导学案——实际问题与二次函数

1 导学案——实际问题与二次函数 【学习目标】 1.能运用二次函数分析和解决简单的实际问题； 2.经历探索实际问题与二次函数的关系的过程，深刻理解二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模 型； 3.培养分析问题、解决问题的能力和应用数学的意识． 【要点梳理】 要点一、列二次函数解应用题 　 列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数 后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤： (1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出 等量关系(即函数关系)． (2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确． (3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函 数． (4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题. (5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案． (6)写出答案． 要点诠释： 常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物 线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数 关系式. 要点二、建立二次函数模型求解实际问题 一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数 关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题． 要点诠释： (1)利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中 存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究 实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义. (2)对于本节的学习，应由低到高处理好如下三个方面的问题： 　　 ①首先必须了解二次函数的基本性质； 　 ②学会从实际问题中建立二次函数的模型； 　　 ③借助二次函数的性质来解决实际问题. 【典型例题】 类型一、何时获得最大利润 1. 某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养殖情况 进行了调查．调查发现这种水产品的每千克售价 y1(元)与销售月份 x (月)满足关系式 ， 而其每千克成本 (元)与销售月份 x(月)满足的函数关系如图所示． 1 3 368y x= − + 2y2 (1)试确定 b，c 的值； (2)求出这种水产品每千克的利润 y(元)与销售月份 x(月)之间的函数关系式；(不要求指出 x 的取 值范围) (3)“五一”之前，几月份出售这种水产品每千克的利润最大?最大利润是多少? 【答案与解析】 （1）把(3，25)，(4，24)代入 中，得 解方程组得 (2)根据题意，得 ． 所以 y 与 x 的函数关系式为 ． (3)由(2)得， ，因为 ，所以当 x＜6 时，y 随 x 的增大而增大，所 以“五一”之前，四月份出售这种水产品每千克的利润最大，最大利润为 10.5 元． 【总结升华】在用二次函数知识解决实际问题时，有的同学易忽略自变量的取值范围，有的题目结果中 的值看上去有意义，但不一定符合题意，有的题目本身就隐含着对自变量的限制，常常考虑不 周而造成错解． 举一反三： 【高清课程名称：实际问题与二次函数 高清 ID 号：356777 关联的位置名称（播放点名称）：例 4】 【变式】某服装公司试销一种成本为每件 50 元的 T 恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不 高于每件 70 元，试销中销售量 （件）与销售单价 （元）的关系可以近似的看作一次函数（如 图）． （1）求 与 之间的函数关系式； 2 2 1 8y x bx c= + + 1 9 3 25,8 1 16 4 24.8 b c b c  × + + =  × + + = 15 ,8 59.2 b c  = −  = 2 1 2 3 1 15 59368 8 8 2y y y x x x   = − = − + − − +       23 1 15 59368 8 8 2x x x= − + − + − 21 3 13 8 2 2x x= − + + 21 3 13 8 2 2y x x= − + + 21 ( 6) 118y x= − − + 1 08a = − < y x y x3 （2）设公司获得的总利润为 元，求 与 之间的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；根 据题意判断：当 取何值时， 的值最大？