导学案——等腰三角形

1 导学案——等腰三角形 【学习目标】 1. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念, 掌握等腰三角形的轴对称性； 2. 掌握等腰三角形、等边三角形的性质，会利用这些性质进行简单的推理、证明、计算和 作图． 3. 理解并掌握等腰三角形、等边三角形的判定方法及其证明过程. 通过定理的证明和应用， 初步了解转化思想，并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力. 4. 理解反证法并能用反证法推理证明简单几何题. 【要点梳理】 要点一、等腰三角形的定义 1.等腰三角形 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底， 两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 如图所示，在△ABC 中，AB＝AC，△ABC 是等腰三角形，其中 AB、AC 为腰，BC 为底边,∠ A 是顶角，∠B、∠C 是底角． 　　 2.等腰三角形的作法 已知线段 a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形 ABC,使 AB=AC=b,BC=a. 作法：1.作线段 BC=a； 2.分别以 B,C 为圆心，以 b 为半径画弧，两弧 相交于点 A; 3.连接 AB,AC. △ABC 为所求作的等腰三角形 3.等腰三角形的对称性 (1)等腰三角形是轴对称图形； (2)∠B＝∠C； (3)BD＝CD，AD 为底边上的中线.2 (4)∠ADB＝∠ADC＝90°，AD 为底边上的高线. 结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的 对称轴. 4.等边三角形 三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等 腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称 轴. 要点诠释：（1）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝 角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ . （2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形 不一定是等边三角形. 【高清课堂：389301 等腰三角形的性质及判定，知识要点】 要点二、等腰三角形的性质 1.等腰三角形的性质 性质 1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”． 推论：等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于 60°. 性质 2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三 线合一”． 2.等腰三角形中重要线段的性质 　　等腰三角形的两底角的平分线（两腰上的高、两腰上的中线）相等. 要点诠释：这条性质，还可以推广到以下结论： （1）等腰三角形底边上的高上任一点到两腰的距离相等。 （2）等腰三角形两底边上的中点到两腰的距离相等. （3）等腰三角形两底角平分线，两腰上的中线，两腰上的高的交点到两腰的距 离相等，到底边两端上的距离相等. （4）等腰三角形顶点到两腰上的高、中线、角平分线的距离相等. 要点三、等腰三角形的判定定理 1.等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三 角形中，等角对等边. 要点诠释：(1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论 是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系. 　　（2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰 三角形． 2.等边三角形的判定定理 三个角相等的三角形是等边三角形. 有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形. 3. 含有 30°角的直角三角形 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 要点四、反证法 在证明时，先假设命题的结论不成立，然后从这个假设出发，经过逐步推导论证，最后 推出与学过的概念、基本事实，以证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果，从而证明命 题的结论一定成立，这种证明命题的方法叫做反证法. 