导学案——三角形的内角和

1 导学案——三角形的内角和 【学习目标】 1．理解三角形内角和定理的证明方法； 2．掌握三角形内角和定理及三角形的外角性质； 3．能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题. 【要点梳理】 要点一、三角形的内角和 三角形内角和定理：三角形的内角和为 180°． 要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； ③求一个三角形中各角之间的关系． 要点二、三角形的外角 1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD 是△ABC 的一个外角. 要点诠释： (1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上； ②一条边是三角形的一边；③另一条边是 三角形某条边的延长线． （2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个 顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角． 2．性质： （1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． （2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角． 要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使 用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质． 3.三角形的外角和： 三角形的外角和等于 360°. 要点诠释：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是 180°， 可推出三角形的三个外角和是 360°． 【典型例题】 类型一、三角形的内角和 1．（2016 春•东平县期中）适合条件∠A=∠B= ∠C 的三角形一定是（　　） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．任意三角形 【思路点拨】设∠A=x，则∠B=x，∠C=3x．根据三角形的内角和是 180°，列方程求得三个 内角的度数，即可判断三角形的形状．2 【答案与解析】 解：设∠A=x，则∠B=x，∠C=3x． 根据三角形的内角和定理，得 x+x+3x=180，x=36． 则∠C=108°． 则该三角形是钝角三角形,故选 B． 【总结升华】本题利用设未知数的方法求出三角形三个内角的度数，解法较为巧妙． 举一反三： 【变式 1】三角形中至少有一个角不小于________度． 【答案】60 【高清课堂：与三角形有关的角 练习（3）】 【变式 2】如图，AC⊥BC,CD⊥AB,图中有 对互余的角？有 对相等的锐角？ 【答案】3,2． 2.在△ABC 中，∠ABC＝∠C，BD 是 AC 边上的高，∠ABD＝30°，则∠C 的度数是 多少? 【思路点拨】按△ABC 为锐角三角形和钝角三角形两种情况，分类讨论． 【答案与解析】 解：分两种情况讨论： （1）当△ABC 为锐角三角形时，如图所示，在△ABD 中， ∵ BD 是 AC 边上的高(已知)， ∴ ∠ADB＝90°(垂直定义)． 又∵ ∠ABD＝30°(已知)， ∴ ∠A＝180°-∠ADB-∠ABD＝180°-90°-30°＝60°． 又∵ ∠A+∠ABC+∠C＝180°(三角形内角和定理)， ∴ ∠ABC+∠C＝120°， 又∵ ∠ABC＝∠C，∴ ∠C＝60°． (2)当△ABC 为钝角三角形时，如图所示．在直角△ABD 中，3 ∵ ∠ABD＝30°(已知)，所以∠BAD＝60°． ∴ ∠BAC＝120°． 又∵ ∠BAC+∠ABC+∠C＝180°(三角形内角和定理)， ∴ ∠ABC+∠C＝60°． ∴ ∠C＝30°． 综上，∠C 的度数为 60°或 30°． 【总结升华】在解决无图的几何题的过程中，只有正确作出图形才能解决问题．