导学案——直线与圆的位置关系

1 导学案——直线与圆的位置关系 【学习目标】 1.理解并掌握直线与圆的三种位置关系； 2.理解切线的判定定理和性质定理. 【要点梳理】 要点一、直线与圆的位置关系 1.切线的定义： 直线与圆有唯一的公共点时，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点.此时直线与圆的 位置关系称为相切. 2．直线和圆的三种位置关系： 　　(1) 相交：当直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交． 　　(2) 相切：当直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切．这条直线叫做圆的切线，公共点叫做 切点． 　　(3) 相离：当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离． 3．直线与圆的位置关系的判定和性质． 　　直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？ 　　由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和 点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径； 图(3)中直线与圆心的距离大于半径． 　　　　　　　　 　 一般地，直线与圆的位置关系有以下定理：　 如果⊙O 的半径为 r，圆心 O 到直线 l 的距离为 d，那么， （1）d＜r 直线 l 与⊙O 相交； （2）d=r 直线 l 与⊙O 相切； 　　 （3）d＞r 直线 l 与⊙O 相离. 要点诠释： 这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位 置关系的判定． 要点二、切线的性质定理和判定定理 1．切线的性质定理： 　　圆的切线垂直于过切点的半径. 要点诠释： 　　切线的性质定理中要注意：圆的切线是与过切点的半径垂直，不是与任意半径都垂直. 2．切线的判定定理： 　　过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线.2 要点诠释： 　　切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可. 要点三、三角形的内切圆 1．三角形的内切圆： 　　与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2．三角形的内心： 　　三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距 离都相等. 要点诠释： 　　(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形； 　　(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积 的一半，即 (S 为三角形的面积，P 为三角形的周长，r 为内切圆的半径). 【典型例题】 类型一、直线与圆的位置关系 【高清 ID 号： 356966 关联的位置名称（播放点名称）：经典例题 1-2】 1．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=3 厘米，BC=4 厘米，以 C 为圆心，r 为半径的圆与 AB 有怎样的 位置关系？为什么？ (1)r=2 厘米； (2)r=2.4 厘米； (3)r=3 厘米 【答案与解析】 解：过点 C 作 CD⊥AB 于 D， 在 Rt△ABC 中，∠C=90°， AC=3，BC=4，得 AB=5， ，∴AB·CD=AC·BC， ∴ (cm)，AC BC 3 4CD= = =2.4AB 5 • ×3 （1）当 r=2cm 时，CD＞r，∴圆 C 与 AB 相离； （2）当 r= 2.4cm 时，CD=r，∴圆 C 与 AB 相切； (3）当 r=3cm 时，CD＜r，∴圆 C 与 AB 相交． 【总结升华】欲判定⊙C 与直线 AB 的关系，只需先求出圆心 C 到直线 AB 的距离 CD 的长，然后再与 r 比 较即可． 举一反三： 【变式】已知⊙O 的半径为 10cm，如果一条直线和圆心 O 的距离为 10cm，那么这条直线和这个圆的位置 关系为（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 相交或相离 【答案】B. 