导学案——平移与旋转

1 导学案——平移与旋转 【学习目标】 1.理解平移、旋转的基本概念，掌握平移、旋转的基本特征，并能利用平移与旋转的性质进行证明有关 问题； 2.知道一个图形进行平移后所得的图形与原图形之间所具有的联系和性质，能用平移变换有关知识说明 一些简单问题及进行图形设计；理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼 此相等的性质； 3.能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形，并能利用旋转进行简单的图案设计. 【要点梳理】 要点一、平移 1. 定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移． 要点诠释： （1）图形的平移的两要素：平移的方向与平移的距离． （2）图形的平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置. 2. 性质： 图形的平移实质上是将图形上所有点沿同一方向移动相同的距离，平移不改变线段、角的大小，具 体来说： （1）平移后，对应线段平行（或共线）且相等； （2）平移后，对应角相等； （3）平移后，对应点所连线段平行（或共线）且相等； （4）平移后，新图形与原图形的形状与大小不变. 要点诠释： （1）“连接各组对应点的线段”的线段的长度实际上就是平移的距离． (2)要注意“连接各组对应点的线段”与“对应线段”的区别，前者是通过连接平移前后的对应点得到 的，而后者是原来的图形与平移后的图形上本身存在的. 3. 作图： 平移作图是平移基本性质的应用，在具体作图时，应抓住作图的“四步曲”——定、找、移、连． (1)定：确定平移的方向和距离； (2)找：找出表示图形的关键点； (3)移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点； (4)连：按原图形顺次连接对应点． 要点二、旋转的概念 把一个图形绕着某一点 O 转动一个角度的图形变换叫做旋转.点 O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋 转角(如∠AOA′),如果图形上的点 A 经过旋转变为点 A′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点.2 要点诠释：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度. 要点三、旋转的性质 (1)对应点到旋转中心的距离相等（OA=OA′）；　　 (2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；　 　(3)旋转前、后的图形的形状与大小不变. 要点诠释：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转. 要点四、旋转的作图 在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向 旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形． 要点诠释：　 作图的步骤： (1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心； (2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）； 　　(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点； 　　(4)连接所得到的各对应点. 【典型例题】 类型一、平移 1．如图所示，平移△ABC，使点 A 移动到点 A′，画出平移后的△A′B′C′． 【思路点拨】平移一个图形，首先要确定它移动的方向和距离，连接 AA′后这个问题便获得解决．根据 平移后的图形与原来的图形的对应线段平行(或在一条直线上)且相等，容易画出所求的线段． 【答案与解析】 解：如图所示，3 （1）连接 AA′，过点 B 作 AA′的平行线 ，在 上截取 BB′＝AA′，则点 B′就是点 B 的对应点． （2）用同样的方法做出点 C 的对应点 C′，连接 A′B′、B′C′、C′A′， 就得到平移后的三角形 A′B′C′． 