导学案——实际问题与一元一次不等式

1 导学案——实际问题与一元一次不等式 【学习目标】 1．会从实际问题中抽象出不等的数量关系，会用一元一次不等式解决实际问题； 2. 熟悉常见一些应用题中的数量关系． 【要点梳理】 要点一、常见的一些等量关系 1.行程问题：路程＝速度×时间 2.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量 3.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价， 4.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率 5.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率 6.数字问题：多位数的表示方法：例如： . 【高清课堂：实际问题与一元一次不等式 409415 小结：】 要点二、列不等式解决实际问题 列一元一次不等式解应用题与列一元一次方程解应用题类似，通常也需要经过以下几个 步骤： (1)审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关 键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”等； (2)设：设出适当的未知数； (3)列：根据题中的不等关系，列出不等式； (4)解：解所列的不等式； (5)答：写出答案，并检验是否符合题意． 要点诠释： (1)列不等式的关键在于确定不等关系； (2)求得不等关系的解集后，应根据题意，把实际问题的解求出来； (3)构建不等关系解应用题的流程如图所示． （4）用不等式解决应用问题，有一点要特别注意：在设未知数时，表示不等关系的文字如 “至少”不能出现，即应给出肯定的未知数的设法，然后在最后写答案时，应把表示不等关 系的文字补上．如下面例 1 中 “设还需要 B 型车 x 辆 ”，而在答中 “至少需要 11 台 B 型车 ”．这一点要应十分注意． 【典型例题】 类型一、简单应用题 = 100%×利润利润率 进价 3 210 10 10abcd a b c d= × + × + × +2 1.蓝天运输公司要将 300 吨物资运往某地，现有 A、B 两种型号的汽车可供调用．已知 A 型汽车每辆最多可装该物资 20 吨，B 型汽车每辆最多可装该物资 15 吨．在每辆车不超载 的条件下，要把这 300 吨物资一次性装运完．问：在已确定调用 7 辆 A 型车的前提下至少还 需调用 B 型车多少辆？ 【思路点拨】本题的数量关系是：7 辆 A 型汽车装载货物的吨数+B 型汽车装货物的吨数 ≥300 吨，由此可得出不等式，求出自变量的取值范围，找出符合条件的值． 【答案与解析】 解：设需调用 B 型车 x 辆，由题意得： ， 解得： ， 又因为 x 取整数，所以 x 最小取 11． 答：在已确定调用 7 辆 A 型车的前提下至少还需调用 B 型车 11 辆． 【总结升华】解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的不等量关 系． 举一反三： 【变式】（2015•香坊区二模）某商场共用 2200 元同时购进 A、B 两种型号的背包各 40 个， 且购进 A 型号背包 2 个比购进 B 型号背包 1 个多用 20 元． （1）求 A、B 两种型号背包的进货单价各为多少元？ （2）若该商场把 A、B 两种型号背包均按每个 50 元的价格进行零售，同时为了吸引消费者， 商场拿出一部分背包按零售价的 7 折进行让利销售．商场在这批背包全部销售完后，若总获 利不低于 1350 元，求商场用于让利销售的背包数量最多为多少个？ 【答案】 解：（1）设 A 型背包每个为 x 元，B 型背包每个为 y 元，由题意得 ， 解得： ． 答：A、B 两种型号背包的进货单价各为 25 元、30 元； （2）设商场用于让利销售的背包数量为 a 个， 由题意得，50×70a%+50（40×2﹣a）﹣2200≥1350， 解得：a≤30． 所以，商场用于让利销售的背包数数量最多为 30 个． 答：商场用于让利销售的背包数数量最多为 30 个． 类型二、阅读理解型 2. 用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素 C 含量及购买这两种 原料的价格如下表： 7 20 15 300x× + ≥ 210 3x≥3 甲种原料 乙种原料 维生素 C 含量（单位•千克） 600 100 原料价格（元•千克） 8 4 现配制这种饮料 10kg，要求至少含有 4200 单位的维生素 C，若所需甲种原料的质量为 xkg， 则 x 应满足的不等式为（　　） A．