导学案——一元一次不等式的解法

1 导学案——一元一次不等式的解法 【学习目标】 1．理解并掌握一元一次不等式的概念及性质； 2.能够熟练解一元一次不等式； 3. 掌握不等式解集的概念并会在数轴上表示解集. 【要点梳理】 【高清课堂：一元一次不等式 370042 一元一次不等式 】 要点一、一元一次不等式的概念 只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如， 是一个一元一次不等式． 要点诠释： (1)一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式(单项式或多项式)； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数为 1. (2) 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系： 相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是 1，“左边”和“右边”都是整 式． 不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”、“≤”、“≥”或“＞”连接，不等 号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向． 要点二、一元一次不等式的解法 1.解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式． 2.一元一次不等式的解法： 与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为： （或 ）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项； (4)化为 （或 ）的形式（其中 ）；(5)两边同除以未知数的系数，得到不 等式的解集. 要点诠释： （1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用． （2）解不等式应注意： ①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项； ②移项时不要忘记变号； ③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号； ④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变． 要点三、不等式的解及解集 1.不等式的解： 能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 2.不等式的解集： 对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 要点诠释： 不等式的解 是具体的未知数的值，不是一个范围 不等式的解集 是一个集合，是一个范围．其含义： 2 503 x > ax < ax > ax b> ax b< 0a ≠2 ①解集中的每一个数值都能使不等式成立； ②能够使不等式成立的所有数值都在解集中 3.不等式的解集的表示方法 （1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范 围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式 x-2≤6 的解集为 x≤8． (2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个 解．如图所示： 要点诠释： 借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注 意两个“确定”：一是确定“边界点”，二是确定方向．(1)确定“边界点”：若边界点是不 等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈；(2)确定“方向”： 对边界点 a 而言，x＞a 或 x≥a 向右画；对边界点 a 而言，x＜a 或 x≤a 向左画． 注意：在表示 a 的点上画空心圆圈，表示不包括这一点． 【典型例题】 类型一、一元一次不等式的概念 1．下列式子哪些是一元一次不等式？哪些不是一元一次不等式？为什么？ （1） （2） （3） （4） （5） 【思路点拨】根据一元一次不等式的定义判断． 【答案与解析】 解：(1)是一元一次不等式．（2）（3）(4)(5)不是一元一次不等式，因为：（2）中分母中含 有字母，（3）未知数的最高次数不是 1 次，（4）不等式左边含有两个未知数，（5）不是不等 式，是一元一次方程． 【总结升华】一元一次不等式的定义主要由三部分组成：①不等式的左右两边分母不含未知 数；②不等式中只含一个未知数；③未知数的最高次数是 1，三个条件缺一不可． 类型二、解一元一次不等式 2.（2014 春•扬中市校级期末）求不等式 ﹣ ≤ 的非负整 数解，并把它的解在数轴上表示出来． 【思路点拨】首先应对不等式的左右代数式化简，使得分子、分母上的小数化成整数，然后 根据不等式的性质 2 去掉分母等进行求解不等式，再在解集中求出符合条件的非负整数． 【答案与解析】 解：原不等式可化为： ﹣ ≤ 去分母， 得 6（4x﹣10）﹣15（5﹣x）≤10（3﹣2x） 去括号，得 24x﹣60﹣75+15x≤30﹣20x 移项，得 24x+15x+20x≤30+60+75 合并同类项，得 59x≤165 0x > 1x 1 −> 2x 2 > 3yx −>+ 1x −=3 把系数化为 1，得 x≤ ， 解集 x≤ 的非负整数解是：0，1，2， 数轴表示是： 【总结升华】本题主要考查了不等式的解法，求出解集是解答本题的关键，解不等式应根据 不等式的基本性质． 