导学案——圆的对称性

1 导学案——圆的对称性 【学习目标】 1.理解圆的对称性；并能运用其特有的性质推出在同一个圆中,圆心角、弧、弦之间的关系，能运用这 些关系解决问题，培养学生善于从实验中获取知识的科学的方法；理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、等 弧等与圆有关的概念，理解概念之间的区别和联系； 2. 通过探索、观察、归纳、类比，总结出垂径定理等概念 ，在类比中理解深刻认识圆中的圆心角、弧、 弦三者之间的关系； 3.掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它 两组量对应相等，及其它们在解题中的应用. 【要点梳理】 要点一、圆的对称性 圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴，有无数条对称轴． 圆是中心对称图形，对称中心为圆心． 要点诠释： 圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合． 要点二、与圆有关的概念 1. 弦 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 　　直径：经过圆心的弦叫做直径. 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距. 要点诠释： 　　直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径. 　　为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 中任意一条弦，求证：AB≥ CD. 　　　　　　 　　证明：连结 OC、OD 　　　　　　 　　　　　∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当 CD 过圆心 O 时，取“=”号) 　　　　　∴直径 AB 是⊙O 中最长的弦. 2. 弧 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以 A、B 为端点的弧记作 ，读作“圆弧 AB”或“弧 AB”. 　　半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆； 　　优弧：大于半圆的弧叫做优弧； 　　劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.2 要点诠释： 　　①半圆是弧，而弧不一定是半圆； 　　②无特殊说明时，弧指的是劣弧. 3.等弧 　　在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧. 要点诠释： 　　①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视； ②圆中两平行弦所夹的弧相等. 要点三、垂径定理 1.垂径定理 　　垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 2.推论 　　平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 　　　　　　 要点诠释： 　(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即 　　 　(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段. 要点四、垂径定理的拓展 根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论： （1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. 要点诠释： 在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧， 在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时， 平分的弦不能是直径） 要点五、弧、弦、圆心角的关系 1.圆心角与弧的关系： 　　在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 2. 圆心角、弧、弦的关系： 　　在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组 量都分别相等． 要点诠释： 　　(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征； 　　(2)注意关系中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.3 3. 圆心角的度数与它所对的弧的度数相等. 