《图形的平移与旋转》全章复习与巩固

1 《图形的平移与旋转》全章复习与巩固 【学习目标】 1.了解平移、旋转、中心对称，探索它们的基本性质； 2.能够按要求作出简单平面图形经过平移、旋转后的图形，能作出简单平面图形经过一次或两次图形 变换后的图形； 3.利用平移、旋转、中心对称、轴对称及其组合进行图案设计； 4.认识和欣赏轴对称、平移、旋转在现实生活中的应用. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、平移变换 1. 平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为 平移，平移不改变图形的形状和大小． 要点诠释： （1）平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内 的变换； （2）图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离； （3）图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置， 而不改变图形的形状和大小． 2．平移的基本性质：一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行（或在 一条直线上）且相等；对应线段平行（或在一条直线上）且相等，对应角相等． 要点诠释： （1）要注意正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征； （2）“对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等”，这个基本性质既可作为平移 图形之间的性质，又可作为平移作图的依据． 3. 平移与坐标变换： (1)点的平移 点的平移引起坐标的变化规律：在平面直角坐标中，将点(x，y)向右(或左)平移 a 个单位长度，可 以得到对应点(x+a，y)(或(x-a，y))；将点(x，y)向上(或下)平移 b 个单位长度，可以得到对应点(x， y+b)(或(x，y-b))．2 要点诠释：上述结论反之亦成立，即点的坐标的变化引起的点相应的平移变换． (2)图形的平移 平移是图形的整体运动．在平面直角坐标系内，一个图形进行了平移变化，则它上面的所有点的坐 标都发生了同样的变化，其变化规律遵循：“右加左减，纵不变；上加下减，横不变”． 要点诠释： （1）上述结论反之亦成立，即如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数 a，相应的新图形 就是把原图形向右(或向左)平移 a 个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数 a，相 应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移 a 个单位长度． （2）一个图形依次沿 x 轴方向、y 轴方向平移后所得图形，可以看成是由原来的图形经过一次平移得到 的． 要点二、旋转变换 1．旋转概念：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转. 这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角. 要点诠释： （1）旋转后的图形与原图形的形状、大小都相同，但形状、大小都相同的两个图形不一定能通过旋转 得到. （2）旋转的角度一般小于 360°. （3）旋转的三个要素：旋转中心、旋转角度和旋转方向（即顺时针或逆时针方向） ２．旋转变换的性质： 　　一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心 的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等. ３．旋转作图步骤： 　　①分析题目要求，找出旋转中心，确定旋转角. 　　②分析所作图形，找出构成图形的关键点. 　　③沿一定的方向，按一定的角度、旋转各顶点和旋转中心所连线段,从而作出图形中各关键点的对 应点. 　　④ 按原图形连结方式顺次连结各对应点. 要点三、中心对称与图案设计 1．中心对称： 把一个图形绕着某一点旋转 180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称 或中心对称，这个点叫做它们的对称中心，这两个图形称为成中心对称的． 要点诠释：中心对称的性质： 成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分． 2. 