导学案——命题、证明及平行线的判定定理

1 导学案——命题、证明及平行线的判定定理 【学习目标】 1.了解定义、命题的含义，会区分命题的条件（题设）和结论； 2. 体会检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理； 4.了解公理和定理的定义，并能正确的写出已知和求证，掌握证明的基本步骤和书写格式； 5.掌握平行线的判定方法，并能简单应用这些结论. 【要点梳理】 要点一、定义与命题 1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义. 要点诠释： （1）定义实际上就是一种规定. （2）定义的条件和结论互换后的命题仍是真命题. 2.命题：判断一件事情的句子叫做命题. 真命题：正确的命题叫做真命题. 假命题：不正确的命题叫做假命题. 要点诠释： （1）命题的结构：命题通常由条件（或题设）和结论两部分组成.条件是已知事项，结论是 由已知事项推出的事项，一般地，命题都可以写成”如果……那么……”的形式,其中“如 果”开始的部分是条件,“那么”后面是结论. （2）命题的真假：对于真命题来说，当条件成立时，结论一定成立；对于假命题来说，当 条件成立时，不能保证结论正确，即结论不成立. 要点二、证明的必要性 要判断一个命题是不是真命题，仅仅依靠经验、观察、实验和猜想是不够的，必须一步 一步、有根有据地进行推理. 推理的过程叫做证明. 要点三、公理与定理 1.公理：通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命题叫做公理. 要点诠释：欧几里得将“两点确定一条直线”等基本事实作为公理. 2.定理：通过推理得到证实的真命题叫做定理. 要点诠释： 证明一个命题的正确性要按已知、求证、证明的顺序和格式写出.其中“已知”是命题的 条件，“求证”是命题的结论，而“证明”则是由条件（已知）出发，根据已给出的定义、 公理、已经证明的定理，经过一步一步的推理，最后证实结论（求证）的过程. 要点四、平行公理及平行线的判定定理 1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 要点诠释： (1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质． (2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一． （3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性. 2．平行线的判定定理2 判定方法 1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言： ∵　∠3＝∠2 ∴　AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法 2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言： ∵　∠1＝∠2 ∴　AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法 3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言： ∵　∠4＋∠2＝180° ∴　AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形. 【典型例题】 类型一、定义与命题 1．说出下列命题的条件和结论，并判断它是真命题还是假命题： （1）在同一个三角形中，等角对等边； （2）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等； （3）有两边对应成比例,且有任意一角对应相等的两个三角形相似. 【答案与解析】 解：（1）先把这个命题写成“如果……那么……”的形式：如果在同一个三角形中，有两 个角相等，那么这两个角所对的边也相等. 条件：同一个三角形中的两个角相等；结论：这两个角所对的两条边相等.它是真命题. （2）原命题可以写成：如果两个三角形有两个角和其中一角的对边对应相等，那么这两个 三角形全等. 条件：两个三角形有两个角和其中一角的对边对应相等；结论：这两个三角形全等.它是真 命题. （3）原命题可以写成：如果两个三角形两边对应成比例，且有任意一角对应相等，那么这 两个三角形相似. 