导学案——一次函数与一元一次不等式

1 导学案——一次函数与一元一次不等式 【学习目标】 1．能用函数的观点认识一次函数、一次方程（组）与一元一次不等式之间的联系，能直观 地用图形（在平面直角坐标系中）来表示方程（或方程组）的解及不等式的解，建立数 形结合的思想及转化的思想． 2．能运用一次函数的性质解决简单的不等式问题及实际问题． 【要点梳理】 【高清课堂：393614 一次函数与一元一次不等式，知识要点】 要点一、一次函数与一元一次不等式 　　由于任何一个一元一次不等式都可以转化为 ＞0 或 ＜0 或 ≥0 或 ≤0（ 、 为常数， ≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数 的值大于 0（或小于 0 或大于等于 0 或小于等于 0）时求相应的自变量的取值范 围. 要点诠释：求关于 的一元一次不等式 ＞0（ ≠0）的解集，从“数”的角度 看，就是 为何值时，函数 的值大于 0.从“形”的角度看，确定直线 在 轴（即直线 ＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围. 要点二、一元一次方程与一元一次不等式 我们已经学过，利用不等式的性质可以解得一个一元一次不等式的解集，这个不等式的 解集的端点值就是我们把不等式中的不等号变为等号时对应方程的解. 要点三、如何确定两个不等式的大小关系 （ ≠ ，且 ）的解集 的函数值大于 的函数值时的自变量 取值范围 直线 在直线 的上方对应的点的横 坐标范围． 【典型例题】 类型一、一次函数与一元一次不等式 【高清课堂：393614 一次函数与一元一次不等式，例 1】 1、已知一次函数 的图象过第一、二、四象限，且与 轴交于点（2，0）， 则关于 的不等式 ＞0 的解集为（　　） A． ＜－1 B． ＞－1 C． ＞1 D． ＜1 【答案】A； 【解析】∵一次函数 的图象过第一、二、四象限，∴ ＞0， ＜0， 把（2，0）代入解析式 得：0＝2 ＋ ， ax b+ ax b+ ax b+ ax b+ a b a y ax b= + x ax b+ a x y ax b= + y ax b= + x y ax b cx d+ > + a c 0ac ≠ ⇔ y ax b= + y cx d= + x ⇔ y ax b= + y cx d= + y ax b= + x x ( )1a x b− − x x x x y ax b= + b a y ax b= + a b2 解得： ＝－2，∵ ＞0， ∴ ， ∴ －1＜ ， ∴ ＜－1， 【总结升华】本题主要考查对一次函数与一元一次不等式的关系，一次函数的性质，一次函 数图象上点的坐标特征，解一元一次不等式等的理解和掌握，能根据一次函数的性质得出 、 的正负，并正确地解不等式是解此题的关键． 举一反三： 【变式】如图，直线 与坐标轴的两个交点分别为 A（2，0）和 B（0，－3），则不 等式 ＋3≥0 的解集是（　　） A． ≥0 B． ≤0 C． ≥2 D． ≤2 【答案】A； 提示：从图象上知，直线 的函数值 随 的增大而增大，与 轴的交点 为 B（0，－3），即当 ＝0 时， ＝－3，所以当 ≥0 时，函数值 ≥－ 3． 2、（2015•武汉模拟）已知：一次函数 y=kx+b 中，当自变量 x=3 时，函数值 y=5；当 x=﹣4 时，y=﹣9． （1）求这个一次函数解析式； （2）解关于 x 的不等式 kx+b≤7 的解集． 【思路点拨】（1）把两组对应值分别代入 y=kx+b 得到关于 k、b 的方法组，然后解方程组 求出 k 和 b，从而可确定一次函数解析式；（2）解一元一次不等式 2x﹣1≤7 即可． 【答案与解析】 解：（1）根据题意得 ，解得 ， 所以一次函数解析式为 y=2x﹣1； （2）解 2x﹣1≤7 得 x≤4． 【总结升华】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次 函数的解析式时，先设 y=kx+b；将自变量 x 的值及与它对应的函数值 y 的值代入所设的解 b a ( )1a x b− − ( )1a x b− > x b a x a b y kx b= + kx b+ x x x x y kx b= + y x y x y x kx b+3 析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出 函数解析式． 