要点诠释：反证法也称归谬法，是一种间接证明的方法，一般适用于直接证明有困难的 180 2 A°− ∠3 命题．一般证明步骤如下： （1） 假定命题的结论不成立； （2） 从这个假设和其他已知条件出发，经过推理论证，得出与学过的概念、基本事实， 以证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果； （3）由矛盾的结果，判定假设不成立，从而说明命题的结论是正确的. 类型一、等腰三角形中的分类讨论 【高清课堂：389301 等腰三角形的性质及判定：例 2（1）】 1、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 30°，则顶角的度数为( )． A．60° B．120° C．60°或 150° D．60°或 120° 【答案】D； 【解析】由等腰三角形的性质与三角形的内角和定理可知，等腰三角形的顶角可以是锐角、 直角、钝角，然而题目没说是什么三角形，所以分类讨论，画出图形再作答． (1)顶角为锐角如图①，按题意顶角的度数为 60°； (2)顶角为直角，一腰上的高是另一腰，夹角为 0°不符合题意； (3)顶角为钝角如图②，则顶角度数为 120°，故此题应选 D． 【总结升华】此题主要考查了等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置 关系是解题的关键，本题易出现的错误是忽视了顶角为 120°这种情况，把三角形简单的认 为是锐角三角形． 举一反三： 【高清课堂：389301 等腰三角形的性质及判定：例 2（2）】 【变式 1】已知等腰三角形的周长为 13，一边长为 3，求其余各边． 【答案】 解：(1)3 为腰长时，则另一腰长也为 3，底边长＝13－3－3＝7； (2)3 为底边长时，则两个腰长的和＝13－3＝10，则一腰长 ． 这样得两组：①3，3，7 ②5，5，3． 而由构成三角形的条件：两边之和大于第三边可知：3＋3＜7，故不能组成三角形，应 舍去． ∴ 等腰三角形的周长为 13，一边长为 3，其余各边长为 5，5． 【变式 2】在△ABC 中，∠A=40°，当∠B=　 　时，△ABC 是等腰三角形． 【答案】40°、70°或 100° 提示：分为两种情况：（1）当∠A 是底角，①AB=BC，根据等腰三角形的性质求出 ∠A=∠C=40°，根据三角形的内角和定理即可求出∠B；②AC=BC，根据等腰三角形的性质得 到∠A=∠B=40°；（2）当∠A 是顶角时，AB=AC，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和 1 10 52 = × =4 定理即可求出∠B． 类型二、等腰三角形的操作题 2、如图，请将下列两个三角形分成两个等腰三角形．（要求标出每个等腰三角形的内 角度数） 【思路点拨】根据等腰三角形的判定定理在左图△ABC 中的边 BC 上取一点 D，使 BD=AD 即可； 在右图△ABC 中的边 AC 上取一点 D，使 BD=CD 即可． 【答案与解析】 解：如图（1）所示：在 BC 上取一点 D，使∠ADB=110°，∠ADC=70°，∠BAD=35°， ∠CAD=40°， 如图（2）所示：在 AC 上取一点 D，使∠ABD=32°，∠CBD=16°，∠ADB=32°， ∠BDC=148°． 【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质和判定、三角形的内角和定理等知识点，关键是 根据题意画出图形，注意应先确定等腰三角形的各个角的度数，再根据度数画出图形． 举一反三： 【变式】（2015•温州模拟）如图，有甲，乙两个三角形，请你用一条直线把每一个三角形分 成两个等腰三角形，并标出每个三角形各角的度数． 5 【答案】解：如图 1：直线把 75°的角分成 25°的角和 50°的角，则分成的两个三角形都 是等腰三角形； 如图 2，直线把 120°的角分成 80°和 40°的角，则分成的两个三角形都是等腰三角形． 类型三、等腰三角形性质与判定的综合应用 3、（2015 春•沂水县期末）如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD=8cm，∠A=60°，∠ADC=150°， 已知四边形 ABCD 的周长为 32cm，求△BCD 的面积． 【思路点拨】先根据题意得出△ABD 是等边三角形，△BCD 是直角三角形，因而只要求出 CD 与 BD 的长就可以求出结果． 【答案与解析】 解：∵AB=AD=8cm，∠A=60°， ∴△ABD 是等边三角形， ∵∠ADC=150° ∴∠CDB=150°﹣60°=90°， ∴△BCD 是直角三角形， 又∵四边形的周长为 32cm， ∴CD+BC=32﹣AD﹣AB=32﹣8﹣8=16cm， 设 CD=x，则 BC=16﹣x， 根据勾股定理得到 82+x2=（16﹣x）2 解得 x=6cm， ∴S△BCD= ×6×8=24． 【总结升华】本题综合考察了等边三角形的判定与性质，勾股定理，以及直角三角形的面积 公式. 