导学案——提公因式法

1 导学案——提公因式法 【学习目标】 1. 了解因式分解的意义,以及它与整式乘法的关系； 2． 能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法将多项式分解因式. 【要点梳理】 【高清课堂 398715 提公因式法 知识要点】 要点一、因式分解 把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多 项式分解因式. 要点诠释：（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体， 而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式. （2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止. （3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒 等变形，而整式乘法是一种运算. 要点二、公因式 多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式. 要点诠释：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式. （2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式. （3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数 的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的. 要点三、提公因式法 把多项式 分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式 ，另一个因式是 ，即 ，而 正好是 除以 所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法． 要点诠释：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律， 即 . 　　（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式. 　　（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的 第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号. 　　（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和 为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏 掉，或认为是 0 而出现错误. 【典型例题】 类型一、因式分解的概念 1、下列由左到右的变形，哪些是因式分解？哪些不是？请说明理由． （1） ； （2） ； （3） ； m m ( )a x y ax ay+ = + 2 22 1 ( 2 ) ( 1)( 1)x xy y x x y y y+ + − = + + + − 2 4 ( 2)( 2)ax a a x x− = + −2 （4） ； （5） ． 【思路点拨】根据因式分解的定义是将多项式形式变成几个整式的积的形式，从对象和结果 两方面去判断. 【答案与解析】 解：因为(1)(2)的右边都不是积的形式，所以它们都不是因式分解； (4)的左边不是多项式而是一个单项式， (5)中的 、 都不是整式，所以(4)(5)也不是因式分解， 只有(3)的左边是多项式，右边是整式的积的形式，所以只有(3)是因式分解． 【总结升华】因式分解是将多项式变成积的形式，所以等式的左边必须是多项式，将单项式 拆成几个单项式乘积的形式不能称为因式分解．等式的右边必须是整式因式积的形式． 举一反三： 【变式】下列变形是因式分解的是 ( ) A. B. C. D. 【答案】B； 类型二、提公因式法分解因式 2、（2016 春•山亭区期中）把下列各式分解因式： （1）2m（m﹣n）2﹣8m2（n﹣m） （2）﹣8a2b+12ab2﹣4a3b3． 【思路点拨】（1）直接提取公因式 2m（m﹣n），进而分解因式得出答案； （2）直接提取公因式﹣4ab，进而分解因式得出答案． 【答案与解析】 解：（1）2m（m﹣n）2﹣8m2（n﹣m） =2m（m﹣n）[（m﹣n）+4m] =2m（m﹣n）（5m﹣n）； （2）﹣8a2b+12ab2﹣4a3b3 =﹣4ab（2a﹣3b+a2b2）． 【总结升华】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键． 举一反三： 【变式】（2014 春•濉溪县期末）下列分解因式结果正确的是（　　） A.a b+7ab﹣b=b（a +7a） B.3x y﹣3xy+6y=3y（x ﹣x﹣2） C.8xyz﹣6x y =2xyz（4﹣3xy） D.﹣2a +4ab﹣6ac=﹣2a（a﹣2b+3c） 2 21 1 2 2ab a b=  2 2 2 1 12a aa a  + + = +   2 1 a 1 a 2 4 3 ( 2)( 2) 3a a a a a− + = − + + 2 24 4 ( 2)x x x+ + = + 11 (1 )x x x + = + 2( 1)( 1) 1x x x+ − = − 2 2 2 2 2 2 23 【答案】D. 解：A、原式=b（a +7a+1），错误； B、原式=3y（x ﹣x+2），错误； C、原式=2xy（4z﹣3xy），错误； D、原式=﹣2a（a﹣2b+3c），正确． 故选 D． 类型三、提公因式法分解因式的应用 【高清课堂 398715 提公因式法 例 5】 3、若 、 、 为 的三边长，且 ， 则 按边分类，应是什么三角形？ 【答案与解析】 解：∵ ∴ 当 时，等式成立， 当 时，原式变为 ，得出 ， ∴ ∴ 是等腰三角形. 