导学案——线段的垂直平分线

1 导学案——线段的垂直平分线 【学习目标】 1.掌握线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理，能够利用尺规作已知线段的垂直平分 线． 2.会证明三角形的三条中垂线必交于一点.掌握三角形的外心性质定理. 3.已知底边和底边上的高，求作等腰三角形. 4.能运用线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理解决简单的几何问题及实际问题． 【要点梳理】 要点一、线段的垂直平分线 1.定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中 垂线． 2.线段垂直平分线的做法 求作线段 AB 的垂直平分线. 作法： （1）分别以点 A，B 为圆心，以大于 AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C，D 两点； （2）作直线 CD，CD 即为所求直线． 要点诠释： (1)作弧时的半径必须大于 AB 的长，否则就不能得到两弧的交点了． (2)线段的垂直平分线的实质是一条直线. 要点二、线段的垂直平分线定理 线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 要点诠释： 线段的垂直平分线定理也就是线段垂直平分线的性质，是证明两条线段相等的常用方法 之一．同时也给出了引辅助线的方法，“线段垂直平分线，常向两端把线连”.就是遇见线段 的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全 等三角形创造条件． 要点三、线段的垂直平分线逆定理 线段的垂直平分线逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线 上． 要点诠释： 到线段两个端点距离相等的所有点组成了线段的垂直平分线.线段的垂直平分线可以看 作是与这条线段两个端点的距离相等的所有点的集合． 要点四、三角形的外心 三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接 2 1 2 12 圆的圆心——外心. 要点诠释: 1.三角形三条边的垂直平分线必交于一点（三线共点），该点即为三角形外接圆的圆心. 2.锐角三角形的外心在三角形内部；钝角三角形的外心在三角形外部；直角三角形的外心在 斜边上，与斜边中点重合. 3.外心到三顶点的距离相等. 要点五、尺规作图 作图题是初中数学中不可缺少的一类试题，它要求写出“已知，求作，作法和画图”， 画图必须保留痕迹，在现行的教材里，一般不要求写出作法，但是必须保留痕迹.证明过程 一般不用写出来.最后要点题即“xxx 即为所求”. 【典型例题】 类型一、线段的垂直平分线定理 1.如图，在△ABC 中，分别以点 A 和点 B 为圆心，大于的 AB 的长为半径画孤，两弧相 交于点 M，N，作直线 MN，交 BC 于点 D，连接 AD．若△ADC 的周长为 10，AB=7，则△ABC 的 周长为（　　） A、7 B、14 C、17 D、20 【思路点拨】首先根据题意可得 MN 是 AB 的垂直平分线，即可得 AD=BD，又由△ ADC 的周长 为 10，求得 AC+BC 的长，则可求得△ ABC 的周长． 【答案】C； 【解析】∵在△ABC 中，分别以点 A 和点 B 为圆心，大于的 AB 的长为半径画孤，两弧相交 于点 M，N，作直线 MN，交 BC 于点 D，连接 AD． ∴MN 是 AB 的垂直平分线， ∴AD=BD， ∵△ADC 的周长为 10， ∴AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=10， ∵AB=7， ∴△ABC 的周长为：AC+BC+AB=10+7=17． 【总结升华】此题考查了线段垂直平分线的性质与作法．题目难度不大，解题时要注意数形 结合思想的应用． 举一反三： 【变式】阅读“作线段的垂直平分线”的作法，完成填空及证明．3 已知：线段 AB，要作线段 AB 的垂直平分线． 作法：（1）分别以 A、B 为圆心，大于 AB 的同样长为半径作弧，两弧分别交于点 C、D； （2）作直线 CD． 直线 CD 即为所求作的线段 AB 的垂直平分线． 根据上述作法和图形，先填空，再证明． 已知：如图，连接 AC、BC、AD、BD，AC=AD=___=___． 求证：CD⊥AB，CD 平分 AB． 