《一元一次不等式与不等式组》全章复习与巩固

1 《一元一次不等式与不等式组》全章复习与巩固 【学习目标】 1.理解不等式的有关概念，掌握不等式的三条基本性质； 2.理解不等式的解（解集）的意义，掌握在数轴上表示不等式的解集的方法； 3.会利用不等式的三个基本性质，熟练解一元一次不等式或不等式组； 4.会根据题中的不等关系建立不等式（组），解决实际应用问题； 5.通过讨论一次函数与方程（组）及不等式的关系，从运动变化的角度，用函数的观点加深 对已经学习过的方程（组）及不等式等内容的再认识. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、不等式 1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式. 要点诠释： （1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. （2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如 ， 等；另一种是 用数轴表示，如下图所示： （3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式． 2. 不等式的性质： 不等式的基本性质 1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 用式子表示：如果 a＞b，那么 a±c＞b±c 不等式的基本性质 2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． x a> x a≤2 用式子表示：如果 a＞b，c＞0，那么 ac＞bc(或 )． 不等式的基本性质 3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果 a＞b，c＜0，那么 ac＜bc(或 )． 要点二、一元一次不等式 1. 定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高 次数是 1，这样的不等式叫做一元一次不等式． 要点诠释：ax+b＞0 或 ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式． 2.解法： 解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1. 要点诠释：不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定 边界点，二是定方向，三是定空实. 3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即： （1）审：认真审题，分清已知量、未知量； （2）设：设出适当的未知数； （3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于” “至少”“不超过”“超过”等关键词的含义； （4）列：根据题中的不等关系，列出不等式； （5）解：解出所列的不等式的解集； （6）答：检验是否符合题意，写出答案. 要点诠释： 列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大 于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键. 要点三、一元一次不等式组 　　关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组． 要点诠释： （1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集. （2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组. （3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的 公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集. （4）一元一次不等式组的应用：①根据题意构建不等式组，解这个不等式组；②由不等式 组的解集及实际意义确定问题的答案． 要点四、一次函数与一元一次方程、一元一次不等式（组）　 函 数 问 题 方程（组）、不等式问题 从“数”的角度看 从“形”的角度看 求关于 、 的一元一次 为何值时，函数 的 确 定 直 线 与 轴 a b c c > a b c c < x y x y ax b= + y ax b= + x3 方程 ＝0（ ≠0） 的解 值为 0？ （即直线 ＝0）交点的横坐 标. 求关于 、 的二元一次 方 程 组 的 解． 为何值时，函数 与 函数 的值相等？ 确定直线 与直线 的交点的坐标. 求关于 的一元一次不等 式 ＞0（ ≠0）的 解集 为何值时，函数 的 值大于 0？ 确 定 直 线 在 轴 （即直线 ＝0）上方部分的 所有点的横坐标的范围. 【典型例题】 类型一、不等式 1.用适当的语言翻译下列小题： （1）x 与 9 的差是正数或 0； （2）b 与-5 的和既不是正数也不是负数； （3）y 的 5 倍既大于 x 又小于 3x+2； （4）a 的 2 倍与-4 的差小于 5 或大于 7； （5） ； （6） ； （7） （8） 【答案与解析】 解：（1）x -9≥0； （2）b+(-5)=0； （3）x10y，∴10x -10y>0 ∴-(8-l0x)>-(8-l0y)． 按题意-(8-l0x)>0，则 10x>8． ∴ ． ∴x 的最小正整数值是 1． 【总结升华】两个数量的大小可以通过它们的差来判断： ① ； ② ； ③ ． 举一反三： 【变式】己知：x0． ∴2-4x>18x-9． 类型二、一元一次不等式 【高清课堂：一元一次不等式章节复习 410551 例 3（3）】 3. 已知关于 x 的不等式 的解集是 ，求 a 的取值范围. 【答案与解析】 解：解法一： ， ， ∵它的解集为 ， ， . 解法二： 是关于 x 方程 的解， ，解得 ． . 4 5x > 0a b a b> ⇔ − > 0a b a b= ⇔ − = 0a b a b< ⇔ − < ( ) ( )1 15 1 22 2x ax− − > + 1 2x > 5 2 2x ax− − > + (1 ) 9a x∴ − > 1 2x > 1 0 9 1 1 2 a a − >∴ = − 17a∴ = − 1 2x = ( ) ( )1 15 1 22 2x ax− − = + 1 1 1 1( 5) 1 ( 2)2 2 2 2 a∴ − − = + 17a = − 17a∴ = −5 【总结升华】不等式解集中的端点值就是对应方程的解. 举一反三： 【变式 1】如果关于ｘ的不等式 正整数解为 1、2、3, 则正整数ｋ应取怎样 的值? 【答案】解不等式得： ． 　　　　∵ｋ为正整数且 中的正整数解为 1，2，3， 　　　　∴ ． 　　　　∴ ． 【变式 2】（2015•南通）关于 x 的不等式 x﹣b＞0 恰有两个负整数解，则 b 的取值范围是 （　　） A．﹣3＜b＜﹣2 B．﹣3＜b≤﹣2 C．﹣3≤b≤﹣2 D．﹣3≤b＜﹣2 【答案】D． 解：由 x﹣b＞0 解得：x＞b， ∵不等式的负整数解只有两个负整数解， ∴﹣3≤b＜﹣2. 类型三、一元一次不等式组 4. 求不等式组 的整数解. 【思路点拨】分别解出各不等式，取所有解集的公共部分. 【答案与解析】 解： 解不等式①得：x＜2 ． 解不等式②得：x≥－1 ． 解不等式③得：x＞-2 ． ∴不等式组的解集为－1≤x＜2 ． 故不等式组的整数解为－1，0,1 ． 【总结升华】求不等式组的特殊解的一般步骤是先求出不等式组的解集，再从中找出符合要 求的特殊解． 【高清课堂：一元一次不等式章节复习 410551 例 4（2）】 举一反三： 06 >+−− xk 6+−< kx 6+−< kx 46 =+− k 2=k ( )2x 7 3 1 x 4 2x 3 1 x3 3 2 5 13 x x    ≥  − < − － ＜ － ＋ － ( )2x 7 3 1 x 4 2x 3 1 x3 3 2 5 13 x x    ≥  − < − － ＜ － ＋ － ① ② ③6 【变式】若关于不等式组 只有四个整数解，求 a 的取值范围. 【答案】 解：由 ，得 ， 由 ，得 ， ∴不等式组的解集为 ， ∵只有四个整数解，∴ ，即 ， ∴a 的取值范围： . 5. 某家电商场计划用 32400 元购进“家电下乡”指定产品中的电视机、冰箱、洗衣机 共 15 台．三种家电的进价和售价如下表所示： 价格 种类 进价（元/台） 售价（元/台） 电视机 2000 2100 冰 箱 2400 2500 洗衣机 1600 1700 (1)在不超出现有资金的前提下，若购进电视机的数量和冰箱的数量相同，洗衣机数量不大 于电视机数量的一半，商场有哪几种进货方案? (2)国家规定：农民购买家电后，可根据商场售价的 13％领取补贴．在(1)的条件下，如果 这 15 台家电全部销售给农民，国家财政最多需补贴农民多少元? 