最大值是多少？（总利润 总销售额 总成本） 【答案】（1）设 与 的函数关系式为： ， ∵函数图象经过点（60，400）和（70，300） ∴ 解得 ∴ （2） （50≤x≤70） ∵ ， ＜0 ∴函数 图象开口向下， 对称轴是直线 x=75 ∵50≤x≤70，此时 y 随 x 的增大而增大, ∴当 x=70 时， . 类型二、利用二次函数解决抛物线形建筑问题 2.（2014 秋•涿州市校级月考）某工厂大门是抛物线形水泥建筑，大门地面宽为 4m，顶部距离地面 的高度为 4.4m，现有一辆满载货物的汽车欲通大门，其装货宽度为 2.4m，该车要想过此门，装货后 的最大高度应是多少 m？ 【思路点拨】 因为校门是抛物线形，不妨将这一问题转化为二次函数进行研究，建立适当的直角坐标系，将已 知数据转化为点的坐标，从而确定函数关系式，再根据关系式求高． 【答案与解析】 解：建立如图平面直角坐标系： 设抛物线的解析式为 y=ax2， 由题意得：点 A 的坐标为（2，﹣4.4）， ∴﹣4.4=4a， P P x x x P = − y x y kx b= + （k≠ 0）    += += bk bk 70300 60400    = −= 1000 10 b k 100010 +−= xy )100010)(50( +−−= xxP 50000150010 2 −+−= xxP 7520 1500 2 =−−=− a b 10−=a 50000150010 2 −+−= xxP 6000=最大值P4 解得：a=﹣1.1， ∴抛物线的解析式为 y=﹣1.1x2， 当 x=1.2 时， y=﹣1.1×1.44=﹣1.584， ∴线段 OB 的长为 1.584 米， ∴BC=4.4﹣1.584=2.816 米， ∴装货后的最大高度为 2.816 米， 故答案为：2.816 米． 【点评】利用二次函数解决抛物线形建筑问题一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系； (2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标， 求出关系式；(5)利用关系式求解问题． 类型三、利用二次函数求跳水、投篮等实际问题 3. 如图所示，一位运动员在距篮下 4 米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距 离为 2.5 m 时，达到最大高度 3.5 m，然后准确落入篮筐，已知篮筐中心到地面的距离为 3.05 m，若该 运动员身高 1.8 m，在这次跳投中，球在头顶上方 0.25 m 处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是 多少? 【答案与解析】 解：如图所示，在直角坐标系中，点 A(1.5，3.05)表示篮筐，点 B(0，3.5)表示球运行的最大高度， 点 C 表示球员篮球出手处，其横坐标为-2.5，5 设 C 点的纵坐标为 n，过点 C、B、A 所在的抛物线的解析式为 ，由于抛物线开口 向下，则点 B(0，3.5)为顶点坐标，∴ ． ∵抛物线 经过点 A(1.5，3.05)， ∴3.05＝a·1.52+3.5， ∴ ． ∴抛物线解析式为 ． ∴ ， ∴n＝2.25． ∴球出手时，球员跳离地面的高度为 2.25-(1.8+0.25)＝0.20(米)． 【总结升华】首先要建立适当的平面直角坐标系，构造函数模型，将已知数据转化为点的坐标，然后利 用待定系数法求出函数解析式，再利用解析式求出抛物线上已知横坐标的点的纵坐标，结合已 知条件，得到实际问题的解． 举一反三： 【变式】某校九年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高 m，与篮圈中 心的水平距离为 7m，当球出手后水平距离为 4m 时到达最大高度 4m，设篮球运动的轨迹为抛物线，篮圈 距地面 3m。 （1）建立如图所示的平面坐标系，求抛物线的解析式并判断此球能否准确投中？ （2）此时，若对方队员乙在甲前面 1 米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为 3.1m，那么他能否获 得成功？ 【答案】（1）根据题意可知，抛物线经过（0， ），顶点坐标为（4，4），则可设其解析式为 2( )y a x h k= − + 2 3.5y ax= + 2 3.5y ax= + 1 5a = − 21 3.55y x= − + 21 ( 2.5) 3.55n = − × − + 9 20 9 206 y＝a（x－4）2＋4，解得 a＝－ . 则所求抛物线的解析式为 y＝－ （x－4）2＋4. 又∵篮圈的坐标是（7，3）， 代入解析式，y＝－ （7－4）2＋4＝3. 所以能够投中. （2）当 x＝1 时，y＝3，此时 3.1＞3，故乙队员能够拦截成功. 类型四、最大面积是多少 4. 