证明： 【答案】 已知：如图，连接 AC、BC、AD、BD，AC=AD=BC=BD． 求证：CD⊥AB，CD 平分 AB． 证明：CD 与 AB 交于点 E． ∵在△ACD 和△BCD 中， ∴△ACD≌△BCD（SSS）． ∴∠1=∠2． ∵AC=BC， ∴△ACB 是等腰三角形． ∴CE⊥AB，AE=BE． 即 CD⊥AB，CD 平分 AB． 1 2 , AC BC AD BD CD CD =  =  =4 2.（2015 秋•和县期中）如图，在△ABC 中，AB 边的垂直平分线 l1 交 BC 于点 D，AC 边 的垂直平分线 l2 交 BC 于点 E，l1 与 l2 相交于点 O，连结 0B，OC，若△ADE 的周长为 6cm，△OBC 的周长为 16cm． （1）求线段 BC 的长； （2）连结 OA，求线段 OA 的长； （3）若∠BAC=120°，求∠DAE 的度数． 【思路点拨】（1）根据线段垂直平分线的性质得到 DA=DB，EA=EC，根据三角形的周长公式 计算即可； （2）根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式计算即可； （3）根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质进行计算． 【答案与解析】解：（1）∵l1 是 AB 边的垂直平分线， ∴DA=DB， ∵l2 是 AC 边的垂直平分线， ∴EA=EC， BC=BD+DE+EC=DA+DE+EA=6cm； （2）∵l1 是 AB 边的垂直平分线， ∴OA=OB， ∵l2 是 AC 边的垂直平分线， ∴OA=OC， ∵OB+OC+BC=16cm， ∴OA=0B=OC=5cm； （3）∵∠BAC=120°， ∴∠ABC+∠ACB=60°， ∵DA=DB，EA=EC， ∴∠BAD=∠ABC，∠EAC=∠ACB， ∴∠DAE=∠BAC﹣∠BAD﹣∠EAC=60°． 【总结升华】本题考查的是线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点 到线段的两个端点的距离相等． 举一反三：5 【变式】如图，在△ABC 中，已知 BC=7，AC=16，AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，求△BEC 的周长． 【答案】∵DE 是 AB 的垂直平分线， ∴BE=AE， ∴BE+EC=AE+EC=AC． ∴△BEC 的周长=BE+EC+BC=AC+BC=23． 要点二、线段的垂直平分线的逆定理 3.已知，如图，在△ABC 中，BD⊥AC 于点 D，点 M、N 分别是 AB、BC 边的中点．求证： 直线 MN 是线段 BD 的垂直平分线． 【思路点拨】先连接 DM、DN，由于 BD⊥AC，那么∠ADB=90°，于是在 Rt△ADB 中，M 是 AB 的中点，可得 DM= AB=BM，可证 M 在线段 BD 垂直平分线上，同理可证 N 线段 BD 垂直平分 线上，从而可知 MN 是 BD 垂直平分线． 【答案与解析】证明：如图所示，连接 DM、DN， ∵BD⊥AC， ∴∠ADB=90°， 在 Rt△ADB 中，M 是 AB 的中点， ∴DM= AB=BM， 又在 Rt△BDE 中，N 是 BC 的中点， ∴DN= BC=BN， ∴MN 是线段 BD 的垂直平分线． 【总结升华】本题考查了线段垂直平分线的性质、直角三角形斜边上的中线的性质．解题的 关键是连接 DM、DN． 类型三、线段的垂直平分线定理与逆定理的综合应用 1 2 1 2 1 26 4.联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念． 定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心． 举例：如图 1，若 PA=PB，则点 P 为△ABC 的准外心． 应用：如图 2，CD 为等边三角形 ABC 的高，准外心 P 在高 CD 上，且 PD= AB，求∠APB 的 度数． 探究：已知△ABC 为直角三角形，斜边 BC=5，AB=3，准外心 P 在 AC 边上，试探究 PA 的 长． 【思路点拨】应用：连接 PA、PB，根据准外心的定义，分①PB=PC，②PA=PC，③PA=PB 三种 情况利用等边三角形的性质求出 PD 与 AB 的关系，然后判断出只有情况③是合适的，再根据 等腰直角三角形的性质求出∠APB=45°，然后即可求出∠APB 的度数； 探究：先根据勾股定理求出 AC 的长度，根据准外心的定义，分①PB=PC，②PA=PC，③PA=PB 三种情况，根据三角形的性质计算即可得解． 