600x+100（10-x）≥4200 B．8x+4（100-x）≤4200 C．600x+100（10-x）≤4200 D．8x+4（100-x）≥4200 【思路点拨】首先由甲种原料所需的质量和饮料的总质量，表示出乙种原料的质量，再结合 表格中的数据，根据“至少含有 4200 单位的维生素 C”这一不等关系列不等式． 【答案】A 【解析】 解：若所需甲种原料的质量为 xkg，则需乙种原料（10-x）kg． 根据题意，得 600x+100（10-x）≥4200． 【总结升华】能够读懂表格，会把文字语言转换为数学语言． 【变式】（2015 春•西城区期末）为了落实水资源管理制度，大力促进水资源节约，某地实 行居民用水阶梯水价，收费标准如下表： （1）小明家 5 月份用水量为 14 立方米，在这个月，小明家需缴纳的水费为　 　元； （2）小明家 6 月份缴纳水费 110 元，在这个月，小明家缴纳第二阶梯水价的用水量为 　 立方米； （3）随着夏天的到来，用水量将会有所增加，为了节省开支，小明家计划 7 月份的水费不 超过 180 元，在这个月，小明家最多能用水多少立方米？ 【答案】解：（1）由表格中数据可得：0≤x≤15 时，水价为：5 元/立方米， 故小明家 5 月份用水量为 14 立方米，在这个月，小明家需缴纳的水费为：14×5=70（元）； （2）∵15×5=75＜110，75+6×7=117＞110， ∴小明家 6 月份使用水量超过 15 立方米但小于 21 立方米， 设小明家 6 月份使用水量为 x 立方米， ∴75+（x﹣15）×7=110， 解得：x=20， 故小明家缴纳第二阶梯水价的用水量为：20﹣15=5（立方米）， 故答案为：5； （3）设小明家能用水 a 立方米，根据题意可得： 117+（a﹣21）×9≤180， 解得：a≤28． 答：小明家计划 7 月份的水费不超过 180 元，在这个月，小明家最多能用水 28 立方 米．4 类型三、方案选择型 3.（2015•龙岩）某公交公司有 A，B 型两种客车，它们的载客量和租金如下表： A B 载客量（人/辆） 45 30 租金（元/辆） 400 280 红星中学根据实际情况，计划租用 A，B 型客车共 5 辆，同时送七年级师生到基地校参加社 会实践活动，设租用 A 型客车 x 辆，根据要求回答下列问题： （1）用含 x 的式子填写下表： 车辆数（辆） 载客量 租金（元） A x 45x 400x B 5﹣x __________ ___________ （2）若要保证租车费用不超过 1900 元，求 x 的最大值； （3）在（2）的条件下，若七年级师生共有 195 人，写出所有可能的租车方案，并确定最省 钱的租车方案． 【思路点拨】（1）根据题意，载客量=汽车辆数×单车载客量，租金=汽车辆数×单车租金， 列出代数表达式即可； （2）根据题意，表示出租车总费用，列出不等式即可解决； （3）由（2）得出 x 的取值范围，一一列举计算，排除不合题意方案即可． 【答案与解析】 解：（1）∵载客量=汽车辆数×单车载客量，租金=汽车辆数×单车租金， ∴B 型客车载客量=30（5﹣x）；B 型客车租金=280（5﹣x）； 故填：30（5﹣x）；280（5﹣x）． （2）根据题意，400x+280（5﹣x）≤1900，解得：x≤4 ， ∴x 的最大值为 4； （3）由（2）可知，x≤4 ，故 x 可能取值为 0、1、2、3、4， ①A 型 0 辆，B 型 5 辆，租车费用为 400×0+280×5=1400 元， 但载客量为 45×0+30×5=150＜195，故不合题意舍去； ②A 型 1 辆，B 型 4 辆，租车费用为 400×1+280×4=1520 元， 但载客量为 45×1+30×4=165＜195，故不合题意舍去； ③A 型 2 辆，B 型 3 辆，租车费用为 400×2+280×3=1640 元， 但载客量为 45×2+30×3=180＜195，故不合题意舍去； ④A 型 3 辆，B 型 2 辆，租车费用为 400×3+280×2=1760 元， 但载客量为 45×3+30×2=195=195，符合题意； ⑤A 型 4 辆，B 型 1 辆，租车费用为 400×4+280×1=1880 元， 但载客量为 45×4+30×1=210，符合题意； 故符合题意的方案有④⑤两种，最省钱的方案是 A 型 3 辆，B 型 2 辆． 