中心对称图形： 　　把一个图形绕着某点旋转 180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做 中心对称图形，这个点叫做它的对称中心. 要点诠释：中心对称作图步骤： 　　① 连结决定已知图形的形状、大小的各关键点与对称中心，并且延长至 2 倍，得到各点的对称点. 　　② 按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形. 3.图形变换与图案设计的基本步骤 ①确定图案的设计主题及要求； ②分析设计图案所给定的基本图案；3 ③利用平移、旋转、轴对称对基本图案进行变换，实现由基本图案到各部分图案的有机组合； ④对图案进行修饰，完成图案. 4.平移、轴对称、旋转三种变换的关系： 图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图 形是全等的． 【典型例题】 类型一、平移变换 1. 阅读理解题． （1）两条直线 a，b 相交于一点 O，如图①，有两对不同的对顶角； （2）三条直线 a，b，c 相交于点 O，如图②，则把直线平移成如图③所示的图形，可数出 6 对不同的对 顶角； （3）四条直线 a，b，c，d 相交于一点 O，如图④，用（2）的方法把直线 c 平移，可数出 对不同 的对顶角； （4）n 条直线相交于一点 O，用同样的方法把直线平移后，有 对不同的对顶角； （5）2013 条直线相交于一点 O，用同样的方法把直线平移后，有 对不同的对顶角． 【思路点拨】 （3）画出图形，根据图形得出即可； （4）根据以上能得出规律，有 n（n-1）对不同的对顶角； （5）把 n=2013 代入求出即可． 【答案与解析】 解：（3） 如图有 12 对不同的对顶角， 故答案为：12． （4）有 n（n-1）对不同的对顶角， 故答案为：n（n-1）； （5）把 n=2013 代入得：2013×（2013-1）=4050156，4 故答案为：4050156． 【总结升华】本题考查了平移与对顶角的应用，关键是能根据题意得出规律． 举一反三： 【变式】如图，将周长为 8 的△ABC 沿 BC 方向平移 1 个单位得到△DEF，则四边形 ABFD 的周长为 （　　）． 　　A．6　　 B．8　　 C．10　 　D．12 【答案】C 2．（2015 春•召陵区期中）如图①，将线段 A1A2 向右平移 1 个单位到 B1B2，得到封闭图形 A1A2B2B1 （即阴影部分），在图②中，将折线 A1A2A3 向右平移 1 个单位到 B1B2B3，得到封闭图形 A1A2A3 B3B2B1（即 阴影部分）． （1）在图③中，请你类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移 1 个单位，从而得到一个封闭图 形，并用阴影表示； （2）请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积（设长方形水平方向长均为 a，竖直 方向长均为 b）：S1=　 　，S2=　 　，S3=　 　； （3）如图④，在一块长方形草地上，有一条弯曲的小路（小路任何地方的水平宽度都是 2 个单位），请 你求出空白部分表示的草地面积是多少？ （4）如图⑤，若在（3）中的草地又有一条横向的弯曲小路（小路任何地方的度都是 1 个单位），请你 求出空白部分表示的草地的面积是多少？ 【思路点拨】（1）根据题意，直接画图即可，注意答案不唯一，只要画一条有两个折点的折线，得到一 个封闭图形即可． （2）结合图形，根据平移的性质可知，①②③中阴影部分的面积都可看作是以 a﹣1 为长，b 为宽的长 方形的面积． （3）结合图形，通过平移，阴影部分可平移为以 a﹣2 米为长，b 米为宽的长方形，根据长方形的面积 可得小路部分所占的面积． （4）结合图形可知，小路部分所占的面积=a 米为长，b 米为宽的长方形的面积﹣a 米为长，1 米为宽的 长方形的面积﹣2 米为长，b 米为宽的长方形的面积+2 米为长，1 米为宽的长方形的面积． 【答案与解析】 解：（1）画图如下：5 （2）S1=ab﹣b，S=ab﹣b，S2=ab﹣b，S3=ab﹣b 猜想：依据前面的有关计算，可以猜想草地的面积仍然是 ab﹣b 方案：1、将“小路”沿着左右两个边界“剪去”； 2、将左侧的草地向右平移一个单位； 3、得到一个新的矩形 理由：在新得到的矩形中，其纵向宽仍然是 b．其水平方向的长变成了 a﹣1， 所以草地的面积就是：b（a﹣1）=ab﹣b． （3）∵小路任何地方的水平宽度都是 2 个单位， ∴空白部分表示的草地面积是（a﹣2）b； （4）∵小路任何地方的宽度都是 1 个单位， ∴空白部分表示的草地面积是 ab﹣a﹣2b+2． 【总结升华】本题主要考查了利用平移设计图案，用到的知识点是矩形的性质和平移的性质，能利用平 移的性质把不规则的图形拆分或拼凑为简单图形来计算草地的面积是解题的关键． 