【总结升华】将原式分解因式，就可以得出三边之间的关系，从而判定三角形的类型. 【高清课堂 398715 提公因式法 例 6】 4、对任意自然数 （ ＞0）， 是 30 的倍数，请你判定一下这个说法的正确 性，并说说理由. 【答案与解析】 解： ∵ 为大于 0 的自然数， ∴ 为偶数，15× 为 30 的倍数， 即 是 30 的倍数. 【总结升华】判断 是否为 30 的倍数，只需要把 分解因式，看分解后有没 有能够整除 30 的因式. 举一反三： 【变式】说明 能被 7 整除. 【答案】 解： 2 2 a b c ABC∆ ( ) ( ) ( ) ( )a b b a b a a c a b a c− + − = − + − ABC∆ ( ) ( ) ( ) ( )a b b a b a a c a b a c− + − = − + − ( ) ( ) ( ) ( )a b b a a b a c a b c a− − − = − − − ( )( ) ( )( )a b b a c a a b− − = − − a b= a b≠ a b a c− = − b c= a b b c= =或 ABC∆ n n 42 2n n+ − ( )4 4 42 2 2 2 2 2 2 1 15 2n n n n n n+ − = × − = − = × n 2n 2n 42 2n n+ − 42 2n n+ − 42 2n n+ − 200 199 1983 4 3 10 3− × + × 200 199 1983 4 3 10 3− × + ×4 所以 能被 7 整除. 5、（2015 春•湘潭县期末）已知 xy=﹣3，满足 x+y=2，求代数式 x y+xy 的值． 【思路点拨】将原式提取公因式 xy，进而将已知代入求出结果即可． 【答案与解析】 解：∵xy=—3，x+y=2， ∴x y+xy =xy（x+y）=﹣3×2=﹣6． 【总结升华】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键． ( )198 2 198 3 3 4 3 10 7 3 = − × + = × 200 199 1983 4 3 10 3− × + × 2 2 2 25 【巩固练习】 一.选择题 1. （2016 春•北京期末）把多项式 2x3y﹣x2y2﹣6x2y 分解因式时，应提取的公因式为（　　） A．x2y B．xy2 C．2x3y D．6x2y 2. 观 察 下 列 各 式 ： ① ； ② ； ③ ； ④ ；⑤ ； ⑥ ．其中可以用提公因式法分解因式的有（　　） A．①②⑤ B．②④⑤ C．②④⑥ D．①②⑤⑥ 3. 下列各式中，运用提取公因式分解因式正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 分解因式 的结果是（ ） A. B. C. D. 5. （2014 秋•西城区校级期中）把﹣6x y ﹣3x y ﹣8x y 因式分解时，应提取公因式 （　　） 　A.﹣3x y B.-2x y C.x y D.﹣x y 6. 计算 的结果是（ ） A. B.－1 C. D.－2 二.填空题 7. 把下列各式因式分解： （1） __________. （2） _________________. 8. 在空白处填出适当的式子： （1） ； （2） 9. 因式分解： ______________. abx adx− 2 22 6x y xy+ 3 28 4 2 1m m m− + + 3 2 2 3a a b ab b+ + − ( ) ( ) ( )22 25 6p q x y x p q p q+ − + + + ( )( ) ( )2 4a x y x y b y x+ − − + ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 2a x a a x− + − = − + ( )3 2 22 2x x x x x x+ + = + ( ) ( ) ( )2x x y y x y x y− − − = − ( )2 3 1 3x x x x− − = − − 2 3 2 2 2 12n n nx x x+ + +− + ( )2 2nx x x− + ( )2 3 2 2nx x x− + ( )2 1 2 2nx x x+ − + ( )3 2 2nx x x− + 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 ( )201120102 2+ − 20102 20102− 216 8a b ab− − = ( ) ( )2 23 2x x y x y x− − − = ( ) ( ) ( )( )1 1 1x y y x− − = − + ( )( )2 38 4 2 327 9ab b c a bc+ = + ( ) ( ) ( )x b c a y b c a a b c+ − − + − − − − =6 10. （2016•黔南州）若 ab=2，a﹣b=﹣1，则代数式 a2b﹣ab2 的值等于___________. 11. . 12. （ 2015 春 • 深 圳 校 级 期 中 ） 若 m﹣n=3 ， mn=﹣2 ， 则 2m2n﹣2mn2+1 的 值 为 _____________. 三.解答题 13.已知： ，求 的值. 14. （2014 春•北京校级月考）先阅读第（1）题的解答过程，然后再解第（2）题． （1）已知多项式 2x3﹣x2+m 有一个因式是 2x+1，求 m 的值． 解法一：设 2x3﹣x2+m=（2x+1）（x2+ax+b）， 则：2x3﹣x2+m=2x3+（2a+1）x2+（a+2b）x+b 比较系数得 ，解得 ，∴ 解法二：设 2x3﹣x2+m=A•（2x+1）（A 为整式） 由于上式为恒等式，为方便计算了取 ， 2× =0，故 ． （2）已知 x4+mx3+nx﹣16 有因式（x﹣1）和（x﹣2），求 m、n 的值． 15. 