导学案——中心对称

1 导学案——中心对称 【学习目标】 1、理解中心对称和中心对称图形的定义和性质，掌握他们之间的区别和联系； 2、掌握关于原点对称的点的坐标特征，以及如何求对称点的坐标； 3、探索图形之间的变化关系（轴对称、平移、旋转及其组合），灵活运用轴对称、平移和旋 转的组合进行图案设计． 【要点梳理】 要点一、中心对称和中心对称图形 1.中心对称图形：　把一个图形绕着中心旋转 180°后能与自身重合，这种图形叫做中心对 称图形，这个中心叫做对称中心． 要点诠释：(1)中心对称图形指的是一个图形； （2）线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形. 2.中心对称：　把一个图形绕着某一个点旋转 180°，如果它能够与另一个图形重合，那么 就说这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的 对称点． 要点诠释：（1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同； （2）位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转 180°能够与另 一个图形重合. 3.中心对称与中心对称图形的区别与联系： 　 中心对称 中心对称图形 区 别 ①指两个图形之间的相互位置 关系． ②对称中心不定． ① 指 一 个 图 形 本 身 成 中 心 对 称． ②对称中心是图形自身或内部 的点． 联 系 如果将中心对称的两个图形看 成一个整体（一个图形），那么 这个图形就是中心对称图形． 如果把中心对称图形对称的部 分看成是两个图形，那么它们又 关于中心对称． 要点二、关于原点对称的点的坐标特征 关于原点对称的两个点的横、纵坐标均互为相反数.即点 关于原点的对称点 坐标为 ，反之也成立. 要点三、中心对称、轴对称、旋转对称 1.中心对称图形与旋转对称图形的比较：2 2.中心对称图形与轴对称图形比较： 要点诠释：中心对称图形是特殊的旋转对称图形；掌握三种图形的不同点和共同点是灵活运 用的前提. 【典型例题】 类型一、中心对称和中心对称图形 1. 下列图形不是中心对称图形的是 ( ) A．①③ B．②④ C．②③ D．①④ 【答案】D 【解析】中心对称图形要求绕中心旋转 180°与原图形重合，①④两个图形绕中心旋转 180°不能与原图形重合，所以选 D. 【总结升华】中心对称的关键是：旋转 180°之后可以与原来的图形重合. 举一反三　3 【变式】如图，若正方形 EFGH 由正方形 ABCD 绕某点旋转得到，则可以作为旋转中心的是（　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　A．M 或 O 或 N 　　　B．E 或 O 或 C 　　　C．E 或 O 或 N 　　　D．M 或 O 或 C 【答案】A 2.（2014 春•灌云县校级月考）如图，△ABC 与△DEF 关于点 O 对称，请你写出两个三角形中的对 称点，相等的线段，相等的角． 【思路点拨】利用中心对称的定义及性质直接写出即可． 【答案与解析】 解：对称点为：A 和 D、B 和 E、C 和 F； 相等的线段有 AC=DF、AB=DE、BC=EF； 相等的角有：∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F． 【总结升华】本题考查了中心对称的性质及定义，中心对称的两个图形的对应角相等，对应边的比相 等． 类型二、作图 3. 已知：如图甲，试用一条直线把图形分成面积相等的两部分（至少三种方法）. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　4 【答案与解析】 【总结升华】解决这类问题时，关键是将图形转化成两个中心对称图形（如果原图形本身就是中心 对称图形，则直接过对称中心作直线即可），再由两点确定一条直线，过两个对称中心画直线即满 足条件. 举一反三　 【变式】（2014•北京某中学期中）物体受重力作用的作用点叫做这个物体的重心．例如一根均匀的棒， 重心是棒的中点，一块均匀的三角形木板，重心就是这个三角形三条中线的交点，等等． （1）你认为平行四边形的重心位置在哪里？请说明理由； （2）现有如图的一块均匀模板，请只用直尺和铅笔，画出它的重心（直尺上没有刻度，而且不允许用 铅笔在直尺上做记号）． 