导学案——正多边形和圆

1 导学案——正多边形和圆 【学习目标】 1.了解正多边形和圆的有关概念及对称性； 2.理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用正多边形和圆的有关知识画正 多边形； 3.会进行正多边形的有关计算. 【要点梳理】 要点一、正多边形的概念 　　各边相等，各角也相等的多边形是正多边形． 要点诠释： 　　判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如 菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形). 要点二、正多边形的重要元素 1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形 　　正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边 形，这个圆就是这个正多边形的外接圆． 2.正多边形的有关概念 　　(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． 　　(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径． 　　(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． 　　(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 3.正多边形的有关计算 　　(1)正ｎ边形每一个内角的度数是 ； 　　(2)正ｎ边形每个中心角的度数是 ； 　　(3)正ｎ边形每个外角的度数是 . 要点诠释：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形. 要点三、正多边形的性质 　　1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形. 　　2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成 2ｎ个全等的直角三角形. 　　3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正 n 边形的中心； 当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.2 　　　　　　　　 4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于 相似比的平方． 5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 要点诠释：（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是 圆的外切正多边形. 要点四、正多边形的画法 1.用量角器等分圆 　　由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以 等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正 n 边形. 2.用尺规等分圆 　　对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图. 　　　①正四、八边形. 　　 　　在⊙O 中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成 4 等份，从而作出正四边形. 再逐次平分各 边所对的弧(即作∠AOB 的平分线交 于 E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边 形. 　　②正六、三、十二边形的作法. 　　 　　通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O 中，任画一条直径 AB，分别以 A、 B 为圆心，以⊙O 的半径为半径画弧与⊙O 相交于 C、D 和 E、F，则 A、C、E、B、F、D 是⊙O 的 6 等分点. 　　显然，A、E、F(或 C、B、D)是⊙O 的 3 等分点. 　　