导学案——分式的概念和性质

1 导学案——分式的概念和性质 【学习目标】 1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为 0 的条件. 2．掌握分式的基本性质，并能利用分式的基本性质将分式恒等变形，进而进行条件计算. 【要点梳理】 要点一、分式的概念 一般地，如果 A、B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 叫做分式.其中 A 叫做分子，B 叫做分母. 要点诠释：（1）分式的形式和分数类似，但它们是有区别的.分数是整式，不是分式， 分式是两个整式相除的商式.分式的分母中含有字母；分数的分子、分 母中都不含字母. （2）分式与分数是相互联系的：由于分式中的字母可以表示不同的数，所以 分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况. （3）分母中的“字母”是表示不同数的“字母”，但π表示圆周率，是一个 常数，不是字母，如 是整式而不能当作分式. （4）分母中含有字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式 不能先化简，如 是分式，与 有区别， 是整式，即只看形式， 不能看化简的结果. 要点二、分式有意义，无意义或等于零的条件 1.分式有意义的条件：分母不等于零. 2.分式无意义的条件：分母等于零. 3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零. 要点诠释：（1）分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意义， 就必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零. （2）本章中如果没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式 中分母的值不等于零. （3）必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值. 要点三、分式的基本性质 分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于 0 的整式，分式的值不变，这个性质叫做 分式的基本性质，用式子表示是： （其中 M 是不等于零的整 式）. 要点诠释：（1）基本性质中的 A、B、M 表示的是整式.其中 B≠0 是已知条件中隐含着 的条件，一般在解题过程中不另强调；M≠0 是在解题过程中另外附加 的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调 M≠0 这个前提条件. （2）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式 中字母的取值范围有可能发生变化.例如： ，在变形后， 字母 的取值范围变大了. A B a π 2x y x xy xy A A M A A M B B M B B M × ÷= =× ÷， x2 要点四、分式的变号法则 对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变 其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数. 要点诠释：根据分式的基本性质有 ， .根据有理数除法的符号法则有 .分式 与 互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着 重要的作用. 要点五、分式的约分，最简分式 与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的 值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1 除 外），那么这个分式叫做最简分式. 要点诠释：（1）约分的实质是将一个分式化成最简分式，即约分后，分式的分子与分 母再没有公因式. （2）约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式.分子、分母的公因式 是分子、分母的系数的最大公约数与相同因式最低次幂的积；当分式 的分子、分母中含有多项式时，要先将其分解因式，使之转化为分子 与分母是不能再分解的因式积的形式，然后再进行约分. 【典型例题】 类型一、分式的概念 1 、 指 出 下 列 各 式 中 的 整 式 与 分 式 ： ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【答案与解析】 解：整式有： ， ， ， ， ； 分式有： ， ， ， ． 【总结升华】判断分式的依据是看分母中是否含有字母．此题判断容易出错的地方有两处： 一个是把 π 也看作字母来判断，没有弄清 π 是一个常数；另一个就是将分式化简 成整式后再判断，如 和 ，前一个是整式，后一个是分式，它们表示的意义和 取值范围是不相同的． 类型二、分式有意义，分式值为 0 2、 当 取什么数时，下列分式有意义？当 取什么数时，下列分式的值为零？ b b a a − =− b b a a − = − b b b a a a − = = −− a b a b − 1 x 1 x y+ 2 a b+ x π 2 3 1x − 2 3 − 23 2y− + 2x x 2 4 y 2 a b+ x π 2 3 − 23 2y− + 2 4 y 1 x 1 x y+ 2 3 1x − 2x x x 2x x x x3 （1） ；（2） ；（3） ． 【答案与解析】 解：（1）当 ，即 时，分式有意义． ∵ 为非负数，不可能等于－1， ∴ 对于任意实数 ，分式都有意义； 当 时，分式的值为零． （2）当 即 时，分式有意义； 当 即 时，分式的值为零 （3）当 ，即 时，分式有意义； 当 时，分式的值为零， 由①得 时，由②得 ，互相矛盾． ∴ 不论 取什么值，分式 的值都不等于零． 【总结升华】分母不为零时，分式有意义；分子的值为零，而分母的值不为零时，分式的值 为零． 举一反三： 【变式 1】若分式 的值为 0，则 的值为___________________. 【答案】－2； 提示：由题意 ， ，所以 . 【变式 2】当 取何值时，分式 的值恒为负数？ 【答案】 解： 由题意可知 或 解不等式组 该不等式组无解． 解不等式组 得 ． 2 1 x x + 2 5x x − 2 10 5 x x − − 2 1 0x + ≠ 2 1x ≠ − 2x x 0x = 2 0x ≠ 0x ≠ 0, 5 0, x x ≠  − = 5x = 5 0x − ≠ 5x ≠ 5 0, 2 10 0 x x − ≠  − = ① ② 5x ≠ 5x = x 2 10 5 x x − − 65 2 2 +− − xx x x 2 | | 2 0 5 6 0 x x x − =  − + ≠ ( )( ) | | 2 0 3 2 0 x x x − = − − ≠ 2x = − x 2 2 6 x x − + 2 0, 2 6 0, x x − >  +   +