【答案与解析】 应用：解：①若 PB=PC，连接 PB，则∠PCB=∠PBC， ∵CD 为等边三角形的高， ∴AD=BD，∠PCB=30°， ∴∠PBD=∠PBC=30°， ∴PD= DB= AB， 与已知 PD= AB 矛盾，∴PB≠PC， ②若 PA=PC，连接 PA，同理可得 PA≠PC， ③若 PA=PB，由 PD= AB，得 PD=BD， ∴∠APD=45°， 故∠APB=90°； 探究：解：∵BC=5，AB=3， ①若 PB=PC，设 PA=x，则 x2+32=（4-x）2， ∴x= ，即 PA= ， ②若 PA=PC，则 PA=2， 1 2 3 3 3 6 1 2 1 2 2 2 2 25 3 4AC BC AB∴ = − = − = 7 8 7 87 ③若 PA=PB，由图知，在 Rt△PAB 中，不可能． 故 PA=2 或 ． 【总结升华】考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，读懂题意，弄 清楚准外心的定义是解题的关键，根据准外心的定义，要注意分三种情况进行讨论． 举一反三： 【变式】在△ABC 中，AB 的垂直平分线分别交 AB、BC 于点 D、E，AC 的垂直平分线分别交 AC、BC 于点 F、G，若∠BAC=110°，则∠EAG=________. 【答案】40°； 解：∠B=x，∠c=y，则，∠B+∠C=180°-∠BAC，即 x+y=70°①， ∵DE、GF 分别是 AB、AC 的垂直平分线， ∴BE=AE，AG=CG， ∴∠BAE=∠B=x，∠CAG=∠C=y， ∵∠BAE+∠EAG+∠GAC=∠BAC， ∴x+y+∠EAG=110°②， 联立①②得，∠EAG=110°-70°=40°． 故答案为：40°． 要点四、尺规作图 5.如图，每个格的单位长度是 1，△ABC 的外心坐标是 (_____________). 【思路点拨】可分别作 BC 与 AB 的垂直平分线，两条垂直平分线交于点 G，则点 G 即为△ABC 的外心，继而可求得答案． 【答案与解析】 7 88 分别作 BC 与 AB 的垂直平分线，两条垂直平分线交于点 G， 则点 G 即为△ABC 的外心， ∴△ABC 的外心坐标是（-2，-1）． 故答案为：（-2，-1）． 【总结升华】考察尺规作图的能力和三角形的外心的定义．此题难度适中，注意掌握数形结 合思想的应用． 举一反三： 【变式】（2014•上城区校级模拟）数学来源于生活又服务于生活，利用数学中的几何知识可 以帮助我们解决许多实际问题．李明准备与朋友合伙经营一个超市，经调查发现他家附近有 两个大的居民区 A、B，同时又有相交的两条公路，李明想把超市建在到两居民区的距离、 到两公路距离分别相等的位置上，绘制了如下的居民区和公路的位置图．聪明的你一定能用 所学的数学知识帮助李明在图上确定超市的位置！请用尺规作图确定超市 P 的位置．（作图 不写作法，但要求保留作图痕迹．） 【答案】解：如图，点 P 就是要找的点.9 线段的垂直平分线——巩固练习（提高） 【巩固练习】 一．选择题 1.如图，在 Rt△ACB 中，∠C=90°，BE 平分∠ABC，ED 垂直平分 AB 于 D．若 AC=9，则 AE 的 值是（　　） A、6 B、4 C、6 D、4 2.如图，直线 CD 是线段 AB 的垂直平分线，P 为直线 CD 上的一点，已知线段 PA=5，则线段 PB 的长度为（　　） A、6 B、5 C、4 D、3 3.如图，直线 CP 是 AB 的中垂线且交 AB 于 P，其中 AP=2CP．甲、乙两人想在 AB 上取两点 D、E，使得 AD=DC=CE=EB，其作法如下： （甲）作∠ACP、∠BCP 之角平分线，分别交 AB 于 D、E，则 D、E 即为所求； （乙）作 AC、BC 之中垂线，分别交 AB 于 D、E，则 D、E 即为所求． 对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确（　　） A、两人都正确 B、两人都错误 C、甲正确，乙错误 D、甲错误，乙正确 4.如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°．AB 的垂直平分线 DE 交 AB 于点 D，交 BC 于 点 E，则下列结论不正确的是（　　） A、AE=BE B、AC=BE C、CE=DE D、∠CAE=∠B 5.