【典型例题】 类型一、应用垂径定理进行计算与证明 1. （2015 春•安岳县月考）如图，⊙O 直径 AB 和弦 CD 相交于点 E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°， 求弦 CD 长． 【答案与解析】解：过 O 作 OF⊥CD，交 CD 于点 F，连接 OD， ∴F 为 CD 的中点，即 CF=DF， ∵AE=2，EB=6， ∴AB=AE+EB=2+6=8， ∴OA=4， ∴OE=OA﹣AE=4﹣2=2， 在 Rt△OEF 中，∠DEB=30°， ∴OF= OE=1， 在 Rt△ODF 中，OF=1，OD=4， 根据勾股定理得：DF= = ， 则 CD=2DF=2 ． 【总结升华】对于垂径定理的使用，一般多用于解决有关半径、弦长、弦心距之间的运算(配合勾股定 理)问题. 举一反三： 【变式 1】如图所示，⊙O 两弦 AB、CD 垂直相交于 H，AH＝4，BH＝6，CH＝3，DH＝8，求⊙O 半径． 【答案】如图所示，过点 O 分别作 OM⊥AB 于 M，ON⊥CD 于 N，则四边形 MONH 为矩形，连结 OB， ∴ ， 1 2MO HN CN CH CD CH= = − = − 1 1( ) (3 8) 3 2.52 2CH DH CH= + − = + − =4 ， ∴ 在 Rt△BOM 中， ． 【高清 ID 号： 356965 关联的位置名称（播放点名称）：例 2-例 3】 【变式 2】如图，AB 为⊙O 的弦，M 是 AB 上一点，若 AB＝20cm，MB＝8cm，OM＝10cm，求⊙O 的半径. 【答案】14cm. 【高清 ID 号：356965 关联的位置名称（播放点名称）：例 2-例 3】 　 2. 已知：⊙O 的半径为 10cm，弦 AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，求 AB、CD 间的距离. 【思路点拨】⊙O 中，两平行弦 AB、CD 间的距离就是它们的公垂线段的长度，若分别作弦 AB、CD 的弦 心距，则可用弦心距的长表示这两条平行弦 AB、CD 间的距离. 【答案与解析】 (1)如图 1，当⊙O 的圆心 O 位于 AB、CD 之间时，作 OM⊥AB 于点 M， 并延长 MO，交 CD 于 N 点.分别连结 AO、CO. 　　　　 ∵AB∥CD 　　　　 ∴ON⊥CD，即 ON 为弦 CD 的弦心距. 　　　　 ∵AB=12cm，CD=16cm，AO=OC=10cm， 　　　　 　　　　 　　　　 　 =8+6 　　　　 　 =14(cm) 1 1 1( ) (4 6) 52 2 2BM AB BH AH= = + = + = 2 2 5 52OB BM OM= + =5 　　　　 图 1 图 2 (2)如图 2 所示，当⊙O 的圆心 O 不在两平行弦 AB、CD 之间(即弦 AB、CD 在圆心 O 的同侧)时， 　　　　 　同理可得：MN=OM-ON=8-6=2(cm) 　　　　 　∴⊙O 中，平行弦 AB、CD 间的距离是 14cm 或 2cm. 【总结升华】解这类问题时，要按平行线与圆心间的位置关系，分类讨论，千万别丢解. 举一反三： 【变式】在⊙O 中，直径 MN⊥AB，垂足为 C，MN=10，AB=8，则 MC=_________． 【答案】2 或 8． 类型二、垂径定理的综合应用 3.（2015•普陀区一模）如图，某新建公园有一个圆形人工湖，湖中心 O 处有一座喷泉，小明为测 量湖的半径，在湖边选择 A、B 两个点，在 A 处测得∠OAB=45°，在 AB 延长线上的 C 处测得 ∠OCA=30°，已知 BC=50 米，求人工湖的半径．（结果保留根号） 【答案与解析】 解：过点 O 作 OD⊥AC 于点 D，则 AD=BD， ∵∠OAB=45°， ∴AD=OD， ∴设 AD=x，则 OD=x，OA= x，CD=x+BC=x+50）． ∵∠OCA=30°， ∴ =tan30°，即 = ， 解得 x=25 ﹣25， ∴OA= x= ×（25 ﹣25）=（25 ﹣25 ）（米）． 答：人工湖的半径为（25 ﹣25 ）米． 【总结升华】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关6 键． 4. 不过圆心的直线 l 交⊙O 于 C、D 两点，AB 是⊙O 的直径，AE⊥l 于 E，BF⊥l 于 F． (1)在下面三个圆中分别画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形； (2)请你观察(1)中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论(OA＝OB 除外)(不再标注 其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程)； (3)请你选择(1)中的一个图形，证明(2)所得出的结论． 【答案与解析】 (1)如图所示， 在图①中 AB、CD 延长线交于⊙O 外一点； 在图②中 AB、CD 交于⊙O 内一点； 在图③中 AB∥CD． (2)在三个图形中均有结论：线段 EC＝DF． (3)证明：过 O 作 OG⊥l 于 G．