导学案——圆周角和圆心角的关系

1 导学案——圆周角和圆心角的关系 【学习目标】 1．理解圆周角的概念，了解圆周角与圆心角之间的关系； 2．理解圆周角定理及推论； 3．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用；通过观察、比较、分析圆周角与圆心角的关系，发展 学生合情推理能力和演绎推理能力． 【要点梳理】 要点一、圆周角 1.圆周角定义： 　像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB 这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2.圆周角定理： 　　一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角度数的一半． 3.圆周角定理的推论： 　　推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等； 推论 2：直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 要点诠释： 　　(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. 　　(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中. （3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周 角的外部．（如下图） 要点二、圆内接四边形 1.圆内接四边形定义： 四边形的四个顶点都在同一个圆上，像这样的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.2 O D C B A 2.圆内接四边形性质： 圆内接四边形的对角互补.如图，四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，则∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180 °. 要点诠释：当四边形的四个顶点不同时在一个圆上时，四边形的对角是不互补. 【典型例题】 类型一、圆周角、圆心角、弧、弦之间的关系及应用 1.已知：如图所示，⊙O 中弦 AB＝CD．求证：AD＝BC． 【思路点拨】 本题主要是考查弧、弦、圆心角之间的关系，要证 AD＝BC，只需证 或证∠AOD＝∠BOC 即 可． 【答案与解析】 证法一：如图①，∵ AB＝CD，∴ ． ∴ ，即 ， ∴ AD＝BC．  AD BC=  AB CD=  AD BC=   AB BD CD BD− = −3 证法二：如图②，连 OA、OB、OC、OD， ∵ AB＝CD，∴ ∠AOB＝∠COD． ∴ ∠AOB－∠DOB＝∠COD－∠DOB， 即∠AOD＝∠BOC，∴ AD＝BC． 【总结升华】在同圆或等圆中，证两弦相等时常用的方法是找这两弦所对的弧相等或所对的圆心角相等， 而图中没有已知的等弧和等圆心角，必须借助已知的等弦进行推理． 举一反三： 【变式】如图所示，已知 AB 是⊙O 的直径，M、N 分别是 AO、BO 的中点，CM⊥AB，DN⊥AB． 求证： ． 【答案】 证法一：如上图所示，连 OC、OD，则 OC＝OD， ∵ OA＝OB，且 ， ， ∴ OM＝ON，而 CM⊥AB，DN⊥AB， ∴ Rt△COM≌Rt△DON， ∴ ∠COM＝∠DON， ∴ ． 证法二：如下图，连 AC、BD、OC、OD． ∵ M 是 AO 的中点，且 CM⊥AB， ∴ AC＝OC， 同理 BD＝OD，又 OC＝OD． ∴ AC＝BD， ∴ ． 类型二、圆周角定理及应用  AC BD= 1 2OM OA= 1 2ON OB=  AC BD=  AC BD=4 2.（2015•南京二模）如图，OA、OB 是⊙O 的半径且 OA⊥OB，作 OA 的垂直平分线交⊙O 于点 C、 D，连接 CB、AB． 求证：∠ABC=2∠CBO． 【答案与解析】 证明：连接 OC、AC，如图， ∵CD 垂直平分 OA， ∴OC=AC． ∴OC=AC=OA， ∴△OAC 是等边三角形， ∴∠AOC=60°， ∴∠ABC= ∠AOC=30°， 在△BOC 中，∠BOC=∠AOC+∠AOB=150°， ∵OB=OC， ∴∠CBO=15°， ∴∠ABC=2∠CBO． 