导学案——直角三角形

1 导学案——直角三角形 【学习目标】 1. 掌握勾股定理的内容及证明方法、勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆命题， 原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系． 2. 能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题；能利用勾股定理的 逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形. 3. 能够熟练地掌握直角三角形的全等判定方法（HL）及其应用. 【要点梳理】 要点一、勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为 ，斜边长为 ，那么 . 要点诠释： （1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目中已知线段的长可以建立 方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3）理解勾股定理的一些变式： ， ， . （4）勾股数：满足不定方程 的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达 哥拉斯数），显然，以 为三边长的三角形一定是直角三角形. 熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：　 ① 3、4、5； 5、12、13； 8、15、17； 7、24、25； 9、40、41…… ② 如果 是勾股数，当 为正整数时，以 为三角形的三边长，此三角形 必为直角三角形. ③ （ 是自然数）是直角三角形的三条边长； ④ （ 是自然数）是直角三角形的三条边长； ⑤ （ 是自然数）是直角三角形的三条边长. 要点二、勾股定理的证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 　　　 图（1）中 ，所以 . 　　　　　 　　方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. a b， c 2 2 2a b c+ = 2 2 2a c b= − 2 2 2b c a= − ( )22 2c a b ab= + − 2 2 2x y z+ = x y z、 、 a b c、 、 t at bt ct、 、 2 21 2 1n n n− +， ， 1,n n> 2 22 2 , 2 1, 2 2 1n n n n n+ + + + n 2 2 2 2, ,2m n m n mn− + ,m n m n> 、2 　　　　 　　图（2）中 ，所以 . 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. 　　　　　　 　　　　 ，所以 . 要点三、勾股定理的逆定理 如果三角形的三条边长 ，满足 ，那么这个三角形是直角三角形. 要点诠释： （1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直 角三角形. 要点四、如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1） 首先确定最大边（如 ）. （2） 验证 与 是否具有相等关系.若 ，则△ABC 是∠C＝90°的 直角三角形；若 ，则△ABC 不是直角三角形. 要点诠释： 当 时，此三角形为钝角三角形；当 时，此三角形为锐角三角 形，其中 为三角形的最大边. 要点五、互逆命题与互逆定理 如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题， 则另一个叫做它的逆命题. 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆 定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理. 要点诠释： 原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我 们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题.一个定理是真命题，每一个定理不一定有逆 定理，如果这个定理存在着逆定理，则一定是真命题. 要点六、直角三角形全等的判定（HL） 在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简 a b c， ， 2 2 2a b c+ = c 2c 2 2a b+ 2 2 2c a b= + 2 2 2c a b≠ + 2 2 2a b c+ < 2 2 2a b c+ > c3 称“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备. 