导学案——平行线的性质知识讲解

1 导学案——平行线的性质知识讲解 【学习目标】 1. 掌握平行线的性质公理、定理，并能依据平行线的性质公理、定理进行简单的推解； 2. 了解并掌握平行线的性质定理的探究过程； 3.了解平行线的判定与性质的区别和联系. 【要点梳理】 要点一、平行线的公理、定理 公理：两条平行线被第三条直线所截，得到的同位角相等.（简记为：两直线平行，同位 角相等）. 定理：两条平行线被第三条直线所截，得到的内错角相等（简记为：两直线平行，内错 角相等）. 定理：两条平行线被第三条直线所截，得到的同旁内角互补(简记为：两直线平行，同旁 内角互补). 【高清课堂：平行线的性质、平行线的性质和判定小结】 要点诠释：（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一 部分内容，切不可忽视前提 “两直线平行”． (2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平 行线的性质． 要点二、平行线的性质定理的探究过程 1.两条平行线被第三条直线所截，得到的内错角相等（简记为：两直线平行，内错角 相等）. 因为 a∥b, 所以∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）， 又∠3=∠1 (对顶角相等) 所以∠2=∠3. 2.两条平行线被第三条直线所截，得到的同旁内角互补(简记为：两直线平行，同旁 内角互补). 因为 a∥b, 所以∠3=∠2（两直线平行，内错角相等）， 3 2 1 c b a2 又∠3+∠1=180°（补角的定义）， 所以∠2+∠1=180°. 要点诠释：平行线性质定理的证明，要借助平行线线性质公理，因为公理是人们在生产 和生活中总结出来的正确的结论，不需要证明，但是定理、性质或推论到的证明其正确性. 要点三、平行线的性质与判定 （1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行 关系来寻找角的数量关系． （2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆． （3）平行线的判定与性质的联系与区别 区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平 行． 联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关． （4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类 角． 【典型例题】 类型一、平行线的性质公理、定理的应用 1、如图 所 示 ，把一 块 长 方 形 纸 片 ABCD 沿 EF 折 叠 ，∠ EFG=50° ， 求 ∠ DEG 和 ∠ BGM 的 大 小 ． 【思路点拨】根据 平 行 线 的 性 质 可 求 得 ∠ EFC 的 度 数 ，然 后 根 据 折 叠 的 性 质 可 知 ∠ NFE=∠ EFC， ∠ MEF=∠ DEF， 继 而 可 求 得 ∠ DEG 和 ∠ BGM 的 度 数 ． 【答案与解析】 解：∵ AD∥ BC， ∠ EFG=50° ， ∴ ∠ EFC=180° -∠ EFG=130° ， 由 折 叠 的 性 质 可 知 ， ∠ NFE=∠ EFC， ∠ MEF=∠ DEF， ∴ ∠ DEG=100° ， ∴ ∠ EGC=180° -100° =80° ， 则 ∠ BGM=∠ EGC=80° （ 对 顶 角 相 等 ）． 【总结升华】本 题 考 查 了 平 行 线 的 性 质 以 及 折 叠 的 性 质 ， 解 答 本 题 的 关 键 是 由 折 叠 的 性 质 得 出 ∠ NFE=∠ EFC， ∠ MEF=∠ DEF． 举一反三 【变式】（2015•洛阳一模）如图，直线 l∥m∥n，等边△ABC 的顶点 B，C 分别在直线 n 和 m 上，边 BC 与直线 n 所夹的角为 25°，则∠α 的度数为　　度．