【总结升华】本题考查了圆周角定理以及线段垂直平分线的性质和等边三角形的判定与性质，熟练的掌 握所学知识点是解题的关键. 举一反三： 【变式】如图，AB 是⊙O 的弦，∠AOB＝80°则弦 AB 所对的圆周角是 . 【答案】40°或 140°.5 3.如图，AB 是⊙O 的直径，C、D、E 都是⊙O 上的点，则∠1+∠2=___________. 　　　　 【答案】90°. 【解析】如图，连接 OE，则 　　　　 【总结升华】把圆周角转化到圆心角. 举一反三： 【变式】（2015•玄武区二模）如图，四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形，连接 AC、BO，已知∠CAB=36°， ∠ABO=30°，则∠D=　 ． 【答案】96°； 提示：解：连结 OC，如图， ∠BOC=2∠CAB=2×36°=72°， ∵OB=OC， ∴∠OBC=∠OCB， ∴∠OBC= （180°﹣∠BOC）= （180°﹣72°）=54°， ∴∠ABC=∠OBA+∠OBC=30°+54°=84°， ∵∠D+∠ABC=180°， ∴∠D=180°﹣84°=96°． 故答案为 96．6O C D A B E 4.已知，如图，⊙O 上三点 A、B、C，∠ACB=60°，AB=m，试求⊙O 的直径长. 　　　　　　 【答案与解析】 如图所示，作⊙O 的直径 AC′，连结 C′B， 　 则∠AC′B=∠C=60° 　 又∵AC′是⊙O 的直径， 　 ∴∠ABC′=90° 　 　 　 　　即⊙O 的直径为 . 【总结升华】作出⊙O 的直径，将 60°、直径与 m 都转到一个直角三角形中求解. 举一反三： 【变式】如图，△ABC 内接于⊙O，∠C＝45°，AB＝4，则⊙O 的半径为（ ）． A． B．4 C． D．5 【答案】A. 类型三、圆内接四边形及应用 2 2 2 37 A B C D E O O C D A B E 5.已知，如图，∠EAD 是⊙O 的内接四边形 ABCD 的一个外角，并且 BD=DC. 求证：AD 平分∠EAC. 【思路点拨】如图，由圆内接四边形的性质可证得∠EAD=∠DCB，根据等腰三角形的性质得到∠DBC= ∠DCB，根据圆周角定理可得∠DBC=∠DAC，所以等量代换可求得∠EAD=∠DAC，即 AD 平分∠EAC. 【答案与解析】 证明：∵∠EAD 与∠DAB 互为邻补角， ∴∠EAD+∠DAB=180°. ∵四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形， ∴∠DAB+∠DCB=180°. ∴∠EAD=∠DCB. 又∵∠DBC 与∠DAC 是 所对的圆周角， ∴∠DBC=∠DAC, ∴∠EAD=∠DAC. 即 AD 平分∠EAC. 【总结升华】本题考查圆周角定理、圆内接四边形的性质，解题时要认真审题，注意转化思想的合理运 用. 举一反三： 【变式】如图，圆内接四边形 ABCD 的外角∠ABE=85°，则∠AOC 的度数为（ ）. A.150° B. 160° C.170° D.165° 【答案】C. DC89 【巩固练习】 一、选择题 1. 如图所示，AB 是⊙O 的直径，AD=DE，AE 与 BD 交于点 C，则图中与∠BCE 相等的角有（ ） A、2 个 B、3 个 C、4 个 D、5 个 2．已知，如图,AB 为⊙O 的直径，AB＝AC，BC 交⊙O 于点 D，AC 交⊙O 于点 E，∠BAC＝45°。给出以下 五个结论：①∠EBC＝22.5°；②BD＝DC；③AE＝2EC；④劣弧 是劣弧 的 2 倍；⑤AE＝BC。其中 正确的有( )个 A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 第 1 题图 第 2 题图 第 3 题图 3．如图，在⊙O 中，弦 AB 的长是半径 OA 的 倍，C 为 中点，AB、OC 交于点 P，则四边形 OACB 是 ( ) A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 4．