同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12 等分…….3 要点诠释：画正 n 边形的方法：（1）将一个圆 n 等份，（2）顺次连结各等分点. 【典型例题】 类型一、正多边形的概念 1. 如图所示，正五边形的对角线 AC 和 BE 相交于点 M． (1)求证：AC∥ED；(2)求证：ME＝AE． 【解析与答案】 (1)正多边形必有外接圆，作出正五边形的外接⊙O，则 的度数为 ， ∵ ∠EAC 的度数等于 的度数的一半， ∴ ∠EAC＝ ， 同理，∠AED＝ ×72°×3＝108°， ∴ ∠EAC+∠AED＝180°， ∴ ED∥AC． (2)∵ ∠EMA＝180－∠AEB－∠EAC＝72°， ∴ ∠EAM＝∠EMA＝72°， ∴ EA＝EM． 【点评】辅助圆是特殊的辅助线，一般用得很少，当有共圆条件时可作出辅助圆后利用圆的特殊性去解 决直线型的问题．要证 AC∥ED 和 ME＝AE，都可用角的关系去证，而如果作出正五边形的外接 圆，则用圆中角的关系去证比较容易． 【高清 ID 号：356969 关联的位置名称（播放点名称）：经典例题 5-6】 　 2.（2015•威海模拟）如图，正方形 ABCD 内接于⊙O，E 为 DC 的中点，直线 BE 交⊙O 于点 F，若⊙O 的半径为 ，则 BF 的长为　 　． AB 1 360 725 × =° ° EDC 1 72 2 722 × × =° ° 1 24 【答案】 . 【解析】解：连接 BD，DF，过点 C 作 CN⊥BF 于点 F， ∵正方形 ABCD 内接于⊙O，⊙O 的半径为 ， ∴BD=2 ， ∴AD=AB=BC=CD=2， ∵E 为 DC 的中点， ∴CE=1， ∴BE= ， ∴CN×BE=EC×BC， ∴CN× =2， ∴CN= ， ∴BN= ， ∴EN=BE﹣BN= ﹣ = ， ∵BD 为⊙O 的直径， ∴∠BFD=90°， ∴△CEN≌△DEF， ∴EF=EN， ∴BF=BE+EF= + = ， 故答案为 ． 【点评】此题主要考查了正多边形和圆以及勾股定理以及三角形面积等知识，根据圆周角定理得出正多 边形边长是解题关键． 举一反三： 【高清 ID 号：356969 关联的位置名称（播放点名称）：经典例题 3-4】 【变式】同一个圆的内接正六边形和外切正六边形的周长的比等于（　　） A．3：4 B． ：2 C．2： D．1：2 【答案】B； 【解析】设圆的半径为 1，如图（1），连接 OA、OB 过 O 作 OG⊥AB； 6 5 55 ∵六边形 ABCDE 为正六边形， ∴∠AOB= =60°； ∵OA=OB，OG⊥AB， ∴∠AOG= =30°， ∴AG=OA•sin30°=1× = ，（或由勾股定理求） ∴AB=2AG=2× =1， ∴C 六边形 ABCD=6AB=6． 如图（2）连接 OA、OB 过 O 作 OG⊥AB； ∵六边形 ABCDE 为正六边形， ∴∠AOB= =60°， ∵OA=OB，OF⊥AB， ∴∠AOF= =30°， ∴AG=OG•tan30°= ，（或由勾股定理求） ∴AB=2AG=2× = ， ∴C 六边形 ABCD=6AB=6× =4 cm． ∴圆的内接正六边形和外切正六边形的周长的比=6：4 = ：2． 类型二、正多边形和圆的有关计算 3.（2014•江西模拟）如图，AG 是正八边形 ABCDEFGH 的一条对角线． （1）在剩余的顶点 B、C、D、E、F、H 中，连接两个顶点，使连接的线段与 AG 平行，并说明理由； （2）两边延长 AB、CD、EF、GH，使延长线分别交于点 P、Q、M、N，若 AB=2，求四边形 PQMN 的 面积．6 【答案与解析】 解：（1）连接 BF，则有 BF∥AG． 理由如下： ∵ABCDEFGH 是正八边形， ∴它的内角都为 135°． 又∵HA=HG， ∴∠1=22.5°， 从而∠2=135°﹣∠1=112.5°． 由于正八边形 ABCDEFGH 关于直线 BF 对称， ∴ 即∠2+∠3=180°，故 BF∥AG． （2）根据题设可知∠PHA=∠PAH=45°， ∴∠P=90°，同理可得∠Q=∠M=90°， ∴四边形 PQMN 是矩形． 又∵∠PHA=∠PAH=∠QBC=∠QCB=∠MDE=∠MED=45°，AH=BC=DE， ∴△PAH≌△QCB≌△MDE， ∴PA=QB=QC=MD．即 PQ=QM， 故四边形 PQMN 是正方形． 在 Rt△PAH 中，∵∠PAH=45°，AH=2， ∴PA= ∴ ． 