举一反三： 【变式】（2015 春•成武县期末）如图，直线 y=kx+b 经过 A（2，1），B（﹣1，﹣2）两点， （1）求直线 y=kx+b 的表达式； （2）求不等式 x＞kx+b＞﹣2 的解集． 【答案】解：（1）∵直线 y=kx+b 经过 A（2，1），B（﹣1，﹣2）两点， ∴代入得： ， 解得：k=1，b=﹣1． ∴直线 y=kx+b 的表达式为 y=x﹣1； （2）由（1）得： x＞x﹣1＞﹣2， 即 ， 解得：﹣1＜x＜2． 所以不等式 x＞kx+b＞﹣2 的解集为﹣1＜x＜2． 3、（2016 春•乳山市期末）如图，直线 y=kx+b 分别与 x 轴、y 轴交于点 A（﹣2，0）， B（0，3）；直线 y=1﹣mx 分别与 x 轴交于点 C，与直线 AB 交于点 D，已知关于 x 的不等 式 kx+b＞1﹣mx 的解集是 x＞﹣ ． （1）分别求出 k，b，m 的值； （2）求 S△ACD． 【思路点拨】（1）首先利用待定系数法确定直线的解析式，然后根据关于 x 的不等式 kx+b＞ 1﹣mx 的解集是 x＞﹣ 得到点 D 的横坐标，进而确定点 D 的坐标，再代入解析式求 m 的4 值． （2）收下确定直线与 x 轴的交点坐标，然后利用三角形的面积公式计算即可． 【答案与解析】 解：（1）∵直线 y=kx+b 分别与 x 轴、y 轴交于点 A（﹣2，0），B（0，3）， ，解得：k= ，b=3， ∴y= x+3 ∵关于 x 的不等式 kx+b＞1﹣mx 的解集是 x＞﹣ ， ∴点 D 的横坐标为﹣ ， 将 x=﹣ 代入 y= x+3，得：y= ， 强 x=﹣ ，y= 代入 y=1﹣mx， 解得：m=1； （2）对于 y=1﹣x，令 y=0，得：x=1， ∴点 C 的坐标为（1，0）， ∴S△ACD= ×[1﹣（﹣2）]× = ． 【总结升华】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系及数形结合思想的应用．解决此 类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合． 类型二、用一次函数的性质解决不等式的实际问题 4、某电信公司开设了甲、乙两种市内移动通信业务，甲种使用者每月需缴 15 元月租 费，然后通话每分钟再付话费 0.3 元，乙种使用者不缴月租费，通话每分钟付费 0.6 元，若一个月内通话时间为 分钟，甲、乙两种业务的费用分别为 和 元． (1)试分别写出 、 与 之间的函数关系式； (2)画出 、 的图象； (3)利用图象回答，根据一个月的通话时间，你认为选哪种通信业务更优惠? 【思路点拨】收费与通话时间有关，分别写成两种收费方式的函数模型(建立函数关系式)， 然后再考虑自变量为何值时两个函数值相等，从而做出选择． 【答案与解析】 解：(1)根据题意可得： ( ≥0)， ( ≥0)． (2)利用两点可画 ( ≥0)和 ( ≥0)的图象，如下图所示． x 1y 2y 1y 2y x 1y 2y 1 0.3 15y x= + x 2 0.6y x= x 1 0.3 15y x= + x 2 0.6y x= x5 (3)由图象可知：两个函数的图象交于点(50，30)，这表示当 ＝50 时，两个函数的值 都等于 30．因此一个月内，通话时间为 50 分钟．选哪一种通话业务都行，因为付 费都是 30 元，当一个月内通话时间低于 50 分钟时，选乙种业务更优惠，当一个月 内通话时间大于 50 分钟时，选甲种业务更优惠． 【总结升华】解决这类问题首先根据题意确定函数解析式，然后在坐标系内画出函数，找到 它们的交点，从而得函数值相等时的自变量的取值，然后根据这一取值就可作出正确的选 择 ． x6 【巩固练习】 一.选择题 1.（2014 春•玉环县期中）如图，已知一次函数 y=kx+b 的图象，当 x＜0，y 的取值范围是 （　　） A．y＞0 B．y＜0 C．y＜﹣2 D．2＜y＜0 2. 已知一次函数 的图象经过一、二、三象限，且与 轴交于点（－2，0），则不 等式 的解集为（　　） A． ＞－2 B． ＜－2 C． ＞2 D． ＜2 3. 观察下列图象，可以得出不等式组 的解集是（　　） A． ＜ B． ＜ ＜0 C．0＜ ＜2 D． ＜ ＜2 4. 已知 ， ，当 ＞－2 时， ＞ ；当 ＜－2 时， ＜ ，则 直线 和直线 的交点是（　　） A．