（2015•威海）如图，已知 AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，则∠CAD 的度数为（　　） 　 A．68° B． 88° C． 90° D．112° 5．如图，在⊙O 中，若圆心角∠AOB=100°，C 是 上一点，则∠ACB 等于( )． A．80° B．100° C．130° D．140° 第 4 题图 第 5 题图 第 6 题图 AE DE 3 AB10 6．如图所示，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，∠CDB＝30°，⊙O 的半径为 cm，则弦 CD 的长为 ( )． A． cm B．3cm C． cm D．9cm 二、填空题 7．如图所示，AB、CD 是⊙O 的两条互相垂直的弦，圆心角∠AOC＝130°，AD、CB 的延长线相交于 P， 则∠P＝________°． 　　　 （第 7 题） （第 9 题） 8．（2015•青岛）如图，圆内接四边形 ABCD 两组对边的延长线分别相交于点 E，F，且∠A=55°， ∠E=30°，则∠F=　　． 9．如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，若AE=5,BE=1, ,则∠AED= °. 10．如图，AB 和 DE 是⊙O 的直径，弦 AC∥DE，若弦 BE=3，则弦 CE=________. 11.如图所示，在半径为 3 的⊙O 中，点 B 是劣弧 的中点，连接 AB 并延长到 D，使 BD＝AB，连接 AC、BC、CD，如果 AB＝2，那么 CD＝________． （第 10 题图） （第 11 题图） 12．如图，MN 是⊙O 的直径，MN＝2，点 A 在⊙O 上，∠AMN＝30°，点 B 为AN︵ 中点，P 直径 MN 上的一个 动点，则 PA＋PB 的最小值是 . 3 3 2 2 3 4 2CD = AC NPM O A B （第 12 题图）11 F O E D C BA 13．已知⊙O 的半径 OA=2，弦 AB、AC 分别为一元二次方程 x2-（2 +2 ）x+4 =0 的两个根， 则∠BAC 的度数为_______． 三、解答题 14.如图，圆内接四边形 ABCD 两组对边的延长线分别相交于点 E、F，且∠E=40°，∠F=60°，求∠A 的 度数. 15.（2015•宁波模拟）如图，等腰△ABC 中，AC=BC，⊙O 为△ABC 的外接圆，D 为 上一点，CE⊥AD 于 E，求证：AE=BD+DE． 16．如图所示，AB 是⊙O 的直径，C 为 的中点，CD⊥AB 于 D，交 AE 于 F，连接 AC， 求证：AF＝CF． 17.如图所示，⊙O 的直径 AB 长为 6，弦 AC 长为 2，∠ACB 的平分线交⊙O 于点 D， 求四边形 ADBC 的面积． 2 3 6 AE12 【答案与解析】 一、选择题 1．【答案】D． 【解析】与∠BCE 相等的角有 5 个，∠DAE=∠AED=∠ABD，∠BAD=∠BAE+∠DAE=∠BAE+∠ABD=∠BCE， 同理∠ADO=∠ODE=∠OED=∠BCE，且∠ACD=∠BCE. 2．【答案】C． 【解析】①②④正确. 3.【答案】C． 【解析】由弦 AB 的长是半径 OA 的 倍，C 为 中点，得∠AOC=60°，△AOC 为等边三角形， 所以 AO=AC，进而得到 OA=OB=BC=AC，故则四边形 OACB 是菱形. 4．【答案】B． 【解析】如图，∵AB=AC=AD， ∴点 B、C、D 在以点 A 为圆心， 以 AB 的长为半径的圆上； ∵∠CBD=2∠BDC， ∠CAD=2∠CBD，∠BAC=2∠BDC， ∴∠CAD=2∠BAC，而∠BAC=44°， ∴∠CAD=88°， 故选 B． 5．【答案】C． 【解析】设点 D 是优弧 AB 上一点（不与 A、B 重合），连接 AD、BD； 则∠ADB= ∠AOB=50°； ∵四边形 ADBC 内接于⊙O， ∴∠C=180°-∠ADB=130°；故选 C． 3 AB13 6．【答案】B． 【解析】∵ ∠CDB＝30°， ∴ ∠COB＝2∠CDB＝60°， 又 AB 为⊙O 的直径，CD⊥AB， ∴ ∠OCD＝30°， ， 在 Rt△OEC 中，∵ cm，∴ cm． (cm)． ∴ cm，∴ CD＝3cm． 二、填空题 7．