条件：两个三角形两边对应成比例，且有任意一角对应相等；结论：这两个三角形相似. 它是假命题，反例：如下图：3 【总结升华】要判断一个命题是假命题,只要能够举出一个例子,使之具备命题的条件,而不 具备命题的结论,就可以说明这一命题是假命题，这种例子通常称为反例. 举一反三： 【变式】下列语句中，哪些是命题，哪些不是命题，如果是命题的话，请指出是真命题还是 假命题? (1)三角形的三条高交于一点；(2)解方程 ； (3)1＋2≠3. 【答案】（2）不是命题；（1）（3）是命题，其中（1）是真命题，（3）是假命题. 【变式 2】下列真命题的个数是 ( ) （1）直线 a、b、c、d，如果 a∥b、c∥b、c∥d，则 a∥d. （2）两条直线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直. （3）两条直线被第三条直线所截，同位角相等. （4）在同一平面内，如果两直线都垂直于同一条直线，那么这两直线平行． A．1 个 B .2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】B 类型二、公理、定理及证明 2．证明：对顶角相等. 【思路点拨】如果题目中没有明确出“条件”和“结论”，应先写出已知、求证、证明，如 果需要的话并画出图形，再证明. 【答案与解析】 已知：如图，直线 AB，CD 相交于点 O，∠1 和∠2 是对顶角. 求证：∠1＝∠2. 证明：∵∠1 和∠2 是对顶角（已知）， ∴OA 与 OB 互为反向延长线（对顶角的意义）. ∴∠AOB 是平角（平角的定义）. 同理，∠COD 也是平角. ∴∠1 和∠2 都是∠AOC 的补角（补角的定义）. ∴∠1＝∠2（等角的补角相等）. 【总结升华】“对顶角相等”是一个定理,而不是公理. 举一反三： 【变式】证明：相似三角形的周长比等于相似比． 0322 =−− xx4 【答案】 已知：如图，△ADE∽△ABC, AE∶AC=k 求证：C△ADE :C△ABC＝k 证明：∵△ADE∽△ABC ∴AE:AC＝AD:AB＝DE:BC＝ k ∴(AE+AD+DE):(AC+AB+BC)＝k ∴C△ADE :C△ABC＝k 类型三、平行公理及平行线的判定 3.（2015 春•无锡）一副直角三角板叠放如图所示，现将含 45°角的三角板 ADE 固定 不动，把含 30°角的三角板 ABC 绕顶点 A 顺时针旋转∠α（α=∠BAD 且 0°＜α＜180°），使两 块三角板至少有一组边平行． （1）如图①，α=　 　°时，BC∥DE； （2）请你分别在图②、图③的指定框内，各画一种符合要求的图形，标出 α，并完成各项 填空：图②中 α=　 　°时，　 　∥　 　；图③中 α=　 　°时，　 　∥　　 ． 【思路点拨】（1）利用两直线平行同位角相等，并求得 α=45°﹣30°=15°； （2）利用平行线的性质及旋转不变量求得旋转角即可． 【答案与解析】解：（1）图①中 α=15°时，BC∥DE， ∵BC∥DE， ∴∠1=∠B=60°， ∵∠1=∠D+∠α，∠D=45°， ∴∠α=15° α=∠CAD﹣∠CAB=45°﹣30°=15°． （2）图②中 α=60°时，BC∥DA， ∵∠BAC=30°，∠α=60°， ∴∠DAC=90°=∠C， ∴∠DAC+∠C=180°， ∴BC∥DA； 图③中 α=105°时，BC∥EA． ∵∠α=105°，∠DAE=45°， ∴∠EAB=60°， ∵∠B=60°， ∴∠EAB=∠B， ∴BC∥EA． 故答案为：（1）15；（2）60；BC；DA；105；BC； AE． 【总结升华】本题考查了图形的旋转变化，学生主要看清是顺时针还是逆时针旋转，并判断5 旋转角为多少度，难度不大，但易错． 举一反三： 【变式】一个学员在广场上驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次 拐弯的角度可能是( ) ． A．第一次向左拐 30°，第二次向右拐 30° B．第一次向右拐 50°，第二次向左拐 130° C．第一次向右拐 50°，第二次向右拐 130° D．第一次向左拐 50°，第二次向左拐 130° 【答案】A 提示：“方向相同”有两层含义，即路线平行且方向相同，在此基础上准确画出示意图． 图 B 显然不同向，因为路线不平行． 图 C 中，∠1＝180°-130°＝50°，路线平行但不同向． 图 D 中，∠1＝180°-130°＝50°，路线平行但不同向． 只有图 A 路线平行且同向，故应选 A． 