要点诠释： （1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角 形的形状和大小就确定了. （2）判定两个直角三角形全等的方法共有 5 种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三 角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法. （3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件， 书写时必须在两个三角形前加上“Rt”. 【典型例题】 类型一、勾股定理 1、已知直角三角形斜边长为 2，周长为 ，求此三角形的面积． 【思路点拨】欲求直角三角形的面积，只需求两直角边之积，而由已知得两直角边之和为 ，结合勾股定理又得其平方和为 4，于是可转化为用方程求解． 【答案与解析】 解：设这个直角三角形的两直角边长分别为 ，则 即 将①两边平方，得 ③ ③－②，得 ，所以 因此这个直角三角形的面积为 ． 【总结升华】此题通过设间接未知数 ，通过变形直接得出 的值，而不需要分别求 出 的值．本题运用了方程思想解决问题． 2、（2015 春•黔南州期末）长方形纸片 ABCD 中，AD=4cm，AB=10cm，按如图方式折叠， 使点 B 与点 D 重合，折痕为 EF，求 DE 的长． 【思路点拨】在折叠的过程中，BE=DE．从而设 BE 即可表示 AE．在直角三角形 ADE 中，根 据勾股定理列方程即可求解． 【答案与解析】 解：设 DE=xcm，则 BE=DE=x，AE=AB﹣BE=10﹣x， △ADE 中，DE2=AE2+AD2，即 x2=（10﹣x）2+16． 2 6+ 6 a b、 2 2 2 2 2 6 2 a b a b  + + = + + = 2 2 6 4 a b a b  + = + = ① ② 2 22 6a ab b+ + = 2 2ab = 1 1 2 2ab = 1 2 a b、 1 2 ab a b、4 ∴x= （cm）． 答：DE 的长为 cm. 【总结升华】注意此类题中，要能够发现折叠的对应线段相等． 类型二、勾股定理的逆定理 3、如图所示，四边形 ABCD 中，AB⊥AD，AB＝2，AD＝ ，CD＝3，BC＝5，求∠ADC 的度数． 【答案与解析】 解：∵ AB⊥AD，∴ ∠A＝90°， 在 Rt△ABD 中， ． ∴ BD＝4， ∴ ，可知∠ADB＝30°， 在△BDC 中， ， ， ∴ ，∴ ∠BDC＝90°， ∴ ∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝30°+90°＝120°． 【总结升华】利用勾股定理的逆定理时，条件是三角形的三边长，结论是直角三角形，即由 边的条件得到角的结论，所以在几何题中需要进行边角的转换时要联想勾股定理的逆定 理． 举一反三： 【高清课堂 勾股定理逆定理 例 4】 【变式 1】△ABC 三边 满足 ，则△ABC 是（ ） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 D.直角三角形 【答案】D； 提示：由题意 ， ， 因为 ，所以△ABC 为直角三角形. 2 3 2 2 2 2 22 (2 3) 16BD AB AD= + = + = 1 2AB BD= 2 2 216 3 25BD CD+ = + = 2 25 25BC = = 2 2 2BD CD BC+ = a b c， ， 2 2 2 338 10 24 26a b c a b c+ + + = + + ( ) ( ) ( )2 2 25 12 13 0a b c− + − + − = 5 12 13a b c= = =， ， 2 2 2a b c+ =5 【变式 2】（2015 春•厦门校级期末）在四边形 ABCD 中，AB=AD=2，∠A=60°，BC=2 ， CD=4．求∠ADC 的度数． 【答案】 解：连接 BD， ∵AB=AD=2，∠A=60°， ∴△ABD 是等边三角形， ∴BD=2，∠ADB=60°， ∵BC=2 ，CD=4， 则 BD2+CD2=22+42=20，BC2=（2 ）2=20， ∴BD2+CD2=BC2， ∴∠BDC=90°， ∴∠ADC=150°． 类型三、勾股定理、逆定理的实际应用 4、如图所示，在一棵树的 10 高的 B 处有两只猴子，一只爬下树走到离树 20 处的 池塘 A 处，另外一只爬到树顶 D 后直接跃到 A 处，距离的直线计算，如果两只猴子所经过的 距离相等，试问这棵树有多高？ 【思路点拨】其中一只猴子从 B→C→A 共走了(10+20)=30 ，另一只猴子从 B→D→A 也共 走了 30 ，并且树垂直于地面，于是这个问题可化归到直角三角形中利用勾股定理解决． 【答案与解析】 解：设树高 CD 为 ，则 BD＝ －10，AD＝30－( －10)＝40－ ， 在 Rt△ACD 中， ， 解得： ＝15． 答：这棵树高 15 ． 【总结升华】本题利用距离相等用未知数来表示出 DC 和 DA，然后利用勾股定理作等量关系 列方程求解． 