一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个以 AD 为直径的半圆 O，下部是一个矩形 ABCD． (1)当 AD＝4 米时，求隧道截面上部半圆 O 的面积； (2)已知矩形 ABCD 相邻两边之和为 8 米，半圆 O 的半径为 r 米． ①求隧道截面的面积 S(m)2 关于半径 r(m)的函数关系式(不要求写出 r 的取值范围)； ②若 2 米≤CD≤3 米，利用函数图象求隧道截面的面积 S 的最大值．(π 取 3.14，结果精确到 0.1 米) 【思路点拨】 ①根据几何图形的面积公式可求关于面积的函数解析式； ②利用二次函数的有关性质，在自变量的取值范围内确定面积的最大值． 【答案与解析】 (1) (米 )； (2)①∵AD＝2r，AD+CD＝8，∴CD＝8-AD＝8-2r， ∴ ． ②由①知，CD＝8-2r，又∵1.2 米≤CD≤3 米， ∴2≤8-2r≤3，∴2.5≤r≤3． 由①知， ． ∵-2.43＜0，∴函数图象为开口向下的抛物线，函数图象对称轴 ， 又 2.5≤r≤3，由函数图象知，在对称轴左侧 S 随 r 的增大而增大，故当 r＝3 时，S 有最大 值． 9 1 9 1 9 1 2S π=半圆 2 2 2 21 1 12 (8 2 ) 4 162 2 2S r AD CD r r r r rπ π π = + = + − = − +   21 4 162S r rπ = − +   2 2 8 642.43 16 2.43 4 2.43 2.43r r  − + = − − +  ≈ 8 3.32.43r = ≈7 (米 )． 【总结升华】解此类问题，一般先应用几何图形的面积公式，写出图形的面积与边长之间的关系，再用 配方法或公式法求顶点坐标，结合二次函数性质与自变量的取值范围确定最大面积． 举一反三： 【高清课程名称：实际问题与二次函数 高清 ID 号：356777 关联的位置名称（播放点名称）：例 3】 【变式】（2015•泗洪县校级模拟）如图，矩形纸片 ABCD，AD=8，AB=10，点 F 在 AB 上，分别以 AF、FB 为边裁出的两个小正方形纸片面积和 S 的取值范围是　 　． 【答案】50≤S≤68． 【解析】解：设 AF=x，则 BF=10﹣x，由题意，得 S=x2+（10﹣x）2， S=2x2﹣20x+100， S=2（x﹣5）2+50． ∴a=2＞0， ∴x=5 时，S 最小=50． ∵2≤x≤8， 当 x=2 时，S=68， 当 x=8 时，S=68． ∴50≤S≤68． 故 答 案 为 ： 50≤S≤68 ． 21 4 3 16 32S π = − × + ×  最大 1 3.14 4 9 48 26.12  × − × +  ≈ ≈ 28 【巩固练习】 一、选择题 1（2014 秋•龙口市校级期中）某产品进货单价为 90 元，按 100 元一件出售时，能售出 500 件．若每件 涨价 1 元，则销售量就减少 10 件．则该产品能获得的最大利润为（　　） 　 A．5000 元 B． 8000 元 C． 9000 元 D． 10000 元 2．某旅行社有100张床位，每床每晚收费10元时，客床可全部租出，若每床每晚收费提高2元，则减少10 张床位的租出；若每床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出，以每次提高2元的这种方法变化 下去，为了投资少而获利大，每床每晚应提高(　 ) 　A.4元或6元　 B.4元　 C.6元　 D.8元 3．心理学家发现，学生对概念的接受能力 y 和提出概念所用的时间 x(单位：分)之间大致满足函数关系 式： (0≤x≤30)，y 的值越大，表示接受能力越强，那么学生的接受能力达 到最强时，概念提出所用的时间是( )． A．10 分 B．30 分 C．13 分 D．15 分 4．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图所示，以水平地面为 x 轴，出水点为原点，建立平面直角 坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线 y＝-x2+4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是( ) A．4 米 B．3 米 C．2 米 D．1 米 第 4 题 第 6 题 5．一小球被抛出后，距离地面的高度 h(米)和飞行时间 t(秒)满足下列函数关系式：h＝-5(t-1)2+6，则 小球距离地面的最大高度是( ) A．1 米 B．5 米 C．6 米 D．7 米 6．在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线 的一部分(如上图所 示)，其中出球点 B 离地面 O 点的距离是 1m，球落地点 A 到 O 点的距离是 4m，那么这条抛物线的解析 式是( ) A． B． C． D． 二、填空题 7．一件工艺品进价为 100 元，标价 135 元售出，每天可售出 100 件．根据销售统计，一件工艺品每降 价 1 元出售，则每天可多售出 4 件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为________元. 8．