【总结升华】平移一个图形，首先要确定它移动的方向和距离．连接 AA′，这个问题就解决了，然后分 别把 B、C 按 AA′的方向平移 AA′的长度，便可得到其对应点 B′、C′，这就是确定了关键点平移后的 位置，依次连接 A′B′，B′C′，C′A′便得到平移后的三角形 A′B′C′． 2．如图所示，将△ABC 沿直线 AB 向右平移后到达△BDE 的位置，若∠CAB＝50°，∠ABC＝100°， 则∠CBE 的度数为________． 【答案】30° 【解析】根据平移的特征可知：∠EBD＝∠CAB＝50°而∠ABC＝100° 所以∠CBE＝180°-∠EBD-∠ABC＝180°-50°-100°＝30° 【总结升华】图形在平移的过程有“一变两不变”、“一变”是位置的变化，“两不变”是形状和大小不 变．本例中由△ABC 经过平移得到△BED．则有 AC＝BE，AB＝BD，BC＝DE，∠A＝∠EBD，∠C＝∠E， ∠ABC＝∠BDE． 举一反三： 【变式】（2015•临淄区一模）如图，将△ABC 沿 BC 方向平移 2cm 得到△DEF，若△ABC 的周长为 16cm， 则四边形 ABFD 的周长为　 　． 【答案】20； 解：∵△ABC 沿 BC 方向平移 2cm 得到△DEF， ∴CF=AD=2cm，AC=DF， ∵△ABC 的周长为 16cm， ∴AB+BC+AC=16cm， ∴四边形 ABFD 的周长=AB+BC+CF+DF+AD l l4 =AB+BC+AC+CF+AD =16cm+2cm+2cm =20cm． 故答案为：20cm． 类型二、旋转的概念及性质 3.如图，把四边形 AOBC 绕点 O 旋转得到四边形 DOEF.在这个旋转过程中： （1）旋转中心是谁? （2）旋转方向如何? （3）经过旋转,点 A、B 的对应点分别是谁？ （4）图中哪个角是旋转角？ （5）四边形 AOBC 与四边形 DOEF 的形状、大小有何关系？ （6）AO 与 DO 的长度有什么关系？ BO 与 EO 呢？ （7）∠AOD 与∠BOE 的大小有什么关系？ 【答案与解析】 （1）旋转中心是点 O； （2）旋转方向是顺时针方向； （3）点 A 的对应点是点 D,点 B 的对应点是点 E； (4)∠AOD 和∠BOE； (5)四边形 AOBC 与四边形 DOEF 的图形全等，即形状一致，大小相等； （6）AO=DO,BO=EO； (7)∠AOD=∠BOE. 【总结升华】通过具体实例认识旋转，了解旋转的概念和性质. 举一反三 【变式】如图所示：O 为正三角形 ABC 的中心．你能用旋转的方法将△ABC 分成面积相等的三部分 吗？如果能，设计出分割方案，并画出示意图． 【答案】下面给出几种解法： 　　解法一：连接 OA、OB、OC 即可．如图甲所示； 　　解法二：在 AB 边上任取一点 D，将 D 分别绕点 O 旋转 120°和 240°得到 D1、D2， 连接 OD、OD1、 OD2 即得，如图乙所示．5 　解法三：在解法二中，用相同的曲线连结 OD、OD1、OD2 即得如图丙所示 　　 　 4.如图，将图(1)中的正方形图案绕中心旋转 180°后，得到的图案是(　) 　　 【答案】C. 【解析】抓住图形特征，观察图中的每个小的图形绕中心点旋转 180°后能否与自身重合. 【总结升华】在解题的过程中，可看出如果选取的基本图形不同，可得到不同的形成过程，甚至所 选取的基本图形相同，也有不同的形成过程，因此分析图案的形成过程旨在了解图形的变化规律， 而不必强求分析的一致性． 类型三、旋转的作图 5. 如图，已知△ABC 与△DEF 关于某一点对称，作出对称中心. 　　　　　 【答案与解析】 　　　　　　 【总结升华】确定关于某点成中心对称的两个图形的对称中心的方法： 　　⑴利用中心对称的性质：对称点所连线段被对称中心所平分，所以连接任意一对对称点，取这 条线段的中点，则该点即为对称中心； 　　⑵利用中心对称的性质：对称点所连线段都经过对称中心，所以连接任意两对对称点，则这两 条线段的交点即为对称中心. 6.（2015•南宁）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为 A（﹣1，1）， B（﹣3，1），C（﹣1，4）．