举一反三： 【变式】如图，面积为 12cm2 的△ABC 沿 BC 方向平移至△DEF 的位置，平移距离是边 BC 长的两倍，则图 中四边形 ACED 的面积为（ ）． A．24cm2 B．36cm2 C．48cm2 D．无法确定 【答案】B. 四边形 ABED 是平行四边形且 S 四边形 ABED=S 四边形 ACFD，而 S 四边形 ACED=S 四边形 ABED-S△ABC． 类型二、旋转变换 3．正方形 ABCD 中对角线 AC、BD 相交于点 O，E 是 AC 上一点，F 是 OB 上一点，且 OE=OF，回答下 列问题： （1）在图中 1，可以通过平移、旋转、翻折中的哪一种方法，使△OAF 变到△OBE 的位置．请说出其变 化过程． （2）指出图（1）中 AF 和 BE 之间的关系，并证明你的结论． （3）若点 E、F 分别运动到 OB、OC 的延长线上，且 OE=OF（如图 2），则（2）中的结论仍然成立吗？若6 成立，请证明你的结论；若不成立，请说明你的理由． 【思路点拨】 （1）根据图形特点即可得到答案； （2）延长 AF 交 BE 于 M，根据正方形性质求出 AB=BC，∠AOB=∠BOC，证△AOF≌△BOE，推出 AF=BE，∠ FAO=∠EBO，根据三角形内角和定理证出即可； （3）延长 EB 交 AF 于 N，根据正方形性质推出∠ABD=∠ACB=45°，AB=BC，得到∠ABF=∠BCE，同法可证 △ABF≌△BCE，推出 AF=BE，∠F=∠E，∠FAB=∠EBC，得到∠E+∠FAB+∠BAO=90°即可． 【答案与解析】 解：（1）旋转，以点 O 为旋转中心，逆时针旋转 90 度． （2）图（1）中 AF 和 BE 之间的关系：AF=BE；AF⊥BE． 证明：延长 AF 交 BE 于 M， ∵正方形 ABCD， ∴AC⊥BD，OA=OB， ∴∠AOB=∠BOC=90°， 在△AOF 和△BOE 中 ∴△AOF≌△BOE（SAS）， ∴AF=BE，∠FAO=∠EBO， ∵∠EBO+∠OEB=90°， ∴∠FAO+∠OEB=90°， ∴∠AME=90°， ∴AF⊥BE， 即 AF=BE，AF⊥BE． （3）成立；7 证明：延长 EB 交 AF 于 N， ∵正方形 ABCD， ∴∠ABD=∠ACB=45°，AB=BC， ∵∠ABF+∠ABD=180°，∠BCE+∠ACB=180°， ∴∠ABF=∠BCE， ∵AB=BC，BF=CE， ∴△ABF≌△BCE， ∴AF=BE，∠F=∠E，∠FAB=∠EBC， ∵∠F+∠FAB=∠ABD=45°， ∴∠E+∠FAB=45°， ∴∠E+∠FAB+∠BAO=45°+45°=90°， ∴∠ANE=180°-90°=90°， ∴AF⊥BE， 即 AF=BE，AF⊥BE． 【总结升华】本题主要考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，旋转的 性质等知识点的连接和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键． 4. 如图 1，O 为正方形 ABCD 的中心，分别延长 OA、OD 到点 F、E，使 OF＝2OA，OE＝2OD，连接 EF．将△EOF 绕点 O 逆时针旋转 角得到△E1OF1(如图 2)． (1)探究 AE1 与 BF1 的数量关系，并给予证明； (2)当 ＝30°时，求证：△AOE1 为直角三角形． 【思路点拨】(1)要证 AE1＝BF1，就要首先考虑它们是全等三角形的对应边； (2)要证△AOE1 为直角三角形，就要考虑证∠E1AO＝90°. 【答案与解析】 解：(1)AE1＝BF1，证明如下： ∵O 为正方形 ABCD 的中心，∴OA＝OB＝OD.∴OE＝OF . ∵△E1OF1 是△EOF 绕点 O 逆时针旋转 角得到，∴OE1＝OF1. ∵ ∠AOB＝∠EOF＝900， ∴ ∠E1OA＝900－∠F1OA＝∠F1OB. 在△E1OA 和△F1OB 中， ， ∴△E1OA≌△F1OB（SAS）. α α α 1 1 1 1 OE OF E OA FOB OA OB  ∠ ∠  ＝ ＝ ＝8 ∴ AE1＝BF1. (2)取 OE1 中点 G，连接 AG. ∵∠AOD＝900， ＝30° ， ∴ ∠E1OA＝900－ ＝60°. ∵OE1＝2OA，∴OA＝OG，∴ ∠E1OA＝∠AGO＝∠OAG＝60°. ∴ AG＝GE1，∴∠GAE1＝∠GE1A＝30°. ∴ ∠E1AO＝90°. ∴△AOE1 为直角三角形. 【总结升华】正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定. 举一反三： 【变式】在等边三角形 ABC 中有一点 P，已知 PC＝2, PA＝4，PB＝ ，则∠APB＝ . 【答案】90° 类型三、中心对称与图形设计 5.