出售某种手工艺品，若每个获利 x 元，一天可售出(8-x)个，则当 x＝________元时，一天出售该种 手工艺品的总利润 y 最大． 9．（2014 秋•绍兴期中）为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长 25m）的空地上修建 一个矩形绿化带 ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为 40m 的栅栏围住（如图）．若设绿化带的 BC 边 长为 xm，绿化带的面积为 ym2．则 y 与 x 之间的函数关系式是　 ，自变量 x 的取值范围 是　 　． 20.1 2.6 43y x x= − + + 21 4y x bx c= − + + 21 3 14 4y x x= − + + 21 3 14 4y x x= − + − 21 3 14 4y x x= − − + 21 3 14 4y x x= − − −9 10．某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子 OA，O 恰在水面中心，安置 在柱子顶端 A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过 OA 的任 一平面上，抛物线形状如图所示，如图建立直角坐标系，水流喷出的高度 与水平距离 之 间的关系式是 .请回答下列问题：柱子 OA 的高度为 米；喷出的水流距水 平面的最大高度是 米；若不计其它因素，水池的半径至少要 米，才能使喷出的水流不至 于落在池外. 11．如图所示，小明的父亲在相距 2 米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千．拴绳子 的地方距地面高都是 2.5 米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高 1 米的小明距较近的那棵树 0.5 米时， 头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为________米． 第 11 题 第 12 题 12．如图所示，有一条双向公路隧道，其横断面由抛物线和矩形 ABCO 的三边组成，隧道的最大高度为 4.9m，AB＝10m，BC＝2.4m，现把隧道横断面放在平面直角坐标系中，若有一辆高为 4m，宽为 2m 的 装有集装箱的汽车要通过隧道，问：如果不考虑其他因素，汽车的右侧离隧道右壁至少___________ 米才不至于碰到隧道顶部?(抛物线部分为隧道顶部，AO，BC 为壁) 三、解答题 13．（2015•安徽）为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为 80m 的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设 BC 的长 度为 xm，矩形区域 ABCD 的面积为 ym2． （1）求 y 与 x 之间的函数关系式，并注明自变量 x 的取值范围； （2）x 为何值时，y 有最大值？最大值是多少？10 14. 国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某环保节能设备生产企业的产品供不应求。若该企业的 某种环保设备每月的产量保持在一定的范围，每套产品的生产成本不高于 50 万元，每套产品的售 价不低于 90 万元．已知这种设备的月产量 x(套)与每套的售价 y1(万元)之间满足关系式 y2＝170-2x， 月产量 x(套)与生产总成本 y2(万元)存在如图所示的函数关系． (1)直接写出 y2 与 x 之间的函数关系式； (2)求月产量 x 的范围； (3)当月产量 x(套)为多少时，这种设备的利润 W(万元)最大？最大利润是多少？ 15．（2015•南京）某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，如图中的折线 ABD、线段 CD 分别表示该产品每千克生产成本 y1（单位：元）、销售价 y2（单位：元）与产量 x（单位：kg）之间的 函数关系． （1）请解释图中点 D 的横坐标、纵坐标的实际意义； （2）求线段 AB 所表示的 y1 与 x 之间的函数表达式； （3）当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？11 【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】C； 【解析】解：设单价定为 x，总利润为 W， 则可得销量为：500﹣10（x﹣100），单件利润为：（x﹣90）， 由题意得，W=（x﹣90）[500﹣10（x﹣100）]=﹣10x2+2400x﹣135000 =﹣10（x﹣120）2+9000， 故可得当 x=120 时，W 取得最大，为 9000 元， 故选 C． 2.【答案】C； 【解析】设旅行社获利为 y(元)，若每床一次提高费用 2 元，设提高了 x 次，则每床提高费用为 2x 元， 根据题意可列 ，因为 x 为整数，且为了投 资少而获利大，所以当 x=3 即 2x=6 时，函数取最大值，故选 C. 3.