【思路点拨】 (1)设购进电视机、冰箱各 x 台，则洗衣机为(15-2x)台．根据两个关键词： “不大于”、“不超过”就可以建立不等式组，根据 x 的取值讨论确定进货方案．(2)分别求 出(1)中各方案所需的补贴，再比较确定国家财政的最多补贴． 【答案与解析】 解：(1)设购进电视机、冰箱各 x 台． 依题意，得 解这个不等式组得，6≤x≤7 ∵ x 为正整数．∴ x＝6 或 7． 方案一：购进电视机和冰箱各 6 台，洗衣机 3 台； 方案二：购进电视机和冰箱各 7 台，洗衣机 1 台． (2)方案 1 需补贴： (6×2100+6×2500+3×1700)×13％＝4251(元)． 方案二需补贴： 15 32 2 2 3 x x x x a + > − + < + 15 32 x x + > − 21x < 2 2 3 x x a + < + 3 2x a> − + 3 2 21a x− + < < 16 3 2 17a≤ − + < 145 3a− < ≤ − 145 3a− < ≤ − 115 2 2 2000 2400 1600(15 2 ) 32400 x x x x x  − ≤  + + − ≤7 (7×2100+7×2500+1×1700)×13％＝4407(元)． ∴ 国家财政最多需补贴农民 4407 元． 【总结升华】利用不等式解答实际问题的策略是：①根据题意构建不等式(组)；解这个不等 式(组)；②由不等式(组)的整数解的个数确定方案． 类型四、一次函数与一元一次方程、不等式（组） 6.如图，直线 经过 A（－2，－1）和 B（－3，0）两点，则不等式组 的解集为 ． 【答案】 ； 【解析】从图象上看， 的图象在 轴下方，且在 上方的图象为画红线的 部分，而这部分的图象自变量 的范围在 . 【总结升华】也可以先求出 的解析式，然后解不等式得出结果. 举一反三： 【高清课堂 396533 一次函数复习 例 4 】 【变式】如图所示，直线 经过点 A(－1，－2)和点 B(－2，0)，直线 过点 A，则不等式 2 ＜ ＜0 的解集为( ) . A． ＜－2 B．－2＜ ＜－1 C．－2＜ ＜0 D．－1＜ ＜0 【答案】B； y kx b= + 1 02 x kx b< + < 3 2x− < < − y kx b= + x 1 2y x= x 3 2x− < < − y kx b= + y kx b= + 2y x= x kx b+ x x x x8 提示：由图象可知 A(－1，－2)是直线 与直线 的交点，当 ＜－ 1 时 2 ＜ ，当 ＞－2 时， ＜0，所以－2＜ ＜－1 是不等式 2 ＜ ＜0 的解集． 类型五、综合应用 7.已知不等式组 的解集为 ，试求 m，n 的值． 【答案与解析】 解：解不等式 ，得 ． 解不等式 n-4(x-1)＜1，得 ． 因为不等式组的解集为 ， 所以有 ， ∴ ． 答：m、n 的值分别 1 和 3． 【总结升华】先分别求出每一个不等式的解集，再求出这个不等式组的解集，然后根据题意， 建立关于 m、n 的方程求解． 8.（2015•东莞）某电器商场销售 A、B 两种型号计算器，两种计算器的进货价格分别 为每台 30 元，40 元，商场销售 5 台 A 型号和 1 台 B 型号计算器，可获利润 76 元；销售 6 台 A 型号和 3 台 B 型号计算器，可获利润 120 元． （1）求商场销售 A、B 两种型号计算器的销售价格分别是多少元？（利润=销售价格﹣进货 价格） （2）商场准备用不多于 2500 元的资金购进 A、B 两种型号计算器共 70 台，问最少需要购进 A 型号的计算器多少台？ 【答案与解析】 解：（1）设 A 种型号计算器的销售价格是 x 元，B 种型号计算器的销售价格是 y 元，由题 意得： ， 解得： ； 答：A 种型号计算器的销售价格是 42 元，B 种型号计算器的销售价格是 56 元； （2）设购进 A 型计算器 a 台，则购进 B 台计算器：（70﹣a）台， 则 30a+40（70﹣a）≤2500， y kx b= + 2y x= x x kx b+ x kx b+ x x kx b+ 1 03 4( 1) 1 xm n x + − ≥  − − 3 22 x< ≤ 3 1 2 3 3 4 2 m n − = + = 1 3 m n =  =9 解得：a≥30， 答：最少需要购进 A 型号的计算器 30 台． 【总结升华】此题主要考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，根据题意 得出总的进货费用是解题关键． 