《平行线的证明》全章复习与巩固

1 《平行线的证明》全章复习与巩固 【学习目标】 1． 了解定义及命题的概念与构成，并能通过证明或举反例判定命题的真假； 2. 区别平行线的判定与性质，并能灵活运用； 3. 理解并能灵活运用三角形的内角和定理及其推论. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、定义、命题及证明 1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义. 2.命题：判断一件事情的句子，叫做命题. 要点诠释： （1）命题一般由条件和结论组成. （2）正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题. （3）公认的真命题叫做公理. (4) 经过证明的真命题称为定理. 3.证明: 除了公理外，其它的真命题的正确性都要通过推理的方法进行证实，这种演绎推理 的过程叫做证明. 要点诠释：实验、观察、操作所得出的结论不一定都正确，必须推理论证后才能得出正确的 结论． 要点二、平行线的判定与性质2 1．平行线的判定 判定方法 1：同位角相等，两直线平行． 判定方法 2：内错角相等，两直线平行． 判定方法 3：同旁内角互补，两直线平行． 要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有： （1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行. （2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）. （3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行. （4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 2．平行线的性质 性质 1：两直线平行，同位角相等； 性质 2：两直线平行，内错角相等； 性质 3：两直线平行，同旁内角互补. 要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有： （1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点． （2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直． 要点三、三角形的内角和定理及推论 三角形的内角和定理：三角形的内角和等于 180°． 推论：（1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． （2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角． 要点诠释： （1）由一个公理或定理直接推出的真命题，叫做这个公理或定理的推论. （2）推论可以当做定理使用. 【典型例题】 类型一、定义、命题及证明 1. 我们知道任何一个命题都由条件和结论两部分组成,如果我们把一个命题的条件变 结论,结论变条件,那么所得的是不是一个命题?试举例说明. 【答案与解析】 解：是一个命题,例如“对顶角相等”条件结论互换就变为“相等的角是对顶角”. 【总结升华】如果将一个命题的条件与结论互换，则得到这个命题的逆命题，但原命题正确， 逆命题不一定正确. 举一反三： 【变式】下列命题中,真命题有( ) . ① 若 x＝a，则 x2－(a+b)x+ab＝0 ② 直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离 ③ 如果 ＝0,那么 x＝±2 ④ 如果 a＝b,那么 a3＝b3 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【答案】C 2 4 2 x x − −3 2.