由垂径定理知 CG＝GD． ∵ AE⊥l 于 E，BF⊥l 于 F， ∴ AE∥OG∥BF． ∵ AB 为直径， ∴ AO＝OB， ∴ EG＝GF， ∴ EC＝EG－CG＝GF－GD＝DF． 【总结升华】在运用垂径定理解题时，常用的辅助线是过圆心作弦的垂线，构造出垂径定理的基本图形. 类型三、圆心角、弧、弦之间的关系及应用 5.已知：如图所示，⊙O 中弦 AB＝CD．求证：AD＝BC．7 【思路点拨】本题主要是考查弧、弦、圆心角之间的关系，要证 AD＝BC，只需证 或证∠AOD ＝∠BOC 即可． 【答案与解析】 证法一：如图①，∵ AB＝CD，∴ ． ∴ ，即 ， ∴ AD＝BC． 证法二：如图②，连 OA、OB、OC、OD， ∵ AB＝CD，∴ ∠AOB＝∠COD． ∴ ∠AOB－∠DOB＝∠COD－∠DOB， 即∠AOD＝∠BOC，∴ AD＝BC． 【总结升华】在同圆或等圆中，证两弦相等时常用的方法是找这两弦所对的弧相等或所对的圆心角相等， 而图中没有已知的等弧和等圆心角，必须借助已知的等弦进行推理． 举一反三： 【变式】如图所示，已知 AB 是⊙O 的直径，M、N 分别是 AO、BO 的中点，CM⊥AB，DN⊥AB． 求证： ． 【答案】 证法一：如上图所示，连 OC、OD，则 OC＝OD，  AD BC=  AB CD=  AD BC=  AC BD=    AB BD CD BD− = −8 ∵ OA＝OB，且 ， ， ∴ OM＝ON，而 CM⊥AB，DN⊥AB， ∴ Rt△COM≌Rt△DON， ∴ ∠COM＝∠DON， ∴ ． 证法二：如下图，连 AC、BD、OC、OD． ∵ M 是 AO 的中点，且 CM⊥AB， ∴ AC＝OC， 同理 BD＝OD，又 OC＝OD． ∴ AC＝BD， ∴ ． 1 2OM OA= 1 2ON OB=  AC BD=  AC BD=9 【巩固练习】 一、选择题 1.（2015•河东区一模）如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠A=25°，以点 C 为圆心，BC 为半径的圆交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，则 的度数为（　　） 　 A．25° B． 30° C． 50° D． 65° 2．下面四个命题中正确的是( )． A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心 D．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心 3．如图，弦 CD 垂直于⊙O 的直径 AB，垂足为 H，且 CD= ，BD= ，则 AB 的长为（ ） A．2 B.3 C.4 D.5 第 3 题 第 5 题 第 6 题 4．⊙O 的半径 OA＝1，弦 AB、AC 的长分别是 、 ，则∠BAC 的度数为( )． A．15° B．45° C．75° D．15°或 75° 5．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋在壁中，不知大 小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用现在的数学语言表述是：如图所示，CD 为⊙O 的直径，弦 AB⊥CD，垂足为 E，CE 为 1 寸，AB 为 10 寸，求直径 CD 的长.依题意，CD 长为 ( )． A． 寸 B．13 寸 C．25 寸 D．26 寸 6．如图，EF 是⊙O 的直径，AB 是弦，EF=10cm，AB=8cm，则 E、F 两点到直线 AB 的距离之和为 （ ）． A．3cm B．4cm C．8cm D．6cm 二、填空题 7．如图，A、B、C、D 为⊙O 上的点，且 ．若∠COD=40°，则∠ADO=______度． 2 2 3 2 3 25 2   AB BC CD= =10 8．如图，P 为⊙O 的弦 AB 上的点，PA=6，PB=2，⊙O 的半径为 5，则 OP=______． 7 题图 8 题图 9 题图 9．如图，⊙O 的弦 AB 垂直于 AC，AB=6cm，AC=4cm，则⊙O 的半径等于______cm． 10．（2015•徐州）如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，垂足为 E，连接 AC．若∠CAB=22.5°，CD=8cm， 则⊙O 的半径为 　 cm． 11．在图 11 中，半圆的直径 AB=4cm，O 为圆心，半径 OE⊥AB，F 为 OE 的中点，CD∥AB，则弦 CD 的长 为 ． (第 12 题) 12．如图，点 A、B 是⊙O 上两点，AB=10，点 P 是⊙O 上的动点（P 与 A，B 不重合）连结 AP， PB，过点 O 分别作 OE⊥AP 于点 E，OF⊥PB 于点 F，则 EF= . 三、解答题 13.如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CD=15， ，求弦AB和AC的长． 