举一反三： m m m m x x x x 2 2 220 (40 )x x+ = − x m6 【变式】如图①，有一个圆柱，它的高等于 12 ，底面半径等于 3 ，在圆柱的底面 A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与 A 点相对的 B 点的食物，需要爬行的最短路程是多 少?(π取 3) 【答案】 解：如图②所示，由题意可得： ， 在 Rt△AA′B 中，根据勾股定理得： 则 AB＝15． 所以需要爬行的最短路程是 15 ． 5、（2015 春•武昌区期中）某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天” 号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行 16 海里，“海天” 号每小时航行 12 海里．它们离开港口 1 小时后相距 20 海里．如果知道“远航”号沿东北方 向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 【答案与解析】 解：1 小时“远航”号的航行距离：OB=16×1=16 海里； 1 小时“海天”号的航行距离：OA=12×1=12 海里， 因为 AB=20 海里， 所以 AB2=OB2+OA2，即 202=162+122， 所以△OAB 是直角三角形， 又因为∠1=45°， 所以∠2=45°， 故“海天”号沿西北方向航行或东南方向航行． 【总结升华】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所 给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系， 进而作出判断． cm cm 12AA′ = 1 2 3 92A B π′ = × × = 2 2 2 2 212 9 225AB AA A B′ ′= + = + = cm7 类型四、原命题与逆命题 6、下列命题中，逆命题错误的是（　　） A．平行四边形的对角线互相平分 B．有两对邻角互补的四边形是平行四边形 C．平行四边形的一组对边平行，另一组对边相等 D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【答案】C； 【解析】 解：A 的逆命题是：对角线互相平分的四边形是平行四边形．由平行四边形的判定可知这是 真命题； B 的逆命题是：平行四边形的两对邻角互补，由平行四边形的性质可知这是真命题； C 的逆命题是：一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，也可能是等腰 梯形，故是错误的； D 的逆命题是：平行四边形的两组对边分别相等地，由平行四边形的性质可知这是真命 题； 故选 C． 【总结升华】分别写出每个命题的逆命题，再判断其真假即可．此题主要考查学生对逆命题 的定义的理解，要求学生对基础知识牢固掌握． 举一反三： 【变式】下列命题中，逆命题是真命题的是（　　） A．对顶角相等 B．如果两个实数相等，那么它们的平方数相等 C．等腰三角形两底角相等 D．两个全等三角形的对应角相等 【答案】C； 解：A 的逆命题是：相等的角是对顶角是假命题，故本选项错误， B 的逆命题是：如果两实数的平方相等，那么两实数相等是假命题，故本选项错误， C 的逆命题是：两底角相等的三角形是等腰三角形是真命题，故本选项正确， D 的逆命题是：对角线相等的两个三角形是全都三角形是假命题，故本选项错误， 故选 C． 类型五、直角三角形全等的判定——“HL” 7、已知：如图，AB=AC，点 D 是 BC 的中点，AB 平分∠DAE，AE⊥BE，垂足为 E． 求证：AD=AE． 【思路点拨】证明线段相等，可证线段所在的三角形全等，结合本题，证△ADB≌△AEB 即8 可． 【答案与解析】 证明：∵AB=AC，点 D 是 BC 的中点， ∴∠ADB=90°， ∵AE⊥EB， ∴∠E=∠ADB=90°， ∵AB 平分∠DAE， ∴∠EAB=∠DAB； 在△ADB 与△AEB 中， ∴△ADB≌△AEB（AAS）， ∴AD=AE． 【总结升华】此题考查线段相等，可以通过全等三角形来证明，要判定两个三角形全等，先 根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件， 再去证什么条件． 8、如图，已知在△ABC 中，AB=AC，∠BAC=90°，分别过 B、C 向过 A 的直线作垂线， 垂足分别为 E、F． （1）如图①过 A 的直线与斜边 BC 不相交时，求证：EF=BE+CF； （2）如图②过 A 的直线与斜边 BC 相交时，其他条件不变，若 BE=10，CF=3，求：FE 长． 