如图所示，O 是直线 AB 上一点，射线 OC、OD 在 AB 的两侧，且∠AOC＝∠ BOD，试证明∠AOC 与∠BOD 是对顶角． 【答案】 证明：因为∠AOC+∠COB＝180°(平角定义)， 又因为∠AOC＝∠BOD(已知)， 所以∠BOD+∠COB＝180°，即∠COD＝180°． 所以 C、O、D 三点在一条直线上(平角定义)， 即直线 AB、CD 相交于点 O， 所以∠AOC 与∠BOD 是对顶角(对顶角定义)． 【总结升华】证三点共线的方法，通常采用证这三点组成的角为平角，即∠COD＝180 °． 类型二、平行线的性质与判定 3. （2016 春•胶州市期中）将一副三角板中的两根直角顶点 C 叠放在一起（如图 ①），其中∠A=30°，∠B=60°，∠D=∠E=45°． （1）若∠BCD=150°，求∠ACE 的度数； （2）试猜想∠BCD 与∠ACE 的数量关系，请说明理由； （3）若按住三角板 ABC 不动，绕顶点 C 转动三角板 DCE，试探究∠BCD 等于多少度时， CD∥AB，并简要说明理由． 【思路点拨】（1）由∠BCD=150°，∠ACB=90°，可得出∠DCA 的度数，进而得出∠ACE 的 度数； （2）根据（1）中的结论可提出猜想，再由∠BCD=∠ACB+∠ACD，∠ACE=∠DCE﹣∠ACD 可得出结论； （3）根据平行线的判定定理，画出图形即可求解． 【答案与解析】解：（1）∵∠BCA=∠ECD=90°，∠BCD=150°， ∴∠DCA=∠BCD﹣∠BCA=150°﹣90°=60°， ∴∠ACE=∠ECD﹣∠DCA=90°﹣60°=30°； （2）∠BCD+∠ACE=180°，理由如下：4 ∵∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD， ∠ACE=∠DCE﹣∠ACD=90°﹣∠ACD， ∴∠BCD+∠ACE=180°； （3）当∠BCD=120°或 60°时，CD∥AB． 如图②，根据同旁内角互补，两直线平行， 当∠B+∠BCD=180°时，CD∥AB，此时∠BCD=180°﹣∠B=180°﹣60°=120°； 如图③，根据内错角相等，两直线平行， 当∠B=∠BCD=60°时，CD∥AB． 【总结升华】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平 行；同旁内角互补，两直线平行．熟练掌握定理并且能够准确识图是解题的关键． 4. （2015 春•海珠区期末）如图，已知 AD∥BC，∠1=∠2，求证：∠3+∠4=180°． 【思路点拨】欲证∠3+∠4=180°，需证 BE∥DF，而由 AD∥BC，易得∠1=∠3，又∠1=∠2， 所以∠2=∠3，即可求证． 【答案与解析】 证明：∵AD∥BC， ∴∠1=∠3， ∵∠1=∠2， ∴∠2=∠3， ∴BE∥DF， ∴∠3+∠4=180°． 【总结升华】此题考查平行线的判定和性质：同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错 角相等；两直线平行，同旁内角互补．要灵活应用． 举一反三：5 【变式 1】（2015 春•大名）如图：AD∥BC，∠DAC=60°，∠ACF=25°，∠EFC=145°，则直线 EF 与 BC 的位置关系是 　． 【答案】 解：平行． ∵AD∥BC， ∴∠ACB=∠DAC=60°， ∵∠ACF=25°， ∴∠FCB=35°， ∴∠EFC+∠FCB=145°+35°=180°， ∴EF∥BC，故答案为：平行． 【变式 2】已知：如图，∠ABC＝∠ADC，BF、DE 分别平分∠ABC 与∠ADC，且∠1＝∠3. 求证：AB∥DC. 【答案】 证明：∵∠ABC＝∠ADC, ∴ （等式性质）. 又∵BF、DE 分别平分∠ABC 与∠ADC, ∴∠1＝ ，∠2＝ （角平分线的定义）. ∴∠1＝∠2　（等量代换）. 又∵∠1＝∠3（已知）, ∴∠2＝∠3（等量代换）. ∴AB∥DC(内错角相等，两直线平行). 类型三、三角形的内角和定理及推论 5.