【总结升华】此题主要考查了一次不等式的综合应用，由题意得出租用 x 辆甲种客车与总租 金关系是解决问题的关键． 举一反三： 【变式】黄冈某地“杜鹃节”期间，某公司 70 名职工组团前往参观欣赏，旅游景点规定：①5 门票每人 60 元，无优惠；②上山游玩可坐景点观光车，观光车有四座和十一座车，四座车 每辆 60 元，十一座车每人 10 元．公司职工正好坐满每辆车且总费用不超过 5000 元，问公 司租用的四座车和十一座车各多少辆? 【答案】 解：设四座车租 x 辆，则十一座车租 辆． 依题意 70×60+60x+(70-4x)×10≤5000， 将不等式左边化简后得：20x+4900≤5000， 不等式两边减去 3500 得 20x≤100， 不等式两边除以 20 得 x≤5， 又∵ 是整数，∴ ， ． 答：公司租用四座车 l 辆，十一座车 6 辆． 4.响应“家电下乡”的惠农政策，某商场决定从厂家购进甲、乙、丙三种不同型号的 电冰箱 80 台，其中甲种电冰箱的台数是乙种电冰箱台数的 2 倍，购买三种电冰箱的总金额 不超过 132 000 元．已知甲、乙、丙三种电冰箱的出厂价格分别为：1200 元/台、1600 元/ 台、2000 元/台． （1）至少购进乙种电冰箱多少台？ （2）若要求甲种电冰箱的台数不超过丙种电冰箱的台数，则有哪些购买方案？ 【思路点拨】（1）关系式为：甲种电冰箱用款+乙种电冰箱用款+丙种电冰箱用款≤132000， 根据此不等关系列不等式即可求解；（2）关系式为：甲种电冰箱的台数≤丙种电冰箱的台 数，以及（1）中得到的关系式联合求解． 【答案与解析】 解：（1）设购买乙种电冰箱 x 台，则购买甲种电冰箱 2x 台，丙种电冰箱（80-3x）台， 根据题意得 1200×2x+1600x+（80-3x）×2000≤132000 解这个不等式得 x≥14 ∴至少购进乙种电冰箱 14 台； （2）根据题意得 2x≤80-3x 解这个不等式得 x≤16 由（1）知 x≥14 ∴14≤x≤16 又∵x 为正整数 ∴x=14，15，16． 70 4 11 x− 70 4 11 x− 1x = 70 4 611 x− =6 所以，有三种购买方案 方案一：甲种电冰箱为 28 台，乙种电冰箱为 14 台，丙种电冰箱为 38 台. 方案二：甲种电冰箱为 30 台，乙种电冰箱为 15 台，丙种电冰箱为 35 台. 方案三：甲种电冰箱为 32 台，乙种电冰箱为 16 台，丙种电冰箱为 32 台． 【总结升华】探求不等关系时，要注意捕捉“大于”、“超过”、“不少于”、“不足”、 “ 至 多 ” 等 表 示 不 等 关 系 的 关 键 词 ， 通 过 这 些 词 语 ， 可 以 直 接 找 到 不 等 关 系 ．7 实际问题与一元一次不等式（提高）巩固练习 【巩固练习】 一、选择题 1．毛笔每支 2 元，钢笔每支 5 元，现有的购买费用不足 20 元，则购买毛笔和钢笔允许的情 况是 ( ) A．5 支毛笔，2 支钢笔 B．4 支毛笔，3 支钢笔 C．0 支毛笔，5 支钢笔 D．7 支毛笔，1 支钢笔 2．小明用 100 元钱去购买三角板和圆规共 30 件，已知三角板每副 2 元，每个圆规 5 元，那 么小明最多能买圆规 ( ) A．12 个 B．13 个 C．14 个 D．15 个 3．某风景区招待所有一两层客房，底层比二层少 5 间，一旅行团共有 48 人，若全部安排住 底层，每间住 4 人，房间不够；而每间住 5 人，有的房间未住满；若全部安排住二层，每 间住 3 人，房间也不够；每间住 4 人，有的房间未住满．这家招待所的底层共有房间 ( ) A．9 间 B．10 间 C．11 间 D．12 间 4．一个两位数，某个位数字比十位数字大 2，已知这个两位数不小于 20，不大于 40，那么 这个两位数是多少？为了解决这个问题，我们可设个位数字为 x，那么可列不等式（ ）． A．20≤10（x-2）+x≤40 B．20＜10（x-2）+x＜40 C．20≤x-2+x≤40 D．20≤10x+x-2≤40 5．张红家离学校 1600 米，一天早晨由于有事耽误，结果吃完饭时只差 15 分钟就上课，忙 中出错，出门时又忘了带书包，结果回到家又取书包共用 3 分钟，只好坐小汽车去上学，小 汽车的速度是 36 千米／时，小汽车行驶了 1 分 30 秒时又发生堵车，她等了半分钟后，路还 没有畅通，于是下车又开始步行，问：张红步行速度至少是( )时，才不至于迟到． A．60 米/分 B．70 米/分 C．80 米/分 D．90 米/分 6．