【答案】（1）平行四边形的重心是两条对角线的交点． 如图，平行四边形 ABCD 是中心对称图形，对角线的交点 O 是对称中心， 经过点 O 与对边相交的任何一条线段都以点 O 为中点（如图中线段 PQ）， 因此点 O 是各条线段的公共重心，也是平行四边形 ABCD 的重心． （2）把模板分成两个矩形，连接各自的中心； 把模板重新分成两个矩形，得到连接各自中心的第二条线段，点 G 即为该模板的重心． 类型三、利用图形变换的性质进行计算或证明5 4. 某同学学习了几何中的对称后，忽然想起了过去做过一道题：有一组数排成方阵，如图所示， 试计算这组数的和.这个同学想，方阵就象正方形，正方形是轴对称图形，也是中心对称图形，能不能 利用轴对称和中心对称的思想来解决方阵的计算问题吗？这个同学试了试，竟得到了非常巧妙的方法， 你也能试试看吗？ 　 　　 【思路点拨】从方阵中的数看出，一条对角线上的数都是 5，若把这条对角线当作轴，把正方形翻折一 下，对称位置的两数之和都是 10，这样方阵中数的和即可求.也可考虑：把方阵绕中心旋转 180°，就 得到另一方阵，再加到原来的方阵上去，就得到所有的数都是 10 的方阵，这一方阵数的和亦可求. 【答案】125. 【解析】 解法一： 　　解法二： 　　 　　此题还可引伸成解决其它数学问题. 　　当在求一组有规律的数的和时，经常会用到对称思想.如： 　　 　　考虑： 　　 　　所以 总结升华】数形结合是学习数学的一种重要思想方法. 举一反三6 【变式】如图，三个圆是同心圆，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 . 4 π7 中心对称--巩固练习 【巩固练习】 一. 选择题 1. 选出下列图形中的中心对称图形( ) 　 　　 A.①②　　　 B.①③ 　　　C.②③ 　　　D.③④ 2.（2015 春•鄄城县期末）如图，△ABC 与△A1B1C1 关于点 O 成中心对称，下列说法： ①∠BAC=∠B1A1C1；②AC=A1C1； ③OA=OA1；④△ABC与△A1B1C1 的面积相等，其中正确的有（　　） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 3.在线段、等腰梯形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、等边三角形中，既是轴对称图形，又是 中心对称图形的图形有(　 ) 　　A.3 个 　　　B.4 个 　　　C.5 个　　　 D.6 个 4.下列说法正确的是(　 ) 　　A.两个会重合的三角形一定成轴对称 　　B.两个会重合的三角形一定成中心对称 　　C.成轴对称的两个图形中，对称线段平行且相等 　　D.成中心对称的两个图形中，对称线段平行(或在同一条直线上)且相等 5.下列两个电子数字成中心对称的是（　　） A B C D 6．在下列四种图形变换中，本题图案不包含的变换是( ) ①中心对称　②旋转　③轴对称　 ④平移 A．①② B．②③　C．③④　D．①④8 二. 填空题 7. 如图，若将△ABC 绕点 O 顺时针旋转 180°后得到△ ，则 A 点的对应点 点的坐标是 ________. 　　　　　　　　　　　　　　　 8.（2015 秋•寿宁县期中）将五个边长都为 3cm 的正方形按如图所示摆放，点 A、B、C、D 分别是四个正 方形的中心，则图中四块阴影面积的和是　 　cm2． 9．绕一定点旋转 180°后与原来图形重合的图形是中心对称图形，正六边形就是这样的图形．小 明发现将正六边形绕着它的中心旋转一个小于 180°的角，也可以使它与原来的正六边形重合， 请你写出小明发现的一个旋转角的度数：_____________________. 10.在平面直角坐标系中，已知点 P0 的坐标为(1，0)，将点 P0 绕着原点 O 按逆时针方向旋转 60° 得点 P1，延长 OP1 到点 P2，使 OP2=2OP1，再将点 P2 绕着原点 O 按逆时针方向旋转 60°得点 P3， 则点 P3 的坐标是_____.　　 11.如图所示，△ABC 中，∠BAC＝120°，∠DAE＝60°，AB＝AC，△AEC 绕点 A 旋转到△AFB 的位 置；∠FAD＝__________，∠FBD＝__________． 　　　　　　　　　 12.如图，矩形 OABC 的顶点 O 为坐标原点，点 A 在 x 轴上，点 B 的坐标为（2，1）．