3 【答案与解析】 ∵m∥n，边 BC 与直线 n 所夹的角为 25°， ∴∠BCD=25°． ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ACB=60°， ∴∠ACD=60°﹣25°=35°． ∵l∥m， ∴∠α=∠ACD=35°． 故答案为：35． 2、如 图 所 示 ，已 知 AB∥ CD，分 别 探 索 下 列 四 个 图 形 中 ∠ P 与 ∠ A，∠ C 的 关 系 ， 请 你 从 所 得 的 四 个 关 系 中 任 选 一 个 加 以 说 明 ． 【思路点拨】本 题 考 查 的 是 平 行 线 的 性 质 以 及 平 行 线 的 判 定 定 理 ． （ 1），（ 2） 都 需 要 用 到 辅 助 线 利 用 两 直 线 平 行 ， 内 错 角 相 等 的 定 理 加 以 证 明 ； （ 3），（ 4） 是 利 用 两 直 线 平 行 ， 同 位 角 相 等 的 定 理 和 三 角 形 外 角 的 性 质 加 以 证 明 ． 【答案与解析】 解 ： （ 1） ∠ A+∠ C+∠ P=360； （ 2） ∠ A+∠ C=∠ P； （ 3） ∠ A+∠ P=∠ C； （ 4） ∠ C+∠ P=∠ A． 说 明 理 由 （ 以 第 三 个 为 例 ） ： 已 知 AB∥ CD， 根 据 两 直 线 平 行 ， 同 位 角 相 等 及 三 角 形 的 一 个 外 角 等 于 两 不 相 邻 内 角 之 和 ， 可 得 ∠ C=∠ A+∠ P． 【总结升华】考 生 应 熟 知 平 行 线 的 有 关 知 识 点 ， 这 是 中 考 常 考 的 题 型 ． 3、（2015•东莞）如 图 ， 已 知 AB∥ CD， ∠ A=36° ， ∠ C=120° ， 求 ∠ F-∠ E 的 大 小 ． 【思路点拨】过 E 作 EG∥ AB，过 F 作 FH∥ AB，可以 求 出 ∠ AEG 与 ∠ HFC 的 度 数 ，又 EG∥ FH，根 据 两 直 线 平 行 ，内 错 角 相 等 ，∠ GEF=∠ EFH，所以 ∠ F-∠ E=∠ HFC-∠ AEG． 【答案与解析】4 解 ： 过 E 作 EG∥ AB， 过 F 作 FH∥ AB， ∴ ∠ A=∠ 1， EG∥ FH， ∵ ∠ A=36° ， ∴ ∠ 1=36° ， ∵ AB∥ CD， FH∥ AB， ∴ FH∥ CD， ∴ ∠ C+∠ 4=180° ， ∵ ∠ C=120° ， ∴ ∠ 4=60° ， ∵ EG∥ FH， ∴ ∠ 2=∠ 3， ∴ ∠ F-∠ E=（ ∠ 3+∠ 4） -（ ∠ 1+∠ 2）， =∠ 3+∠ 4-∠ 1-∠ 2， =∠ 4-∠ 1， =60° -36° =24° ． 【总结升华】本 题 主 要 考 查 两 直 线 平 行 内 错 角 相 等 和 同 旁 内 角 互 补 的 性 质 ， 作 平 行 线 把 ∠ F、 ∠ E 分 成 两 个 角 是 解 题 的 突 破 口 ， 也 是 关 键 ． 举一反三 【变式】如图 ，已 知 且 l1∥ l2，且 l3 与 l1、l2 分 别 交 于 A、B 两 点 ，点 P 在 直 线 AB 上 ， （ 1）当 点 P 在 A、 B 两 点 之 间 运 动 时 ， 问 ∠ 1、 ∠ 2、 ∠ 3 之 间 的 数 量 关 系 ， 请 说 明 理 由 （ 2）如 果 点 P 在 A、 B 两 点 外 侧 运 动 时 ， 试 探 究 ∠ 1， ∠ 2， ∠ 3 之 间 的 数 量 关 系 （ 点 P 与 A、 B 不 重 合 ） 只 要 写 出 结 论 即 可 ， 不 必 证 明 ． 【答案】 解 ： （ 1） ∠ 1+∠ 2=∠ 3； 理 由 ： 如 图 1， 过 点 P 作 l 1 的 平 行 线 ， ∵ l1∥ l2， ∴ l1∥ l2∥ PQ， ∴ ∠ 1=∠ 4， ∠ 2=∠ 5， ∵ ∠ 4+∠ 5=∠ 3， ∴ ∠ 1+∠ 2=∠ 3；5 （ 2） ∠ 1-∠ 2=∠ 3 或 ∠ 2-∠ 1=∠ 3． 