举一反三： 【变式】如图在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB 于点 E，连接 CE，则图中的等腰三角形共有　 　个．6 【答案】4； 提示：根据等腰三角形的判定，由已知可证∠BAD=∠CAD=∠B=30°，即证△ADB 是等腰 三角形；又证 CD=DE，AE=AC，即证△CDE，△AEC 是等腰三角形；再证 ECB=∠B=30°，即证 △BEC 是等腰三角形．即图中的等腰三角形共有 4 个． 4、如图，Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为 D．AF 平分∠CAB，交 CD 于点 E， 交 CB 于点 F，求证：CE=CF． 【思路点拨】根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，根据角 平分线和对顶角相等得出∠CEF=∠CFE，根据等腰三角形的判定推出即可． 【答案与解析】 证明：∵∠ACB=90°，CD⊥AB， ∴∠CDA=90°， ∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°， ∵AF 平分∠CAB， ∴∠CAF=∠FAD， ∴∠CFA=∠AED=∠CEF， ∴CE=CF． 【总结升华】本题考查了直角三角形性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理， 关键是推出∠CEF=∠CFE． 举一反三： 【变式】如图是由 9 个等边三角形拼成的六边形，现已知中间最小的等边三角形的边长是 a，则围成的六边形的周长为（　　） A. 30a B. 32a C. 34a D. 无法计算 【答案】A； 提示：设右下角第二个小的等边三角形的边长是 x，则剩下的 7 个等边三角形的边长是 x； x； x+a； x+a； x+2a ；x+2a； x+3a，根据题意得到方程 2x=x+3a，求出 x=3a，即 可求出围成的六边形的周长．7 类型四、含 30°角的直角三角形 5、如 图 ， 测 量 旗 杆 AB 的 高 度 时 ， 先 在 地 面 上 选 择 一 点 C ， 使 ∠ ACB=15 ° ． 然 后 朝 着 旗 杆 方 向 前 进 到 点 D， 测 得 ∠ ADB=30° ， 量 得 CD=13m， 求 旗 杆 AB 的 高 ． 【思路点拨】根 据 三 角 形 的 一 个 外 角 等 于 与 它 不 相 邻 的 两 个 内 角 的 和 求 出 ∠ CAD， 再 根 据 等 角 对 等 边 的 性 质 可 得 AD=CD，然后 根 据 直 角 三 角 形 30° 角 所 对 的 直 角 边 等 于 斜 边 的 一 半 解 答 即 可 ． 【答案与解析】 解 ： ∵ ∠ ACB=15° ， ∠ ADB=30° ， ∴ ∠ CAD=∠ ADB-∠ ACB=30° -15° =15° ， 即 △ CAD 为 等 腰 三 角 形 ， ∴ AD=CD=13， 在 △ ADB 中 ， ∵ AB⊥ DB， ∠ ADB=30° ， ∴ AB= AD= × 13=6.5(m)． 【总结升华】本题 考 查 了 直 角 三 角 形 30° 角 所 对 的 直 角 边 等 于 斜 边 的 一 半 的 性 质 ， 三 角 形 的 一 个 外 角 等 于 与 它 不 相 邻 的 两 个 内 角 的 和 的 性 质 ， 等 角 对 等 边 的 性 质 ， 熟 记 性 质 是 解 题 的 关 键 ． 举一反三： 【变式】已知：如图 ， 在 Rt△ ABC 中 ， ∠ C=90° ， ∠ BAD= ∠ BAC， 过 点 D 作 DE⊥ AB， DE 恰 好 是 ∠ ADB 的 平 分 线 ， 求 证 ： CD= DB． 【答案】 解 ： ∵ DE⊥ AB， ∴ ∠ AED=∠ BED=90° ， ∵ DE 是 ∠ ADB 的 平 分 线 ， ∴ ∠ 3=∠ 4， 又 ∵ DE=DE， ∴ △ BED≌ △ AED（ ASA） ， ∴ AD=BD， ∠ 2=∠ B， 1 2 1 2 1 2 1 28 ∵ ∠ BAD=∠ 2= ∠ BAC， ∴ ∠ 1=∠ 2=∠ B， ∴ AD=BD， 又 ∵ ∠ 1+∠ 2+∠ B=90° ， ∴ ∠ B=∠ 1=∠ 2=30° ， 在 直 角 三 角 形 ACD 中 ， ∠ 1=30° ， ∴ CD= AD= BD． 类型五、反证法 6、求证：在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等． 【思路点拨】先假设它们的对边相等，然后根据等腰三角形的性质得出假设不成立，从而证 得原结论成立． 【答案与解析】 证明：假设它们所对的边相等； 则根据等腰三角形的性质定理，“等边对等角”所以等它们所对的角也相等； 这就与题设两个角不等相矛盾； 因此假设不成立，故原结论成立． 【总结升华】本题结合等腰三角形的性质考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步 骤． 