如果将矩形 0ABC 绕点 O 旋转 180°旋转后的图形为矩形 OA1B1C1，那么点 B1 的坐标为_____________. A B C′ ′ ′ A′9 　　　　　　　　　　 三． 综合题 13. 如图，△DEF 是由△ABC 绕点 O 顺时针旋转 180°后得到的图形. 　(1)请指出图中所有相等的线段； 　(2)写出图中所有相等的角； 　(3)图中哪些三角形可以看成是关于点 O 成中心对称的？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 14.（2014 春•宜春期末）如图，矩形 ABCD 在平面直角坐标系的位置如图，A（0，0）、B（6，0）、D（0， 4）． （1）根据图形直接写出点 C 的坐标：　 　； （2）已知直线 m 经过点 P（0，6）且把矩形 ABCD 分成面积相等的两部分，请只用直尺准确地画出直线 m，并求该直线 m 的解析式． 15. 如图， 为边的 是等边三角形， 求 AP 的最大、最小值. 　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　 　　 【答案与解析】 一、选择题10 1．【答案】B； 2．【答案】D； 【解析】解：中心对称的两个图形全等，则①②④正确； 对称点到对称中心的距离相等，故③正确； 故①②③④都正确． 故选 D． 3．【答案】B 【解析】既是轴对称图形，又是中心对称图形的图形有线段、矩形、菱形、正方形. 4．【答案】D 5．【答案】A 【解析】B、C、和 D 选项中的两个电子数字旋转 180 度后的图形不能和原图形完全重合，故不是中心对称图形； 只有 A 选项中的两个电子数字所组成的图形是中心对称图形． 故选 A． 6．【答案】D 【解析】旋转 180°与原图像不能重合，所以①是错误的；平移应该是整个图形通过平移得到新 图形，所以④是错误的. 二、填空题 7.【答案】(3，-2)； 8.【答案】9； 【解析】解：由中心对称的性质和正方形的性质得，一个阴影部分的面积等于正方形的面积的 ， 所以，四块阴影面积的总和正好等于一个正方形的面积， ∵五个正方形的边长都为 3cm， ∴四块阴影面积的总和为 9（cm2）， 故答案为：9． 9.【答案】60°或 120°. 【解析】正六边形的中心角是 360°÷6=60°，所以旋转角是 60°的倍数即可. 10.【答案】 【解析】准确的画图将为我们研究问题提供较好的思维切入点，据题意，画示意图. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 由图可知，P3 与 P2 关于 y 轴对称，因此只须求得 P2 坐标，而我们可以发现△OP0P2 为含 60°角的 直角三角形，所以可以知道 ， . 11.【答案】60°；60°. 【解析】因为△AEC 绕点 A 旋转到△AFB 的位置，所以△AEC≌△AFB， 即∠FAB=∠EAC,∠ACB=∠FBA,又因为∠BAC＝120°，∠DAE＝60°， 所以∠FAD=∠BAD +∠FAB=∠BAD+∠EAC =120°-60°=60°； 所以∠FBD=∠ABC+∠FBA=∠ABC+∠ACB=180°-120°=60°.11 12.【答案】(-2,-1) 三．解答题 13.【解析】 因为△DEF 是由△ABC 绕点 O 顺时针旋转 180°后得到的，所以这两个三角形关于点 O 成中心对称 (1)图中相等的线段有： (2)图中相等的角有： 　 (3)图中关于点 O 成中心对称的三角形有： 　　　　 △ABC 与△DEF，△ABO 与△DEO，△ACO 与△DFO，△BCO 与△EFO. 14.【解析】 解：（1）∵B（6，0）、D（0，4）， ∴点 C 的横坐标是 6，纵坐标是 4， ∴点 C 的坐标为（6，4）； 故答案为：（6，4）； （2）直线 m 如图所示， 对角线 OC、BD 的交点坐标为（3，2）， 设直线 m 的解析式为 y=kx+b（k≠0）， 则 ， 解得 ， 所以，直线 m 的解析式为 y=﹣ x+6． 15.【解析】已知条件 AB=3，AC=2 与所求的 AP 比较分散.考虑到 是等边三角形， 　　　　　若 绕点 P 逆时针旋转 到 ， 则 可得 是等边三角形， ， 　　　　　则 与所求 就集中到 中 　　　　　（特殊情况 A， ，B 三点在同一直线）.12 　　　　　由于 ， 　　　　　所以 . 　　　　　即 AP 的最大值为 5，最小值为 1.