故 ． 【点评】此题主要考查了正多边形和圆以及全等三角形的判定与性质等知识，得出 PQ 的长是解题关 键． 4. 如图（1）所示，圆内接△ABC 中，AB＝BC＝CA，OD、OE 为⊙O 的半径，OD⊥BC 于点 F，OE⊥AC 于点 G，求证：阴影部分四边形 OFCG 的面积是△ABC 的面积的 ．1 3 27 图（1） 【答案与解析】 (1)连 OA、OB、OC，如图（2）所示， 图（2） 则 OA＝OB＝OC，又 AB＝BC＝CA．∴ △OAB≌△OBC≌△OCA， 又 OD⊥BC 于 F，OE⊥AC 于 G，由垂径定理得 AG＝ AC，FC＝ BC， ∴ AG＝CF．∴ Rt△AOG≌Rt△COF ∴ ． 【点评】首先连接 OC，根据垂径定理的知识，易证得 Rt△OCG≌Rt△OCF，设 OG=a，根据直角三角形的 性质与等边三角形的知识，即可求得阴影部分四边形 OFCG 的面积与△ABC 的面积，继而求得答 案． 举一反三： 【变式】如下图，若∠DOE 保持 120°角度不变，求证：当∠DOE 绕着 O 点旋转时，由两条半径和△ABC 的两条边围成的图形，图中阴影部分的面积始终是△ABC 的面积的 ． 【答案】连接 OA、OB、OC，由(1)知△OAB≌△OBC≌△OCA． ∴ ∠1＝∠2． 设 OD 交 BC 于 F，OE 交 AC 于 G，则∠AOC＝∠3+∠4＝120°， ∠DOE＝∠5+∠4＝120°，∴ ∠3＝∠5． 1 2 1 2 OCG OCF OCG AOG AOC ABC 1 3S S S S S S S∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆= + = + = =四边形OFCG 1 38 在△OAG 和△OCF 中 ，∴ △OAG≌△OCF． ∴ ． 2 1 3 5 OA OC ∠ = ∠  = ∠ = ∠ ΔAOC ΔABC 1 3S S S= =四边形OFCG9 【巩固练习】 一、选择题 1. （2015•雅安校级一模）已知等边三角形的内切圆半径，外接圆半径和高的比是（　　） 　 A．1：2： B．2：3：4 C．1： ：2 D．1：2：3 2．将边长为 3cm 的正三角形各边三等分，以这六个分点为顶点构成一个正六边形，则这个正六边形的 面积为 ( ) A． B． cm2 C． cm2 D． cm2 3．如图，△PQR 是⊙O 的内接正三角形，四边形 ABCD 是⊙O 的内接正方形， BC∥QR，则∠AOQ=（ ） A．60° B．65° C．72° D．75° 第 3 题 第 5 题 4．周长是 12 的正三角形、正方形、正六边形的面积分别是 S3、S4、S6，则它们的大小关系是( )． A．S6＞S4＞S3 B．S3＞S4＞S6 C．S6＞S3＞S4 D．S4＞S6＞S3 5. 如图所示，八边形 ABCDEFGH 是正八边形，其外接⊙O 的半径为 ，则正八边形的面积 S 为 （ ）． A. B. C. 8 D.4 6．先作半径为 的圆的内接正方形，接着作上述内接正方形的内切圆，再作上述内切圆的内接正方 形，…，则按以上规律作出的第 7 个圆的内接正方形的边长为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 7．一个正方形与圆有相等的周长，则圆面积与正方形的面积比为________． 8．如图所示，正六边形内接于圆 O，圆 O 的半径为 10，则图中阴影部分的面积为________． 23 3 cm2 3 3 4 3 3 8 3 3 2 4 2 P D R C Q B O A 2 210 9．半径相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为 ． 10．（2015•五通桥区一模）如图，在边长为 2 的正六边形 ABCDEF 中，点 P 是其对角线 BE 上一动点， 连接 PC、PD，则△PCD 的周长的最小值是　　． 11．如图所示，有一个圆 O 和两个正六边形 T1、T2．T1 的 6 个顶点都在圆周上，T2 的 6 条边都和圆 O 相 切（我们称 T1，T2 分别为圆 O 的内接正六边形和外切正六边形）． （1）设 T1，T2 的边长分别为 a，b， 圆 O 的半径为 r，则 r:a= ； r:b= ； （2）正六边形 T1，T2 的面积比 S1:S2 的值是 ． 第 11 题图 第 12 题图 12．