导学案——角的平分线的性质

1 导学案——角的平分线的性质 【学习目标】 1．掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质． 2．掌握角平分线的判定及角平分线的画法． 3. 熟练运用角的平分线的性质解决问题． 【要点梳理】 【高清课堂：388612 角平分线的性质，知识要点】 要点一、角的平分线的性质 　　角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等. 要点诠释： 用符号语言表示角的平分线的性质定理： 若 CD 平分∠ADB，点 P 是 CD 上一点，且 PE⊥AD 于点 E，PF⊥BD 于点 F，则 PE＝PF. 要点二、角的平分线的判定 　 角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 要点诠释： 用符号语言表示角的平分线的判定： 若 PE⊥AD 于点 E，PF⊥BD 于点 F，PE＝PF，则 PD 平分∠ADB 要点三、角的平分线的尺规作图 角平分线的尺规作图 （1）以 O 为圆心，适当长为半径画弧，交 OA 于 D，交 OB 于 E. 　　（2）分别以 D、E 为圆心，大于 DE 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 内部交于点 C. 　　（3）画射线 OC. 射线 OC 即为所求. 要点四、三角形角平分线的性质 三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三 1 22 边的距离相等. 三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心. 三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有 4 个.如图所示：△ABC 的 内心为 ，旁心为 ，这四个点到△ABC 三边所在直线距离相等. 【典型例题】 类型一、角的平分线的性质及判定 1、（2014 秋•新洲区期末）如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角的平分 线相交于点 P，连接 AP． （1）求证：PA 平分∠BAC 的外角∠CAM； （2）过点 C 作 CE⊥AP，E 是垂足，并延长 CE 交 BM 于点 D．求证：CE=ED． 【思路点拨】（1）过 P 作 PT⊥BC 于 T，PS⊥AC 于 S，PQ⊥BA 于 Q，根据角平分线性质求出 PQ=PS=PT，根据角平分线性质得出即可； （2）根据 ASA 求出△AED≌△AEC 即可． 【答案与解析】 证明：（1）过 P 作 PT⊥BC 于 T，PS⊥AC 于 S，PQ⊥BA 于 Q，如图， ∵在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角的平分线相交于点 P， ∴PQ=PT，PS=PT， ∴PQ=PS， ∴AP 平分∠DAC， 即 PA 平分∠BAC 的外角∠CAM； 1P 2 3 4, ,P P P3 （2）∵PA 平分∠BAC 的外角∠CAM， ∴∠DAE=∠CAE， ∵CE⊥AP， ∴∠AED=∠AEC=90°， 在△AED 和△AEC 中 ∴△AED≌△AEC， ∴CE=ED． 【总结升华】本题考查了角平分线性质和全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是 能正确作出辅助线并进一步求出 PQ=PS 和△AED≌△AEC，注意：角平分线上的点到角两边的 距离相等． 举一反三： 【变式】如图，AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB，交 AB 的延长线于点 E，DF⊥AC 于点 F，且 DB ＝DC. 求证：BE＝CF. 【答案】 证明：∵DE⊥AE，DF⊥AC，AD 是∠BAC 的平分线， ∴DE＝DF，∠BED＝∠DFC＝90° 在 Rt△BDE 与 Rt△CDF 中， ， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL） ∴BE＝CF DB DC DE DF =  =4 2、如图，AD 是△ABC 的角平分线，DF⊥AB，垂足为 F，DE＝DG，△ADG 和△AED 的面 积分别为 50 和 39，则△EDF 的面积为：（ ） A.11 B.5.5 C.7 D.3.5 【答案】 B； 【解析】 解： 过 D 点作 DH⊥AC 于 H， ∵AD 是△ABC 的角平分线，DF⊥AB，DH⊥AC ∴DF＝DH 在 Rt△EDF 和 Rt△GDH 中 DE＝DG，DF＝DH ∴Rt△EDF≌Rt△GDH 同理可证 Rt△ADF 和 Rt△ADH ∴ ∴ ＝50－39＝11， ∴△EDF 的面积为 5.5 【总结升华】本题求△EDF 的面积不方便找底和高，利用全等三角形可用已知△ADG 和△AED 的面积来表示△EDF 面积. 【高清课堂：388612 角平分线的性质，例 6】 3、（2016•湖州）如图，AB∥CD，BP 和 CP 分别平分∠ABC 和∠DCB，AD 过点 P， 且与 AB 垂直．若 AD=8，则点 P 到 BC 的距离是（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 【思路点拨】过点 P 作 PE⊥BC 于 E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等即可推出 P 到 BC 的距离. 【答案与解析】 解：过点 P 作 PE⊥BC 于 E， ∵AB∥CD，PA⊥AB， ∴PD⊥CD， AED EDF ADG GDHS =S S S+ −△ △ △ △ EDF ADG AED2 = SS S −△ △ △5 ∵BP 和 CP 分别平分∠ABC 和∠DCB， ∴PA=PE，PD=PE， ∴PE=PA=PD， ∵PA+PD=AD=8， ∴PA=PD=4， ∴PE=4． 故选 C． 【总结升华】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并作辅助 线是解题的关键． 类型二、角的平分线的性质综合应用 4、如图，P 为△ABC 的外角平分线上任一点.求证：PB＋PC≥AB＋AC. 【思路点拨】在 BA 的延长线上取 AD＝AC，证△PAD≌△PAC，从而将四条线段转化到同一个△ PBD 中，利用三角形两边之和大于第三边解决问题. 【答案与解析】 证明：①当点 P 与点 A 不重合时，在 BA 延长线上取一点 D，使 AD＝AC，连接 PD. ∵P 为△ABC 的外角平分线上一点，∴∠1＝∠2 ∵在△PAD 和△PAC 中 ∴△PAD≌△PAC（SAS），∴PD＝PC ∵在△PBD 中，PB＋PD＞BD，BD＝AB＋AD ∴PB＋PC＞AB＋AC. ②当点 P 与点 A 重合时，PB＋PC＝AB＋AC. 综上，PB＋PC≥AB＋AC. 【总结升华】利用角平分线的对称性，在角两边取相同的线段，通过（SAS）构造全等三角 形，从而把分散的线段集中到同一个三角形中. 举一反三： 【变式】（2014 秋•启东市校级期中）如图，四边形 ABDC 中，∠D=∠ABD=90 ゜，点 O 为 BD 的中点，且 OA 平分∠BAC． （1）求证：OC 平分∠ACD； （2）求证：OA⊥OC； （3）求证：AB+CD=AC． 1 2 PA PA AD AC = ∠ = ∠  =6 【答案】 证明：（1）过点 O 作 OE⊥AC 于 E， ∵∠ABD=90 ゜，OA 平分∠BAC， ∴OB=OE， ∵点 O 为 BD 的中点， ∴OB=OD， ∴OE=OD， ∴OC 平分∠ACD； （2）在 Rt△ABO 和 Rt△AEO 中， ， ∴Rt△ABO≌Rt△AEO（HL）， ∴∠AOB=∠AOE， 同理求出∠COD=∠COE， ∴∠AOC=∠AOE+∠COE= ×180°=90°， ∴OA⊥OC； （3）∵Rt△ABO≌Rt△AEO， ∴AB=AE， 同理可得 CD=CE， ∵AC=AE+CE， ∴AB+CD=AC．7 【巩固练习】 一.选择题 1. 已知，如图 AD、BE 是△ABC 的两条高线，AD 与 BE 交于点 O，AD 平分∠BAC，BE 平分 ∠ABC，下列结论：（1）CD＝BD, 　(2)AE＝CE 　(3)OA＝OB＝OD＝OE 　(4)AE＋BD＝ AB，其中正确结论的个数是（ ） 　 A.1 　 　 　B.2 　 　 　C.3 　　 　D.4 2.（2016•招远市模拟）如图，在△ABC 中，AD 是角平分线，DE⊥AB 于点 E，△ABC 的面积 为 7，AB=4，DE=2，则 AC 的长是（　　） A．4 B．3 C．6 D．5 3. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∠ACB 的平分线与∠ABC 的外角平分 线交于 E 点，则∠AEB＝（ ） A.50° B.45° C.40° D .35° 4.如图，△ABC 中，P、Q 分别是 BC、AC 上的点，作 PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是 R、S.若 AQ＝PQ，PR＝PS，下列结论：①AS＝AR；②PQ∥AR；③△BRP≌△CSP.其中正确的是（ ） A.①③ B.②③ C.①② D.①②③8 5.（2015 春•成都校级期末）如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息， 要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　） A．△ABC 的三条中线的交点 B．△ABC 三边的中垂线的交点 C．△ABC 三条高所在直线的交点 D．△ABC 三条角平分线的交点 6． 中，AD 是 的平分线，且 .若 ，则 的大小为 （ ） A． B． C． D． 二.填空题 7. 在三角形纸片 ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝3.折叠该纸片，使点 A 与点 B 重合， 折痕与 AB、AC 分别相交于点 D 和点 E（如图），折痕 DE 的长为 . 8. 如图，已知在 中， 平分 ， 于 ，若 ，则 的周长为 ． 9.（2016•邯郸二模）如图所示，已知△ABC 的周长是 20，OB、OC 分别平分∠ABC 和∠ACB， OD⊥BC 于 D，且 OD=3，则△ABC 的面积是　 　． ABC∆ BAC∠ CDACAB += 60=∠BAC ABC∠ 40 60 80 100 ABC△ 90 , ,A AB AC CD∠ = ° = ACB∠ DE BC⊥ E 15BC cm= DEB△ cm9 10.（2015 春•海门市期末）如图△ABC 中，AD 平分∠BAC，AB=4，AC=2，且△ABD 的面积为 3，则△ACD 的面积为　 　． 11．在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠B＝∠C＝90°，E 是 BC 的中点，DE 平分∠ADC， ∠CED＝35°，如图，则∠EAB 是多少度？大家一起热烈地讨论交流，小英第一个得出 正确答案，是______． 12. 如图，在△ABC 中，∠ABC＝100°，∠ACB＝20°，CE 平分∠ACB,D 为 AC 上一点，若∠ CBD＝20°，则∠CED＝__________. 三.解答题 13．已知：如图，OD 平分∠POQ，在 OP、OQ 边上取 OA＝OB，点 C 在 OD 上，CM⊥AD 于 M，CN ⊥BD 于 N. 求证：CM＝CN．10 14．（2014 秋•五华区校级期中）四边形 ABCD 中，AC 平分∠BAD，CE⊥AB 于 E， ∠ADC+∠B=180° 求证：2AE=AB+AD． 15．已知：如图，在ΔABC 中，AD 是△ABC 的角平分线，E、F 分别是 AB、AC 上一点，并且 有∠EDF＋∠EAF＝180°．试判断 DE 和 DF 的大小关系并说明理由． 【答案与解析】 一.选择题 1.【答案】C； 【解析】（1）（2）（4）是正确的. 2.【答案】B； 【解析】解：过点 D 作 DF⊥AC 于 F，∵AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB， ∴DE=DF=2，∴S△ABC= ×4×2+ AC×2=7，解得 AC=3．故选：B． 3.【答案】B； 【解析】可证 EA 是∠CAB 外角平分线.过点 E 作 EF、EM、EN 分别垂直于 CB、AB、CA，并 且交点分别为 F、M、N，所以 EF＝EM＝EN.所以 EA 是∠CAB 的外角平分线. 4.【答案】C； 【解析】依据角平分线的判定定理知 AP 平分∠BAC，①正确，因 AQ＝PQ，∠PAQ＝∠APQ＝∠ BAP，所以②正确. 5.【答案】D； 【解析】解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等， ∴凉亭选择△ABC 三条角平分线的交点． 故选 D． 6.【答案】A； 【解析】在 AB 边上截取 AE＝AC，连接 DE，可证△ACD≌△AED，可推出 CD＝DE＝BE， 2∠B＝∠C，所以∠B＝40°.11 二.填空题 7. 【答案】1； 【解析】由题意设 DE＝CE＝ ，BC＝BD＝AD＝ ，AE＝2 ，AC ＝3 ＝3， ＝1. 8. 【答案】15； 【解析】BC＝CE＋BE＝AC＋BE＝AB＋BE＝AD＋BD＋BE＝DE＋BD＋BE＝15 . 9. 【答案】30 【解析】解：如图，连接 OA，过 O 作 OE⊥AB 于 E，OF⊥AC 于 F， ∵OB、OC 分别平分∠ABC 和∠ACB， ∴OE=OF=OD=3， ∵△ABC 的周长是 22，OD⊥BC 于 D，且 OD=3， ∴S△ABC= ×AB×OE+ ×BC×OD+ ×AC×OF = ×（AB+BC+AC）×3 = 20×3=30 10.【答案】 ； 【解析】解：过点 D 作 DE⊥AB，DF⊥AC， ∵AD 平分∠BAC， ∴DE=DF， ∵AB=4，△ABD 的面积为 3， ∴S△ABD= AB•DE= ×4×DE=3，解得 DE= ； ∴DF= ， ∵AC=2， ∴S△ACD= AC•DF= ×2× = ． 故答案为： ． 11.【答案】35°； 【解析】作 EF⊥AD 于 F，证△DCE≌△DFE（HL），再证△AFE≌△ABE（HL），可得∠FEB＝ 180°－70°＝110°，∠AEB＝55°，∠EAB＝35°. 12.【答案】10°； x 3x x x x cm12 【解析】考虑△BDC 中， EC 是∠C 的平分线， EB 是∠B 的外角平分线， 所以 E 是△BDC 的一个旁心， 于是 ED 平分∠BDA. ∠CED ＝ ∠ADE － ∠DCE ＝ ∠ADB － ∠DCB ＝ ∠DBC ＝ ×20°＝ 10°. 三.解答题 13.【解析】 证明：∵OD 平分∠POQ ∴∠AOD＝∠BOD 在△AOD 与△BOD 中 ∴△AOD≌△BOD（SAS） ∴∠ADO＝∠BDO 又∵CM⊥AD 于 M，CN⊥BD 于 N. ∴CM＝CN（角平分线上的点到角两边的距离相等）. 14.【解析】 证明：过 C 作 CF⊥AD 于 F， ∵AC 平分∠BAD， ∴∠FAC=∠EAC， ∵CE⊥AB，CF⊥AD， ∴∠DFC=∠CEB=90°， ∴△AFC≌△AEC， ∴AF=AE，CF=CE， ∵∠ADC+∠B=180° ∴∠FDC=∠EBC， ∴△FDC≌△EBC ∴DF=EB， ∴AB+AD=AE+EB+AD=AE+DF+AD=AF+AE=2AE ∴2AE=AB+AD 15.【解析】DE＝DF. 证明：过点 D 作 DM⊥AB 于 M，DN⊥AC 于 N， ∵AD 是△ABC 的角平分线， ∴DM＝DN ∵∠EDF＋∠EAF＝180°，即∠2＋∠3＋∠4＋∠EAF ＝ 180° 1 2 1 2 1 2 1 2 OA OB AOD BOD OD OD = ∠ = ∠  =13 又∵∠1＋∠2＋∠3＋∠EAF ＝180° ∴∠1＝∠4 在 Rt△DEM 与 Rt△DFN 中 ∴Rt△DEM≌Rt△DFN （ASA） ∴DE＝DF 1 4 DM DN EMD FND ∠ = ∠  = ∠ = ∠