导学案——不等式及其性质

1 导学案——不等式及其性质 【学习目标】 1．了解不等式的意义，认识不等式和等式都刻画了现实世界中的数量关系. 2. 理解不等式的三条基本性质，并会简单应用. 【要点梳理】 知识点一、不等式的概念 一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠” 表示不等关系的式子也是不等式． 要点诠释： (1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大． (2)五种不等号的读法及其意义： 符号 读法 意义 “≠” 读作“不等于” 它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪 个大，哪个小 “＜” 读作“小于” 表示左边的量比右边的量小 “＞” 读作“大于” 表示左边的量比右边的量大 “≤” 读作“小于或等于” 即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量 “≥” 读作“大于或等于” 即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量 (3)有些不等式中不含未知数，如 3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如 2x＞5 中， x 表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合 不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立． 【高清课堂：一元一次不等式 370042 不等式的基本性质】 知识点二、不等式的基本性质 不等式的基本性质 1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 用式子表示：如果 a＞b，那么 a±c＞b±c 不等式的基本性质 2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果 a＞b，c＞0，那么 ac＞bc(或 )． 不等式的基本性质 3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果 a＞b，c＜0，那么 ac＜bc(或 )． 要点诠释： 对不等式的基本性质的理解应注意以下几点： (1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条 性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会． (2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质 2 和性质 3 的区别，在乘(或除 以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变． 【典型例题】 类型一、不等式的概念 1．有数颗等重的糖果和数个大、小砝码，其中大砝码皆为 5 克、小砝码皆为 1 克，且 下图是将糖果与砝码放在等臂天平上的两种情形．判断下列正确的情形是( ). a b c c > a b c c a b> a b> a c b c> a b> 1b a < 0a > b a b− 0,所以 ，正确； （2）因为 ，当 时， ，所以错误； （3）因为 ，当 时， 没有意义，而当 时， ，所以错误； （4）因为 ，所以 ， ，正确. 【总结升华】不等式的基本性质是不等式变形的主要依据，要认真弄清楚不等式的基本性质 与等式的基本性质的异同点，特别是不等式两边同时乘以（或除以）同一个数时，不仅要考 虑这个数不等于 0，而且先必须确定这个数是正数还是负数. 举一反三： 【变式 1】a、b 是有理数，下列各式中成立的是( )． A．若 a＞b，则 a2＞b2； B．若 a2＞b2，则 a＞b C．若 a≠b，则｜a｜≠|b| D．若｜a｜≠|b|，则 a≠b 【答案】D. 【变式 2】（2014 春•瑞昌市校级月考）若点 P（1﹣m，m）在第一象限，则（m﹣1）x＞1﹣m 的解集为　 　． 【答案】x＜﹣1. 解：∵点 P（1﹣m，m）在第一象限， ∴1﹣m＞0， 即 m﹣1＜0； ∴不等式（m﹣1）x＞1﹣m， ∴（m﹣1）x＞﹣（m﹣1）， 不等式两边同时除以 m﹣1，得： x＜﹣1， 故答案为：x＜﹣1． 3.设 a＞ 0＞ b＞ c， 且 a+b+c=-1， 若 M＝ ， N＝ ， P＝ ， 试 比 较 M、 N、 P 的 大 小 ． 【答案与解析】∵ a+b+c=-1， ∴ b+c=-1-a， ∴ M= =− 1− ， 同 理 可 得 N=− 1− ， P=− 1− ； 又 ∵ a＞ 0＞ b＞ c， ∴ ＞ 0＞ ＞ ， ∴ − 1− ＜ − 1＜ − 1− ＜ − 1− 即 M＜ P＜ N． 