先分解因式（1）、（2）、（3），再解答后面问题； （1）1＋ ＋ （1＋ ）； （2）1＋ ＋ （1＋ ）＋ ； （3）1＋ ＋ （1＋ ）＋ ＋ 问题： ．先探索上述分解因式的规律，然后写出： 1＋ ＋ （1＋ ）＋ ＋ ＋…＋ 分解因式的结果是 _______________. ．请按上述方法分解因式： 1＋ ＋ （1＋ ）＋ ＋ ＋…＋ （ 为正整数）． 【答案与解析】 一.选择题 1. 【答案】A； 【解析】2x3y﹣x2y2﹣6x2y=x2y（2x﹣y﹣6）． 2. 【答案】D 【解析】① ；② ； 2011 20122 2 _________________− = 2 1 3x x+ = 4 3 26 15 10x x x+ + a a a a a a a ( )21 a+ a a a a ( )21 a+ a ( )31 a+ a a a a a ( )21 a+ a ( )31 a+ ( )20121 a+ b a a a a ( )21 a+ a ( )31 a+ ( )1 na+ n ( )abx adx ax b d− = − ( )2 22 6 2 3x y xy xy x y+ = +7 ⑤ ； ⑥ ． 所以可以用提公因式法分解因式的有①②⑤⑥． 3. 【答案】C； 【解析】 ； . 4. 【答案】C； 5. 【答案】D． 【解析】解：﹣6x3y2﹣3x2y2﹣8x2y3=﹣x2y2（6x+3+8y）， 因此﹣6x3y2﹣3x2y2﹣8x2y3 的公因式是﹣x2y2． 故选 D． 6. 【答案】C； 【解析】 . 二.填空题 7. 【答案】（1） ；（2） 【解析】 . 8. 【答案】（1） ；（2） ； 【解析】 . 9. 【答案】 ； 【解析】 . 10.【答案】-2； 【解析】∵ab=2，a﹣b=﹣1，∴a2b﹣ab2=ab（a﹣b）=2×（﹣1）=﹣2． 11.【答案】 ； 【解析】 . 12.【答案】-11； 【解析】解：∵2m2n﹣2mn2+1 =2mn（m﹣n）+1 将 m﹣n=3，mn=﹣2 代入得： 原式=2mn（m﹣n）+1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 25 6 5 6p q x y x p q p q p q x y x p q + − + + + = + − + +  ( )( ) ( ) ( ) ( )2 24 4a x y x y b y x x y a x y b + − − + = + − −  ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 2a x a a x− + − = − − ( )3 2 22 2 1x x x x x x+ + = + + ( ) ( ) ( ) ( )2011 20102010 2010 2010 2010 20102 2 2 2 2 2 2 2 2+ − = + − × − = + − × = − ( )8 2 1ab a− + ( ) ( )22 1x x y x− − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 23 2 3 2 2 1x x y x y x x x y x x y x x y x− − − = − − − = − − 1 y− 24 27 b ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1y x x y y x y y− + = − + − = − − − ( )( )1x y b c a− + + − ( ) ( ) ( )x b c a y b c a a b c+ − − + − − − − ( ) ( ) ( )x b c a y b c a b c a= + − − + − + + − ( )( )1x y b c a= − + + − 20112− ( )2011 2012 2011 2011 2011 20112 2 2 2 2 2 1 2 2− = − × = − = −8 =2×（﹣2）×3+1 =﹣11． 故答案为：﹣11． 三.解答题 13.【解析】 解： 14.【解析】 解：设 x4+mx3+nx﹣16=A（x﹣1）（x﹣2）（A 为整式）， 取 x=1，得 1+m+n﹣16=0①， 取 x=2，得 16+8m+2n﹣16=0②， 由①、②解得 m=﹣5，n=20． 15.【解析】 解：（1）原式＝ ； （2）原式＝ ； （3）原式＝ ．结果为： ， ．原式＝ ＝ ＝ ＝…… 4 3 26 15 10x x x+ + ( ) ( ) ( ) 4 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 6 9 9 6 9 1 16 93 3 3 3 3 13 13 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x = + + + + = + + + + = × + × + = + = + = × = ( )( ) ( )21 1 1a a a+ + = + ( ) ( ) ( )( )( ) ( )31 1 1 1 1 1 1a a a a a a a a+ + + + = + + + = +   ( ) ( ) ( )21 1 1 1a a a a a a + + + + + +  ( )( ) ( )1 1 1 1a a a a a= + + + + +   ( ) ( )( )21 1 1a a a= + + + ( )41 a= + a ( )20131 a+ b ( ) ( ) ( ) 11 1 1 ...... 1 na a a a a a − + + + + + + +  ( )( ) ( ) ( ) 21 1 1 1 ...... 1 na a a a a a a − + + + + + + + +  ( ) ( ) ( )3 31 1 1 ...... 1 na a a a a a − + + + + + + + 9 ＝( ) ( )( ) ( )1 11 1 1 1n na a a a− ++ + + = +