导学案——实际问题与反比例函数

1 导学案——实际问题与反比例函数 【学习目标】 1. 能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，并能结合图象加深对问题的理解. 2．根据条件求出函数解析式，运用学过的函数知识解决反比例函数的应用问题，体会数学 与现实生活的紧密联系，增强应用意识. 【要点梳理】 【高清课堂 实际问题与反比例函数 知识要点】 要点一、利用反比例函数解决实际问题 1. 基本思路：建立函数模型，即在实际问题中求得函数解析式，然后应用函数的图象和性 质等知识解决问题. 2. 一般步骤如下：（1）审清题意，根据常量、变量之间的关系，设出函数解析式，待定 的 系数用字母表示. （2）由题目中的已知条件，列出方程，求出待定系数. （3）写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围. （4）利用函数解析式、函数的图象和性质等去解决问题. 要点二、反比例函数在其他学科中的应用 1. 当圆柱体的体积一定时，圆柱的底面积是高的反比例函数； 2. 当工程总量一定时，做工时间是做工速度的反比例函数； 3. 在使用杠杆时，如果阻力和阻力臂不变，则动力是动力臂的反比例函数； 4. 电压一定，输出功率是电路中电阻的反比例函数. 【典型例题】 类型一、反比例函数实际问题与图象 【高清课堂 实际问题与反比例函数 例 4】 1、 一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”图案，如图所示．设小 矩形的长、宽分别为 ，剪去部分的面积为 ，若 ，则 与 的函数图象是 （ ） 【答案】A； x y， 20 2 10x≤ ≤ y x2 【解析】根据题意求出函数的解析式 ，应该是反比例函数的一部分. 【总结升华】对于函数图象的判断题，应首先求出函数解析式，分清函数的类型，然后再选 择对应的图象，同时在实际问题中应注意自变量的取值范围. 举一反三： 【高清课堂 实际问题与反比例函数 例 6】 【变式】（2015•泉港区模拟）设从泉港到福州乘坐汽车所需的时间是 t（小时），汽车的平 均速度为 v（千米/时），则下面大致能反映 v 与 t 的函数关系的图象是（　　） 　　A. 　　 B. 　　 C. 　　 D. 【答案】D； 提示：设从泉港到福州的路程为 k 千米，依题意，得 vt=k， 所以 v= （v＞0，t＞0）， 则函数图象为双曲线在第一象限的部分． 故选 D． 类型二、利用反比例函数解决实际问题 2、（2015•浙江模拟）心理学家研究发现，一般情况下，一节课 40 分钟中，学生的注 意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生 的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生 的注意力指标数 y 随时间 x（分钟）的变化规律如下图所示（其中 AB、BC 分别为线段，CD 为双曲线的一部分）： （1）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ （2）一道数学竞赛题，需要讲 19 分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到 36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？ )102(10 ≤≤= xxy3 【思路点拨】（1）先用代定系数法分别求出 AB 和 CD 的函数表达式，再分别求第五分钟和 第三十分钟的注意力指数，最后比较判断； （2）分别求出注意力指数为 36 时的两个时间，再将两时间之差和 19 比较，大于 19 则能讲 完，否则不能． 【答案与解析】 解：（1）设线段 AB 所在的直线的解析式为 y1=k1x+20， 把 B（10，40）代入得，k1=2， ∴y1=2x+20． 设 C、D 所在双曲线的解析式为 y2= ， 把 C（25，40）代入得，k2=1000， ∴ 当 x1=5 时，y1=2×5+20=30， 当 ， ∴y1＜y2 ∴第 30 分钟注意力更集中． （2）令 y1=36， ∴36=2x+20， ∴x1=8 令 y2=36， ∴ ， ∴ ∵27.8﹣8=19.8＞19， ∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目． 