【总结升华】本题考 查 不 等 式 的 基 本 性 质 ， 关 键 是 M、 N、 P 的 等 价 变 形 ， 利 用 了 整 体 思 想 消 元 ， 转 化 为 a、 b、 c 的 大 小 关 系 ． 2 2ac bc> 0c ≠ 2c a b> a b> 0c = a c b c= a b> 0a = b a 0a < 1b a > 0a > 0a− < b a b− < b c a + a c b + a b c + 1 a a − − 1 a 1 b 1 c 1 a 1 c 1 b 1 a 1 c 1 b4 4.（2014 春•兴化市月考）用等号或不等号填空： （1）比较 4m 与 m2+4 的大小 当 m=3 时，4m　 　m2+4 当 m=2 时，4m　 　m2+4 当 m=-3 时，4m　 　m2+4 （2）无论取什么值，4m 与 m2+4 总有这样的大小关系吗？试说明理由． （3）比较 x2+2 与 2x2+4x+6 的大小关系，并说明理由． （4）比较 2x+3 与﹣3x﹣7 的大小关系． 【思路点拨】（1）当 m=3 时，当 m=2 时，当 m=﹣3 时，分别代入计算，再进行比较即可； （2）根据（m2+4）﹣4m=（m﹣2）2≥0，即可得出答案； （3）根据（2x2+4x+6）﹣（x2+2）=（x+2）2≥0，即可得出答案； （4）先求出（2x+3）﹣（﹣3x﹣7）=5x+10，再分当 x＞﹣2 时，当 x=﹣2 时，当 x＜﹣2 时 分别进行讨论即可． 【答案与解析】 解：（1）当 m=3 时，4m=12，m2+4=13，则 4m＜m2+4， 当 m=2 时，4m=8，m2+4=8，则 4m=m2+4， 当 m=﹣3 时，4m=﹣12，m2+4=13，则 4m＜m2+4， 故答案为：＜；=；＜； （2）∵（m2+4）﹣4m=（m﹣2）2≥0， ∴无论取什么值，总有 4m≤m2+4； （3）∵（2x2+4x+6）﹣（x2+2）=x2+4x+4=（x+2）2≥0 ∴x2+2≤2x2+4x+6； （4）∵（2x+3）﹣（﹣3x﹣7）=5x+10， ∴当 x＞﹣2 时，5x+10＞0，2x+3＞﹣3x﹣7， 当 x=﹣2 时，5x+10=0，2x+3=﹣3x﹣7， 当 x＜﹣2 时，5x+10＜0，2x+3＜﹣3x﹣7． 【总结升华】此题考查了不等式的性质，用到的知识点是不等式的性质、完 全 平 方 公 式 、 非 负 数 的 性 质 ， 关 键 是 根 据 两 个 式 子 的 差 比 较 出 数 的 大 小 ．5 不等式及其性质（提高）巩固练习 【巩固练习】 一、选择题 1．下列不等式中，一定成立的有( ). ①5＞-2；② ；③x+3＞2；④ +1≥1；⑤ ． A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 2.若 a+b＞ 0， 且 b＜ 0， 则 a， b， -a， -b 的 大 小 关 系 为 （ 　 ） . A． -a＜ -b＜ b＜ a B． -a＜ b＜ -b＜ a C． -a＜ b＜ a＜ -b D． b＜ -a＜ -b＜ a 3．若 a＜b，则下列不等式：① ；② ； ③ ．其中成立的有( ). A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．0 个 4．若 0＜x＜1，则 x， ，x2 的大小关系是( ). A． B． C． D． 5.已 知 a、 b、 c、 d 都 是 正 实 数 ， 且 < ， 给 出 下 列 四 个 不 等 式 ： ① ； ② ； ③ ； ④ 其 中 不 等 式 正 确 的 是 （ 　 ） . A. ① ③ B． ① ④ C． ② ④ D． ② ③ 6．（2015•乐山）下列说法不一定成立的是（　　） A．若 a＞b，则 a+c＞b+c B．若 a+c＞b+c，则 a＞b C．若 a＞b，则 ac2＞bc2 D．若 ac2＞bc2，则 a＞b 二、填空题 7．在行驶中的汽车上，我们会看到一些不同的交通标志图形，它们有着不同的意义，如图 所示，如果汽车的宽度为 x m，则用不等式表示图中标志的意义为________． 8．(1)若 ，则 a_________b； (2)若 m＜0，ma＜mb，则 a_________b． 9．已知 ，若 y＜0，则 m________． 10．已知关于 x 的方程 3x-(2a-3)=5x+(3a+6)的解是负数，则 a 的取值范围是________． 11．（2015 春•锦州校级月考）下列判断中，正确的序号为 ． 2 1a > a 2 2( 1)( 1) 0a b+ + > 1 11 12 2a b− + < − + 5 1 5 1a b− + < − + 2 2a b− − < − − 1 x 21 x xx < < 21x xx < < 2 1x x x < < 21 x xx < < a b c d a c a b c d