【答案】C； 【解析】 分时，y 最大． 4.【答案】A； 【解析】 ，当 时， . 5.【答案】C； 【解析】t＝1 时， ； 6.【答案】A； 【解析】将 A(4，0)，B(0，1)代入解析式中求得 ， . 二、填空题 7．【答案】5； 8．【答案】4； 【解析】 ，∴ 时 W 最大. 9．【答案】 ；0＜x≤25； 10．【答案】 ； ；2.5. 【解析】（1）OA 高度为 米. （2）当 时， ，即水流距水平面的最大高为 米. 2.6 132 ( 0.1)x = − =× − 2 2 2( 4 2 4) ( 2) 4y x x x= − − + − = − − + 2x = 4y =最大 6h =最大 3 4b = 1c = 2(8 ) ( 4) 16W x x x= − = − − + 4x = 21 202y x x= − +12 （3） 其中 不合题意， 水池的半径至少要 2.5 米，才能使喷出的水流不至于落在池外. 11．【答案】0.5； 【解析】如图，建立平面直角坐标系，则 A(0，2.5)，B(0.5，1)，C(2，2.5)． 设抛物线解析式为 ．则 解得 ∴ ， ∴顶点坐标为(1，0.5)，即绳子的最低点距地面 0.5 米． 12．【答案】2m； 【解析】由已知条件分析得，抛物线的顶点坐标为(5，2.5)，C 点的坐标为(10，0)， 设抛物线的解析式为 y＝a(x-5)2+2.5． 把(10，0)代入解析式得 25a+2.5＝0． ∴ ，即 ． 当 y＝4-2.4＝1.6 时，即 ， ∴ (x-5)2＝9，解得 x1＝8，x2＝2． 又∵x2＝2 不合题意，舍去． ∴x＝8，OC-x＝10-8＝2(m)． 故汽车应离开隧道右壁至少 2m 才不至于碰到隧道顶部． 三、解答题 13.【答案与解析】 13.【答案与解析】 解：（1）∵三块矩形区域的面积相等， ∴矩形 AEFD 面积是矩形 BCFE 面积的 2 倍， ∴AE=2BE， 设 BE=a，则 AE=2a， ∴8a+2x=80， ∴a= ，2a= , 2y ax bx c= + + 2.5, 0.25 0.5 1, 4 2 2.5, c a b c a b c =  + + =  + + = 2, 4, 2.5, a b c =  = −  = 2 22 4 2.5 2( 1) 0.5y x x x= − + = − + 1 10a = − 21 ( 5) 2.510y x= − − + 211.6 ( 5) 2.510 x= − − + 1 104 x− + 1 202 x− +13 ∴y=( )x+（ ）x= ， ∵a= ＞0， ∴x＜40， 则 y= （0＜x＜40）； （2）∵y= = （0＜x＜40），且二次项系数为 ＜0， ∴当 x=20 时，y 有最大值，最大值为 300 平方米． 14.【解析】 (1)y2＝500+30x． (2)依题意得： 解之：25≤x≤40，且 x 为整数． (3)∵ ， ∴ ，而 25＜35＜40． ∴当 x＝35 时， 1 950． 即月产量为 35 套时，利润最大，最大利润是 l 950 万元． 15.【解析】 解：（1）点 D 的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为 130kg 时，该产品每千克生产成本与销售价 相等，都为 42 元； （2）设线段 AB 所表示的 y1 与 x 之间的函数关系式为 y=k1x+b1， ∵y=k1x+b1 的图象过点（0，60）与（90，42）， ∴ ∴ ， 500 30 50 , 170 2 90. x x x + ≤  − ≥ 1 2 (170 2 ) (500 30 )W x y y x x x= − = − − + 22 140 500W x x= − + − 22( 35) 1950W x= − − + W =最大 1 202 x− + 1 104 x− + 23 304 x x− + 1 104 x− + 23 304 x x− + 23 304 x x− + 23 (x 20) 3004 − − + 3 4 −14 ∴这个一次函数的表达式为；y=﹣0.2x+60（0≤x≤90）； （3）设 y2 与 x 之间的函数关系式为 y=k2x+b2， ∵经过点（0，120）与（130，42）， ∴ ， 解得： ， ∴这个一次函数的表达式为 y2=﹣0.6x+120（0≤x≤130）， 设产量为 xkg 时，获得的利润为 W 元， 当 0≤x≤90 时，W=x[（﹣0.6x+120）﹣（﹣0.2x+60）]=﹣0.4（x﹣75）2+2250， ∴当 x=75 时，W 的值最大，最大值为 2250； 当 90≤x≤130 时，W=x[（﹣0.6x+120）﹣42]=﹣0.6（x﹣65）2+2535， ∴当 x=90 时，W=﹣0.6（90﹣65）2+2535=2160， 由﹣0.6＜0 知，当 x＞65 时，W 随 x 的增大而减小，∴90≤x≤130 时，W≤2160， 因此当该产品产量为 75kg 时，获得的利润最大，最大值为 2250．