（2014•射阳县校级模拟）现用甲、乙两种运输车将 46 吨抗旱物资运往灾区，甲种运输车 载重 5 吨，乙种运输车载重 4 吨，安排车辆不超过 10 辆，则甲种运输车至少应安排（　　） A．4 辆 B．5 辆 C．6 辆 D．7 辆 二、填空题 7．若 ，试用 表示出不等式 的解集 . 8．有 10 名菜农，每人可种甲种蔬菜 3 亩或乙种蔬菜 2 亩，已知甲种蔬菜每亩可收入 0.5 万 元，乙种蔬菜每亩可收 0.8 万元，若要使总收入不低于 15.6 万元，则至多只能安排_______ 人种甲种蔬菜． 9．某种肥皂零售价每块 2 元，对于购买两块以上(含两块)，商场推出两种优惠销售办法： 第一种为一块按原价，其余按原价的七折优惠；第二种为全部按原价的八折优惠．在购买相 同数量的情况下，要使第一种办法比第二种办法得到的优惠多，最少需要购买肥皂______ 块． 10．韩日“世界杯”期间，重庆球迷一行 56 人从旅馆乘出租车到球场为中国队加油．现有 A、B 两个出租车队，A 队比 B 队少 3 辆车．若全部安排 A 队的车，每车坐 5 人，车不够，每 辆坐 6 人，有的车未坐满．若全部安排乘 B 队的车，每辆车坐 4 人，车不够；每辆车坐 5 人， 有的车未坐满．A 队有出租车__________辆． 11．发电厂派汽车去拉煤，已知大货车每辆装 10 吨，小货车每辆装 5 吨，煤场共有煤 152 吨，现派 20 辆汽车去拉，其中大货车 x 辆，要一次将煤拉回电厂，至少需派多少辆大货车? 5m > m (5 ) 1m x m x− > − +8 列式为_______________________________________________________． 12．（2014 春•邹平县期末）一艘轮船上午 6：00 从长江上游的 A 地出发，匀速驶往下游的 B 地，于 11：00 到达 B 地，计划下午 13：00 从 B 地匀速返回，如果这段江水流速为 3km/h， 且轮船在静水中的往返速度不变，那么该船至少以　 　 km/h 的速度返回，才能不晚于 19：00 到达 A 地． 三、解答题 13．在杭州市中学生篮球赛中，小方共打了 10 场球(每场得分均为整数)．他在第 6，7，8， 9 场比赛中分别得了 22，15，12 和 19 分，他的前 9 场比赛的平均得分 y 比前 5 场比赛的平 均得分 x 要高．如果他所参加的 10 场比赛的平均得分超过 18 分． (1)用含 x 的代数式表示 y； (2)小方在前 5 场比赛中，总分可达到的最大值是多少? (3)小方在第 10 场比赛中，得分可达到的最小值是多少？ 14．某公司为了扩大经营，决定购进 6 台机器用于生产某种活塞，现有甲、乙两种机器供选 择，其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示，经过预算，本次购买机 器耗资不能超过 34 万元． 甲 乙 价格(万元/台) 7 5 每台日产量(个) 100 60 (1)按该公司要求可以有几种购买方案？ (2)若该公司购进的 6 台机器的日生产能力不低于 380 个，那么为了节约资金应选择哪 种方案？ 15．某单位计划 10 月份组织员工到杭州旅游，人数估计在 10～25 人之间，甲、乙两旅行社 的服务质量都较好，且组织到杭州旅游的价格都是每人 200 元，该单位联系时，甲旅行社表 示可以给予每位旅客 7.5 折优惠；乙旅行社表示可免去一带队领导的旅游费用，其他游客 8 折优惠，问该单位怎样选择，可使其支付的旅游总费用较少？ 16．（2015•开江县二模）某村为解决村民出行难的问题，村委会决定将一条长为 1200m 的村 级公路硬化，并将该项工程承包给甲、乙两工程队来施工．并将该项工程承包给甲、乙两工 程队来施工，若甲、乙两队做需 12 天完成此项工程；若甲队先做了 8 天后，剩下的由乙队 单独做还需 18 天才能完工． （1）问甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？ （2）又已知甲队每施工一天需要费用 2 万元，乙队每施工一天需要费用 1 万元，要使完成 该工程所需费用不超过 35 万元，则乙工程队至少要施工多少天？ 【答案与解析】 一、选择题 1．【答案】D； 【解析】代入验证． 2．【答案】B； 【解析】设买圆规 件，由题意得： ≤100，得 ≤ ，且 为正整数， 所以 最大取 13． 3．【答案】B； x 5 2(30 )x x+ − x 1133 x x9 【解析】设底层有房间 间，由题意得： 得： ，又 为正整数， 所以 ． 