【总结升华】主要考查了函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际 意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应 的函数值． 举一反三： 【变式】为了预防“非典”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒. 已知药物燃烧时，室 内每立方米空气中的含药量 (毫克)与时间 (分钟)成正比例，药物燃烧完后， 与 成反 比例(如图所示)，现测得药物 8 分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为 6 毫克. 请 根据题中所提供的信息解答下列问题： y x y x4 ①药物燃烧时 关于 的函数关系式为__________ ___ ，自变量 的取值范围是 ____________ ___；药物燃烧后 关于 的函数关系式为_________________. ②研究表明，当空气中每立方米的含药量低于 1.6 毫克时学生方可进教室，那么从消毒 开始，至少需要经过______分钟后，学生才能回到教室； ③研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于 3 毫克且持续时间不低于 10分钟时，才 能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？ 【答案】①药物燃烧时， 是 的正比例函数，药物燃烧后， 与 成反比例， 利用待定系数法即可求出函数的解析式: ，0≤ ≤8， ， ； ②当空气中每立方米的含药量等于 1.6 毫克时，求出所对应的时间:把 ＝1.6 代 人到 中，得 ＝30，则至少经过 30 分钟后，学生才能回到教室； ③把 ＝3 分别代人到 和 中，得 ＝4 和 ＝16， 16－4＝12，12＞10，所以此次消毒有效. 3、南宁市某生态示范村种植基地计划用 90 亩～120 亩的土地种植一批葡萄，原计划 总产量要达到 36 万斤． （1）列出原计划种植亩数 （亩）与平均每亩产量 （万斤）之间的函数关系式， 并写出自变量 的取值范围； （2）为了满足市场需求，现决定改良葡萄品种．改良后平均每亩产量是原计划的 1.5 倍，总产量比原计划增加了 9 万斤，种植亩数减少了 20 亩，原计划和改良后的 平均每亩产量各是多少万斤？ 【思路点拨】（1）直接根据亩产量、亩数及总产量之间的关系得到函数关系式即可；（2） 根据题意列出 － ＝20 后求解即可． 【答案与解析】 解：（1）由题意知： ＝36，故 （ ≤ ≤ ） （2）根据题意得： － ＝20 解得： ＝0.3 经检验，x=0.3 是原方程的解. 1.5 ＝0.45（万斤） 答：改良前亩产 0.3 万斤，改良后亩产 0.45 万斤． 【总结升华】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是从复杂的实际问题中整理出反比 例函数模型，并利用其解决实际问题． y x x y x y x y x xy 4 3= x xy 48= 8x＞ y xy 48= x y xy 4 3= xy 48= x x y x x 36 x 36 9 1.5x + xy 36y x = 3 10 x 2 5 36 x 36 9 1.5x + x x5 4、（2016•厦门）如图，是药品研究所所测得的某种新药在成人用药后，血液中的药物 浓度 y（微克/毫升）用药后的时间 x（小时）变化的图象（图象由线段 OA 与部分双曲线 AB 组成）．并测得当 y=a 时，该药物才具有疗效．若成人用药 4 小时，药物开始产生疗效，且 用药后 9 小时，药物仍具有疗效，则成人用药后，血液中药物浓则至少需要多长时间达到最 大度？ 【思路点拨】利用待定系数法分别求出直线 OA 与双曲线的函数解析式，再令它们相等得出 方程，解方程即可求解． 【答案与解析】 解：设直线 OA 的解析式为 y=kx， 把（4，a）代入，得 a=4k，解得 k= ， 即直线 OA 的解析式为 y= x． 根据题意，（9，a）在反比例函数的图象上， 则反比例函数的解析式为 y= ． 当 x= 时，解得 x=±6（负值舍去）， 故成人用药后，血液中药物则至少需要 6 小时达到最大浓度． 