类型二、切线的判定与性质　 2．如图所示，在 Rt△ABC 中，∠B＝90°，∠A 的平分线交 BC 于 D，以 D 为圆心，DB 长为半径作⊙ D．求证：AC 是⊙D 的切线． 【思路点拨】作垂直，证半径． 【答案与解析】 证明：过 D 作 DF⊥AC 于 F． ∵∠B＝90°， ∴DB⊥AB． 又 AD 平分∠BAC， ∴ DF＝BD＝半径． ∴ AC 与⊙D 相切．4 【总结升华】如果已知条件中不知道直线与圆有公共点，其证法是过圆心作直线的垂线段，再证明垂线 段的长等于半径的长即可． 3.（2015•黄石）如图，⊙O 的直径 AB=4，∠ABC=30°，BC 交⊙O 于 D，D 是 BC 的中点． （1）求 BC 的长； （2）过点 D 作 DE⊥AC，垂足为 E，求证：直线 DE 是⊙O 的切线． 【思路点拨】（1）根据圆周角定理求得∠ADB=90°，然后解直角三角形即可求得 BD，进而求得 BC 即可； （2）要证明直线 DE 是⊙O 的切线只要证明∠EDO=90°即可． 【答案与解析】 证明：（1）解：连接 AD， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB=90°， 又∵∠ABC=30°，AB=4， ∴BD=2 ， ∵D 是 BC 的中点， ∴BC=2BD=4 ； （2）证明：连接 OD． ∵D 是 BC 的中点，O 是 AB 的中点， ∴DO 是△ABC 的中位线， ∴OD∥AC，则∠EDO=∠CED 又∵DE⊥AC， ∴∠CED=90°，∠EDO=∠CED=90° ∴DE 是⊙O 的切线． 【总结升华】此题主要考查了切线的判定以及含 30°角的直角三角形的性质．解题时要注意连接过切点 的半径是圆中的常见辅助线． 4．如图，AB 为⊙O 的直径，AC 为⊙O 的弦，AD 平分∠BAC，交⊙O 于点 D，DE⊥AC，交 AC 的延长5 线于点 E． （1）判断直线 DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）若 AE＝8，⊙O 的半径为 5，求 DE 的长． 【思路点拨】（1）连接 OD，证明 OD∥AD 即可；（2）作 DF⊥AB 于 F，证明△EAD≌△FAD，将 DE 转化成 DF 来求. 【答案与解析】 解：（1）直线 DE 与⊙O 相切． 理由如下： 连接 OD． ∵AD 平分∠BAC， ∴∠EAD＝∠OAD． ∵OA＝OD， ∴∠ODA＝∠OAD． ∴∠ODA＝EAD． ∴EA∥OD． ∵DE⊥EA， ∴DE⊥OD． 又∵点 D 在⊙O 上，∴直线 DE 与⊙O 相切． （2）如上图，作 DF⊥AB，垂足为 F． ∴∠DFA＝∠DEA＝90°． ∵∠EAD＝∠FAD，AD＝AD，6 ∴△EAD≌△FAD． ∴AF＝AE＝8，DF＝DE. ∵OA＝OD＝5，∴OF＝3． 在 Rt△DOF 中，DF＝ ＝4． ∴DE＝DF＝4． 【总结升华】本题综合考察了平行线的判定，全等三角形的判定和勾股定理的应用，是一道很不错的中 档题. 举一反三： 【高清 ID 号： 356966 关联的位置名称（播放点名称）：切线长定理及例题 5-7】 【变式 1】（2015•盐城）如图，在△ABC 中，∠CAB=90°，∠CBA=50°，以 AB 为直径作⊙O 交 BC 于点 D，点 E 在边 AC 上，且满足 ED=EA． （1）求∠DOA 的度数； （2）求证：直线 ED 与⊙O 相切． 【答案与解析】 （1）解；∵∠DBA=50°， ∴∠DOA=2∠DBA=100°， （2）证明：连接 OE． 在△EAO 与△EDO 中， ， ∴△EAO≌△EDO， ∴∠EDO=∠EAO， ∵∠BAC=90°， ∴∠EDO=90°， ∴DE 与⊙O 相切． 2 25 -37 O CB A 举一反三： 【变式 2】如图所示，在△ABC 中，AB＝BC＝2，以 AB 为直径的⊙O 与 BC 相切于点 B，则 AC 等于( ) A． B． C． D． 【答案】因为以 AB 为直径的⊙O 与 BC 相切于点 B，所以∠ABC＝90°， 在 Rt△ABC 中， ，故选 C． 类型三、三角形的内切圆 5．如图，已知 O 是△ABC 的内心，∠A=50°，求∠BOC 的度数. 【思路点拨】O 是△ABC 的内心，∠A=50°，根据内切圆的性质可求 ∠OBC+∠OCB= ，在△BOC 中，根据三角形内角和求出∠BOC 的度数. 