【答案与解析】 （1）证明：∵BE⊥EA，CF⊥AF， ∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°， ∴∠EAB+∠CAF=90°，∠EBA+∠EAB=90°， ∴∠CAF=∠EBA， 在△ABE 和△CAF 中， ∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA=∠CAF，AB=AC， ∴△ABE≌△CAF． ∴EA=FC，BE=AF． ∴EF=EA+AF． （2）解：∵BE⊥EA，CF⊥AF， 90 EAB DAB E ADB AB AB ∠ = ∠ = ° ∠ = ∠  =9 ∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°， ∴∠EAB+∠CAF=90°，∠ABE+∠EAB=90°， ∴∠CAF=∠ABE， 在△ABE 和△CAF 中， ∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA=∠CAF，AB=AC， ∴△ABE≌△CAF． ∴EA=FC=3，BE=AF=10． ∴EF=AF-CF=10-3=7． 【总结升华】此题根据已知条件容易证明△BEA≌△AFC，然后利用对应边相等就可以证明题 目的结论；（2）根据（1）知道△BEA≌△AFC 仍然成立，再根据对应边相等就可以求出 EF 了．此题主要考查了全等三角形的性质与判定，利用它们解决问题，经常用全等来证线段和 的问题．10 【巩固练习】 一.选择题 1．若直角三角形的三边长分别为 3，4， ，则 的值为( ) A.5 B. C.5 或 D.7 2．（2015•诏安县校级模拟）下列几组数中不能作为直角三角形三边长度的是（　　） A．a=7，b=24，c=25 B．a=1.5，b=2，c=2.5 C． D．a=15，b=8，c=17 3．五根小木棒，其长度分别为 7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中 正确的是（ ） 4. 为直角三角形的三边，且 为斜边， 为斜边上的高，下列说法： ① 能组成一个三角形 ② 能组成三角形 ③ 能组成直角三角形 ④ 能组成直角三角形 其中正确结论的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 5.已知如图，AD∥BC，AB⊥BC，CD⊥DE，CD＝ED，AD＝2，BC＝3，则△ADE 的面积为（　　） A. 1 B. 2 C. 5 D. 无法确定 6. 下列定理中，有逆定理的是（ ） A．四边形的内角和等于 360° B．同角的余角相等 C．全等三角形对应角相等 D．在一个三角 形中，等边对等角 二.填空题 7．如图，在 的正方形网格中，以 AB 为边画直角△ABC，使点 C 在格点上，这样的点 C 共 个． x x 7 7 cba ,, c h 222 ,, cba cba ,, hbahc ,, ++ hba 1,1,1 55×11 8．在直线上依次摆着 7 个正方形(如图)，已知倾斜放置的 3 个正方形的面积分别为 1，2， 3，水平放置的 4 个正方形的面积是 则 ______． 9. △ABC 的两边 分别为 5，12，另一边 为奇数，且 是 3 的倍数，则 应为 ______，此三角形为______． 10.（2015 春•滑县期末）如果三角形的三边 a，b，c 满足 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，则三角 形为　 　三角形． 11. 如图，已知 AD 是△ABC 的高，E 为 AC 上一点，BE 交 AD 于 F，且 BF＝AC，FD＝CD.则 ∠BAD＝_______. 12. （2014 秋•肥东县期末）在△ABC 中，P、Q 分别是 BC、AC 上的点，作 PR⊥AB， PS⊥AC，垂足分别是 R，S，PR=PS，AQ=PQ，则下面三个结论：①AS=AR； ②PQ∥AR；③△BRP≌△CSP．其中正确的是　 　． 三.解答题 13. 将一副三角尺如图拼接：含 30°角的三角尺（△ABC）的长直角边与含 45°角的三角尺 （△ACD）的斜边恰好重合．已知 AB＝2，P 是 AC 上的一个动点． （1）当点 P 在∠ABC 的平分线上时，求 DP 的长； （2）当点 PD＝BC 时，求此时∠PDA 的度数. 1 2 3 4S S S S， ， ， ， 1 2 3 4S S S S+ + + = a b， c a b c+ + c12 14.（2014 秋•滨湖区校级期末）如图，有一直角三角形 ABC，∠C=90°，AC=10cm， BC=5cm，一条线段 PQ=AB，P、Q 两点分别在 AC 上和过 A 点且垂直于 AC 的射线 AQ 上运动，问 P 点运动到 AC 上什么位置时△ABC 才能和△APQ 全等． 15.（2015 春•建昌县期末）已知：如图，有一块 Rt△ABC 的绿地，量得两直角边 AC=8m， BC=6m．现在要将这块绿地扩充成等腰△ABD，且扩充部分（△ADC）是以 8m 为直角边长 的直角三角形，求扩充后等腰△ABD 的周长． （1）在图 1 中，当 AB=AD=10m 时，△ABD 的周长为　 　； （2）在图 2 中，当 BA=BD=10m 时，△ABD 的周长为　 　； （3）在图 3 中，当 DA=DB 时，求△ABD 的周长． 【答案与解析】 一.选择题 1.【答案】C； 【解析】 可能是直角边，也可能是斜边. 2.