举一反三： 【变式 1】解不等式： 【答案】 解：去括号，得 移项、合并同类项得： 系数化 1，得 故原不等式的解集是 . 【变式 2】（2015 春•黄冈校级期末）代数式 的值不大于 的值，求 x 的范围． 【答案】 解：根据题意得：解不等式 ≤ ， 去分母得：6﹣3（3x﹣1）≤2（1﹣2x）， 去括号得：6﹣9x+3≤2﹣4x， 移项得：4x﹣9x≤2﹣6﹣3， 合并同类项得：﹣5x≤﹣7， 解得：x≥ ． 3.m 为何值时，关于 x 的方程： 的解大于 1？ 【思路点拨】从概念出发，解出方程（用 m 表示 x），然后解不等式． 【答案与解析】 解： x-12m+2=6x-15m+3 5x=3m-1 由 解得 m＞2 2x]2)14 x(3 2[2 3 4 【总结升华】此题亦可用 x 表示 m，然后根据 x 的范围运用不等式基本性质推导出 m 的范 围． 举一反三： 【 变 式 】 已 知 关 于 方 程 的 解 是 非 负 数 ， 是 正 整 数 ， 则 ． 【答案】1 或 2. 4.已知关于 的方程组 的解满足 ，求 的取值范围． 【思路点拨】先解出方程组再解不等式． 【答案与解析】 解：由 ，解得： ∵ ∴ 解得 ∴ 的取值范围为 . 【总结升华】有时根据具体问题，可以不必解出 的具体值． 类型二、不等式的解及解集 5.若关于 的不等式 只有三个正整数解，求 的取值范围. 【思路点拨】首先根据题意确定三个正整数解，然后再确定 a 的范围． 【答案】 . 【解析】 解：∵不等式 只有三个正整数解， ∴三个正整数解为：1，2，3， ∴ ， 【总结升华】此题主要考查了一元一次不等式的整数解，做此题的关键是确定好三个正整数 解． 6.如图所示，图中阴影部分表示 x 的取值范围，则下列表示中正确的是( ). A．-3≤x＜2 B．-3＜x≤2 C．-3≤x≤2 D．-3＜x＜2 【思路点拨】x 表示-3 右边的数，即大于-3，并且是 2 以及 2 左边的数，即小于或等于 2 的 数． x 3 x2 3 mx2x −=−− m =m y,x    −=+ +=+ 1py3x4 1py2x3 yx > p    −=+ +=+ 1py3x4 1py2x3    −−= += 7py 5px yx > 7p5p −−>+ 6p −> p 6p −> y,x x ax ≤ a 4a3 −+− n,m 7 10x < nmx > 5 3x < 0m < 5 3 m n = m5 3n = 0n5mx)nm2( >−+−6 化简整理得： ，又 所以 . 【总结升华】解答本题的关键是根据不等号的方向改变确定 ． 举一反三： 【变式】已知 的解集中的最大整数为 3，则 的取值范围是 ． 【 答 案 】 . m2mx5 7 > 0m < 7 10x < 0m < ax < a 4a3 ≤ 2 2ma na> 1 2 5y x= − 2 2 3y x= − + 1 2y y< x 2ax2 ≥+− a x 5 x231 −≤− 2 23 3 6a b− + 2 22 4 1a b− + 5ax > − a 3 0x a− ≤ ax > 2− a8 15.当 时，求关于 x 的不等式 的解集． 16.已知 A＝2x2＋3x＋2，B＝2x2－4x－5，试比较 A 与 B 的大小． 【答案与解析】 一、选择题 1. 【答案】C； 【解析】 ，所以 ； 2. 【答案】C； 【解析】由 得到 ，不等式两边同乘以 ，不等号方向没变，所以 ； 3. 【答案】B； 【解析】 ，即 ，解得： . 4. 【答案】B； 【解析】解：解不等式 + ＞0， 移项得： ＞- ， ∵解集为 x＜ ， ∴- = ，且 a＜0． ∴b=-5a＞0， =- ． 解不等式 bx-a＜0， 移项得：bx＜a， 两边同时除以 b 得：x＜ ， 即 x＜- ． 故选 B． 5. 【答案】B； 【解析】1998a+2003b=0，可得 均为 0 或 异号； 6. 【答案】A； 3 10)3(2 kk −− 4 )5( 1, 1 0m m= − ≠ 1m = − m n> 2 2ma na> 2a 2 0, 0a a> ≠即 1 2y y< 2 5 2 3x x− < − + 2x < ,a b ,a b9 【解析】因为不等式 的解集为 ，再观察数轴上表示的解集为 ，因此 ，解得 二、填空题 7. 【答案】 ； 【解析】 为非负数，所以 ， 解得： . 8. 【答案】- ； 【解析】解：∵（3m-2）x＜7 的解集为 x＞ ， ∴x＞ ， ∴ =- ，解得 m=- ． 故答案为：- ． 9. 【答案】＞； 【解析】 ， 所以 . 10．【答案】 ； 【解析】将-4 代入得： ，所以 . 11.【答案】 ； 【解析】由已知得： ， ，即 . 12.【答案】 【解析】画出数轴分析得出正确答案. 三、解答题 13.【解析】 解： ∴(－m2－1)x＞n ， 两边同除以负数（－m2－1）得： . ∴原不等式的解集为： . 14.【解析】 解：由题意得，- x+3＞6x-3， 2ax2 ≥+− 2 2ax −≤ 1x −≤ 12 2a −=− 0a = 4x0 ≤≤ x 0x ≥ 5 x231 −≤− 4x ≤ 2 2 2 2 2 2(3 3 6) (2 4 1) 5 0a b a b a b− + − − + = + + > 2 2 2 23 3 6 2 4 1a b a b− + > − + 5 4a < 4 5a− > − 5 4a < 18 21a≤ < 3 ax ≤ 6 73 a≤ < 18 21a≤ < 2a3 − − − BA >