理 由 ： 如 图 2， 当 点 P 在 下 侧 时 ， 过 点 P 作 l 1 的 平 行 线 PQ， ∵ l1∥ l2， ∴ l1∥ l2∥ PQ， ∴ ∠ 2=∠ 4， ∠ 1=∠ 3+∠ 4， ∴ ∠ 1-∠ 2=∠ 3； 当 点 P 在 上 侧 时 ， 同 理 可 得 ∠ 2-∠ 1=∠ 3． 类型二、平行的性质与判定综合应用 4、（2016 春•玉州区期末）如图，BD 丄 AC 于 D，EF 丄 AC 于 F．∠AMD=∠ AGF． ∠1=∠2=35° （1）求∠GFC 的度数： （2）求证：DM∥BC． 【思路点拨】（1）由 BD⊥AC，EF⊥AC，得到 BD∥EF，根据平行线的性质得到∠EFG=∠ 1=35°，再根据角的和差关系可求∠GFC 的度数； （2）根据平行线的性质得到∠2=∠CBD，等量代换得到∠1=∠CBD，根据平行线的判定定 理得到 GF∥BC，证得 MD∥GF，根据平行线的性质即可得到结论． 【答案与解析】 解：（1）∵BD⊥AC，EF⊥AC， ∴∠BDC=∠EFC ∴BD∥EF， ∴∠EFG=∠1=35°， ∴∠GFC=90°+35°=125°； （2）∵BD∥EF， ∴∠2=∠CBD， ∴∠1=∠CBD， ∴GF∥BC， ∵∠AMD=∠AGF， ∴MD∥GF， ∴DM∥BC． 【总结升华】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．6 举一反三 【变式】如 图 ， 已 知 ∠ 1+∠ 2=180° ， ∠ DEF=∠ A， 求 证 ： ∠ ACB=∠ DEB． 【答案】 证 明 ： ∵ ∠ 2+∠ BDC=180° ， ∠ 1+∠ 2=180° ， ∴ ∠ 1=∠ BDC， ∴ EF∥ AB， ∴ ∠ DEF=∠ BDE， ∵ ∠ DEF=∠ A， ∴ ∠ BDE=∠ A， ∴ DE∥ AC， ∴ ∠ ACB=∠ DEB． 5、如 图 ， 已 知 ： ∠ FED=∠ AHD， ∠ GFA=40° ， ∠ HAQ=15° ， ∠ ACB=70° ， 且 AQ 平 分 ∠ FAC， 求 证 ： BD∥ GE∥ AH． 【思路点拨】由同 位 角 ∠ FED=∠ AHD，推 知 AH∥ GE，再 根 据 平 行 线 的 性 质 、角 平 分 线 的 定 义 证 得 内 错 角 ∠ HAC=55° +15° =70° =∠ ACB， 所 以 BD∥ AH， 最 后 由 平 行 线 的 递 进 关 系 证 得 BD∥ GE∥ AH． 【答案与解析】 证 明 ： ∵ ∠ FED=∠ AHD， ∴ AH∥ GE， ∴ ∠ GFA=∠ FAH． ∵ ∠ GFA=40° ， ∴ ∠ FAH=40° ， ∴ ∠ FAQ=∠ FAH+∠ HAQ， ∴ ∠ FAQ=55° ． 又 ∵ AQ 平 分 ∠ FAC， ∴ ∠ QAC=∠ FAQ=55° ， ∵ ∠ HAC=∠ QAC+∠ HAQ， ∴ ∠ HAC=55° +15° =70° =∠ ACB， ∴ BD∥ AH， ∴ BD∥ GE∥ AH． 【总结升华】本 题 考 查 了 平 行 线 的 判 定 与 性 质 ． 解 答 此 题 的 关 键 是 注 意 平 行 线 的 性 质 和 判 定 定 理 的 综 合 运 用 ．7 【巩固练习】 一、选择题 1. 若∠1 和∠2 是同旁内角，若∠1＝45°，则∠2 的度数是 ( ) A．45° B．135° C．45°或 135° D．不能确定 2 ． 如 图 ， 已 知 直 线 AB∥CD ， ∠C=125° ， ∠A=45° ， 那 么 ∠E 的 大 小 为 （ 　 　 ） A．70° B．80° C．90° D．100° 3．（2015•德阳）如图，已知直线 AB∥CD，直线 EF 与 AB、CD 相交于 N，M 两点，MG 平分 ∠EMD，若∠BNE=30°，则∠EMG 等于（　　） A．15° B．30° C．75° D．150° 4．