这就要求解 答者必须具备根据条件作出图形的能力；要注意考虑图形的完整性和其他各种可能性，双解 和多解问题也是我们在学习过程中应该注意的一个重要环节． 类型二、三角形的外角 【高清课堂：与三角形有关的角 例 4、 】 3.如图，在△ABC 中，AE⊥BC 于 E，AD 为∠BAC 的平分线，∠B=50º，∠C=70º， 求∠DAE ． 【答案与解析】 解：∠A＝180°－∠B－∠C＝180°－50°－70°＝60° 又 AD 为∠BAC 的平分线 所以∠BAD＝ ＝30° ∠ADE＝∠B＋∠BAD＝50º＋30°＝80° 又 AE⊥BC 于 E 所以∠DAE＝90°－∠ADE＝90°－80°＝10° 举一反三： 【变式】如图，在△ABC 中，AB＞AC，AE⊥BC 于 E，AD 为∠BAC 的平分线，则∠DAE 与∠C－∠ B 的数量关系 . 1 2 BAC∠4 【答案】 4.如图所示，已知 CE 是△ABC 外角∠ACD 的平分线，CE 交 BA 延长线于点 E.求证： ∠BAC >∠B. 【答案与解析】 证明：在△ACE 中，∠BAC >∠1（三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角）. 同理在△BCE 中，∠2 >∠B， 因为∠1=∠2，所以∠BAC >∠B. 【总结升华】涉及角的不等关系的问题时，经常用到三角形外角性质：“三角形的一个外角 大于与它不相邻的任何一个内角”. 举一反三： 【变式】（2015 春•高密市期末）一个零件的形状如图，按规定∠A 应等于 90°，∠B、∠C 应 分别是 21°和 32°，现测量得∠BDC=148°，你认为这个零件合格吗？为什么？ 【答案】解：延长 CD 与 AB 相交于点 F． ∵∠DFB=∠C+∠A=32°+90°=122°， 又∵∠BDC=∠DFB+∠B=122°+21°=143°， ∵实际量得的∠BDC=148°， 143°≠148°， ∴这个零件不合格． 类型三、三角形的内角外角综合 2 C BDAE ∠ − ∠∠ =5 5.（2015 春•东台市）已知，如图，在△ABC 中，∠A=∠ABC，直线 EF 分别交△ABC 的边 AB，AC 和 CB 的延长线于点 D，E，F． （1）求证：∠F+∠FEC=2∠A； （2）过 B 点作 BM∥AC 交 FD 于点 M，试探究∠MBC 与∠F+∠FEC 的数量关系，并证明你 的结论． 【思路点拨】（1）根据三角形外角的性质，可得出∠FEC=∠A+∠ADE，∠F+∠BDF=∠ABC， 再根据∠A=∠ABC，即可得出答案； （2）由 BM∥AC，得出∠MBA=∠A，∠A=∠ABC，得出∠MBC=∠MBA+∠ABC=2∠A，结合 （1）的结论证得答案即可． 【答案与解析】 （1）证明：∵∠FEC=∠A+∠ADE，∠F+∠BDF=∠ABC， ∴∠F+∠FEC=∠F+∠A+∠ADE， ∵∠ADE=∠BDF， ∴∠F+∠FEC=∠A+∠ABC， ∵∠A=∠ABC， ∴∠F+∠FEC=∠A+∠ABC=2∠A． （2）∠MBC=∠F+∠FEC． 证明：∵BM∥AC， ∴∠MBA=∠A，、 ∵∠A=∠ABC， ∴∠MBC=∠MBA+∠ABC=2∠A， 又∵∠F+∠FEC=2∠A， ∴∠MBC=∠F+∠FEC． 【总结升华】主要考察了三角形的内角和定理，平行线的性质，外角的性质，解题的关键是 利用角的和与差与等量代换解决问题． 举一反三： 【变式 1】如图所示，五角星 ABCDE 中，试说明∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°. 【答案】 解：因为∠AGF 是△GCE 的外角， 所以∠AGF=∠C+∠E. 同理∠AFG=∠B+∠D. 在△AFG 中，∠A+∠AFG+∠AGF=180°.6 所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°. 【变式 2】一个三角形的外角中，最多有锐角 ( ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．不能确定 【答案】A (提示：由于三角形最多有一个内角是钝角，故最多有一个外角是锐角．)【巩固 练习】 一、选择题 1.