举一反三： 【变式】用反证法证明“三角形三个内角中至少有两个锐角”时应首先假设 . 【答案】三角形三个内角中最多有一个锐角． 1 2 1 2 1 29 【巩固练习】 一.选择题 1．如图，在△ABC 中，若 AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝EB，则∠A 等于( )． A．30° B．36° C．45° D．54° 2．用反证法证明：a，b 至少有一个为 0，应假设（ ） A. a，b 没有一个为 0 B. a，b 只有一个为 0 C. a，b 至多有一个为 0 D. a，b 两个都为 0 3. 如图，在△ABC 中，∠ABC、∠ACB 的平分线相交于 F，过 F 作 DE∥BC，交 AB 于 D，交 AC 于 E，那么下列结论正确的有( ) ①△BDF，△CEF 都是等腰三角形； ②DE＝DB＋CE； ③AD＋DE＋AE＝AB＋AC； ④BF＝CF. A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 4. 等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于（　　） A．顶角的一半 B．底角的一半 C．90°减去顶角的一半 D．90°减去底角的一半 5．（2014•黔南州）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，BE 平分∠ABC，ED⊥AB于 D．如果∠A=30°， AE=6cm，那么 CE 等于（　　） A． cm B．2cm C．3cm D．4cm 6.如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点 P 是 BC 边上的动点，则 AP 长不可能是 （　　） A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．7 二.填空题10 7．已知一个等腰三角形的顶角为 度,则其一腰上的高线与底边的夹角___________度（用 含 的式子表示）. 8. 用反证法证明“若|a|≠|b|，则 a≠b．”时，应假设　 　． 9. 等腰三角形的周长为 22 ，其中一边的长是 8 ,则其余两边长分别为________. 10.（2015 春•盐城校级月考）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=4cm．动点 D 从点 A 出发，以每秒 1cm 的速度沿射线 AC 运动，当 t=　 　时，△ABD 为 等腰三角形． 11．如图，钝角三角形纸片 ABC 中，∠BAC＝110°，D 为 AC 边的中点．现将纸片沿过点 D 的直线折叠，折痕与 BC 交于点 E，点 C 的落点记为 F．若点 F 恰好在 BA 的延长线上，则∠ADF ＝_________°． 12. 如图，在ΔABC 中，∠ABC＝120°，点 D、E 分别在 AC 和 AB 上，且 AE＝ED＝DB＝BC， 则∠A 的度数为______°． 三.解答题 13. 用反证法证明：一条线段只有一个中点． 14．如图：已知在△ABC 中，AB=AC，D 为 BC 边的中点，过点 D 作 DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分 别为 E，F． （1）求证：DE=DF； （2）若∠A=60°，BE=1，求△ABC 的周长． x x cm cm11 15.（2015 秋•东台市期中）如图，△ABC 中，∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，若动点 P 从点 C 开始，按 C→A→B→C 的路径运动，且速度为每秒 1cm，设出发的时间为 t 秒． （1）出发 2 秒后，求△ABP 的周长． （2）问 t 为何值时，△BCP 为等腰三角形？ （3）另有一点 Q，从点 C 开始，按 C→B→A→C 的路径运动，且速度为每秒 2cm，若 P、Q 两 点同时出发，当 P、Q 中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当 t 为何值时，直线 PQ 把△ABC 的周长分成相等的两部分？ 【答案与解析】 一.选择题 1. 【答案】C； 【解析】设∠A＝ ，则由题意∠ADE＝180°－2 ，∠EDB＝ ，∠BDC＝∠BCD＝90°－ ，因为∠ADE＋∠EDB＋∠BDC＝180°，所以 ＝45°. 2. 【答案】A； 【解析】由于命题：“a，b 至少有一个为 0”的反面是：“a，b 没有一个为 0”，故选 A. 3. 【答案】C ； 【解析】①②③正确. 4. 【答案】A； 【解析】解 ： △ ABC 中 ， ∵ AB=AC， BD 是 高 ， ∴ ∠ ABC=∠ C= 在 Rt△ BDC 中 ， ∠ CBD=90° -∠ C=90° - = . 故 选 A． 5. 