《导数的概念》教学设计

导数的概念 教学内容剖析: 1. 本节内容是北师大版《第二章变化率与导数》第二课时的内容, 2. 在本节内容之前教材设置的是《变化率与平均变化率》，为推导出 本节内容提供了许多丰富的实例背景, 3. 本节内容的设置为学习《导数的几何意义》、《导数与函数单调 性》、《导数与极值》奠定了坚实的理论基础. 教学目标: 一、知识目标: 1.理解导数的概念, 2.会运用导数定义式求函数在 处的导数值. 二、能力目标: 1.培养学生归纳推理能力, 2.发展学生辩证思维能力. 三、情感目标: 使学生进一步体会极限的思想，感受数学逻辑与形式之美. 教学重难点: 重点： 1.理解导数的概念； 2.会运用导数的定义求解函数在 处的导数值. 难点：导数概念的突破. 学生学情分析: 0x 0x1.学生学习过了《变化率与平均变化率》，已经有了一定的理论基础, 2.由于导数概念的高度抽象导致学生对于导数的概念理解乏力. 教学策略: 为了使本节课的内容丰满而立体，教师选择将《变化率与平均变化 率》中的瞬时速度例题后移，成为本节内容的例 1；如此设置可以使 得导数概念的推导更加完整而及时.在导数概念的推导中，教师加入 了割线的极限位置，通过 ppt 的形象演示，利用视觉观感加深学生对 于极限的理解.由两者共性出发，再结合多种实例，归纳推理出导数 的概念. 一静一动,层层推导的设置可以帮助教师引领学生突破本节 的教学难点. 对于导数的概念认真而细致的解读,有助于学生理解导数的概念,掌 握相关的数学符号的使用,并加强学生做题严谨性这一数学素质的培 养. 讲解完导数的概念及相关数学符号后，需先将知识内容进行推进 深化，从导数的概念过渡到导数的定义式，实现学以致用这一实用性 的转化.接着设置例 2，对导数定义式的用途赋予丰满的形象说明； 从而使得导数的概念实现第一次的螺旋上升.通过对例 2 的学习，学 生大致掌握了导数定义式的使用，此时，教师及时设置当堂练习，巩 固学习成果，并为导数概念实现第二次螺旋上升提供准备.由于不同 学生对于导数定义式的理解，当堂训练出现了多种解法.教师要求学 生对不同解法共性的挖掘，实现了导数概念的第二次螺旋上升，得到 了导数是一种形式定义这一结论. 学以致用，数往知来,设置当堂检测；教师选择具有针对性的习题， 加固学生对导数是形式定义的理解.通过不同层次习题的设置，完成 导数概念的螺旋上升，让学生多角度体会数学之美. 课堂的最后，教师先选择学生对本节内容进行小结，再设置了不同 的课后作业，为导数的后续知识埋下伏笔. 教学过程 一、导数概念的引入 提出问题:小明的家离学校只有 2kg，如果小明今天在路上所花的时 间是 0.1h；请问，小明上学的速度是不是 20km/h？ 例 1. 一个小球从高空自由落下，其走过的路程 s 与时间 t 的函数关 系式为:s= ；试估计小球在 t=5 这个时刻的瞬时速度. 析 ： 当 时 间 t 从 t0 变 到 t1 时 ， 根 据 平 均 速 度 公 式 ： . 可以求出从 5s 到 6s 的这段时间的平均速度: 为了提高精确度，可以缩短时间间隔，如求出 5-5.1s 这段时间的平 均速度: 如果时间间隔进一步缩短，那么平均速度就更接近小球在 t=5s 这 个时刻的瞬时速度.我们将时间间隔每次缩短为前面的 ,计算出相 2 2 1 gt 01 01 )()( tt tsts t sv − −=∆ ∆= ./9.531 5.1224.176 56 )5()6( smss =−=− − ./5.491.0 5.12245.127 51.5 )5()1.5( smss =−≈− − 1 10应的平均速度得到下表. 定值 49m/s 就是自由落体在 5s 时的瞬时速度. 总结：无论是从 5 的左侧趋近于 5，还是从 5 的右侧趋近于 5，平均 速度都趋于 49m/s. t0 t1 5 4.9 -0.1 -4.851 5 4.99 -0.01 -0.4895 5 4.999 -0.001 -0.048995 5 4.9999 -0.0001 -0.004899 5 ... ... ... ... t0 t1 5 5.1 0.1 4.95 5 5.01 0.01 0.49049 5 5.001 0.001 0.04901 5 5.0001 0.0001 0.0049 5 ... ... ... ... t∆ s∆ s t ∆ ∆ t∆ s∆ s t ∆ ∆二、导数的概念 函数 关于 的平均变化率: 当 ，即 ，如果平均变化率趋于有一个固定的值，那么 这个值就是函数 在 点的瞬时变化率. 在数学中，称瞬时变化率为函数 在 点的导数.通常用符号 表示，记作: . 例 2：一条水管中流过的水量 (单位:m3)是时间 (单位:s)的函数, 求函数 在 处的导数,并解释它的实际意义. 解:当 从 2 变到 2+ 时,函数值从 3×2 变到 3(2+ ),函数值 关 于 的平均变化率为: . 当 趋于 2,即 趋于 0 时,平均变化率趋于 3,所以,水管中的水在 2 秒时的瞬时水量是 3m3/s . 当堂练习:求函数 在 时的导数值. 三、导数符号语言 总结:导数是一种________定义. 导数符号语言的几种等价形式: 1.___________________ 2.___________________ y x =∆ ∆ x y 01 xx → 0→∆x )(xf 0x )(xf 0x )( 0 ' xf x xfxxf xx xfxfxf xxx ∆ −∆+=− −= →∆→ )()(lim)()(lim)( 00 001 01 0 ' 01 y x xxfy 3)( == 2=x x x∆ x∆ y x (2 ) (2) 3 (2 ) 3 2 3 3f x f x x x x x + ∆ − ⋅ + ∆ − ⋅ ∆= = =∆ ∆ ∆ x x∆ 2)( xxf = 1=x x xfxxf xx xfxfxf xxx ∆ −∆+=− −= →∆→ )()(lim)()(lim)( 00 001 01 0 ' 01当堂检测: 1.设 是可导函数,若 ,则 ( ) A. -1 B. 1 C.0 D.-2 2. 若 函 数 在 区 间 内 可 导 , 且 , 则 A. B. C. D.0 变式: 设 是可导函数,若 ,则 ( ) A. -1 B.1 C.0 D.-2 课堂小结: 作业布置: 1.根据例 2 中的函数,求 ,并解释它的实际意义. 2.设 (单位:km)表示从一条河流的某一处到其源头的距离, (单 位:km)表示这一点的海拔高度, 是 的函数.若函数 在 处的导数 ,试解释它的实际意义. 五、导数概念的拓展 1.如图所示，请试着描述割线(绿线)与切线(红线)的关系. )(xf 0 0 0 ( 2 ) ( )lim 2 x f x x f x x∆ → + ∆ − =∆ =)( 0 ' xf )(xf ),( ba ),(0 bax ∈ =−−+ →∆ h hxfhxf x )()(lim 00 0 )( 0 ' xf )(2 0 ' xf− )(2 0 ' xf )(xf 3)()2(lim 00 0 =∆ ∆+−∆− →∆ x xxfxxf x =)( 0 ' xf )4('f x y y x )(xfy = 100=x 1.0)100(' −=f2.下面是四种容器的侧面图,分别向这四种容器中以相同的速度注水. 下面的图像中哪个图像可以大致刻画容器中水的高度 h 与时间 s 的 函数关系: