《三角形的证明》全章复习与巩固

1 《三角形的证明》全章复习与巩固 【学习目标】 1.经历回顾与思考的过程，深刻理解和掌握定理的探索和证明. 2.结合具体实例感悟证明的思路和方法，能运用综合、分析的方法解决有关问题. 3.能正确运用尺规作图的基本方法作已知线段的垂直平分线和角的平分线，以及绘制特殊三 角形. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、等腰三角形 1.三角形全等的性质及判定 全等三角形的对应边相等，对应角也相等. 判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL. 2.等腰三角形的判定、性质及推论 性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角） 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边） 推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合 一”） 3.等边三角形的性质及判定定理 性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于 60°；等边三角形的三条 边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有 3 条对称轴. 判定定理：有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等 边三角形. 4.含 30°的直角三角形的边的性质 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一 半. 要点诠释：2 等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形 的特殊数据要熟记于心，不如边长为 a 的等边三角形他的高是 ，面积是 ；含有 30°的直角三角形揭示了三角形中边与角的关系，打破了以往那种只有角或边的关系，同时 也为我们学习三角函数奠定了基础. 要点二、直角三角形 1.勾股定理及其逆定理 定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方. 逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 2.命题与逆命题 命题包括题设和结论两部分；逆命题是将原命题的题设和结论交换位置得到的；正确的 逆命题就是逆定理. 3.直角三角形全等的判定定理 定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL） 要点诠释： ①勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边的平方和等于斜 边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”. ②直角三角形的全等判定方法，还有 SSS,SAS,ASA,AAS,一共有 5 种判定方法. 要点三、线段的垂直平分线 1.线段垂直平分线的性质及判定 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 2.三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. 3.如何用尺规作图法作线段的垂直平分线 分别以线段的两个端点 A、B 为圆心，以大于 AB 的长为半径作弧，两弧交于点 M、N； 作直线 MN，则直线 MN 就是线段 AB 的垂直平分线. 要点诠释： ①注意区分线段的垂直平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围； ②利用线段的垂直平分线定理可解决两条线段的和距离最短问题. 要点四、角平分线 1.角平分线的性质及判定定理 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上. 2.三角形三条角平分线的性质定理 性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. 3.如何用尺规作图法作出角平分线 要点诠释： ①注意区分角平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围； ②几何语言的表述，这也是证明线段相等的一种重要的方法.遇到角平分线时，要构造 全等三角形. 【典型例题】 3 2 a 23 4 a 1 23 类型一、能证明它们么 1. 如图，△ACD 和△BCE 都是等腰直角三角形，∠ACD=∠BCE=90°，AE 交 CD 于点 F， BD 分别交 CE、AE 于点 G、H．试猜测线段 AE 和 BD 的数量和位置关系，并说明理由． 【思路点拨】由条件可知 CD=AC，BC=CE，且可求得∠ACE=∠DCB，所以△ACE≌△DCB，即 AE=BD， ∠CAE=∠CDB；又因为对顶角∠AFC=∠DFH，所以∠DHF=∠ACD=90°，即 AE⊥BD． 【答案与解析】猜测 AE=BD，AE⊥BD；理由如下： ∵∠ACD=∠BCE=90°， ∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE， 即∠ACE=∠DCB， 又∵△ACD 和△BCE 都是等腰直角三角形， ∴AC=CD，CE=CB， ∵在△ACE 与△DCB 中， ∴△ACE≌△DCB（SAS）， ∴AE=BD， ∠CAE=∠CDB； ∵∠AFC=∠DFH，∠FAC+∠AFC=90°， ∴∠DHF=∠ACD=90°， ∴AE⊥BD． 故线段 AE 和 BD 的数量相等，位置是垂直关系. 【总结升华】主要考查全等三角形的判定，涉及到等腰直角三角形的性质及对顶角的性质等 知识点． 举一反三： 【变式】将两个全等的直角三角形 ABC 和 DBE 按图 1 方式摆放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠ A=∠D=30°，点 E 落在 AB 上，DE 所在直线交 AC 所在直线于点 F． （1）求证：AF+EF=DE； （2）若将图 1 中的△DBE 绕点 B 按顺时针方向旋转角 α，且 0°＜α＜60°，其它条件不 变，请在图 2 中画出变换后的图形，并直接写出你在（1）中猜想的结论是否仍然成立； （3）若将图 1 中的△DBE 绕点 B 按顺时针方向旋转角 β，且 60°＜β＜180°，其它条件 不变，如图 3．你认为（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立， , AC DC ACE DCB EC BC = ∠ = ∠  =4 请写出 AF、EF 与 DE 之间的关系，并说明理由． 【答案】（1）证明：连接 BF（如下图 1）， ∵△ABC≌△DBE（已知）， ∴BC=BE，AC=DE． ∵∠ACB=∠DEB=90°， ∴∠BCF=∠BEF=90°． ∵BF=BF， ∴Rt△BFC≌Rt△BFE． ∴CF=EF． 又∵AF+CF=AC， ∴AF+EF=DE． （2）解：画出正确图形如图 2. （1）中的结论 AF+EF=DE 仍然成立； （3）证明：连接 BF， ∵△ABC≌△DBE， ∴BC=BE， ∵∠ACB=∠DEB=90°， ∴△BCF 和△BEF 是直角三角形，5 在 Rt△BCF 和 Rt△BEF 中， ∴△BCF≌△BEF， ∴CF=EF； ∵△ABC≌△DBE， ∴AC=DE， ∴AF=AC+FC=DE+EF． 类型二、直角三角形 2. 下列说法正确的说法个数是（　　） ①两个锐角对应相等的两个直角三角形全等， ②斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等， ③两条直角边对应相等的两个直角三角形全等， ④一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等． A.1 B.2 C.3 D.4 【思路点拨】根据全等三角形的判定方法及“HL”定理，判断即可； 【答案】C. 【解析】A、三个角相等，只能判定相似；故本选项错误； B、斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形，符合两三角形的判定定理“AAS”；故 本选项正确； C、两条直角边对应相等的两个直角三角形，符合两三角形的判定定理“SAS”；故本 选项正确； D、一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形，首先根据 “HL”定理，可判断两个小直角三角形全等，可得另条直角边相等，然后，根据 “SAS”，可判断两个直角三角形全等；故本选项正确； 所以，正确的说法个数是 3 个． 故选 C． 【总结升华】直角三角形全等的判定，一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三 角形有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法，使用时应该抓住“直 角”这个隐含的已知条件． 3.（2014 秋•张家口期末）操作发现 ,BC BE BF BF =  =6 将一副直角三角板如图（1）摆放，能够发现等腰直角三角板 ABC 的斜边 BC 与含 30°角的 直角三角板 DEF 的长直角边 DE 重合． 问题解决 将图 1 中的等腰直角三角板 ABC 绕点 B 顺时针旋转 30°，点 C 落在 BF 上．AC 与 BD 交于点 O，连接 CD，如图 2． （1）若 DF=4，求 BF 的长； （2）求证：△CDO 是等腰三角形． 【思路点拨】（1）根据 30°角所对直角边是斜边一半的性质即可求得 BF 的长，即可解题； （2）根据 BC=DE 和∠DEF=30°可求得∠BDC 和∠BCD 的值，根据∠ACB=45°即可求得∠DOC 的值，即可解题． 【答案与解析】 解：（1）∵在 Rt△DEF 中，∠DEF=30°，∠EDF=90°，DF=4，∴BF=8． （2）∵在△BDC 中，BC=DE， ∴∠BDC=∠BCD． ∵∠DEF=30°， ∴∠BDC=∠BCD=75°， ∵∠ACB=45°， ∴∠DOC=30°+45°=75°． ∴∠DOC=∠BDC， ∴△CDO 是等腰三角形． 【总结升华】本题考查了等腰三角形的判定，考查了 30°角所对直角边是斜边一半的性质， 本题中求证∠DOC=∠BDC 是解题的关键． 类型三、线段垂直平分线 4. 如图，在锐角△ABC 中，AD、CE 分别是 BC、AB 边上的高，AD、CE 相交于 F，BF 的 中点为 P，AC 的中点为 Q，连接 PQ、DE． （1）求证：直线 PQ 是线段 DE 的垂直平分线； （2）如果△ABC 是钝角三角形，∠BAC＞90°，那么上述结论是否成立？请按钝角三角形改 写原题，画出相应的图形，并给予必要的说明．7 【思路点拨】（1）只需证明点 P、Q 都在线段 DE 的垂直平分线上即可．即证 P、Q 分别到 D、 E 的距离相等．故连接 PD、PE、QD、QE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证； （2）根据题意，画出图形；结合图形，改写原题． 【答案与解析】 （1）证明：连接 PD、PE、QD、QE． ∵CE⊥AB，P 是 BF 的中点， ∴△BEF 是直角三角形，且 PE 是 Rt△BEF 斜边的中线， ∴PE= BF． 又∵AD⊥BC， ∴△BDF 是直角三角形，且 PD 是 Rt△BDF 斜边的中线， ∴PD= BF=PE， ∴点 P 在线段 DE 的垂直平分线上． 同理可证，QD、QE 分别是 Rt△ADC 和 Rt△AEC 斜边上的中线， ∴QD= AC=QE， ∴点 Q 也在线段 DE 的垂直平分线上． ∴直线 PQ 垂直平分线段 DE． （2）当△ABC 为钝角三角形时，（1）中的结论仍成立． 如图，△ABC 是钝角三角形，∠BAC＞90°． 原题改写为：如图，在钝角△ABC 中，AD、CE 分别是 BC、AB 边上的高，DA 与 CE 的延长线 交于点 F，BF 的中点为 P，AC 的中点为 Q，连接 PQ、DE． 求证：直线 PQ 垂直且平分线段 DE． 证明：连接 PD，PE，QD，QE，则 PD、PE 分别是 Rt△BDF 和 Rt△BEF 的中线， ∴PD= BF，PE= BF， ∴PD=PE， 1 2 1 2 1 2 1 2 1 28 点 P 在线段 DE 的垂直平分线上． 同理可证 QD=QE， ∴点 Q 在线段 DE 的垂直平分线上． ∴直线 PQ 垂直平分线段 DE． 【总结升华】考查了线段垂直平分线的判定和性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一 半等知识点，图形较复杂，有一定综合性，但难度不是很大． 举一反三： 【变式】在△ABC 中，AB=AC，AB 的垂直平分线交 AB 于 N，交 BC 的延长线于 M，∠A=40 度． （1）求∠M 的度数； （2）若将∠A 的度数改为 80°，其余条件不变，再求∠M 的大小； （3）你发现了怎样的规律？试证明； （4）将（1）中的∠A 改为钝角，（3）中的规律仍成立吗？若不成立，应怎样修改． 【答案】 （1）∵∠B= （180°-∠A）=70° ∴∠M=20° （2）同理得∠M=40° （3）规律是：∠M 的大小为∠A 大小的一半， 证明：设∠A=α， 则有∠B= （180°-α） ∠M=90°- （180°-α）= α. （4）不成立. 此时上述规律为：等腰三角形一腰的垂直平分线与底边相交所成的锐角等于顶角的一半． 类型四、角平分线 5. 如图，△ABC 中，∠A=60°，∠ACB 的平分线 CD 和∠ABC 的平分线 BE 交于点 G．求 1 2 1 2 1 2 1 29 证：GE=GD． 【思路点拨】连接 AG，过点 G 作 GM⊥AB 于 M，GN⊥AC 于 N，GF⊥BC 于 F．由角平分线的性 质 及 逆 定 理 可 得 GN=GM=GF ， AG 是 ∠ CAB 的 平 分 线 ； 在 四 边 形 AMGN 中 ， 易 得 ∠ NGM=180°-60°=120°；在△BCG 中，根据三角形内角和定理，可得∠CGB=120°，即∠ EGD=120°，∴∠EGN=∠DGM，证明 Rt△EGN≌Rt△DGM（AAS）即可得证 GE=GM． 【答案与解析】 解：连接 AG，过点 G 作 GM⊥AB 于 M，GN⊥AC 于 N，GF⊥BC 于 F． ∵∠A=60°， ∴∠ACB+∠ABC=120°， ∵CD，BE 是角平分线， ∴∠BCG+∠CBG=120°÷2=60°， ∴∠CGB=∠EGD=120°， ∵G 是∠ACB 平分线上一点， ∴GN=GF， 同理，GF=GM， ∴GN=GM， ∴AG 是∠CAB 的平分线， ∴∠GAM=∠GAN=30°， ∴∠NGM=∠NGA+∠AGM=60°+60°=120°， ∴∠EGD=∠NGM=120°， ∴∠EGN=∠DGM， 又∵GN=GM， ∴Rt△EGN≌Rt△DGM（AAS）， ∴GE=GD． 【总结升华】此题综合考查角平分线的定义、三角形的内角和及全等三角形的判定和性质等 知识点，难度较大，作辅助线很关键． 举一反三： 【变式】（2015 春•澧县期末）如图：在△ABC 中，∠C=90° AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB 于 E，F 在 AC 上，BD=DF； 证明：（1）CF=EB．10 （2）AB=AF+2EB． 【答案】 证明：（1）∵AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC， ∴DE=DC， ∵在 Rt△DCF 和 Rt△DEB 中， ∴Rt△CDF≌Rt△EBD（HL）． ∴CF=EB； （2）∵AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC， ∴CD=DE． 在△ADC 与△ADE 中， ∵ ∴△ADC≌△ADE（HL）， ∴AC=AE， ∴AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB．11 《三角形的证明》全章复习与巩固（基础） 【巩固练习】 一、 选择题 1.△ABC 中，AB=AC，BD 平分∠ABC 交 AC 边于点 D，∠BDC=75°，则∠A 的度数是（　　） 　 A． 35° B． 40° C． 70° D． 110° 2．三角形的三个内角中，锐角的个数不少于（　　） 　 A． 1 个 B． 2 个 C． 3 个 D． 不确定 3．用两个全等的直角三角形拼下列图形：①平行四边形（不包含菱形、矩形、正方形）；② 矩形；③正方形；④等腰三角形，其中一定可以拼成的图形的是（　　） 　 A． ①②③ B． ②③④ C． ①③④ D． ①②④ 4．如图，D 在 AB 上，E 在 AC 上，且∠B=∠C，那么补充下列一个条件后，仍无法判定△ABE ≌△ACD 的是（　　） 　 A． AD=AE B． ∠AEB=∠ADC C． BE=CD D． AB=AC 5．（2015•青岛）如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AD 是△ABC 的角平分线， DE⊥AB，垂足为 E，DE=1，则 BC=（　　） A． B．2 C．3 D． +2 6．等腰三角形的一边为 4，另一边为 9，则这个三角形的周长为（　　） 　 A． 17 B． 22 C． 13 D． 17 或 22 7．有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形（　　） 　 A． 必定全等 B． 必定不全等 C． 不一定全等 D． 以上答案都不对 8．面积相等的两个三角形（　　） 　 A． 必定全等 B． 必定不全等 C． 不一定全等 D． 以上答案都不对 二、 填空题 9.如果等腰三角形的一个底角是 80°，那么顶角是　_________　度． 10.△ABC 中，∠A 是∠B 的 2 倍，∠C 比∠A+∠B 还大 12°，那么∠B=　_________　度． 11．（2015 秋•洛阳校级月考）如果 a，b，c 为三角形的三边，且（a﹣b）2+（a﹣c）2+|b﹣c|=0， 则这个三角形是　 　． 12．如图，△ABC 中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为 D、E，AD、CE 交于点 H，请你添加一个 适当的条件：　_________　，使△AEH≌△CEB．12 　 13．等腰直角三角形一条边长是 1 cm，那么它斜边上的高是　_________　． 14．在△ABC 和△ADC 中，下列论断：①AB=AD；②∠BAC=∠DAC；③BC=DC，把其中两个论断 作为条件，另一个论断作为结论，写出一个真命题：　_________　． 15．在△ABC 中，边 AB、BC、AC 的垂直平分线相交于 P，则 PA、PB、PC 的大小关系是　 _________　． 16．已知△ABC 中，∠A=90°，角平分线 BE、CF 交于点 O，则∠BOC=　_________　． 三、 解答题 17.（2015 秋•定州市期中）如图，四边形 ABCD 中，∠B=90°，AB∥CD，M 为 BC 边上的一点， 且 AM 平分∠BAD，DM 平分∠ADC．求证： （1）AM⊥DM； （2）M 为 BC 的中点． 18. 如图，△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，BD：DC=2：1，BC=7.8cm，求 D 到 AB 的距离． 19. 如图，D，E 是△ABC 边上的两点，且 BD=DE=EC=AD=AE，求∠BAC 的度数． 20.（2015 春•建昌县期末）已知：如图，有一块 Rt△ABC 的绿地，量得两直角边 AC=8m， BC=6m．现在要将这块绿地扩充成等腰△ABD，且扩充部分（△ADC）是以 8m 为直角边长的 直角三角形，求扩充后等腰△ABD 的周长． （1）在图 1 中，当 AB=AD=10m 时，△ABD 的周长为　 　； （2）在图 2 中，当 BA=BD=10m 时，△ABD 的周长为　 　； （3）在图 3 中，当 DA=DB 时，求△ABD 的周长．13 【答案与解析】 一.选择题 1.【答案】B； 【解析】解：设∠A 的度数是 x，则∠C=∠B= ， ∵BD 平分∠ABC 交 AC 边于点 D ∴∠DBC= ， ∴ + +75=180°， ∴x=40°. ∴∠A 的度数是 40°. 故选 B． 2．【答案】B； 【解析】解：由三角形内角和为 180 度可知：三角形的三个内角中，锐角的个数不少于 2 个．故选 B． 3.【答案】D； 【解析】解：两个全等的直角三角形，一定可以拼成平行四边形（直角边重合，两直角不 邻），等腰三角形（直角边重合，两直角相邻），以及矩形（斜边重合）； 若为等腰直角三角形，则可拼成正方形；所以①②④一定可以拼接而成，③不一定拼 成． 4.【答案】B； 【解析】解：A、根据 AAS（∠A=∠A，∠C=∠B，AD=AE）能推出△ABE≌△ACD 正确，故本选项错误； B、三角对应相等的两三角形不一定全等，错误，故本选项正确； C、根据 AAS（∠A=∠A，∠B=∠C，BE=CD）能推出△ABE≌△ACD，正确，故本选项错误； D、根据 ASA（∠A=∠A，AB=AC，∠B=∠C）能推出△ABE≌△ACD，正确，故本选项错误； 5.【答案】C； 【解析】解：∵AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，∠C=90°， ∴CD=DE=1， 又∵直角△BDE 中，∠B=30°， ∴BD=2DE=2， ∴BC=CD+BD=1+2=3． 故选 C．14 6.【答案】B； 【解析】解：当腰长为 4 时，则三角形的三边长为：4、4、9； ∵4+4＜9，∴不能构成三角形； 因此这个等腰三角形的腰长为 9，则其周长=9+9+4=22． 7.【答案】A; 【解析】解：有两个角和其中一个角的对边对应相等， 符合“角角边”判定方法， 所以，两个三角形必定全等． 8.【答案】C; 【解析】解：因为两个面积相等的三角形，也就是底乘高相等；但是一个数可以有许多不 同的因数，所以说这两个三角形的对应边、对应高不一定相等；故面积相等的两个三角 形不一定全等． 二、填空题 9．【答案】 20； 【解析】解：∵三角形是等腰三角形， ∴两个底角相等， ∵等腰三角形的一个底角是 80°， ∴另一个底角也是 80°， ∴顶角的度数为 180°﹣80°﹣80°=20°． 10．【答案】28； 【解析】解：设∠B=x，则∠A=2x，∠C=3x+12°， ∵∠A+∠B+∠C=180°， ∴x+2x+3x+12°=180°，解得 x=28°． 故答案为：28． 11.【答案】等边三角形； 【解析】解：∵（a﹣b）2+（a﹣c）2+|b﹣c|=0， ∴a﹣b=0，a﹣c=0，b﹣c=0， ∴a=b，a=c，b=c， ∴a=b=c， ∴这个三角形是等边三角形； 故答案为：等边三角形． 12.【答案】AH=CB 或 EH=BE 或 AE=CE； 【解析】解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为 D、E， ∴∠BEC=∠AEC=90°， 在 Rt△AEH 中，∠EAH=90°﹣∠AHE， 又∵∠EAH=∠BAD， ∴∠BAD=90°﹣∠AHE， 在 Rt△AEH 和 Rt△CDH 中，∠CHD=∠AHE， ∴∠EAH=∠DCH， ∴∠EAH=90°﹣∠CHD=∠BCE， 所以根据 AAS 添加 AH=CB 或 EH=BE； 根据 ASA 添加 AE=CE． 可证△AEH≌△CEB．15 13.【答案】 cm 或 cm； 【解析】解：（1）当 1cm 是斜边，则其高就是斜边 1 的一半是 cm； （2）当其直角边是 1cm 时，根据勾股定理得其斜边是 cm，再根据其高是斜边的一半 得高是 cm；所以它斜边上的高是 cm 或 cm． 14.【答案】在△ABC 和△ADC 中，如果 AB=AD，∠BAC=∠DAC，那么 BC=DC． 【解析】解：把①②作为条件③作为结论， ∵AB=AD，∠BAC=∠DAC， 又∵AC=AC， ∴△ABC≌△ADC， ∴BC=BD． 故答案为：在△ABC 和△ADC 中，如果 AB=AD，∠BAC=∠DAC，那么 BC=DC． 15.【答案】PA=PB=PC; 【解析】∵边 AB 的垂直平分线相交于 P， ∴PA=PB， ∵边 BC 的垂直平分线相交于 P， ∴PB=PC， ∴PA=PB=PC． 16.【答案】135°; 【解析】解：∵∠A=90°，∴∠ABC+∠ACB=90°， ∵角平分线 BE、CF 交于点 O， ∴∠OBC+∠OCB=45°， ∴∠BOC=180°﹣45°=135°． 故答案为 135°． 三、解答题 17.【解析】 解：（1）∵AB∥CD， ∴∠BAD+∠ADC=180°， ∵AM 平分∠BAD，DM 平分∠ADC， ∴2∠MAD+2∠ADM=180°， ∴∠MAD+∠ADM=90°， ∴∠AMD=90°， 即 AM⊥DM； （2）作 NM⊥AD 交 AD 于 N， ∵∠B=90°，AB∥CD， ∴BM⊥AB，CM⊥CD， ∵AM 平分∠BAD，DM 平分∠ADC， ∴BM=MN，MN=CM， ∴BM=CM， 即 M 为 BC 的中点．16 18.【解析】 解：如图，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E， ∵BD：DC=2：1，BC=7.8， ∴CD= ×7.8=2.6， ∵AD 平分∠BAC， ∴DE=CD=2.6(cm). 即 D 到 AB 的距离 2.6cm． 19.【解析】 解：因为 AD=DE=AE，所以∠ADE=∠DEA=∠DAE=60°， 所以∠ADB=120°，∠AEC=120°． 因为 BD=AD，AE=EC， 所以∠B=∠BAD= （180°﹣∠ADB）= （180°﹣120°）=30°， ∠C=∠CAE= （180°﹣∠AEC）= （180°﹣120°）=30°． 所以∠BAC=∠BAD+∠DAE+∠CAE=30°+60°+30°=120°． 20．【解析】解：（1）如图 1，∵AB=AD=10m，AC⊥BD，AC=8m， ∴DC= =6（m）， 则△ABD 的周长为：10+10+6+6=32（m）． 故答案为：32m； （2）如图 2，当 BA=BD=10m 时， 则 DC=BD﹣BC=10﹣6=4（m）， 故 AD= =4 （m）， 则△ABD 的周长为：AD+AB+BD=10+4 +10=（20+4 ）m；17 故答案为：（20+4 ）m； （3）如图 3，∵DA=DB， ∴设 DC=xm，则 AD=（6+x）m， ∴DC2+AC2=AD2， 即 x2+82=（6+x）2， 解得；x= ， ∵AC=8m，BC=6m， ∴AB=10m， 故△ABD 的周长为：AD+BD+AB=2（ +6）+10= （m）．