如图，OP∥QR∥ST，则下列等式中正确的是( ) A．∠1+∠2-∠3＝90° B．∠2+∠3-∠1＝180° C．∠1-∠2+∠3＝180° D．∠1+∠2+∠3＝180° 5. （2016 春•永新县期末）如图，若 AC⊥BC，CD⊥AB，∠1=∠2，下列结论：①∠3=∠ EDB；②∠A=∠3；③AC∥DE；④∠2 与∠3 互补；⑤∠2=∠A，其中正确的有（　　） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 6．如图，AB∥EF∥CD，∠ABC＝46°，∠CEF＝154°，则∠BCE 等于（　　 ）8 A．23° B．16° C．20° D．26° 二、填空题 7．如图所示，直线 ∥ ．直线 与直线 ， 分别相交于点 、点 ， ，垂足 为点 ，若 ，则 ＝ _____，直线 之间的距离_____． 8.如图所示，AB∥CD，若∠ABE＝120°，∠DCE＝35°，则有∠BEC＝________． 9.（2015•绵阳）如图，AB∥CD，∠CDE=119°，GF 交∠DEB 的平分线 EF 于点 F， ∠AGF=130°，则∠F=　 　． 10.（2016 春•西藏校级期末）已知：如图，AD⊥BC 于 D，EG⊥BC 与 G，∠E=∠3，试问： AD 是∠BAC 的平分线吗？若是，请说明理由． 解答：是，理由如下： ∵AD⊥BC，EG⊥BC（已知） ∴∠4=∠5=90°（垂直的定义） ∴AD∥EG____ __ ∴∠1=∠E___ ___ ∠2=∠3___ ___ ∵∠E=∠3（已知） ∴______=______ ∴AD 是∠BAC 的平分线（角平分线的定义）． 11. 如图，AD 平分△ABC 的外角∠EAC，且 AD∥BC，若∠BAC=80°，则∠B= _____°． a b c a b A B AM b⊥ M 1 58∠ = ° 2∠ a b与9 12. 如图，将一张长方形纸片 ABCD 沿 EF 折叠，使顶点 C，D 分别落在点 C′，D′处，C′E 交 AF 于点 G，若∠CEF=70°，则∠GFD′=___________°． 三、解答题 13．（2015•长春二模）探究：如图①，点 A 在直线 MN 上，点 B 在直线 MN 外，连结 AB，过 线段 AB 的中点 P 作 PC∥MN，交∠MAB 的平分线 AD 于点 C，连结 BC，求证：BC⊥AD． 应用：如图②，点 B 在∠MAN 内部，连结 AB，过线段 AB 的中点 P 作 PC∥AM，交∠MAB 的平 分线 AD 于点 C；作 PE∥AN，交∠NAB 的平分线 AF 于点 E，连结 BC、BE．若∠MAN=150°， 则∠CBE 的大小为　　度． 14．已知 如图(1)，CE∥AB，所以∠1＝∠A，∠2＝∠B，∴ ∠ACD＝∠1+∠2＝∠A+∠B．这 是一个有用的事实，请用这个结论，在图(2)的四边形 ABCD 内引一条和边平行的直线，求∠ A+∠B+∠C+∠D 的度数． 15. 如图所示，点 B、E 分别在 AC、DF 上，BD、CE 均与 AF 相交，∠1=∠2，∠C=∠D，求证：∠ A=∠F．10 【答案与解析】 一、选择题 1. 【答案】D； 【解析】本题没有给出两条直线平行的条件，因此同旁内角的数量关系是不确定的. 2. 【答案】B； 【解析】解：如图， ∵AB∥CD，∠C=125°， ∴∠EFB=125°，∴∠EFA=180﹣125=55°， ∵∠A=45°， ∴∠E=180°﹣∠A﹣∠EFA=180°﹣45°﹣55°=80°． 3. 【答案】A； 【解析】解：∵直线 AB∥CD，∠BNE=30°，∴∠DME=∠BNE=30°． ∵MG 是∠EMD 的角平分线，∴∠EMG= ∠EMD=15°．故选 A． 4. 【答案】B； 【解析】反向延长射线 ST 交 PR 于点 M,则在△MSR 中， 180°－∠2+180°－∠3+∠1＝180°，即有∠2+∠3-∠1＝180°. 5. 