如图所示，一根直尺 EF 压在三角板 30。的角∠BAC 上，与两边 AC，AB 交于 M，N．那 么∠CME+∠BNF 是( ) A．150° B．180° C．135° D．不能确定 2．（2015 春•岱岳区）如图，一副分别含有 30°和 45°角的两个直角三角板，拼成如图， 其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，则∠BFD 的度数是（　　） A．15° B．25° C．30° D．10° 3．下列语句中，正确的是( ) A．三角形的外角大于任何一个内角 B．三角形的外角等于这个三角形的两个内角之和 C．三角形的外角中，至少有两个钝角 D．三角形的外角中，至少有一个钝角 4．如果一个三角形的两个外角之和为 270°，那么这个三角形是 ( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 5．（2016 春•泰山区期中）具备下列条件的△ABC 中，不是直角三角形的是 ( ) A．∠A+∠B＝∠C B．∠A= ∠B= ∠C C．∠A:∠B:∠C=1:2:3 D．∠A=2∠B=3∠C 6.(福建漳州)如图所示，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC 的纸片，点 D、E 分别是 1 2 1 37 边 AB、AC 上，将△ABC 沿着 DE 折叠压平，A 与 A′重合，若∠A＝70°，则∠1+∠2＝ ( ) A．140° B．130° C．110° D．70° 二、填空题 7．在△ABC 中，若∠A-2∠B＝70°，2∠C-∠B＝10°，则∠C＝________． 8．如图，在△ABC 中，∠ABC、∠ACB 的平分线相交于点 O． (1)若∠A＝76°，则∠BOC＝________； (2)若∠BOC＝120°，则∠A＝_______； (3)∠A 与∠BOC 之间具有的数量关系是_______． 9.（2015 春•北京校级期中）如图，△ABC 中，∠A=50°，∠ABO=18°，∠ACO=32°，则 ∠BOC=　 　． 10．(河南)将一副直角三角板如图所示放置，使含 30°角的三角板的短直角边和含 45°角 的三角板的一条直角边重合，则∠1 的度数为________． 11. （2016•贵港二模）如图，∠ACD 是△ABC 的外角，∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分 线交于点 A1，∠A1BC 的平分线与∠A1CD 的平分线交于点 A2，…∠An﹣1BC 的平行线与∠ An﹣1CD 的平分线交于点 An，设∠A=θ，则∠An=　　　　　　．8 12.如图，O 是△ABC 外一点，OB，OC 分别平分△ABC 的外角∠CBE，∠BCF。 若∠A＝n°，则∠BOC＝ （用含 n 的代数式表示）。 三、解答题 13.如图，求证：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°。 14．如图所示，BE 与 CD 交于 A，CF 为∠BCD 的平分线，EF 为∠BED 的平分线． (1)试探求：∠F 与∠B、∠D 之间的关系； (2)若∠B:∠D:∠F＝2:4:x，求 x 的值． 15．如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与外角∠ACE 的平分线交于点 D．试说明 ． 16．（2015 春•东台市期末）Rt△ABC 中，∠C=90°，点 D，E 分别是边 AC，BC 上的点，点 P 是一动点，令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α． （1）若点 P 在线段 AB 上，如图①所示，且∠α=50°，则∠1+∠2=　 　°； （2）若点 P 在边 AB 上运动，如图②所示，则∠α、∠1、∠2 之间的关系为　 　； 1 2D A∠ = ∠9 （3）如图③，若点 P 在斜边 BA 的延长线上运动（CE＜CD），请写出∠α、∠1、∠2 之间的 关系式，并说明理由． 【答案与解析】 一、选择题 1. 