【答案】40°； 【解析】∵ ∠AOC＝130°， ∴ ∠ADC＝∠ABC＝65°， 又 AB⊥CD， ∴ ∠PCD＝90°－65°＝25°， ∴ ∠P＝∠ADC－∠PCD＝65°－25°＝40°． 8．【答案】40°； 【解析】∵∠A=55°，∠E=30°， ∴∠EBF=∠A+∠E=85°， ∵∠A+∠BCD=180°， ∴∠BCD=180°﹣55°=125°， ∵∠BCD=∠F+∠CBF， ∴∠F=125°﹣85°=40°． 9．【答案】30°； 10．【答案】3； 11．【答案】 ； 【解析】连结 OA、OB，交 AC 于 E，因为点 B 是劣弧 的中点，所以 OB⊥AC，设 BE=x,则 OE=3-x，由 AB2-BE2=OA2-OE2 得 1 2CE CD= 3OC = 3 2OE = 2 2 2 2 2 3 9( 3) 2 4CE OC OE  = − = − =    3 2CE = 4 3 AC14 22-x2=32-（3-x）2,解得 ， . 或连接 OA、OB，△OAB∽△BCD， ， ， ． 12．【答案】 ； 【解析】作点 B 关于 MN 的对称点 C，连接 AC 交 MN 于点 P，则 P 点就是所求作的点．（如图） 此时 PA+PB 最小，且等于 AC 的长． 连接 OA，OC，根据题意得弧 AN 的度数是 60°， 则弧 BN 的度数是 30°， 根据垂径定理得弧 CN 的度数是 30°， 则∠AOC=90°，又 OA=OC=1， 则 AC= ． 13.【答案】15°或 75°. 【解析】方程 x2-（2 +2 ）x+4 =0 的解为 x1=2 ，x2=2 ， 不妨设：AB=2 ，AC=2 ． （1）如图，OM⊥AB 于 M，ON⊥AC 于 N． ∵AB=2 ，AC=2 ， ∴AM= ， ∵OA=2，在 Rt△MAO 中，∠MAO=45°，AC=2 ， ∴AN= ， 在 Rt△NAO 中，∠NAO=30°，∴∠BAC=15°； AB CD OA BC = 2 3 2 CD= 4 3CD = 2 3 6 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 3x = 42 3CD BE= =15 F O E D C BA （2）如图，∠BAC=75°． 三、解答题 14.【答案与解析】 解：在△ABE 中，∠E=40°， ∴∠A+∠ABE=180°-∠E=180°-40°=140°. 在△ADF 中，∠F=60°， ∴∠A+∠ADF=180°-∠F=180°-60°=120°. ∵四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形， ∴∠ADF+∠ABE=180°， ∴2∠A=260°-180°=80°， ∴∠A=40°. 15.【答案与解析】 证明：如图，在 AE 上截取 AF=BD，连接 CF，CD； 在△ACF 和△BCD 中 ∴△ACF≌△BCD， ∴CF=CD， ∵CE⊥AD 于 E， ∴EF=DE， ∴AE=AF+EF=BD+DE． 16.【答案与解析】 证法一：连接 BC，如图所示． ∵ AB 是直径，∴ ∠ACB＝90°， 即∠ACF+∠BCD＝90°． 又∵ CD⊥AB， ∴ ∠B+∠BCD＝90°， ∴ ∠ACF＝∠B．16 ∵ 点 C 是 的中点， ∴ ， ∴ ∠B＝∠CAE， ∴ ∠ACF＝∠CAE，∴ AF＝CF． 证法二：如图所示，连接 BC，并延长 CD 交⊙O 于点 H． ∵ AB 是直径，CD⊥AB， ∴ ． ∴ 点 C 是 的中点， ∴ ， ∴ ． ∵ ∠ACF＝∠CAF， ∴ AF＝CF． 17.【答案与解析】 ∵ AB 是直径，∴ ∠ACB＝∠ADB＝∠90°． 在 Rt△ABC 中，AB＝6，AC＝2， ∴ ． ∵ ∠ACB 的平分线交⊙O 于点 D，∴ ∠DCA＝∠BCD． ∴ ，∴ AD＝BD． ∴ 在 Rt△ABD 中，AD2+BD2＝AB2＝62，∴ AD＝BD＝ ． ∴ ． AE  AC CE=  AC AH= AE  AC CE=  AH CE= 2 2 2 26 2 4 2BC AB AC= − = − =  AD DB= 3 2 1 1C2 2ABC ABDADBCS S S A BC AD BD∆ ∆= + = + 四边形 21 12 4 2 (3 2) 9 4 22 2 = × × + × = +