【答案】C； 【解析】解：A、满足勾股定理：72+242=252，故 A 选项不符合题意； B、满足勾股定理：1.52+22=2.52，故 B 选项不符合题意； C、不满足勾股定理，不是勾股数，故 C 选项符合题意； D、满足勾股定理：152+82=172，故 D 选项不符合题意． 故选：C． 3.【答案】C； 【解析】 . x 2 2 2 2 2 27 24 25 15 20 25+ = + =，13 4.【答案】C； 【解析】因为 ，两边之和等于第三边，故 不能组成一个三角形，① 错误；因为 ，所以 能组成三角形，②正确；因为 ，所以 ， 即 ， ③ 正 确 ； 因 为 ，所以④正确. 5.【答案】A； 【解析】因为知道 AD 的长，所以只要求出 AD 边上的高，就可以求出△ADE 的面积．过 D 作 BC 的垂线交 BC 于 G，过 E 作 AD 的垂线交 AD 的延长线于 F，构造出 Rt△EDF≌ Rt△CDG，求出 GC 的长，即为 EF 的长，然后利用三角形的面积公式解答即可 6. 【答案】D. 二.填空题 7. 【答案】8； 【解析】如图所示：有 8 个点满足要求. 8．【答案】4； 【解析】 ，故 . 9．【答案】13；直角三角形； 【解析】7＜ ＜17. 10.【答案】直角； 【解析】解：∵a2+b2+c2+50=6a+8b+10c ∴a2+b2+c2﹣6a﹣8b﹣10c+50=0 即 a2﹣6a+9+b2﹣8b+16+c2﹣10c+25=0 ∴（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2=0 2 2 2a b c+ = 222 ,, cba a b c+ > cba ,, ab ch= 2 2 2 2 22 2a ab b h c ch h+ + + = + + ( ) ( )2 22a b h c h+ + = + 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1a b c c a b a b a b c h h +     + = = = =           1 2 3 41 3S S S S+ = + = 1 2 3 4 4S S S S+ + + = c14 ∴a=3，b=4，c=5 ∵a2+b2=c2 ∴三角形为直角三角形． 11.【答案】45°； 【解析】证△ADC 与△BDF 全等，AD＝BD，△ABD 为等腰直角三角形. 12.【答案】①②． 【解析】解：连接 AP， 在 Rt△ASP 和 Rt△ARP 中， PR=PS，PA=PA， 所以 Rt△ASP≌Rt△ARP， 所以①AS=AR 正确； 因为 AQ=PQ， 所以∠QAP=∠QPA， 又因为 Rt△ASP≌Rt△ARP， 所以∠PAR=∠PAQ， 于是∠RAP=∠QPA， 所以②PQ∥AR 正确； ③△BRP≌△CSP，根据现有条件无法确定其全等． 故答案为：①②． 三.解答题 13.【解析】 解：（1）连接 DP，作 DH⊥AC， 在 Rt△ABC 中，AB＝2，∠CAB＝30°，∴BC＝１，AC＝ . ∵BP 是∠ABC 的角平分线， ∴∠CBP＝30°，CP＝ . 在 Rt△ADC 中，DH＝AH＝HC＝ AC＝ ， ∴HP＝ ， 3 3 3 1 2 3 2 3 3 3 2 3 6 − =15 DP＝ . （2）当 PD＝BC＝1 时，P 点的位置可能有两处，分别为 ， ， 在 Rt△ 中， ， 所以∠ ＝30°，∠ ＝30°＋45°＝75°； 同理，∠ ＝45°－30°＝15°. 所以∠PDA 的度数为 15°或 75°. 14.【解析】 解：根据三角形全等的判定方法 HL 可知： ①当 P 运动到 AP=BC 时， ∵∠C=∠QAP=90°， 在 Rt△ABC 与 Rt△QPA 中， ∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL）， 即 AP=BC=5cm； ②当 P 运动到与 C 点重合时，AP=AC， 在 Rt△ABC 与 Rt△QPA 中， ， ∴Rt△QAP≌Rt△BCA（HL）， 即 AP=AC=10cm， ∴当点 P 与点 C 重合时，△ABC 才能和△APQ 全等． 2 2 2 23 3 30( ) ( )2 6 6DH HP+ = + = 1P 2P 1DHP 2 2 1 3 11 ( )2 2HP = − = 1HDP 1PDA 2P DA16 综上所述，当 P 运动到 AP=BC、点 P 与点 C 重合时，△ABC 才能和△APQ 全等． 15.【解析】 解：（1）如图 1，∵AB=AD=10m，AC⊥BD，AC=8m， ∴DC= =6（m）， 则△ABD 的周长为：10+10+6+6=32（m）． 故答案为：32m； （2）如图 2，当 BA=BD=10m 时， 则 DC=BD﹣BC=10﹣6=4（m）， 故 AD= =4 （m）， 则△ABD 的周长为：AD+AB+BD=10+4 +10=（20+4 ）m； 故答案为：（20+4 ）m； （3）如图 3，∵DA=DB， ∴设 DC=xm，则 AD=（6+x）m， ∴DC2+AC2=AD2， 即 x2+82=（6+x）2， 解得；x= ， ∵AC=8m，BC=6m， ∴AB=10m， 故△ABD 的周长为：AD+BD+AB=2（ +6）+10= （m）．17