【总结升华】本题考查了反比例函数的应用，直线与双曲线交点的求法，利用待定系数法求 出 关 系 式 是 解 题 的 关 键 ．6 【巩固练习】 一.选择题 1．（2016•厦门）已知压强的计算公式是 P= ，我们知道，刀具在使用一段时间后，就好变 钝，如果刀刃磨薄，刀具就会变得锋利．下列说法中，能正确解释刀具变得锋利这一现象的 是（　　） A．当受力面积一定时，压强随压力的增大而增大 B．当受力面积一定时，压强随压力的增大而减小 C．当压力一定时，压强随受力面积的减小而减小 D．当压力一定时，压强随受力面积的减小而增大 2. 现有一水塔，水塔内装有水 ，如果每小时从排水管中放水 ,则要经过 小时求 可以把水放完.该函数的图象应是如图所示中的（ ） 3．在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后缸 内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强，如下表： 体积 100 80 60 40 20 压强 60 75 100 150 300 则可以反映 与 之间的关系的式子是( )． A. ＝3000 B. ＝6000 C. D. 4．某一数学课外兴趣小组的同学每人制作一个面积为 200 的矩形学具进行展示．设矩 形的宽为 ，长为 ，那么这些同学所制作的矩形的长 与宽 之 间的函数关系的图象大致是( ) 5．下列各问题中两个变量之间的关系，不是反比例函数的是( ) A.小明完成百米赛跑时，所用时间 t(s)与他的平均速度 v( )之间的关系 B.长方形的面积为 24，它的长 与宽 之间的关系 C.压力为 600N 时，压强 P(Pa)与受力面积 S( )之间的关系 D.一个容积为 25L 的容器中，所盛水的质量 与所盛水的体积 V(L)之间的关系 320m 3xm y /x ml /y kpa y x y x y x xy 3000= xy 6000= 2cm ( )x cm ( )y cm ( )y cm ( )x cm /m s y x 2m ( )m kg7 6. （2015•平谷区一模）某品牌的饮水机接通电源就进入自动程序：开机加热到水温 100℃， 停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（min）成反比例关系，直至水温降 至 30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为 30℃ 时，接通电源后，水温 y（℃）和时间 x（min）的关系如图所示，水温从100℃降到 35℃所 用的时间是（　　） A．27 分钟 B．20 分钟 C．13 分钟 D. 7 分钟 二.填空题 7．甲、乙两地间的公路长为 300 ，一辆汽车从甲地去乙地，汽车在途中的平均速度为 v( )，到达时所用的时间为 t(h)，那么 t 是 v 的______函数，v 关于 t 的函数关系 式为______． 8．农村常需要搭建截面为半圆形的全封闭蔬菜塑料暖房(如图所示)，则需要塑料布 与半径 R( )的函数关系式是(不考虑塑料埋在土里的部分)__________________． 9. 某种蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流 I(A)与可变电阻 R(Ω)之间的函数关系 如图所示，当用电器的电流为 10A 时，用电器的可变电阻为________Ω． 10．如图所示的是一蓄水池每小时的排水量 V（ ）与排完水池中的水所用的时间 t(h) 之间的函数图象． km /km h ( )2y m m 3 /m h8 (1)根据图象可知此蓄水池的蓄水量为______ ； (2)此函数的解析式为____________； (3)若要在 6h 内排完水池中的水，那么每小时的排水量至少应该是______ ； (4)如果每小时的排水量是 5 ，那么水池中的水需要______h 排完． 11.（2015•繁昌县模拟）随着私家车的增加，城市的交通也越来越拥挤，通常情况下，某段 高架桥上车辆的行驶速度 y（千米/时）与高架桥上每百米拥有车的数量 x（辆）的关系如图 所示，当 x≥10 时，y 与 x 成反比例函数关系，当车速度低于 20 千米/时，交通就会拥堵，为 避免出现交通拥堵，高架桥上每百米拥有车的数量 x 应该满足的范围是　　． 