【答案】A 【解析】(1)由∠A＝30°，可得 ∠AMN+∠ANM＝180°-30°＝150° 又∵ ∠CME＝∠AMN，∠BNF＝∠ANM， 故有∠CME+∠BNF＝150°． 2. 【答案】A； 【解析】解：∵∠C=90°，∠E=30°，∴∠CDE=90°﹣30°=60°， 由三角形的外角性质得，∠CDE=∠B+∠BFD，∴60°=45°+∠BFD， 解得∠BFD=15°．故选 A． 3. 【答案】C ； 【解析】因为三角形的内角中最多有一个钝角，所以外角中最多有一个锐角，即外角中 至少有两个钝角. 4. 【答案】B； 【解析】因为三角形的外角和 360°，而两个外角的和为 270°，所以必有一个外角为 90 °，所以有一个内有为 90°. 5. 【答案】D； 6. 【答案】A； 【解析】连接 AA′，则∠1＝∠EAA′+∠EA′A，∠2＝∠DAA′+∠DA′A 所以∠1+∠2＝∠EAA′+∠EA′A+∠DAA′+∠DA′A＝∠EAD+∠EA′D＝ 70°+70°＝140°． 二、填空题 7. 【答案】20； 【解析】联立方程组： ，解得 ． 8.【答案】128°, 60°，∠BOC＝90°+ ∠A； 9. 【答案】100°； A-2 B=70 2 C- 10 180 B A B C ∠ ∠ °  ∠ ∠ = ° ∠ + ∠ + ∠ = ° 20C∠ = ° 1 210 【解析】如图，延长 BO 与 AC 相交于点 D，由三角形的外角性质，在△ABD 中， ∠1=∠A+∠ABO=50°+18°=68°， 在△COD 中，∠BOC=∠1+∠ACO=68°+32°=100°．故答案为：100°． 10．【答案】75°； 11.【答案】 ； 【解析】解：由三角形的外角性质得，∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1+∠A1BC， ∵∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点 A1， ∴∠A1BC= ∠ABC，∠A1CD= ∠ACD， ∴∠A1+∠A1BC= （∠A+∠ABC）= ∠A+∠A1BC， ∴∠A1= ∠A， 同理可得∠A2= ∠A1= = ，…，∠An= ． 12.【答案】 ； 【解析】∵∠COB=180 -（∠OBC+∠OCB）， 而 BO，CO 分别平分∠CBE，∠BCF， ∴∠OBC＝ ，∠OCB＝ . ∴∠COB=180°－[ ]＝ . 三、解答题 13.【解析】 解：延长 BE，交 AC 于点 H, 易得∠BFC=∠A+∠B+∠C 再由∠EFC=∠D+∠E， 上式两边分别相加，得： ∠A+∠B+∠C＋∠D+∠E＝∠BFC＋∠EFC＝180°。 即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180° 14.【解析】 解： (1)∠F＝ (∠B+∠D)．理由如下： ∵ ∠D+∠1＝∠F+∠3，∠B+∠4＝∠F+∠2， 又∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴ ∠D+∠B＝2∠F． (2)令∠B＝2k，∠D＝4k，∠F＝xk，由(1)知 xk＝ (2k+4k)，所以 x＝3． 190 2 n° − ° ° 1 1 2 2n ACB°+ ∠ 1 1 2 2n ABC°+ ∠ 1 (180 )2n n°+ °− ° 190 2 n° − ° 1 2 1 211 15.【解析】 解：∠D＝∠4-∠2＝ (∠ACE-∠ABC)＝ ∠A， ∴ ∠D＝ ∠A． 16.【解析】 解：（1）∵∠1+∠2+∠CDP+∠CEP=360°，∠C+∠α+∠CDP+∠CEP=360°， ∴∠1+∠2=∠C+∠α， ∵∠C=90°，∠α=50°， ∴∠1+∠2=140°； （2）由（1）得出： ∠α+∠C=∠1+∠2， ∴∠1+∠2=90°+α． （3）如图， 分三种情况：连接 ED 交 BA 的延长线于 P 点 如图 1，由三角形的外角性质，∠2=∠C+∠1+∠α， ∴∠2﹣∠1=90°+∠α； 如图 2，∠α=0°，∠2=∠1+90°； 如图 3，∠2=∠1﹣∠α+∠C， ∴∠1﹣∠2=∠α﹣90°． 1 2 1 2 1 2