如图，AC=AD，BC=BD，则有（　　）10 A、AB 垂直平分 CD B、CD 垂直平分 AB C、AB 与 CD 互相垂直平分 D、CD 平分∠ACB 6.（2015 秋•陆丰市校级期中）如图，点 P 是△ABC 内的一点，若 PB=PC，则（　　） A．点 P 在∠ABC 的平分线上 B．点 P 在∠ACB 的平分线上 C．点 P 在边 AB 的垂直平分线上 D．点 P 在边 BC 的垂直平分线上 二．填空题 7．如图，等腰三角形 ABC 中，已知 AB=AC，∠A=30°，AB 的垂直平分线交 AC 于 D，则∠CBD 的度数为　_________　°． 8.如图，在△ABC 中，∠B=30°，ED 垂直平分 BC，ED=3．则 CE 长为　_________　． 9.（2015•西宁）如图，Rt△ABC 中，∠B=90°，AB=4，BC=3，AC 的垂直平分线 DE 分别交 AB，AC 于 D，E 两点，则 CD 的长为______________． 10.如图，AB=AC，∠BAC=120°，AB 的垂直平分线交 BC 于点 D，那么∠ADC=_____　度．11 11.如图:已知,在△ABC 中，BC=8，AB 的中垂线交 BC 于 D，AC 的中垂线交 BC 与 E，则△ADE 的周长等于　_________　． 12.如图，△ABC 的周长为 19cm，AC 的垂直平分线 DE 交 BC 于 D，E 为垂足，AE=3cm，则△ABD 的周长为　_________　cm． 三．解答题： 13.如图，在△ABC 中，∠ABC=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为 D，E，F 为 BC 中点，BE 与 DF，DC 分别交于点 G，H，∠ABE=∠CBE． （1）线段 BH 与 AC 相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由； （2）求证：BG2-GE2=EA2． 14.（2015 秋•扬州校级月考）如图，∠ACB=90°，AC=BC，D 为△ABC 外一点，且 AD=BD，DE⊥AC 交 CA 的延长线于 E 点．求证：DE=AE+BC． 15.如图，已知 AB=AC，∠A=36°，AB 的中垂线 MN 交 AC 于点 D，交 AB 于点 M，有下面 4 个12 结论： ①BD 是∠ABC 的角平分线； ②△BCD 是等腰三角形； ③△ABC∽△BCD； ④△AMD≌△BCD． （1）判断其中正确的结论是哪几个？ （2）从你认为是正确的结论中选一个加以证明． 【答案与解析】 一．选择题 1．【答案】C； 【解析】∵BE 平分∠ABC， ∴∠CBE=∠ABE， ∵ED 垂直平分 AB 于 D， ∴EA=EB， ∴∠A=∠ABE， ∴∠CBE=30°， ∴BE=2EC，即 AE=2EC， 而 AE+EC=AC=9， ∴AE=6． 故选 C． 2．【答案】B; 【解析】∵直线 CD 是线段 AB 的垂直平分线，P 为直线 CD 上的一点， ∴PB=PA， 而已知线段 PA=5， ∴PB=5． 3.【答案】D； 【解析】∵CP 是线段 AB 的中垂线，∴△ABC 是等腰三角形，即 AC=BC，∠A=∠B， 作 AC、BC 之中垂线分别交 AB 于 D、E， ∴∠A=∠ACD，∠B=∠BCE， ∵∠A=∠B，∴∠A=∠ACD，∠B=∠BCE， ∵AC=BC，∴△ACD≌△BCE， ∴AD=EB，∵AD=DC，EB=CE， ∴AD=DC=EB=CE． 4【答案】B； 【解析】A、根据线段垂直平分线的性质，得 AE=BE．故该选项正确；13 B、因为 AE＞AC，AE=BE，所以 AC＜BE．故该选项错误； C、根据等角对等边，得∠BAE=∠B=30°；根据直角三角形的两个锐角互余，得 ∠BAC=60°．则∠CAE=∠BAE=30°，根据角平分线的性质，得 CE=DE．故该选项 正确； D、根据 C 的证明过程．故该选项正确． 5.【答案】A； 【解析】∵AC=AD，BC=BD， ∴点 A，B 在线段 CD 的垂直平分线上． ∴AB 垂直平分 CD． 6.【答案】D； 【解析】解：∵PB=PC， ∴P 在线段 BC 的垂直平分线上， 故选 D． 二．填空题 7.【答案】45； 【解析】∵△ABC 是等腰三角形，∠A=30°， ∴∠ABC=∠ACB=75°， ∵AB 的垂直平分线交 AC 于 D， ∴AD=BD， ∴∠A=∠ABD=30°， ∴∠BDC=60°， ∴∠CBD=180°﹣75°﹣60°=45°． 8.