如图，P 是△ABC 内一点，请用量角器量出∠ABP.∠ACP.∠A 和∠BPC 的大小，再计 算一下，∠ABP＋∠ACP＋∠A 是多少度？这三个角的和与∠BPC 有什么关系？你能用学到的 知识来解释其中的道理吗？你能判断∠BPC 和∠A 的大小吗？ 1 1ABC ADC2 2 ∠ ∠＝ ABC2 1 ∠ ADC2 1 ∠6 【答案与解析】 解：∠ABP＋∠ACP＋∠A＝∠BPC，∠BPC＞∠A。 证明：如下图，延长 BP 到 D， 则∠PDC＝∠A＋∠∠ABP，∠PDC>∠A. 同理，∠BPC＝∠PDC＋∠ACP，∠BPC>∠PDC. 所以∠BPC＝∠ABP＋∠ACP＋∠A ，∠BPC＞∠A . 举一反三： 【变式 1】如图,△ABC 的两外角平分线交于点 P,易证∠P＝90°- ∠A；△ABC两内角的平 分线交于点 Q,易证∠BQC＝90°+ ∠A；那么△ABC 的内角平分线 BM 与外角平分 CM的夹 角 ∠M＝_____∠A. 【答案】 【变式 2】如图,E 是 BC 延长线上的点,∠1＝∠2.求证:∠BAC＞∠B. 【答案】 M Q P CB A 1 2 1 2 1 2 A B C P D 21 E D CB A7 证明：∵∠2＝∠B+∠D ∴∠B＝∠2-∠D 又∵∠BAC＝∠1+∠D ∠1＝∠2 ∴∠BAC>∠B 类型四、实际应用 6.手工制作课上，老师先将一张长方形纸片折叠成如图所示的那样，若折痕与一条边 BC 的夹角∠EFB＝30°，你能说出∠EGF 的度数吗？ 【思路点拨】长方形的对边是平行的，所以 AD∥BC，可得∠DEF＝∠EFG＝30°，又因为 折后重合部分相等，所以∠GEF＝∠DEF＝30°，所以∠DEG＝2∠DEF＝60°，又因为两 直线平行，同旁内角互补，所以∠EGC＝180°－∠DEG，问题可解. 【答案与解析】 解：因为 AD∥BC（已知）， 所以∠DEF＝∠EFG＝30°（两直线平行，内错角相等）. 因为∠GEF＝∠DEF＝30°（对折后重合部分相等）， 所以∠DEG＝2∠DEF＝60°. 所以∠EGC＝180°－∠DEG＝180°－60°＝120°（两直线平行，同旁内角互补）. 【总结升华】本题利用了：（1）折叠的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化， 对应边和对应角相等；（2）平行线的性质．8 【巩固练习】 一、选择题 1．下列命题中，真命题是（ ）. A．任何数的绝对值都是正数 B．任何数的零次幂都等于 1 C．互为倒数的两个数的和为零 D．在数轴上表示的两个数，右边的数比左边的数大 2．一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯 的角度可能是( ) . A．第一次向左拐 30°，第二次向右拐 30° B．第一次向右拐 50°，第二次向左拐 130° C．第一次向左拐 50°，第二次向左拐 130° D．第一次向左拐 50°，第二次向右拐 130° 3．（2015 春•通川区期末）如图，如果∠1=∠2，DE∥BC，则下列结论正确的个数为（　　） （1）FG∥DC；（2）∠AED=∠ACB；（3）CD 平分∠ACB；（4）∠1+∠B=90°； （5）∠BFG=∠BDC． A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 4．两条平行直线被第三条直线所截时，产生的八个角中，角平分线互相平行的两个角是 （ ）. 　　A．同位角 　　　B．同旁内角 　　　C．内错角 　　　D. 同位角或内错角 5.（2016•南湖区一模）如图，将△ABC 沿 DE，EF 翻折，顶点 A，B 均落在点 O 处，且 EA 与 EB 重合于线段 EO，若∠CDO+∠CFO=98°，则∠C 的度数为（　　） A．40° B．41° C．42° D．43° 6. 如图，已知∠A＝∠C，如果要判断 AB∥CD，则需要补充的条件是（ ）． A．∠ABD＝∠CEF B．∠CED＝∠ADB C．∠CDB＝∠CEF D．