6 （1）画出△ABC 关于 y 轴对称的△A1B1C1； （2）将△ABC 绕着点 B 顺时针旋转 90°后得到△A2BC2，请在图中画出△A2BC2，并求出线段 BC 旋转过 程中所扫过的面积（结果保留 π）． 【思路点拨】（1）根据题意画出△ABC 关于 y 轴对称的△A1B1C1 即可；（2）根据题意画出△ABC 绕着点 B 顺时针旋转 90°后得到△A2BC2，线段 BC 旋转过程中扫过的面积为扇形 BCC2 的面积，求出即可． 【答案与解析】 解：（1）如图所示，画出△ABC 关于 y 轴对称的△A1B1C1； （2）如图所示，画出△ABC 绕着点 B 顺时针旋转 90°后得到△A2BC2， 由勾股定理得，BC= ， 线段 BC 旋转过程中所扫过得面积 S=π = ． 【总结升华】此题考查了作图﹣旋转变换，对称轴变换，以及扇形面积，作出正确的图形是解本题的关 键． 举一反三 【变式】如图，画出 绕点 逆时针旋转 所得到的图形． 2 22 +3 = 13 2 113 4 ×（ ） ABC∆ O 100°7 【答案】 (∠AOA′=∠BOB′=∠COC′=100°)8 平移与旋转--巩固练习 【巩固练习】 一、选择题 1．如图所示的图形中的小三角形可以由△ABC 平移得到的有 ( ) A．3 个 B．4 个 C．5 个 D．6 个 2.（2015•哈尔滨）如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，将△ABC 绕点 A 顺时针旋转 90°后得到的 △AB′C′（点 B 的对应点是点 B′，点 C 的对应点是点 C′），连接 CC′．若∠CC′B′=32°，则∠B 的大小是（　　） A．32° B．64° C．77° D．87° 3.下面生活中的物体的运动情况可以看成平移的是（ ）． （1）摆动的钟摆；（2）在笔直的公路上行驶的汽车；（3）随风摆动的旗帜； （4）摇动的大绳；（5）汽车玻璃上雨刷的运动；（6）从楼顶自由落下的球（球不旋转）． A．（1）（3） B．（4）（5） C．（3）（5） D．（2）（6） 4.如图，4×4 的正方形网格中，△MNP 绕某点旋转一定的角度，得到△M 1N1P1，则其旋转中心可能是 ( )． A．点 A B．点 B C．点 C D．点 D 5．如图①，在宽为 20m、长为 30m 的矩形地面上修建两条同样宽度的道路，余下部分作为耕地．根据图 中数据，可得耕地的面积为 ( ) A．600m2 B．551m2 C．550m2 D．500m29 6.如图，在正方形 ABCD 中，E 为 DC 边上的点，连结 BE，将△BCE 绕点 C 顺时针方向旋转 90°得到 △DCF，连结 EF，若∠BEC=60°，则∠EFD 的度数为( ) 　　　 　　A.10°　　　 B.15°　 C.20°　　　 D.25° 二、填空题 7.（2015 春•博野县期末）图形在平移时，下列特征中不发生改变的有　 　（把你认为正确 的序号都填上）， ①图形的形状；②图形的位置；③线段的长度；④角的大小；⑤垂直关系；⑥平行关系． 8.如图所示，△ABC 经过平移得到△A′B′C′，图中△_________与△_________大小形状不变，线段 AB 与 A′B′的位置关系是________，线段 CC′与 BB′的位置关系是________． 9.（2015•吉林）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=5cm，BC=12cm，将△ABC 绕点 B 顺时针旋转 60°，得到△BDE，连接 DC 交 AB 于点 F，则△ACF 与△BDF 的周长之和为　 　cm． 10.针表的分针匀速旋转一周需要 60 分钟，则经过 15 分钟，分针旋转了__________度. 11.如图，在等腰直角△ABC 中， B=90°，将△ABC 绕顶点 A 逆时针方向旋转 60°后得到△AB′C ′, 则 等于__________度. 12.如图，△ABC 以点 A 为旋转中心，按逆时针方向旋转 60°，得△AB′C′，则△ABB′是______三 角形. 10 　 三.解答题 13.如图，将四边形 ABCD 平移到四边形 EFGH 的位置，根据平移后对应点所连的线段平行且相等，写出 图中平行的线段和相等的线段． 14.