（－2，3） B．（－2，－5） C．（3，－2） D．（－5，－ 2） 5. 一次函数 与 的图象如图，则下列结论中① ＜0；② ＞0；③当 ＜3 时， ＜ ；④方程组 的解是 ．正确的个数是（　 ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 3 1 0 0.5 1 0 x x + > − + > 1 3 1 3 − 1 3 − 1 2 y kx b y x a = +  = + 3 1 x y =  = y ax b= + x ax b> x x x x x x x x 1 1y x= − + 2 2 1y x= − − x 1y 2y x 1y 2y 1 1y x= − + 2 2 1y x= − − 1y kx b= + 2y x a= + k a x 1y 2y7 6. （2016•长沙模拟）如图，直线 y=﹣x+m 与 y=nx+3n（n≠0）的交点的横坐标为﹣1，则 关于 x 的不等式﹣x+m＞nx+3n＞0 的整数解为（　　） A．﹣1 B．﹣5 C．﹣4 D．﹣2 二.填空题 7. 如图，直线 与 轴交于（0，3），则当 ＜0 时， 的取值范围是______． 8. （2016•徐汇区二模）如果直线 y=kx+b（k＞0）是由正比例函数 y=kx 的图象向左平移 1 个单位得到，那么不等式 kx+b＞0 的解集是　 　． 9. 一次函数 （ ， 都是常数）的图象过点 P（－2，1），与 轴相交于 A（－ 3，0），则根据图象可得关于 的不等式组 0≤ ＜－ 的解集为________. 10.如图，函数 和 的图象相交于点 A（ ，3），则不等式 的解 集为___________. 1 2 y kx b= + y x y y ax b= + a b x x ax b+ x 2y x= 4y ax= + m 2 4x ax< +8 11.（2014•杭州模拟）已知直线 y1=x， ， 的图象如图，若无论 x 取 何值，y 总取 y1、y2、y3 中的最小值，则 y 的最大值为　 　． 12.如图，直线 过点 A（0，2），且与直线 交于点 P（1， ）,则不等 式组 的解集是__________. 三.解答题 13. 如图，直线 ： 与直线 ： 在同一平面直角坐标系内交于点 P． （1）写出不等式 ＞ 的解集： （2）设直线 与 轴交于点 A，求△OAP 的面积． 14.（2015•济宁）小明到服装店进行社会实践活动，服装店经理让小明帮助解决以下问题： 服装店准备购进甲乙两种服装，甲种每件进价 80 元，售价 120 元，乙种每件进价 60 元， 售价 90 元．计划购进两种服装共 100 件，其中甲种服装不少于 65 件． 1y kx b= + 2y mx= 2mx kx b mx> + > − m 1l 2y x= 2l 3y kx= + 2x 3kx + 2l x9 （1）若购进这 100 件服装的费用不得超过 7500 元，则甲种服装最多购进多少件？？ （2）在（1）的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠 a（0＜a＜20）元的价格进行促 销活动，乙种服装价格不变，那么该服装店应如何调整进货方案才能获得最大利润？ 15.已知一次函数 的图象经过点（－1，－5），且与函数 的图象相交于 点 A( ， )． （1）求 的值； （2）求不等式组 0＜ ＜ 的正整数解； （3）若函数 图象与 轴的交点是 B，函数 的图象与 轴的交点是 C， 求四边形 ABOC 的面积． 【答案与解析】 一.选择题 1. 【答案】C； 【解析】解：由函数图象可以看出，当 x＜0 时，y＜﹣2，故选 C． 2. 【答案】C； 【解析】把点（－2，0），代入即可得到： ＝0．即 ＝0．不等式 的 解集就是求函数 ＞0， 与 平行，与 轴交于 （2，0），故当 ＞2 时，不等式 成立．则不等式 的解集为 ＞ 2． 3. 【答案】D； 【解析】 ＞0 的解集即为 的函数值大于 0 的对应的 的取值范围，第二 个不等式的即为直线 的函数值大于 0 的对应的 的取值范围，求 出它们的公共解集即可． 4. 【答案】A； 【解析】由已知得，当 ＝－2 时，两函数值相等，将 ＝－2 代入 或 中得： ＝ ＝3，∴两直线交点坐标为（－2，3）． 5. 【答案】B； 【解析】①④正确；根据 和 的图象可知： ＜0， ＜0，所以当 ＜3 时，相应的 的值， 图象均高于 的图象．