∠ABD+∠CED＝180° A B FED C9 7.如图， ，则 AEB＝（ ）． A． B． C． D． 8. 把一张对面互相平行的纸条折成如图所示，EF 是折痕，若∠EFB＝32°，则下列结论不 正确的有（ ）． A. B. ∠AEC＝148° C. ∠BGE＝64° D. ∠BFD＝116° 二、填空题 9．(荆州二模)如图所示，AB∥CD，点 E 在 CB 的延长线上．若∠ECD＝110°，则∠ABE 的度数为________． 10.如图，l∥m，∠1＝115°，∠2＝95°，则∠3＝ ． 11.如图所示，AB∥CD，MN 交 AB、CD 于 E、F，EG 和 FG 分别是∠BEN 和∠MFD 的平 分线，那么 EG 与 FG 的位置关系是 ． 1 753DE // AB, CAE CAB, CDE ,∠ = ∠ ∠ =  65B∠ =  ∠ 70 65 60 55 32=′∠ EFC A B C D E A B C′ D′ C D E F G10 12．（2016 春•南陵县期中）如图，在△ABC 中，AD⊥BC，AE 平分∠BAC，若∠1=30°，∠ 2=20°，则∠B=　　． 13．（2015 春•苏州）如图所示，∠A=10°，∠ABC=90°，∠ACB=∠DCE，∠ADE=∠EDF， ∠CED=∠FEG．则∠F=　　． 14. 我们已经证明了“三角形的内角等于 180°”,易证“四边形的内角和等于 360°＝2×180 °,五边形的内角和等于 540°＝3×180°，……”试猜想十边形的内角和等于 度． 15. 五角形的五个内角的和是________. 16. 如图，下面四个条件：（1） ，（2） ，（3） ，（4） ， 请你以其中两个论断为条件，一个论断为结论，组成一个真命题：如果 ，那 么 ．（只填序号即可） 三、解答题 17．如图所示，在平行四边形 ABCD 中，AQ，BN，CN，DQ 分别是∠DAB，∠ABC，∠BCD， ∠CDA 的平分线，AQ 与 BN 交于 P，CN 与 DQ 交于 M，在不添加其他条件的情况下，试写出一 个由上述条件推出的结论，并给出证明过程．（推理过程中用到“平行四边形”和“角平分 线”这两个条件） 18. 如图所示，已知∠1＝50°，∠2＝130°，∠4＝50°，∠6＝130°，试说明 a∥b，b∥ c，d∥e，a∥c． ADAE = ACAB = OCOB = CB ∠=∠ D A B C E O11 19. 如图所示，已知 AB∥CD，∠1＝110°，∠2＝125°，求∠x 的大小． 20. （2015 春•沛县期末）已知在四边形 ABCD 中，∠A=∠C=90°． （1）∠ABC+∠ADC=　 　； （2）如图 1，若 DE 平分∠ABC 的外角，BF 平分∠ABC 的外角，请写出 DE 与 BF 的位置关 系，并证明． （3）如图 2，若 BE、DE 分别四等分∠ABC、∠ADC 的外角（即∠CDE= ∠CDN，∠CBE= ∠CBM），试求∠E 的度数． 【答案与解析】 一、选择题 1. 【答案】D； 2. 【答案】A； 【解析】首先根据题意对各选项画出示意图，观察图形，根据同位角相等，两直线平行， 即可得出答案. 3. 【答案】C； 【解析】解：∵DE∥BC，∴∠DCB=∠1，∠AED=∠ACB，（2）正确； ∵∠1=∠2，∴∠2=∠DCB， ∴FG∥DC，（1）正确；∴∠BFG=∠BDC，（5）正确； 正确的个数有 3 个，故选：C． 4. 【答案】D； 【解析】三线八角中，角平分线互相平行的两角是同位角或内错角，互相垂直的两角是 同旁内角. 5. 【答案】B； 12 【解析】解：如图，连接 AO、BO． 由题意 EA=EB=EO， ∴∠AOB=90°，∠OAB+∠OBA=90°， ∵DO=DA，FO=FB， ∴∠DAO=∠DOA，∠FOB=∠FBO， ∴∠CDO=2∠DAO，∠CFO=2∠FBO， ∵∠CDO+∠CFO=98°， ∴2∠DAO+2∠FBO=98°， ∴∠DAO+∠FBO=49°， ∴∠CAB+∠CBA=∠DAO+∠OAB+∠OBA+∠FBO=139°， ∴∠C=180°﹣（∠CAB+∠CBA）=180°﹣139°=41°，故选 B． 