【答案与解析】 解：∵O 是△ABC 的内心，∠A=50°， ∴∠OBC+∠OCB= ， ∴∠BOC=180°-65°=115°. 2 3 2 2 2 3 2 2 2 22 2 2 2AC AB BC= + = + = 1 1(180 )= (180 50 )=652 2A° − ° − ° °∠ 1 1(180 )= (180 50 )=652 2A° − ° − ° °∠8 O C B A 【变式】如图，△ABC 中，∠C=90°，BC=4，AC=3，⊙O 内切与△ABC，则△ABC 去除⊙O 剩余阴影部分 的面积为（ ） A.12-π B. 12-2π C. 14-4π D. 6-π 【答案】D.9 【巩固练习】 一、选择题 1.已知：如图，PA，PB 分别与⊙O 相切于 A，B 点，C 为⊙O 上一点，∠ACB=65°，则∠APB 等于( ) A．65° B．50° C．45° D．40° 2．如图，AB 是⊙O 的直径，直线 EC 切⊙O 于 B 点，若∠DBC=α，则( ) A．∠A=α B．∠A=90°－α C．∠ABD=α D．∠ 第 1 题图 第 2 题图 3．设⊙O 的半径为 3，点 O 到直线 l 的距离为 d，若直线 l 与⊙O 至少有一个公共点，则 d 应满足的条 件是( ) A.d=3 B. d＜3 C. d≤3 D.d＞3 4.（2015•内江）如图，在⊙O 的内接四边形 ABCD 中，AB 是直径，∠BCD=120°，过 D 点的切线 PD 与直 线 AB 交于点 P，则∠ADP 的度数为（　　） 　 A．40° B． 35° C． 30° D． 45° 5．如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点 C，交 AB 的延长线于 D，且 CO＝CD，则∠PCA＝（　　） A.30° B.45° C.60° D.67.5° 6．已知 AB 是⊙O 的直径，点 P 是 AB 延长线上的一个动点，过 P 作⊙O 的切线，切点为 C，∠APC 的平 分线交 AC 于点 D，则∠CDP 等于（　　） A.30° B.60° C.45° D.50° 二、填空题 α 2 190o −=ABD10 7．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 切⊙O 于点 B，AC 交⊙O 于点 D.若 AC=5，BC=3，则⊙O 的半径为_______. 8．如图，⊙O 的切线 PC 交直径 AB 的延长线于点 P，C 为切点.若∠P=30°，⊙O 的半径为 1，则 PB 的长 为______________. 9．（2014 秋•白云区期末）在△ABO 中，OA=OB=2cm，⊙O 的半径为 1cm，当∠ABO=　 时，直线 AB 与⊙O 相切． 10.如图所示，已知直线 AB 是⊙O 的切线，A 为切点，OB 交⊙O 于点 C，点 D 在⊙O 上，且∠OBA＝40°， 则∠ADC＝________． 11．如图所示，已知△ABC，AC＝BC＝6，∠C＝90°，O 是 AB 的中点，⊙O 与 AC、BC 分别相切于点 D 与 点 E．点 F 是⊙O 与 AB 的一个交点，连 DF 并延长交 CB 的延长线于点 G，则 CG＝________． 12．木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径 .用角尺的较短边紧靠 ，并使较长边与 相切 于点 .假设角尺的较长边足够长，角尺的顶点为 ，较短边 .若读得 长为 ，则 用含 的代数式表示 为 . r O O C B 8cmAB = BC cma a r11 O CB A 三、解答题 13. 如图，已知⊙O 是边长为 2 的等边△ABC 的内切圆，求⊙O 的面积. 14． AB 是⊙O 的直径，BC 切⊙O 于 B，AC 交⊙O 于 D 点，过 D 作⊙O 的切线 DE 交 BC 于 E.求证：CE=BE. 15.（2014 秋•东台市月考）如图，AB 是⊙O 的弦，OC⊥OA，交 AB 与点 P，且 PC=BC，求证：BC 是 ⊙O 的切线． 【答案与解析】12 一、选择题 1.【答案】B； 【解析】连结 OA、OB，则∠AOB=130°，∠PAO=∠PBO=90°，所以∠P=50°. 2.【答案】A； 【解析】∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB=90°，∠A+∠ABD=90°， 又 ∵直线 EC 切⊙O 于 B 点，∴α+∠ABD=90°，∴∠A=α，故选 A. 3.