4.（2016 春•太仓市期末）如图，四边形 ABCD 中，∠A=∠C=90°，BE 平分∠ABC， DF 平分∠ADC，则 BE 与 DF 有何位置关系？试说明理由． 【思路点拨】根据四边形的内角和定理和∠A=∠C=90°，得∠ABC+∠ADC=180°；根据角平 分线定义、等角的余角相等易证明和 BE 与 DF 两条直线有关的一对同位角相等，从而证明 两条直线平行． 【答案与解析】 解：BE∥DF．理由如下： ∵∠A=∠C=90°， ∴∠ABC+∠ADC=180° ∵BE 平分∠ABC，DF 平分∠ADC， ∴∠1=∠2= ∠ABC，∠3=∠4= ∠ADC， ∴∠1+∠3= （∠ABC+∠ADC）= ×180°=90°，6 又∠1+∠AEB=90°， ∴∠3=∠AEB ∴BE∥DF 【总结升华】此题运用了四边形的内角和是 360°、角平分线定义、等角的余角相等和平行 线的判定，考察的知识点较多，只有熟练掌握，才能运用自如. 举一反三： 【高清课堂：平行线及判定 403102 经典例题 2 】 【变式 1】已知，如图，BE 平分∠ABD，DE 平分∠CDB，且∠1 与∠2 互余，试判断直线 AB、CD 的位置关系，请说明理由． 【答案】 解：AB∥CD，理由如下： ∵ BE 平分∠ABD，DE 平分∠CDB， ∴ ∠ABD＝2∠1，∠CDB＝2∠2． 又∵ ∠1+∠2＝90°， ∴ ∠ABD+∠CDB＝180°． ∴ AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)． 【变式 2】（2015•长春一模）如图，直线 a 与直线 b 被直线 c 所截，b⊥c，垂足为点 A， ∠1=70°．若使直线 b 与直线 a 平行，则可将直线 b 绕着点 A 顺时针旋转（　　 ） A．70° B．50° C．30° D．20° 【答案】 解：∵b⊥c， ∴∠2=90°． ∵∠1=70°，a∥b， ∴直线 b 绕着点 A 顺时针旋转的度数=90°﹣70°=20°． 故选 D． 【巩固练习】 一、选择题 1.下列说法中是真命题的有( ) ． ①一条直线的平行线只有一条． ②过一点与已知直线平行的直线只有一条． ③因为 a∥b，c∥d，所以 a∥d．7 ④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 2．如果两个角的一边在同一直线上，另一边互相平行，则这两个角( ) ． A．相等 B．互补 C．互余 D．相等或互补 3．（2015•黔南州）如图，下列说法错误的是（　　） A．若 a∥b，b∥c，则 a∥c B．若∠1=∠2，则 a∥c C．若∠3=∠2，则 b∥c D．若∠3+∠5=180°，则 a∥c 4．一辆汽车在广阔的草原上行驶，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，那么这两 次拐弯的角度可能是 ( ) ． A．第一次向右拐 40°，第二次向右拐 140°． B．第一次向右拐 40°，第二次向左拐 40°． C．第一次向左拐 40°，第二次向右拐 140°． D．第一次向右拐 140°，第二次向左拐 40°． 5．（2016 春•莒县期末）如图，下列条件中不能判定 AB∥CD 的是 ( ) ． A．∠3＝∠4 B．∠1＝∠5 C．∠1+∠4=180° D．∠3＝∠5 6.( 绍兴)学习了平行线后，小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法， 她是通过折一张半透明的纸得到的（如图，(1)—(4)）: 从图中可知，小敏画平行线的依据有（ ）． ①两直线平行，同位角相等．②两直线平行，内错角相等．③同位角相等，两直线平行． ④内错角相等，两直线平行． A.①② B. ②③ C. ③④ D. ④① 二、填空题 7. 在同一平面内的三条直线，它们的交点个数可能是________．8 8．（2015 春•高密市）如图，在下列条件中：①∠DAC=∠ACB；②∠BAC=∠ACD； ③∠BAD+∠ADC=180°；④∠BAD+∠ABC=180°．其中能使直线 AB∥CD 成立的 是 　．（填序号） 9．规律探究：同一平面内有直线 a1，a2，a3…，a100，若 a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4…，按此规 律，a1 和 a100 的位置是________． 10．已知两个角的两边分别平行，其中一个角为 40°，则另一个角的度数是 ． 