6. 【答案】B； 7. 【答案】B； 【解析】 ∠EAB＝75°－25°＝50°. 8.【答案】B； 【解析】选项 B 中，∠AEC＝180°－32°×2＝116°，所以选项 B 错误. 二、填空题 9. 【答案】70°； 【解析】因 AB∥CD，所以∠ABC＝∠ECD＝110°，所以∠ABE＝180°-110°＝70 °． 10.【答案】150°； 【解析】∠1＋∠2＋∠3＝360°，所以∠3＝360°－（115°＋95°）＝150°． 11.【答案】垂直； 【解析】 解：EG⊥FG，理由如下： ∵ AB∥CD，∴ ∠BEN+∠MFD＝180°． ∵ EG 和 FG 分别是∠BEN 和∠MFD 的平分线， ∴ ∠GEN+∠GFM＝ (∠BEN+∠MFD)＝ ×180°＝90°． ∴ ∠EGF＝180°-∠GEN-∠GFM＝90°． ∴ EG⊥FG． 12.【答案】50°； 【解析】∵AE 平分∠BAC，∴∠1=∠EAD+∠2，∴∠EAD=∠1﹣∠2=30°﹣20°=10°， Rt△ABD 中，∠B=90°﹣∠BAD=90°﹣30°﹣10°=50°． 13.【答案】70°； 14.【答案】1440°； 【解析】十边形的内角和:(10-2)×180°＝1440°， 1 1 75 =253 3CAE CAB ,∠ = ∠ = ×   1 2 1 213 由此得 n 边形的内角和:(n-2)×180°． 15.【答案】180°； 【解析】如下图，∠A＋∠C＝∠2，∠B＋∠D＝∠1，而∠1＋∠2＋∠E＝180°，从而得 答案． 16.【答案】（2）（4），（1）；（答案不唯一，只要答案合理即可） 【解析】通过证明全等可得答案． 三、解答题 17.【解析】 解：四边形 PQMN 为长方形． 在平行四边形 ABCD 中，∠ABC+∠BCD＝180°， 又 BN、CN 分别平分∠ABC 和∠BCD， ∴∠N＝90°， 同理∠CMD＝∠Q＝∠APB＝90°， 又∵∠CMD＝∠NMQ，∠APB＝∠NPQ， ∴四边形 PQMN 为长方形． 18.【解析】 解：因为∠1＝50°，∠2＝130°(已知)， 所以∠1+∠2＝180°． 所以 a∥b(同旁内角互补，两直线平行)． 所以∠3＝∠1＝50°(两直线平行，同位角相等)． 又因为∠4＝50°(已知)， 所以∠3＝∠4(等量代换)． 所以 d∥e(同位角相等，两直线平行)． 因为∠5+∠6＝180°(平角定义)，∠6＝130°(已知)， 所以∠5＝50°(等式的性质)． 所以∠4＝∠5(等量代换)． 所以 b∥c(内错角相等，两直线平行)． 因为 a∥b，b∥c(已知)， 所以 a∥c(平行于同一直线的两直线平行)． 19.【解析】 解：过 E 点作 EF∥AB，则∠3＝180°-∠1＝70°． 14 因为 EF∥AB，AB∥CD， 所以 EF∥CD． 所以∠4＝180°-∠2＝55°． 所以∠x＝180°-∠3-∠4＝55°． 20.【解析】 （1）解：∵∠A=∠C=90°， ∴∠ABC+∠ADC=360°﹣90°×2=180°； 故答案为：180°； （2）解：延长 DE 交 BF 于 G， ∵DE 平分∠ADC，BF 平分∠CBM， ∴∠CDE= ∠ADC，∠CBF= ∠CBM， 又∵∠CBM=180°﹣∠ABC=180°﹣（180°﹣∠ADC）=∠ADC， ∴∠CDE=∠CBF， 又∵∠BED=∠CDE+∠C=∠CBF+∠BGE， ∴∠BGE=∠C=90°， ∴DG⊥BF， 即 DE⊥BF； （3）解：由（1）得：∠CDN+∠CBM=180°， ∵BE、DE 分别四等分∠ABC、∠ADC 的外角， ∴∠CDE+∠CBE= ×180°45°， 延长 DC 交 BE 于 H， 由三角形的外角性质得，∠BHD=∠CDE+∠E，∠BCD=∠BHD+∠CBE， ∴∠BCD=∠CBE+∠CDE+∠E， ∴∠E=90°﹣45°=45°．