【答案】C； 【解析】直线 l 可能和圆相交或相切. 4.【答案】C； 【解析】解：连接 BD， ∵∠DAB=180°﹣∠C=60°， ∵AB 是直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠ABD=90°﹣∠DAB=30°， ∵PD 是切线， ∴∠ADP=∠ABD=30°， 故选：C． 5.【答案】D； 【解析】如图：∵PD 切⊙O 于点 C，∴OC⊥PD， 又∵OC＝CD，∴∠COD＝45°， ∵AO＝CO，∴∠ACO＝22.5°， ∴∠PCA＝90°－22.5°＝67.5°． 故选 D． 6.【答案】C； 【解析】如图，连接 OC， ∵OC=OA，PD 平分∠APC， ∴∠CPD=∠DPA，∠A=∠ACO， ∵PC 为⊙O 的切线， ∴OC⊥PC， ∵∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO=90°， ∴∠DPA+∠A=45°，即∠CDP=45°． 故选 C． 二、填空题 7．【答案】2. 8．【答案】1. 【解析】如图，连接 OC，∵PC 是⊙OD 的切线，∴OC⊥CP，即∠OCP=90° 又∠P=30°，⊙O 的半径为 1，∴OP=2CO=2，∴PB=2-1=1.13 9．【答案】120°． 【解析】如图，连接 OC， ∵⊙O 与直线 AB 相切于点 C； ∴OC⊥AB；而 OA=2，OC=1， ∴∠A=30°；而 OA=OB， ∴∠B=∠A=30°， ∴∠AOB=180°﹣60°=120°， 故答案为 120°． 10．【答案】25°. 【解析】∵OA⊥AB，∠OBA＝40°， ∴ ∠BOA＝50°， ∴ ∠ADC＝ ∠BOA＝25°. 11．【答案】 . 【解析】如图，连 DE、OD、CO，由已知条件，可知 CE＝CD＝ AC＝3，DE∥AB． ∴ DE＝ CD＝ ．又 OD∥CG，∴ ∠ODG＝∠G，又 OD＝OF． ∴ ∠ODF＝∠OFD＝∠EDG．∴ ∠EDG＝∠G， ∴ DE＝GE，∴ CG＝CE+GE＝3+ . 12.【答案】当 ， ； ， ； 或 ， ； ， ； 【解析】（1）当 ， ； 1 2 3 3 2+ 1 2 2 3 2 3 2 时8a0 ≤< ar = 时当 8a > 4a16 1r 2 += 时8r0 ≤< ar = 时当 8r > 4a16 1r 2 += 时8r0 ≤< ar =14 D A B C O （2） ，如图：连接 OC， ∵BC 与⊙O 相切于点 C， ∴OC⊥BC， 连接 OA，过点 A 作 AD⊥OC 于点 D， 则 ABCD 是矩形，即 AD=BC，CD=AB． 在直角三角形 AOD 中，OA2=OD2+AD2， 即：r2=（r﹣8）2+a2， 整理得：r= a2+4． 三、解答题 13.【答案与解析】 解：设⊙O 与 BC 的切点为 D，连接 OB,OD. ∵⊙O 是边长为 2 的等边△ABC 的内切圆， ∴O 是△ABC 的角平分线、中线、高的共同交点， ∴∠OBD=30°，∠ODB=90°，BD=DC= , 设 OD=r,则 OB=2r,由勾股定理得： OB2=OD2+BD2， ∴（2r）2=r2+12 ∴r= . ∴S⊙O= . 14.【答案与解析】 证法 1:连结 DB. 　　∵AB 是直径, 　　∴∠ADB=90°. 　　∴∠BDC=90°. 　　∵BC、DE 是切线， 　　∴BE=ED. 　　∴∠EBD=∠EDB. 　　∵∠EBD+∠C=90°，且∠EDB+∠EDC=90°， 　　∴∠EBD+∠C=∠EDB+∠EDC. 时当 8r > 1 1 2 12 2BC = × = 3 3 2 23 1( )3 3rπ π π= =15 　　∴∠C =∠EDC. 　　∴ED=EC. 　　∴BE=EC. 　　 证法 2：连结 OD、OE. 　　∵DE 切⊙O 于 D， 　　∴OD⊥DE. 　　∴∠ODE=90°. 　　同理∠B=90°. 　　∵OB=OD，且 OE=OE， 　　∴△ODE≌△OBE. 　　∴∠BOE=∠EOD. 　　∴∠BOE=∠A. 　　∴OE∥AC. 　　∵O 是 AB 中点， 　　∴E 是 BC 中点. 　　∴BE=EC. 15.【答案与解析】 证明：∵PC=BC， ∴∠CPB=∠CBP， 而∠APO=∠CPB， ∴∠CBP=∠APO， ∵OC⊥OA， ∴∠A+∠APO=90°， 而 OA=OB， ∴∠A=∠ABO， ∴∠CBP+∠ABO=90°， ∴OB⊥BC， ∴BC 是⊙O 的切线．