如图所示，已知正方形 ABCD 中，边长 AB＝3，⊙O 与⊙O′外切且与正方形两边相切，两圆半径为 R、r，则 R+r= ． 三、解答题 13.（2015•宝应县二模）如图，正六边形 ABCDEF 的边长为 2 cm，点 P 为六边形内任一点．则点 P 到各边距离之和为多少 cm？ 11 14．如图①、②、③，正三角形 ABC、正方形 ABCD、正五边形 ABCDE 分别是⊙O 的内接三角形、内接四 边形、内接五边形，点 M、N 分别从点 B、C 开始，以相同的速度中⊙O 上逆时针运动． （1）求图①中∠APB 的度数； （2）图②中，∠APB 的度数是 ，图③中∠APB 的度数是 ； （3）根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正 n 边形情况？若能，写出推广问题和结论；若 不能，请说明理由． 15．如图，正三角形、正方形、正六边形等正 n 边形与圆的形状有差异，我们将正 n 边形与圆的接近程 度称为“接近度”.在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等. （1）设正 n 边形的每个内角的度数为 m°，将正 n 边形的“接近度”定义为|180-m|.于是，|180-m| 越小，该正 n 边形就越接近于圆， ①若 n=20，则该正 n 边形的“接近度”等于 ； ②当“接近度”等于 时，正 n 边形就成了圆． （2）设一个正 n 边形的半径（即正 n 边形外接圆的半径）为 R，边心距（即正 n 边形的中心到各边 的距离）为 r，将正 n 边形的“接近度”定义为|R-r|，于是|R-r|越小，正 n 边形就越接近于圆.你 认为这种说法是否合理？若不合理，请给出正 n 边形“接近度”的一个合理定义． 【答案与解析】 一、选择题 1．【答案】D； 【解析】解：图中内切圆半径是 OD，外接圆的半径是 OC，高是 AD， 因而 AD=OC+OD； 在直角△OCD 中，∠DOC=60°， 则 OD：OC=1：2， 因而 OD：OC：AD=1：2：3，12 所以内切圆半径，外接圆半径和高的比是 1：2：3．故选 D． 2．【答案】A； 【解析】所得正六边形边长为 1，∴ ． 3．【答案】D； 【解析】易求∠POQ=120°，∠AOP=45°，则∠AOQ=∠POQ-∠AOP=120°-45°=75°. 4.【答案】A； 【解析】如图（1），∵ AB＝4，AD＝2，∠OAD＝30°，∴ OD＝ ． ∴ ． 如图（2），∵ AB＝AC＝3，∴ S4＝3×3＝9． 如图（3），∵ CD＝2，∴ OC＝2，CM＝1， ∴ OM＝ ． ∴ ． 又∵ ， ∴ ，故选 A． 5．【答案】B； 【解析】连接 OA、OB，过 A 作 AM⊥OB 于 M， ∵ ， ∴ △AOM 是等腰直角三角形． 又 ，∴ AM＝1， ∴ ， ∴ ， 6．【答案】A． 23 3 31 64 2S = × × = 2 3 3 3 1 1 2 36 6 6 2 4 32 2 3AODS S AD OD∆= = × × × = × × × = 3 6 112 12 1 3 6 32COMS S∆= = × × × = 2 2 2(6 3) 9 (4 3)> > 6 4 3S S S> > 360 458AOB∠ = =° ° 2AO = 1 1 22 12 2 2AOBS OB AM∆ = × = × × = 28 8 4 22AOBS S∆= = × =13 【解析】由于圆内接正方形的边长与圆的半径的比为 ，内接正方形的内切圆的半径与正方形的边 长的比为 ， 即这样做一次后，圆的内接正方形的边长为 × =1； 做第二次后的正方形的边长为 ； 依次类推可得：第 n 个正方形的边长是（ ）n-1， 则做第 7 次后的圆的内接正方形的边长为 ． 故选 A． 二、填空题 7．【答案】 ； 【解析】 设正方形边长为 a，则周长为 4a，面积为 ，圆周长也为 4a，则 ， ∴ ，∴ ∴ ． 8．【答案】 ； 【解析】图中阴影部分面积等于圆的面积减去正六边形的面积． ∵ ， ， ∴ 9．