14．如图所示，C 为 的中点，CD 为直径，弦 AB 交 CD 于 P 点，PE⊥BC 于 E，若 BC=10cm， 且 CE：BE=3：2，求弦 AB 的长． 3 5OE OC =∶ ∶ ACB11 15．如图所示，已知 O 是∠EPF 的平分线上的一点，以 O 为圆心的圆与角的两边分别交于点 A、B 和 C、D. ⑴求证：PB=PD. ⑵若角的顶点 P 在圆上或圆内，⑴中的结论还成立吗？若不成立，请说明理由；若成立，请加以证 明. 16.（2015•杭州模拟）如图，⊙O 的两条弦 AB、CD 交于点 E，OE 平分∠BED． （1）求证：AB=CD； （2）若∠BED=60°，EO=2，求 DE﹣AE 的值． 【答案与解析】 一、选择题 1．【答案】C； 【解析】连接 CD， ∵在△ABC 中，∠C=90°，∠A=25°， ∴∠ABC=90°﹣25°=65°， ∵BC=CD， ∴∠CDB=∠ABC=65°， ∴∠BCD=180°﹣∠CDB﹣∠CBD=180°﹣65°﹣65°=50°， ∴ =50°．故选 C． 2．【答案】D． 【解析】根据垂径定理及其推论来判断. 3．【答案】B． 【解析】由垂径定理得 HD= ，由勾股定理得 HB=1，设圆 O 的半径为 R，在 Rt△ODH 中， 则 ，由此得 R= ， 所以 AB=3.故选 B. 4.【答案】D． 【解析】分弦 AB、AC 在圆心的同侧和异侧讨论. 5．【答案】D． E O D C B A 2 ( ) ( )2 22 2 1R R= + − 3 212 【解析】连结 AO， ∵ CD 为直径，CD⊥AB， ∴ ． 设⊙O 半径为 R，则 OE＝R－1． Rt△AOE 中，OA2＝AE2+OE2， ∴ R2＝52+(R-1)2，∴ R＝13， ∴ CD＝2R＝26(寸)． 故选 D． 6．【答案】D． 【解析】E、F 两点到直线 AB 的距离之和为圆心 O 到 AB 距离的 2 倍. 二、填空题 7．【答案】30． 【解析】∵ ，∴∠AOB=∠BOC=∠COD=40°； ∴∠AOD=120°； ∴∠ADO= （180°-∠AOD）=30°． 8．【答案】 9．【答案】 10．【答案】 　． 【解析】解：连接 OC，如图所示： ∵AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB， ∴CE=DE= CD=4cm， ∵OA=OC， ∴∠A=∠OCA=22.5°， ∵∠COE 为△AOC 的外角， ∴∠COE=45°， ∴△COE 为等腰直角三角形， ∴OC= CE=4 cm， 故答案为：4 11．【答案】 . 【解析】连接 OC,易求 CF= CD= . 1 52AE AB= = .13 .13 2 3cm 3. 2 3cm   AB BC CD= = 1 2 4 213 12.【答案】5. 【解析】易证 EF 是△APB 的中位线，EF= 三、解答题 13.【答案与解析】 连结OA， ∵CD=15， ， ∴OA=OC=7.5，OE=4.5，CE=3， ∴ 　 14.【答案与解析】 因为 C 为 的中点，CD 为直径，弦 AB 交 CD 于 P 点，所以 CD⊥AB. 由 BC=10cm，且 CE：BE=3：2，得 CE=6cm，BE=4cm， 设 则 解得 ， . 15.【答案与解析】 （1）证明：过 O 作 OE⊥PB 于 E，OF⊥PD 于 F. 1 5.2 AB = 3 5OE OC =∶ ∶ 2 2 2 2 2 2 2 2 7.5 4.5 6 2 12 6 3 3 5 AE OA OE AB AE AC AE CE = − = − = = = = + = + =， ACB , ,BP a CP b= = 2 2 2 2 2 2 2 10 4 6 a b a b  + = − = − 2 10a = 2 4 10AB a cm= = OP EPF OE OF PE PF AB CD BE DF PE BE PF DF PB PD 平分 ， ，则 ∠ ∴ = = ∴ = = ∴ + = + ∴ =14 （2）上述结论仍成立.如下图所示.证明略. 16.【答案与解析】 解：（1）过点 O 作 AB、CD 的垂线，垂足为 M、N，如图 1， ∵OE 平分∠BED，且 OM⊥AB，ON⊥CD， ∴OM=ON， ∴AB=CD； （2）如图 2 所示， 由（1）知，OM=ON，AB=CD，OM⊥AB，ON⊥CD， ∴DN=CN=AM=BM， 在 Rt△EON 与 Rt△EOM 中， ∵ ， ∴Rt△EON≌Rt△EOM（HL）， A A E E P O P O F F C C PA=PC PA=PC 图1 N M E O D C B A A B C D O E MN 图215 ∴NE=ME， ∴CD﹣DN﹣NE=AB﹣BM﹣ME， 即 AE=CE， ∴DE﹣AE=DE﹣CE=DN+NE﹣CE=CN+NE﹣CE=2NE， ∵∠BED=60°，OE 平分∠BED， ∴∠NEO= BED=30°， ∴ON= OE=1， 在 Rt△EON 中，由勾股定理得： NE= = ， ∴DE﹣AE=2NE=2 ．