《椭圆及其标准方程》教学设计北师大版

椭圆及其标准方程教学设计 一、教材分析 1、教材的地位和作用 北师大版数学选修 1-1 的第二章《圆锥曲线与方程》在高考中，一道选择题，一道解答题， 解答题一般放在第 20 题，对学生基础知识的掌握，运算能力有较高的要求。《椭圆及其标准 方程》是本章第一节内容，是学生继学习了直线和圆的方程，对曲线的方程的概念有了一定 的了解，对用坐标法研究几何问题有了初步认识的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线。 椭圆的学习可以为后面研究双曲线、抛物线提供基本模式和理论基础，因此，本节教学起着 承上启下的作用，是学好本章内容的关键。 2、教学目标 (1)知识目标： 掌握椭圆的定义和标准方程，明确焦点、焦距的概念；理解椭圆标准方程的推导。 (2)能力目标： 让学生通过自我探究、操作实践、数学思想（待定系数法）的运用等，从而提高学生 实际动手，合作学习以及运用知识解决实际问题的能力。 (3)情感目标： 在教学中充分揭示“数”与“形”的内在联系，体会形数美的统一，激发学生学习数 学的兴趣，培养学生积极探索、勇于创新的精神。 3、教学重点与难点 重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程。 难点：椭圆标准方程的建立和推导 二、学情分析 第一，我所教的班级学生文化基础较差，上课注意力不是太集中，他们专注学习的 时间一节课也就十五分钟左右，所以必须通过各种方式比如做实验、讲故事甚至要做游戏 等手段，提高他们学习的注意力。 第二，从研究圆到研究椭圆，跨度较大，学生思维上存在一定障碍. 第三，在求椭圆标准方程时，会遇到比较复杂的根式化简问题，去根式的策略选择不 当，导致“标准方程的推导”成为学习难点的直接原因。 三、教法及学法分析 （一）教学方法 按照“自主学习、引导交流、探索讨论、有效训练” 的模式来组织教学。 （二）学习方法 小组探究、合作交流式。 （三）教学准备 1.学生准备：一支铅笔、两个图钉、一根细绳、一块木板。 2.教师准备：导学案和多媒体课件。 四、教学过程 （一）、创设情境,引入新课 【问题 1】请问“神州七号”飞船运行轨道是什么？ (用学生关注的事件引出，激发学生学习的兴趣，感性认识椭圆。) 【问题 2】：实际生活中你见过的椭圆有哪些？ (通过举例，加深对椭圆的认识，使学生体会到数学来源于生活、又服务于生活。) （二）、引导交流,发现新知 （1）复习圆的定义： （2）思考：把一定点变为两定点，到两定点的距离等于定长的点的轨迹是什么？ 学生实验:(1)取一条细绳 (2)把它的两端固定在板上的两个定点 、1F 2F (3)用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的图形 【问题 3】 ：在画椭圆过程中，哪些量没有变？哪些量发生了变化？ (以活动为载体，提高动手操作能力、合作能力同时调动学生学习积极性) ( 通过观察动画，更加直观了解椭圆的形成过程) 讨论归纳定义： 平 面 内 ，到 两 个 定 点 、 的 距 离 之 和 等 于 常 数 （ ）的点的轨迹叫做椭圆。 这两个定点叫做椭圆的焦点， 两焦点的距离 叫做椭圆的焦距。记 (在问题的引领下，学生自己通过观察、讨论，归纳概括出椭圆的定义，对椭圆由感性认识 上升到理性认识，培养学生抽象思维、归纳概括的能力。) 【问题 4】：为什么 ？ 当 时，轨迹是什么？ 当 时，轨迹是什么？ (深刻理解定义内在条件，强化重点，加深理解) 1. 改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？（结论） 2．绳长能小于两图钉之间的距离吗？（结论） （三）、师生互动,探索新知 【问题 5 】求曲线方程的一般方法是什么？ （建系、设点、列式、化简） 【问题 6】类比利用圆的对称性建立圆的方程的过程,如何利用椭圆的几何特征建立椭圆的 标准方程？ 1F 2F a2 212 FFa > 21FF cFF 221 = ca 22 > ca 22 = ca 22 >=−+ caca y a x然后让学生观察图形： 【问题 8】“你们能从图中找出表示 、 、 的线段吗？”为使方程更简单，令 （b>0）得 即焦点在 x 轴上的标准方程。 （通过观察得出结论，并理解了换元的合理性，不仅使方程具有了对称性，而且使字母 b 具 有了明确的几何意义,突破难点。） 【问题 9】如何得到焦点在 y 轴上的椭圆标准方程？ 一. 按方案二建系，类比刚才的方法推导出来,观察两式特点，得出将 与 互换即可. 二. 对于焦点在 轴上椭圆标准方程的推导可引导学生将图形翻转，即 x 轴与 y 轴调换， 将 M 点的坐标互换即可。 焦点在 轴上椭圆标准方程 （通过数与形两个角度认识方程的由来，有利于更好分辨两种标准方程） 两类标准方程的对照表 定义 图形 a c 22 ca − 22 cab −= ( )012 2 2 2 >>=+ bab y a x x y y ( )012 2 2 2 >>=+ bab x a y y )022(221 >>=+ caaMFMF方程 焦点 关系 （有利于学生对公式的的区别、记忆及应用。） （四）、拓展升华,巩固新知 例 1：判断下列各椭圆的焦点位置，并说出焦点坐标、焦距。 例 2 求满足下列条件的椭圆的标准方程 （1） 两个焦点的坐标分别是，椭圆上一点到两焦点的距离之和等于 （2） 过点，且与椭圆有相同焦点 变式练习： (1),已知 是椭圆 的两个焦点，过 的直线交椭圆于 两点，则 的周长为_________. (2)已知方程 表示椭圆，则 的取值范围是___________ （五）、归纳小结 ,布置作业 1.知识：一个定义（椭圆的定义），两类方程（焦点分别在 轴、 轴的上的两个标准方程） 2.方法：定义法和待定系数法 ( )012 2 2 2 >>=+ bab y a x ( )012 2 2 2 >>=+ bab x a y )0,( cF ± ),0( cF ± cba 、、 222 bac −= 124)1( 22 =+ yx 143)2( 22 =+ yx 243)3( 22 =+ yx 14 3)4( 22 =+ yx 21 FF、 1916 22 =+ yx 1F NM、 2MNF∆ 135 22 −=−+− k y k x k x y3.思想：数形结合、类比、分类讨论思想 作业布置: 1．必做题：教材 1、2 2．（1）求与圆 外切，且与圆 内切的动圆圆心的轨迹方 程 （2）椭圆 的焦点为 ，点 在椭圆上，若 ，求 的大小 五、教学评价 这节课，我始终坚持“学生为主体，教师为主导”的教学理念，不断为学生提供主动思 考及合作探究等活动，让学生在整个学习过程中充分发挥他们的能动作用；恰当地设置问题， 并巧妙地启发学生参与到问题中进行思考和探究，“要我学”转化为“我要学”。让学生在轻 松、愉悦的氛围中发现问题和解决问题，从而培养学生的自主学习和实践探究能力。 31P 1)3( 22 =+− yx 64)3( 22 =++ yx 129 22 =+ yx 21 FF、 P 41 =PF 21PFF∠