【答案】C； x x 2 x 2 x x 180 2 A− ∠ 180 2 A− ∠ 2 A∠12 【解析】解：∵ED⊥AB，∠A=30°， ∴AE=2ED， ∵AE=6cm， ∴ED=3cm， ∵∠ACB=90°，BE 平分∠ABC， ∴ED=CE， ∴CE=3cm； 故选：C． 6. 【答案】D; 【解析】解 ： 根 据 垂 线 段 最 短 ， 可 知 AP 的 长 不 可 小 于 3； ∵ △ ABC 中 ， ∠ C=90° ， AC=3， ∠ B=30° ， ∴ AB=6， ∴ AP 的 长 不 能 大 于 6． 故 选 D． 二.填空题 7. 【答案】 ； 【解析】无论等腰三角形的顶角是锐角还是钝角，一腰上的高线与底边的夹角都是 . 8. 【答案】a=b； 【解析】a，b 的等价关系有 a=b，a≠b 两种情况，因而 a≠b 的反面是 a=b. 9. 【答案】7 ，7 或 8 ，6 ； 【解析】边长为 8cm 的可能是底边，也可能是腰. 10.【答案】5，6， ； 【解析】解：在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=4cm，由勾股定理得：AC=3cm， 由运动可知：AD=t，且△ABD 时等腰三角形， 有三种情况： ①若 AB=AD，则 t=5； ②若 BA=BD，则 AD=2AC，即 t=6； ③若 DA=DB，则在 Rt△BCD 中，CD=t﹣3，BC=4，BD=t， 即（t﹣3）2+42=t2， 解得：t= ， 综合上述：符合要求的 t 值有 3 个，分别为 5，6， ． 11.【答案】40； 【解析】AD＝FD，∠FAD＝∠AFD＝70°，所以∠ADF＝40°. 12.【答案】15°； 【解析】设∠A＝ ，∠BED＝∠EBD＝2 ，∠CBD＝120°－2 ，∠C＝∠BDC＝30°＋ ， 而∠A＋∠C＝60°，所以 ＋30°＋ ＝60°，解得 ＝15°. 三.解答题 13.【解析】 2 x 2 x cm cm cm cm x x x x x x x13 已知：一条线段 AB，M 为 AB 的中点． 求证：线段 AB 只有一个中点 M． 证明：假设线段 AB 有两个中点 M、N，不妨设 M 在 N 的左边， 则 AM＜AN， 又因为 AM= AB=AN= AB， 这与 AM＜AN 矛盾， 所以线段 AB 只有一个中点 M． 14.【解析】 (1)证明：连接 AD， ∵D 是 BC 边的中点， ∴S△ABD=S△ACD ∵DE⊥AB，DF⊥AC ∴ AB×DE= AC×DF ∵AB=AC ∴DE=DF (2)解：在线段 BD 上截取 BG=BE，连接 GE ∵AB=AC，∠A=60°， ∴△ABC 为等边三角形． ∴∠B=60°， 又∵BG=BE ∴△BEG 为等边三角形 ∴BG=BE=GE=1 ∴∠GED=90°-60°=30° 在直角△BED 中，∠BED=90°，∠B=60° ∴∠BDE=30°， ∴∠GED=∠BDE ∴DG=GE=1 ∴BC=2BD=2(BG+GD)=2×2=4 ∴△ABC 的周长为：3×4=12. 15．【解析】 解：（1）∵∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，∴有勾股定理得 AC=8cm，动点 P 从点 C 开 始，按 C→A→B→C 的路径运动，且速度为每秒 1cm ∴出发 2 秒后，则 CP=2cm，那么 AP=6cm． ∵∠C=90°， ∴有勾股定理得 PB=2 cm ∴△ABP 的周长为：AP+PB+AB=6+10+2 =（16+2 ）cm； （2）若 P 在边 AC 上时，BC=CP=6cm， 此时用的时间为 6s，△BCP 为等腰三角形； 若 P 在 AB 边上时，有两种情况： ①若使 BP=CB=6cm，此时 AP=4cm，P 运动的路程为 12cm， 所以用的时间为 12s，故 t=12s 时△BCP 为等腰三角形； 1 2 1 214 ②若 CP=BC=6cm，过 C 作斜边 AB 的高，根据面积法求得高为 4.8cm， 根据勾股定理求得 BP=7.2cm， 所以 P 运动的路程为 18﹣7.2=10.8cm， ∴t 的时间为 10.8s，△BCP 为等腰三角形； ③若 BP=CP 时，则∠PCB=∠PBC， ∵∠ACP+∠BCP=90°，∠PBC+∠CAP=90°，∴∠ACP=∠CAP，∴PA=PC ∴PA=PB=5cm ∴P 的路程为 13cm，所以时间为 13s 时，△BCP 为等腰三角形． ∴t=6s 或 13s 或 12s 或 10.8s 时△BCP 为等腰三角形； （3）当 P 点在 AC 上，Q 在 AB 上，则 AP=8﹣t，AQ=16﹣2t， ∵直线 PQ 把△ABC 的周长分成相等的两部分， ∴8﹣t+16﹣2t=12， ∴t=4； 当 P 点在 AB 上，Q 在 AC 上，则 AP=t﹣8，AQ=2t﹣16， ∵直线 PQ 把△ABC 的周长分成相等的两部分， ∴t﹣8+2t﹣16=12， ∴t=12， ∴当 t 为 4 或 12 秒时，直线 PQ 把△ABC 的周长分成相等的两部分．