（2014 秋•吉安校级期中）等边△OAB 在平面直角坐标系中，已知点 A（2，0），将△OAB 绕点 O 顺时 针方向旋转 a°（0＜a＜360）得△OA1B1． （1）求出点 B 的坐标； （2）当 A1 与 B1 的纵坐标相同时，求出 a 的值； （3）在（2）的条件下直接写出点 B1 的坐标． 15.如图所示，在长为 50m，宽为 22m 的长方形地面上修筑宽度都为 2 m 的道路，余下的部分种植花草， 求种植花草部分的面积． 【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】C； 【解析】图中小三角形△BDE，△CEF，△DGH，△EHI，△FIJ 都可以由△ABC 平移得到． 2.【答案】C； 【解析】解：由旋转的性质可知，AC=AC′， ∵∠CAC′=90°，可知△CAC′为等腰直角三角形，则∠CC′A=45°． ∵∠CC′B′=32°，11 ∴∠C′B′A=∠C′CA+∠CC′B′=45°+32°=77°， ∵∠B=∠C′B′A， ∴∠B=77°， 故选 C． 3．【答案】D； 【解析】（1）摆动的钟摆，方向发生改变，不属于平移； （2）在笔直的公路上行驶的汽车沿直线运动，属于平移； （3）随风摆动的旗帜，形状发生改变，不属于平移； （4）摇动的大绳，方向发生改变，不属于平移； （5）汽车玻璃上雨刷的运动，方向发生改变，不属于平移； （6）从楼顶自由落下的球沿直线运动，属于平移． ∴可以看成平移的是（2）（6）．故选 D. 4．【答案】B； 【解析】连接对应点 ,做三条线段的垂直平分线，交点即是旋转中心. 5．【答案】B； 6．【答案】B； 【解析】因为△BCE 旋转 90°得到△DCF，所以 EC=CF,∠CFD=∠CEB=60°, 即∠EFC=45°，所以∠EFD=60° 45°=15°. 二、填空题 7.【答案】①③④⑤⑥； 【解析】解：由图形平移的性质，知图形在平移时，其特征不发生改变的有①③④⑤⑥． 8.【答案】ABC， A′B′C′，平行，平行； 【解析】平移的性质． 9.【答案】42； 【解析】解：∵将△ABC 绕点 B 顺时针旋转 60°，得到△BDE， ∴△ABC≌△BDE，∠CBD=60°， ∴BD=BC=12cm， ∴△BCD 为等边三角形， ∴CD=BC=CD=12cm， 在 Rt△ACB 中，AB= =13， △ACF 与△BDF 的周长之和=AC+AF+CF+BF+DF+BD=AC+AB+CD+BD=5+13+12+12=42（cm）， 故答案为：42． 10.【答案】90°； 【解析】 °. 11.【答案】105°； 【解析】∠BAC′=∠BAB′+∠B′AC′=60°+45°=105°. 12.【答案】等边三角形； 【解析】因为△ABC 旋转 60°得到△ ，则 AB= AB′,∠BAB′=60°， 所以是等边三角形. 1 1 1, ,PP MM NN - o 15360 =9060 × ' 'ABC12 三、解答题 13.【解析】 解：平行的线段：AE∥BG∥DH，相等的线段：AE＝BF＝OG＝DH． 14.【解析】 解：（1）如图 1 所示过点 B 作 BC⊥OA，垂足为 C． ∵△OAB 为等边三角形， ∴∠BOC=60°，OB=BA． ∵OB=AB，BC⊥OA， ∴OC=CA=1． 在 Rt△OBC 中， ， ∴BC= ． ∴点 B 的坐标为（1， ）． （2）如图 2 所示： ∵点 B1 与点 A1 的纵坐标相同， ∴A1B1∥OA． ①如图 2 所示：当 a=300°时，点 A1 与点 B1 纵坐标相同． 如图 3 所示： 当 a=120°时，点 A1 与点 B1 纵坐标相同． ∴当 a=120°或 a=300°时，点 A1 与点 B1 纵坐标相同．13 （3）如图 2 所示：由旋转的性质可知 A1B1=AB=2，点 B 的坐标为（1，2）， ∴点 B1 的坐标为（﹣1， ）． 如图 3 所示：由旋转的性质可知：点 B1 的坐标为（1，﹣ ）． ∴点 B1 的坐标为（﹣1， ）或（1，﹣ ）． 15.【解析】 解：如图所示②把几条 2 米宽的小路分别平移到大长方形的上边缘和左边缘，则种植花草部分汇 集成一个长方形， 显然，这个长方形的长是 50-2＝48(m)，宽是 22-2＝20(m)， 于是种植花草部分的面积为 48×20＝960(m2)．