12.一定质量的二氧化碳，当体积为 5 时，密度为 1.98 ，要使体积增加 4 ，则 它的密度为______ . 三.解答题 13. （2016•湖州）湖州市菱湖镇某养鱼专业户准备挖一个面积为 2000 平方米的长方形鱼塘． （1）求鱼塘的长 y（米）关于宽 x（米）的函数表达式； （2）由于受场地的限制，鱼塘的宽最多只能挖 20 米，当鱼塘的宽是 20 米，鱼塘的长为多 少米？ 14. 你吃过拉面吗？实际上做拉面的过程中，渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面， 面条的总长度 是面条粗细(横截面积) )的反比例函数，其图象如图所示． 3m 3m 3m 3m 3/kg m 3m 3/kg m ( )y m ( )2S m9 (1)写出 与 S 的函数关系式； (2)求当面条粗 1.6 时面条的总长度． 15.小王骑自行车以 15 千米/时的平均速度从甲地到乙地用了 4 小时． （1）他坐在出租车从原路返回，出租车的平均速度 v 与时间 t 有怎样的函数关系？ （2）如果小王必须在 40 分钟之内赶回，则返程时的速度至少为多少？ 【答案与解析】 一.选择题 1.【答案】D． 【解析】解：因为菜刀用过一段时间后，刀刃比原来要钝一些，切菜时就感到费力， 磨一磨，根据压强公式 P= ，是在压力一定时，减小了受力面积，来增大压强， 所以切菜时，用同样大小的力，更容易把菜切断，切菜时不至于那么费力． 2.【答案】C； 【解析】由题意知， . 3.【答案】D； 4.【答案】A； 5.【答案】D； 6.【答案】C； 【解析】∵开机加热时每分钟上升 10℃，∴从 30℃到 100℃需要 7 分钟， 设一次函数关系式为：y=k1x+b， 将（0，30），（7，100）代入 y=k1x+b 得 k1=10，b=30 ∴y=10x+30（0≤x≤7），令 y=50，解得 x=2； 设反比例函数关系式为：y= ， 将（7，100）代入 y= 得 k=700，∴y= ， 将 y=35 代入 y= ，解得 x=20； ∴水温从 100℃降到 35℃所用的时间是 20﹣7=13 分钟，故选 C． 二.填空题 7.【答案】反比例； ； 8．【答案】 ． 9.【答案】3.6； 【解析】设电流 I 与电阻 R 的关系式为 ，把(9，4)代入关系式得： ＝36． 所以关系式为 ，当 I＝10 时，R＝3.6(Ω)． y 2m 20y x = 300V t = ( )230 0y R R Rπ π= + > kI R = k 36I R =10 10.【答案】(1)48； (2) ； (3)8； (4)9.6． 11.【答案】0＜x＜40； 提示：设反比例函数的解析式为：y= ， 则将（10，80），代入得：y= ， 故当车速度为 20 千米/时，则 20= ， 解得：x=40， 故高架桥上每百米拥有车的数量 x 应该满足的范围是：0＜x＜40． 12.【答案】1.1； 【解析】二氧化碳的质量为 1.98×5＝9.9， . 三.解答题 13.【解析】 解：（1）由长方形面积为 2000 平方米，得到 xy=2000，即 y= ； （2）当 x=20（米）时，y= =100（米）， 则当鱼塘的宽是 20 米时，鱼塘的长为 100 米． 14.【解析】 解：(1)因为拉面总长度 与面条的粗细(横截面积) 成反比例函数，故设其关系 式为 ，又由于图象过 P(4，32)， 则 ，∴ ， 所以 与 S 的函数关系式为 ． (2)当 S＝1.6 时， ， 故当面条粗 1.6 时，面条的总长度是 80 . 15.【解析】 解：（1）设甲、乙两地的距离为 s 千米，由题意，得 s＝15×4＝60（千米）．所以 v 与 t 的函数解析式为 ． （2）40＝ 小时， 把 代入 ，得 （千米/时）． 从结果可以看出，如果 40 分钟正好赶回，则速度为 90 千米/时，若少于 40 分钟赶回， )0(48 >= ttV 9.9 1.14 5 ρ = =+ ( )y m ( )2S m ky S = 32 4 k= 128k = y 128y S = 2m 128 80( )1.6y m= = 2m m 60v t = 2 3 2 3t = 60v t = 60 902 3 v = =11 则速度要超过 90 千米/时，即小王在 40 分钟之内赶回，速度至少为 90 千米/时．