【答案】6； 【解析】∵ED 垂直平分 BC， ∴BE=CE，∠EDB=90°， ∵∠B=30°，ED=3， ∴BE=2DE=6， ∴CE=6． 9.【答案】 ； 【解析】解：∵DE 是 AC 的垂直平分线， ∴CD=AD， ∴AB=BD+AD=BD+CD， 设 CD=x，则 BD=4﹣x， 在 Rt△BCD 中， CD2=BC2+BD2，即 x2=32+（4﹣x）2， 解得 x= ． 故答案为： ． 10.【答案】60； 【解析】由 AB=AC，∠BAC=120°， 可得∠B=30°， 因为点 D 是 AB 的垂直平分线上的点，14 所以 AD=BD， 因而∠BAD=∠B=30°， 从而∠ADC=60 度． 11.【答案】8； 【解析】∵△ABC 中，BC=8，AB 的中垂线交 BC 于 D，AC 的中垂线交 BC 与 E， ∴AD=BD，AE=CE ∴△ADE 的周长=AD+AE+DE=BD+DE+CE=BC=8． △ADE 的周长等于 8． 12.【答案】13； 【解析】∵AC 的垂直平分线 DE 交 BC 于 D，E 为垂足 ∴AD=DC，AC=2AE=6， ∵△ABC 的周长为 19， ∴AB+BC=13(cm). ∴△ABD 的周长=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=13(cm)． 三．解答题 13.【解析】 证明：（1）∵CD⊥AB，BE⊥AC， ∴∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°， ∵∠ABC=45°， ∴∠BCD=180°-90°-45°=45°=∠ABC ∴DB=DC， ∵∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°， ∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠HBD=90°， ∴∠HBD=∠ACD， ∵在△DBH 和△DCA 中 ∴△DBH≌△DCA（ASA）， ∴BH=AC． （2）连接 CG， , BDH CDA BD CD HBD ACD ∠ = ∠  = ∠ = ∠15 ∵∠ABC=45°，CD⊥AB（∠CDB=90°）， ∴∠BCD=45°=∠ABC， ∴DB=CD， ∵F 为 BC 的中点， ∴DF 垂直平分 BC， ∴BG=CG， ∵∠ABE=∠CBE，BE⊥AC， ∴EC=EA， 在 Rt△CGE 中，由勾股定理得：CG2-GE2=CE2， ∵CE=AE，BG=CG， ∴BG2-GE2=EA2． 14. 【解析】 证明：连接 CD， ∵AC=BC，AD=BD， ∴C 在 AB 的垂直平分线上，D 在 AB 的垂直平分线上， ∴CD 是 AB 的垂直平分线， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACD= ∠ACB=45°， ∵DE⊥AC， ∴∠CDE=∠ACD=45°， ∴CE=DE， ∴DE=AE+AC=AE+BC． 15. 【解析】 解：（1）连接 BD， ①∵AB=AC，∠A=36° ∴△ABC 是等腰三角形，∠ABC=∠ACB= ∵AB 垂直平分线交 AC 于 D，交 AB 于 M， ∴根据中垂线的性质，中垂线上的点到线段的两个端点的距离相等． 有 AD=BD，∴∠A=∠ABD=36°， ∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=72°-36°=36°， ∴BD 平分∠ABC，故正确； ②∴∠BDC=180°-∠C-∠DBC=180°-72°-36°=72°， 180 -36 =722   ，16 ∴BD=BC， ∴△BCD 是等腰三角形．故正确； ③∠ABC=∠ACB=∠BDC=∠C， ∴△ABC∽△BCD，故正确； ④∵∠AMD=90°≠∠C=72°， ∴△AMD 与△BCD 不是全等三角形．故不正确． ∴①、②、③命题都正确．正确的结论是①、②、③； （2）证明：BD 平分∠ABC， ∵AB=AC，∠A=36° ∴△ABC 是等腰三角形，∠ABC=∠ACB= ∵AB 垂直平分线交 AC 于 D，交 AB 于 M， ∴根据中垂线的性质，中垂线上的点到线段的两个端点的距离相等．有 AD=BD， ∴∠A=∠ABD=36°， ∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=72°-36°=36°， ∴BD 平分∠ABC． 180 -36 =722   ，