【答案】B； 【解析】先根据∠1=∠2 得出 AC∥DE，再由 AC⊥BC 可得出 DE⊥BC，故∠3+∠ 2=90°，∠2+∠EDB=90°，故①正确；由 AC∥DE 可知∠A=∠EDB，∠EDB=∠3，故 可得出②正确；∠1=∠2 可知 AD∥DE，故③正确；由 DE⊥AC 可知∠2 与∠3 互余， 故④错误；根据 CD⊥AB 可得出∠2+∠EDB=90°，故可得出∠2+∠A=90°，故⑤错 误． 6. 【答案】C； 【解析】解：∵AB∥EF∥CD，∠ABC＝46°，∠CEF＝154°， ∴∠BCD＝∠ABC＝46°，∠FEC＋∠ECD＝180°， ∴∠ECD＝180°—∠FEC＝26°， ∴∠BCE＝∠BCD—∠ECD＝46°—26°＝20°． 二.填空题 7. 【答案】32°，线段 AM 的长； 【解析】因为 ，所以∠ABM＝∠1＝58°．又因为 AM⊥ ，所以∠2＋∠ABM＝90°， 所以∠2＝90°－58°＝32°． //a b b11 8. 【答案】95°； 【解析】如图，过点 E 作 EF∥AB．所以∠ABE+∠FEB＝180°(两直线平行，同旁内角互 补)，所以∠FEB＝180°-120°＝60°．又因为 AB∥CD，EF∥AB，所以 EF∥CD，所以∠ FEC＝∠DCE＝35°(两直线平行，内错角相等)，所以∠BEC＝∠FEB+∠FEC＝60°+35°＝ 95°． 9.【答案】9.5°； 【解析】解：∵AB∥CD，∠CDE=119°，∴∠AED=180°﹣119°=61°，∠DEB=119°． ∵GF 交∠DEB 的平分线 EF 于点 F，∴∠GEF= ×119°=59.5°， ∴∠GEF=61°+59.5°=120.5°． ∵∠AGF=130°，∴∠F=∠AGF﹣∠GEF=130°﹣120.5°=9.5°． 故答案为：9.5°． 10．【答案】同位角相等，两直线平行，两直线平行，同位角相等，两直线平行，内错角相 等，∠1，∠2． 【解析】解：是． ∵AD⊥BC，EG⊥BC（已知） ∴∠4=∠5=90°（垂直的定义） ∴AD∥EG，（同位角相等，两直线平行） ∴∠1=∠E，（两直线平行，同位角相等） ∠2=∠3．（两直线平行，内错角相等） ∵∠E=∠3，（已知） ∴∠1=∠2， ∴AD 是∠BAC 的平分线（角平分线的定义）． 11.【答案】50； 【解析】∵∠BAC=80°， ∴∠EAC=100°， ∵AD 平分△ABC 的外角∠EAC， ∴∠EAD=∠DAC=50°， ∵AD∥BC， ∴∠B=∠EAD=50°． 故答案为：50. 12.【答案】40； 【解析】长方形纸片 ABCD 中，AD∥BC， ∵∠CEF=70°， ∴∠EFG=∠CEF=70°， ∴∠EFD=180°-70°=110°， 根据折叠的性质，∠EFD′=∠EFD=110°， ∴∠GFD′=∠EFD′-∠EFG， =110°-70°， =40°．12 故答案为：40. 三.解答题 13.【解析】 解：探究：∵PC∥MN， ∴∠PCA=∠MAC． ∵AD 为∠MAB 的平分线， ∴∠MAC=∠PAC． ∴∠PCA=∠PAC， ∴PC=PA． ∵PA=PB， ∴PC=PB， ∴∠B=∠BCP． ∵∠B+∠BCP+∠PCA+∠PAC=180°， ∴∠BCA=90°， ∴BC⊥AD； 应用：∵∠MAB 的平分线 AD，∠NAB 的平分线 AF，∠MAN=150°， ∴∠BAC+∠BAE=75°， ∵∠BAC+∠BAE+∠CBA+∠ABE=180°， ∴∠CBE=∠CBA+∠ABE=180°﹣75°=105° 故答案为：105． 14.【解析】 解：如图，过点 D 作 DE∥AB 交 BC 于点 E． ∴ ∠A+∠2＝180°，∠B+∠3＝180°(两直线平行，同旁内角互补)． 又∵ ∠3＝∠1+∠C， ∴ ∠A+∠B+∠C+∠1+∠2＝360°， 即∠A+∠B+∠C+∠ADC＝360°． 15.【解析】 证明：∵∠2=∠3，∠1=∠2， ∴∠1=∠3， ∴BD∥CE， ∴∠C=∠ABD； 又∵∠C=∠D， ∴∠D=∠ABD， ∴AB∥EF， ∴∠A=∠F．