【答案】 ： ：1； 【解析】设圆的半径为 R， 4 π 2a 22 4r aπ = 4 2 2 a ar π π= = 2 2 2 2 4 4a aS rπ ππ π= = × =圆 2 2 4 1 4S a S aπ π= × =圆 正方形 100 150 3π − 210 100OS π π= =   1 10 5 3 6 150 32S = × × × =正六边形 100 150 3OS S S π= − = − 阴影 正六边形14 如图（一），连接 OB，过 O 作 OD⊥BC 于 D， 则∠OBC=30°，BD=OB•cos30°= R，（或由勾股定理求） 故 BC=2BD= R； 如图（二），连接 OB、OC，过 O 作 OE⊥BC 于 E， 则△OBE 是等腰直角三角形， 2BE2=OB2，即 BE= ， 故 BC= R； 如图（三），连接 OA、OB，过 O 作 OG⊥AB， 则△OAB 是等边三角形， 故 AG=OA•cos60°= R，AB=2AG=R，（或由勾股定理求） 故圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为 R： R：R= ： ：1． 10．【答案】6. 【解析】要使△PCD 的周长的最小，即 PC+PD 最小． 利用正多边形的性质可得点 C 关于 BE 的对称点为点 A，连接 AD 交 BE 于点 P'，那么有 P'C=P'A，P'C+P'D=AD 最小． 又易知 ABCD 为等腰梯形，∠BAD=∠CDA=60°， 则作 BM⊥AD 于点 M，CN⊥AD 于点 N， ∵AB=2， ∴AM= AB=1， ∴AM=DN=1，从而 AD=4， 故△PCD 的周长的最小值为 6． 11．【答案】（1）r:a＝1:1； ；（2） ． 【解析】如图所示． （1）连接圆心 O 和 T1 的 6 个顶点可得 6 个全等的正三角形，所以 r:a＝1:1； 连接圆心 O 和 T2 相邻的两个顶点，得以圆 O 半径为高的正三角形，所以 ． （2）T ∶T 的边长比是 ∶2，所以 S ∶S = . 所以 ． 3 2r b =: : 1 2 3 4S S =: 3 2r b =: : 1 2 3 1 2 4:3):( 2 =ba 1 2 3 4S S =:15 12.【答案】 ； 【解析】连结 OA、OO′、 .（如图所示） ∵⊙O 与 AB，AD 相切，⊙O′与 BC,CD 相切， ∴OA 平分∠BAD,O′C 平分∠BCD, ∴∠BAO=∠BCO′=45°， 若连结 AC,则∠BAC=45°，∴直线 OO′与直线 AC 重合， 设⊙O 切 AB、AD 于 E、F，⊙O′切 BC、CD 于 G、H． ∵⊙O 与⊙O′互相外切，∴OO′＝R+r． 连接 OF、OE、 、 ，则 ． 同理 ， ∴ ． 又∵ ，∴ ， ∴ ． 三、解答题 13.【答案与解析】 解：过 P 作 AB 的垂线，交 AB、DE 分别为 H、K，连接 BD， ∵六边形 ABCDEF 是正六边形， ∴AB∥DE，AF∥CD，BC∥EF，且 P 到 AF 与 CD 的距离和及 P 到 EF、BC 的距离和均为 HK 的长， ∵BC=CD，∠BCD=∠ABC=∠CDE=120°， ∴∠CBD=∠BDC=30°， ∴BD∥HK，且 BD=HK， ∵CG⊥BD， ∴BD=2BG=2×2 × =6， ∴点 P 到各边距离之和为 3BD=3×6=18． 6-3 2 O C‘ O H′ O G′ 2 2OA OF R= = 2 2O C OH r′ = = 2 2 (1 2)( )AC R r R r R r= + + + = + + 3 2AC = (1 2)( ) 3 2R r+ + = 3 2 3 2( 2 1)=6-3 2 1 2 R r+ = = − +16 14.【答案与解析】 （1）∠APB=120°（如图①） ∵点 M、N 分别从点 B、C 开始以相同的速度在⊙O 上逆时针运动， ∴∠BAM=∠CBN， 又∵∠APN=∠BPM， ∴∠APN=∠BPM=∠ABN+∠BAM=∠ABN+∠CBN=∠ABC=60°， ∴∠APB=120°； （2）同理可得：图②中∠APB=90°；图③中∠APB=72°． （3）由（1）可知，∠APB=所在多边形的外角度数，故在图 n 中，∠APB= ． 15.【答案与解析】 （1）①∵正 20 边形的每个内角的度数 m= =162°， ∴|180-m|=18； ②当“接近度”等于 0 时，正 n 边形就成了圆． （2）不合理．例如，对两个相似而不全等的正 n 边形来说，它们接近于圆的程度是相同的，但|R-r| 却不相等．合理定义方法不唯一，如定义为 、 越小，正 n 边形越接近于圆； 越大，正 n 边形与圆的形状差异越大；当 =1 时，正 n 边形就变成了圆．