， ∴∠C=∠CFO=∠CEO=90°， ∴四边形 CFOE 是矩形， ∵OF=OE， ∴四边形 OECF 为正方形； （2）解：由题意可得：EO∥AC， ∴△DEO∽△DCA， ∴ = ， 设⊙O 的半径为 x， 则 = ， 解得：x=1.5， 故⊙O 的半径为 1.5； （3）解：∵⊙O 的半径为 1.5，AC=6， ∴CF=1.5，AF=4.5 ∴AG=4.5， 设 BG=BE=y， ∴在 Rt△ACB 中 AC2+BC2=AB2， ∴62+（y+1.5）2=（4.5+y）2， 解得：y=3， 1 211 ∴AB=AG+BG=4.5+3=7.5．