举一反三： 【变式】某花农培育甲种花木 2 株，乙种花木 3 株，共需成本 1700 元；培育甲种花木 3 株， 乙种花木 1 株，共需成本 1500 元． （1）求甲、乙两种花木每株成本分别为多少元？ （2）据市场调研，1 株甲种花木售价为 760 元， 1 株乙种花木售价为 540 元．该花农 决定在成本不超过 30000 元的前提下培育甲乙两种花木，若培育乙种花木的株数是甲种花 木的 3 倍还多 10 株,那么要使总利润不少于 21600 元，花农有哪几种具体的培育方案？ 【答案】 解：（1）设甲、乙两种花木的成本价分别为 x 元和 y 元． 由题意得： ， 解得： ． （2）设种植甲种花木为 a 株，则种植乙种花木为（3a+10）株． 则有： 解得： ． 由于 a 为整数，∴a 可取 18 或 19 或 20，所以有三种具体方案： ①种植甲种花木 18 株，种植乙种花木 3a+10=64 株； ②种植甲种花木 19 株，种植乙种花木 3a+10=67 株； ③ 种 植 甲 种 花 木 20 株 ， 种 植 乙 种 花 木 3a+10=70 株 .    =+ =+ 15003 170032 yx yx    = = 300 400 y x 400 300(3 10) 30000 , (760 400) (540 300)(3 10) 21600. a a a a + + ≤  − + − + ≥ 13 270 9 160 ≤≤ a10 【巩固练习】 一、选择题 1．（2015•潍坊）不等式组 的所有整数解的和是（　　） A．2 B．3 C．5 D．6 2．某商场的老板销售一种商品，他要以不低于进价 20%价格才能出售，但为了获得更多利 润，他以高出进价 80%的价格标价．若你想买下标价为 360 元的这种商品，最多降价多少 时商店老板才能出售（　　）． A．80 元 B．100 元 C．120 元 D．160 元 3．已知一次函数 的图象过第一、二、四象限，且与 轴交于点（2，0），则关于 的不等式 的解集为（ ）． A． ＜－1 B． ＞ －1 C． ＞1 D． ＜1 4．若不等式组 有解，则 的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 5．如果不等式 ax+4＜0 的解集在数轴上表示如图,那么 a 的值是(　　) ． A．a ＞0 　　　B．a＜0 　　　C．a=－2 　　　D．a=2 6. 中央电视台 2 套“开心辞典”栏目中，有一期的题目如图所示，两个天平都平衡，则与 两个球体质量相等的正方体的个数为( ) ． A．5 B．4 C．3 D．2 7．如果一次函数当自变量 的取值范围是 时，函数值 的取值范围是 ， 那么此函数的解析式是(　 ) ． A． 　　　　　　　　　　 B． 　 C． 或 　　 　D． 或 8.已知 为非零有理数，下面四个不等式组中，解集有可能为 的不等式组是 （ ）． y ax b= + x x ( 1) 0a x b− − > x x x x 1 2x x k < ≤  > k 2k < 2k ≥ 1k < 1 2k≤ < ,a b 2 2x− <   > 1 1 ax bx >  + > − x 9 0 8 0 x a x b − ≥  −   − + > − + − ① ② x    ≥− − 9 3 5 k+ 9 3 0 ,5 k+ ≥ 0 9a< ≤ 24 32b< ≤14 15．【答案】3，1； 【解析】由于本密码的解密钥匙是： 明文 a，b 对应的密文为 a-2b，2a+b． 故当密文是 1，7 时， 得 ， 解得 ． 也就是说，密文 1，7 分别对应明文 3，1． 16．【答案】1＜a≤2． 【解析】先把 a 看成一个固定数，解关于 x 的不等式组，再由不等式组的解集研究 a 的 取值范围． 三.解答题 17.【解析】 解： ， 由不等式①移项得：4x+x＞1﹣6， 整理得：5x＞﹣5， 解得：x＞﹣1，…（1 分） 由不等式②去括号得：3x﹣3≤x+5， 移项得：3x﹣x≤5+3， 合并得：2x≤8， 解得：x≤4， 则不等式组的解集为﹣1＜x≤4． 在数轴上表示不等式组的解集如图所示， 18.【解析】 解： 原不等式组可化为： ，∴ ，根据条件可得： 且 ， 解得 ， 当 时， ． 19.【解析】 解：（1）设新建 1 个地上停车位需要 x 万元，新建 1 个地下停车位需 y 万元， 根据题意，得 ， 解得： 2 1 2 7 a b a b − =  + = 3 1 a b =  =    +≥ +< nmx mx 23 42      +≥ +< 3 2 2 4 nmx mx 2 4 3 2 +