根据交点坐标的值也就是满 足函数解析式组成方程组的值，所以方程组的解也就是交点的坐标． 6.【答案】D； 【解析】∵直线 y=﹣x+m 与 y=nx+3n 的交点的横坐标为﹣1，∴关于 x 的不等式﹣x+m＞ nx+3n 的解集为 x＜﹣1，∵y=x+3=0 时，x=﹣3，∴nx+3n＞0 的解集是 x＞﹣3，∴﹣x+m＞ nx+3n＞0 的解集是﹣3＜x＜﹣1，所以不等式﹣x+m＞nx+3n＞0 的整数解为﹣2. y kx b= + 1 12y x= + 8 3 a a kx b+ 1 12 x + y kx b= + x 1 12y x= + y 2a b− + 2a b− ax b> y ax b= − y ax b= − y ax b= + x x ax b> ax b> x 3 1x + 3 1y x= + x 0.5 1y x= − − x x x 1y 2y 1y 2y 1y kx b= + 2y x a= + k a x x 1y 2y10 二.填空题 7. 【答案】 ＞3； 【解析】 ＜0 所对应的图象在 轴的左边，即 ＞3. 8. 【答案】x＞﹣1； 【解析】∵直线 y=kx+b（k＞0）是由正比例函数 y=kx 的图象向左平移 1 个单位得到， ∴y=kx+b 经过（﹣1，0），∴不等式 kx+b＞0 的解集是：x＞﹣1． 9. 【答案】－3≤ ＜－2； 【解析】先用待定系数法求出一次函数的待定系数，然后再将 、 的值代入不等式组 中进行求解． 10.【答案】 ； 【解析】∵函数 和 的图象相交于点 A（ ，3），∴3＝2 ， ，∴ 点 A 的坐标是（ ，3）∴不等式 的解集为 . 11.【答案】2； 【解析】解：根据题意，y 的最大值为直线 y2 与 y3 的交点的纵坐标， 联立 ， 解得 ， 所以，当 x=3 时，y 的值最大，为 2． 故答案为：2． 12.【答案】1＜ ＜2； 【解析】由图象可知 ＜0， ＝2， ＞0， ，即 ，由 得 ，即 2 ＞2， ＞1.由 得 ， 即 ＜2.故所求解集为 1＜ ＜2. 三.解答题 13.【解析】 解：（1）从图象中得出当 ＞1 时，直线 ： 在直线 ： 的上方， mx kx b> + 2kx b mx+ > − y x y y x a b 3 2x < 2y x= 4y ax= + m m 3 2m = 3 2 2 4x ax< + 3 2x < x k b m k b m+ = 2m k− = ( )m k x b− > x x ( ) 2m k x b− < + x x x 1l 2y x= 2l 3y kx= +11 ∴不等式 ＞ 的解集为： ＞1； （2）把 ＝1 代入 ，得 ＝2，∴点 P（1，2）， ∵点 P 在直线 上，∴2＝ ＋3，解得： ＝－1， ∴ ，当 ＝0 时，由 0＝－ ＋3 得 ＝3， ∴点 A（3，0）， ∴ ＝ ×3×2＝3． 14.【解析】 解：（1）设甲种服装购进 x 件，则乙种服装购进（100﹣x）件， 根据题意得： ， 解得：65≤x≤75， ∴甲种服装最多购进 75 件； （2）设总利润为 W 元， W=（120﹣80﹣a）x+（90﹣60）（100﹣x） 即 w=（10﹣a）x+3000． ①当 0＜a＜10 时，10﹣a＞0，W 随 x 增大而增大， ∴当 x=75 时，W 有最大值，即此时购进甲种服装 75 件，乙种服装 25 件； ②当 a=10 时，所以按哪种方案进货都可以； ③当 10＜a＜20 时，10﹣a＜0，W 随 x 增大而减小． 当 x=65 时，W 有最大值，即此时购进甲种服装 65 件，乙种服装 35 件． 15.【解析】 解：（1）把( ， )代入解析式 得到： ； （2）由（1）得 ， ， ∴0＜ 解得： ， ∴正整数解为 ； （3）直线 与 轴交于点 C（0，1），直线 与 轴交于点 B( )， ∴ . 1 2 2x 3kx + x x 2y x= y 3y kx= + k k 3y x= − + y x x OAPS△ 8 3 a 1 12y x= + 7 3a = 2k = 3b = − 12 3 12x x− < + 3 8 2 3x< < 2x = 1 12y x= + y 2 3y x= − x 3 02 ， 1 3 7 1 8 3712 2 3 2 3 12AOB AOCABOCS S S= + = × × + × × =△ △四边形