11．（2016 春•吴兴区期末）如图，EF⊥AB 于点 F，CD⊥AB 于点 D,E 是 AC 上一点，∠1=∠ 2，则图中互相平行的直线有 对． 12. 如图，AB⊥EF 于点 G，CD⊥EF 于点 H，GP 平分∠EGB，HQ 平分∠CHF，则图中互 相平行的直线有 ． 三、解答题 13.如图，∠1＝60°，∠2＝60°，∠3＝100°，要使 AB∥EF，∠4 应为多少度?说明理 由． 14．（2015 春•泗阳）如图，四边形 ABCD 中，∠A=∠C=90°，BE 平分∠ABC 交 CD 于 E，DF 平分∠ADC 交 AB 于 F． （1）若∠ABC=60°，则∠ADC=　 　°，∠AFD=　 　°； （2）求证：BE∥DF．9 15．如图，把一张长芳形纸条 ABCD 沿 AF 折叠，已知∠ADB＝20°，那么∠BAF 为多少 度时，才能使 AB′∥BD？ 16．如图所示，由∠1＝∠2，BD 平分∠ABC，可推出哪两条线段平行，写出推理过程，如 果推出另两条线段平行，则应将以上两条件之一作如何改变? 【答案与解析】 一、选择题 1. 【答案】A； 【解析】只有④是真命题，其它均是假命题． 2. 【答案】D； 3. 【答案】C； 【解析】A、若 a∥b，b∥c，则 a∥c，利用了平行公理，正确； B、若∠1=∠2，则 a∥c，利用了内错角相等，两直线平行，正确； C、∠3=∠2，不能判断 b∥c，错误； D、若∠3+∠5=180°，则 a∥c，利用同旁内角互补，两直线平行，正确；故选 C． 4. 【答案】B； 5. 【答案】D； 【解析】∠3 和∠5 是同旁内角，同旁内角相等，不能判定两直线平行． 6. 【答案】C； 【解析】解决本题关键是理解折叠的过程，图中的虚线与已知的直线垂直，过点 P 的折 痕与虚线垂直． 二、填空题 7. 【答案】0 或 1 或 2 或 3 个； 8. 【答案】②③； 【解析】①∠DAC=∠ACB 利用内错角相等两直线平行得到 AD∥BC，错误；②∠BAC=∠ACD 利用内错角相等两直线平行得到 AB∥CD，正确；③∠BAD+∠ADC=180°利用同旁内角互补 得到 AB∥CD，正确；④∠BAD+∠ABC=180°利用同旁内角互补得到 AD∥BC，错误；10 故答案为：②③ 9. 【答案】a1∥a100； 【解析】为了方便，我们可以记为 a1⊥a2∥a3⊥a4∥a5⊥a6∥a7⊥a8∥a9⊥a10…∥a97⊥a98∥ a99⊥a100，因为 a1⊥a2∥a3，所以 a1⊥a3，而 a3⊥a4，所以 a1∥a4∥a5．同理得 a5∥a8 ∥ a9，a9∥a12 ∥a13，…，接着这样的规律可以得 a1∥a97∥a100，所以 a1∥a100． 10.【答案】 40°或 140°； 11.【答案】2； 【解析】EF∥CD, ED∥CB． 12.【答案】AB∥CD，GP∥HQ； 【解析】 理由：∵ AB⊥EF，CD⊥EF．∴ ∠AGE＝∠CHG＝90°．∴ AB∥CD． ∵ AB⊥EF．∴ ∠EGB＝∠2＝90°．∴ GP 平分∠EGB． ∴ ∠1＝ EGB＝45°． ∴ ∠PGH＝∠1+∠2＝135°． 同理∠GHQ＝135°，∴ ∠PGH＝∠GHQ． ∴ GP∥HQ． 三、解答题 13. 【解析】 解：∠4＝100°．理由如下： ∵ ∠1＝60°，∠2＝60°， ∴ ∠1＝∠2，∴ AB∥CD 又∵∠3＝∠4＝100°， ∴ CD∥EF，∴ AB∥EF． 14．【解析】 解：（1）∵∠A=∠C=90°，∠ABC=60°， ∴∠ADC=360°﹣∠A﹣∠C﹣∠ABC=120°， ∵DF 平分∠ADC 交 AB 于 F， ∴∠FDA= ADC=60°， ∴∠AFD=90°﹣∠ADF=30°；故答案为 120，30； （2）BE∥DF．理由如下： ∵BE 平分∠ABC 交 CD 于 E， ∴∠ABE= ∠ABC= ×60°=30°， ∵∠AFD=30°； ∴∠ABE=∠AFD， ∴BE∥DF． 15. 【解析】 解：要使 AB′∥BD，只要∠B′AD＝∠ADB＝20°， ∠B′AB＝∠BAD+∠B′AD＝90°+20°＝110°． 1 211 ∴∠BAF＝ ∠B′AB＝ ×110°＝55°． 16．【解析】 解：可推出 AD∥BC．∵ BD 平分∠ABC(已知)． ∴ ∠1＝∠DBC(角平分线定义)． 又∵ ∠1＝∠2(已知)，∴ ∠2＝∠DBC(等量代换)． ∴ AD∥BC(内错角相等，两直线平行)． 把∠1＝∠2 改成∠DBC＝∠BDC． 1 2 1 2