4．【答案】A； 5．【答案】B； 【 解 析 】 设 张 红 步 行 速 度 x 米 ／ 分 才 不 至 于 迟 到 ， 由 题 意 可 列 不 等 式 引 ≥ ，化简得 10x≥700，x≥70，故选 B． 6．【答案】C； 【解析】解：设甲种运输车安排 x 辆，乙种运输车安排 y 辆， 根据题意得 ，解得：x≥6， 故至少甲要 6 辆车． 故选 C． 二、填空题 7．【答案】 ； 【解析】因为 ，所以 ，原不等式可化为： ，两边 同除以（ ），得 8．【答案】4； 【解析】设安排 人种甲种蔬菜，可得 ≥15.6，得 ≤4． 9．【答案】4； 【解析】解：设要使第一种办法比第二种办法得到的优惠多，需要购买肥皂 x 块，则： 2+0.7•2（x-1）＜0.8•2x， 得：x＞3．最少需要购买肥皂 4 块时，第一种办法 比第二种办法得到的优惠多． 10．【答案】10； 11．【答案】10x ＋ 5 (20 –x ) ≥152； 12．【答案】33； 【解析】解：设船 xkm/h 的速度返回，根据题意得出： 6（x﹣3）≥5（x+3） 解得：x≥33， ∴该船至少以 33km/h 的速度返回，才能不晚于 19：00 到达 A 地． 故答案为：33． 三、解答题 13．【解析】 解：(1)因为前 5 场比赛的平均得分为 x，则前 5 场比赛的得分之和为 5x，故有 x 4 48 5 48 3( 5) 48 4( 5) 48 x x x x  +  39 115 x< < x 10x = 1 1[15 3 (1 )]2 2x − − + 11600 600 12 − × 1 4 mx m −< − 5m > 4 5 0m m− < − < (4 ) 1m x m− > − 4 m− 1 4 mx m −< − x 3 0.5 2(10 ) 0.8x x× + − × x10 ． (2)依题意： y-x＞0， 则有： ，解得：x＜17． 所以小方前 5 场比赛中总分的最大值应为：17×5-1＝84(分)． (3)由题意，小方在这 10 场比赛中得分至少为 18×10+1＝181(分)． 设他在第 10 场比赛中的得分为 S．则有 84+(22+15+12+19)+S≥181，解得 S≥29． 答：小方在第 10 场比赛中的得分的最小值为 29 分． 14．【解析】 解：(1)设购买甲种机器 x 台，乙种机器（6-x）台． 由题意，得 7x+5(6-x)≤34． 解不等式，得 x≤2，故 x 可以取 0，l，2 三个值， 所以，该公司按要求可以有以下三种购买方案： 方案一：不购买甲种机器，购买乙种机器 6 台； 方案二：购买甲种机器 1 台，购买乙种机器 5 台； 方案三：购买甲种机器 2 台，购买乙种机器 4 台； (2)按方案一购买机器，所耗资金为 30 万元，日生产量 6×60＝360(个)；按方案二购买， 所耗资金为 1×7+5×5＝32（万元），日生产量为 1×100+5×60＝400（个），按方案三购买， 所耗资金为 2×7+4×5＝34(万元)；日生产量为 2×100+4×60＝440（个）．因此，选择方案 二既能达到生产能力不低于 380（个），又比方案三节约 2 万元资金，故应选择方案二． 15．【解析】 解：设该单位到杭州旅游的人数为 x 人，选择甲旅行社所需费用为 元；选择乙旅行社所 需费用为 元，则 ， 200(x-l)×0.8=160x-160， ＝150x-160x+160＝160-10x． (1)若 160-10x＞0，即 x＜16 时， ； (2)若 160-10x＝0，即 x＝16 时， ； (3)若 l60-10x＜0，即 x＞16 时， ． ∴当旅游人数为 16 人时，选择甲、乙两旅行社中任何一家都行． 当旅游人数在 10～15 人之间时，选择乙旅行社， 当旅游人数在 17～25 人之间时，选择甲旅行社． 16．【解析】 解：（1）设甲单独做需要用 x 天，乙单独做需要 y 天，根据题意可得： 5 22 15 12 19 5 68 9 9 9 xy x + + + += = + 5 68 9 9x x+ > y甲 y乙 200 0.75 150y x x= × =甲 y =乙 y y− 乙甲 y y> 乙甲 y y= 乙甲 y y< 乙甲11 ， 解得： ． 答：甲单独做需要用 20 天，乙单独做需要 30 天； （2）甲的工效：1200÷20=60，乙的工效：1200÷30=40， ∵2×20=40＞35， ∴设乙需要做 a 天，由题意可得： 2× +a≤35， 解得：a≥15． 答：乙工程队至少要施工 15 天．