如图，方格纸中四边形 ABCD 的四个顶点均在格点上，将四边形 ABCD 向右平移 5 格得到四边形 A1B1C1D1．再将四边形 A1B1C1D1，绕点 A 逆时针旋转 180°，得到四边形 A1B2C2D2． （1）在方格纸中画出四边形 A1B1C1D1 和四边形 A1B2C2D2． （2）四边形 ABCD 与四边形 A1B2C2D2．是否成中心对称？若成中心对称，请画出对称中心；若不成中心 对称，请说明理由． α α 2 39 【思路点拨】 （1）首先把各个顶点平移，以及作出对称点，然后顺次连接各个对称点即可作出对称图形； （2）观察所作图形，对称点连线的交点就是对称中心． 【答案与解析】 解：（1） （2）两个图形关于点 O 对称中心． 【总结升华】本题考查旋转变换作图，在找旋转中心时，要抓住“动”与“不动”，看图是关键． 举一反三： 【变式】（2014 秋•罗平县校级期末）每个小方格都是边长为 1 个单位长度的正方形，在建立平面直角坐 标系后，△ABC 的顶点均在格点上， ①写出 A、B、C 的坐标． ②以原点 O 为对称中心，画出△ABC 关于原点 O 对称的△A1B1C1，并写出 A1、B1、C1．10 【答案】 解：①A（1，﹣4），B（5，﹣4），C（4，﹣1）； ②A1（﹣1，4），B1（﹣5，4），C1（﹣4，1），如图所示： 6.如图，这两幅图是怎样利用旋转、平移或轴对称进行设计的？你能依照其中的图案自己设计一个 图案吗？ 【答案与解析】 解：（1）答案不惟一，可以看作是一个小正方形图案连续平移 48 次，平移前后所有的图形共同组成的 图案． （2）答案不唯一，可以看作是一组竖条线组成的等腰直角三角形，以直角顶点为中心、按同一个方11 向分别旋转 ，旋转前后的四个图形共同组成的图案． 【总结升华】本题考查利用旋转设计图案的知识，基本图案的寻找较为灵活，对于不同的基本图形需要 作的几何变换也不同． 举一反三： 【变式】下列图形中，能通过某个基本图形平移得到的是（　　）． A. B. C. D. 【答案】D. 90 180 270  、 、 (1) (2)12 《图形的平移与旋转》全章复习与巩固（提高）巩固练习 【巩固练习】 一、选择题 1．轴对称与平移、旋转的关系不正确的是（　　）. A．经过两次翻折（对称轴平行）后的图形可以看作是原图形经过一次平移得到的 B．经过两次翻折（对称轴不平行）后的图形可以看作是原图形经过一次平移得到的 C．经过两次翻折（对称轴不平行）后的图形可以看作是原图形经过旋转得到的 D．经过几次翻折（对称轴有偶数条且平行）后的图形可以看作是经过一次平移得到的 2.在旋转过程中，确定一个三角形旋转的位置所需的条件是（ ）. ①三角形原来的位置；②旋转中心；③三角形的形状；④旋转角． A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 3.下列图形中，既可以看作是轴对称图形，又可以看作是中心对称图形的为（ ）. 　　　　 A B C D 4.（2015•德州）如图，在△ABC 中，∠CAB=65°，将△ABC 在平面内绕点 A 旋转到△AB′C′的位置， 使 CC′∥AB，则旋转角的度数为（　　） A．35° B．40° C．50° D．65° 5.如图,把矩形纸条 沿 同时折叠， 两点恰好落在 边的 点处， 若 ， ， ，则矩形 的边 长为（　　）. A.20 B.22 C.24 D.30 第 4 题 第 5 题 6．如图,正方形硬纸片 ABCD 的边长是 4，点 E、F 分别是 AB、BC 的中点，若沿左图中的虚线剪开，拼 成如下图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是（ ）. A．2 B．4 C．8 D．10 ABCD EF GH， B C， AD P 90FPH = ∠ 8PF = 6PH = ABCD BC13 7. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC= ，将 Rt△ABC 绕 A 点按逆时针方向旋转 30°后得到 Rt △ADE，点 B 经过的路径为弧 BD，则图中阴影部分的面积是（　　）. A. B. C. D.1 8.如图，在正方形 ABCD 外取一点 E，连接 AE，BE，DE. 过点 A 作 AE 的垂线交 DE 于点 P．若 AE=AP=1， PB= ． 下 列 结 论 ： ① △ APD ≌ △ AEB ； ② 点 B 到 直 线 AE 的 距 离 为 ； ③ EB ⊥ ED ； ④ S△APD+S△APB=1+ ；⑤S 正方形 ABCD=4+ ．其中正确结论的序号是（　　）． A． ① ③ ④ B． ① ② ⑤ C． ③ ④ ⑤ D．①③⑤ 二、填空题 9. 如图，图 B 是图 A 旋转后得到的，旋转中心是 ，旋转了 ． 10.在 Rt ABC 中，∠A