导学案——分式的加减

1 导学案——分式的加减 【学习目标】 1．能利用分式的基本性质通分． 2．会进行同分母分式的加减法． 3．会进行异分母分式的加减法． 【要点梳理】 要点一、同分母分式的加减 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 上述法则可用式子表为： . 要点诠释：（1）“把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括 号，当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不 能省，不然，容易导致符号上的错误. （2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式. 要点二、分式的通分 与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改 变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分. 要点诠释：（1）通分的关键是确定各分式的最简公分母：一般取各分母所有因式的最高次 幂的积作为公分母. （2）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相同字母的最高 次幂的乘积；如果各分母都是多项式，就要先把它们分解因式，然后再找最简公分母. （3）约分和通分恰好是相反的两种变形，约分是对一个分式而言，而通分则是针对多个 分式而言. 要点三、异分母分式的加减 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 上述法则可用式子表为： . 要点诠释：（1）异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成 同分母分式的加减法. （2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化 成最简分式. 要点四、分式的混合运算 与分数的加、减乘、除混合运算一样，分式的加、减乘、除混合运算，也是先算乘、 除，后算加、减；遇到括号，先算括号内的，按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序计 算. 分式运算结果必须达到最简，能约分的要约分，保证结果是最简分式或整式. 要点诠释：（1）正确运用运算法则：分式的乘除（包括乘方）、加减、符号变化法则是正 确进行分式运算的基础，要牢牢掌握.. （2）运算顺序：先算乘方，再算乘、除，最后算加、减，遇有括号，先算括号内的. （3）运算律：运算律包括加法和乘法的交换律、结合律，乘法对加法的分配律.能灵活运用 运算律，将大大提高运算速度. 【典型例题】 a b a b c c c ±± = a c ad bc ad bc b d bd bd bd ±± = ± =2 类型一、同分母分式的加减 1、计算：（1） ；（2） ； （3） ； （4） ． 【答案与解析】 解：（1）原式 ． （2） ； （3） ； （4） ． 【总结升华】根据乘法交换律有 ，所以本题是三个同分母分式的加 减法，根据法则：分母不变，分子相加减．注意把分子看成一个整体用括号括起来， 再加减．仔细观察分母中 与 ， 与 、 与 的互相转化中符号的变化． 类型二、异分母分式的加减 2、（2014 秋•新罗区校级月考）计算： ． 【答案与解析】 解：原式= ． 【总结升华】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 举一反三： 【变式】计算（1） ； （2） ． 2 2 2 5 6 3 4 3 3 3 3 a b b a a b a bc ba c cba + − ++ − 2 2 2 2 ( ) ( ) a b a b b a −− − 2 2m n n m n m m n n m + + −− − − 3 3( ) ( ) x y x y y x −− − 2 (5 6 ) (3 4 ) ( 3 ) 3 a b b a a b a bc + + − − += 2 2 5 6 3 4 3 2 3 a b b a a b a bc a c + + − − −= = 2 2 2 2 ( ) ( ) a b a b b a −− − 2 2 2 2 2 2( ) 2 ( ) ( ) ( ) a b a b a b a b a b a b −= − = =− − − − 2 2m n n m n m m n n m + + −− − − 2 2 2 2 1m n n m m n n m n m n m n m n m n m n m + + − − −= − − = = =− − − − − 3 3( ) ( ) x y x y y x −− − 3 3 3( ) ( ) ( ) x y x y x y x y x y += + =− − − 2 2 23 3 3a bc ba c cba= = 2( )a b− 2( )b a− ( )n m− ( )m n− 3( )x y− 3( )y x− 2 2 2 2 4 42 2 4 y x yx y y x y x + − +− − 2 2 2 ( )( ) ( )( ) ( )( ) a b c b c a c b a a b a c b c b a c b c a − − − − − −+ +− − − − − −3 【答案】 解：（1） ； （2）原式 ． 3、 化简 【答案与解析】 解：原式 ． 【总结升华】本题按照常规方法先将所有的分母进行因式分解，然后通分计算，不难发现： 所有的分子计算较复杂．通过观察不妨将每一个分式化简使它们的分子变得简单， 然后再计算就非常的容易了．所以，在进行分式化简时不能盲目地计算，首先应该 2 2 2 2 4 42 2 4 y x yx y y x y x + − +− − 2 22 4 4 1 2 (2 )(2 ) x y y x y y x y x y x += − +− + − 2 2( 2 )(2 ) 4 4 2 2 (2 )(2 ) x y y x y x y y x y x y x y x + −= − +− − + − 2 2(2 ) 4 (2 )(2 ) (2 )(2 ) x y x x y y x y x y x y x − += ++ − + − 2 2(2 ) (2 )(2 ) 2 x y x x y x y x y x −= =+ − + 1 1 1 1 1 1 a c a b b a b c c a c b = + + + + +− − − − − − 1 1 1 1 1 1 0a c a c a b a b b c b c = − + − + − =− − − − − − 2 2 2 2 3 6 5 2 3 2 5 6 x x x x x x x x + + + +−+ + + + 2 2 4 41 13 2 5 6x x x x    = + − −   + + + +    2 2 4 4 3 2 5 6x x x x = ++ + + + 4 4 ( 1)( 2) ( 2)( 3)x x x x = ++ + + + 4( 3) 4( 1) ( 1)( 2)( 3) ( 2)( 3)( 1) x x x x x x x x + += ++ + + + + + 8 16 ( 1)( 2)( 3) x x x x += + + + 8 ( 1)( 3)x x = + +4 观察分式的特点，然后选择合适的计算方法． 举一反三： 【变式】某商场文具专柜以每支 （ 为整数）元的价格购进一批“英雄”牌钢笔，决定每 支加价 2 元销售，由于这种品牌的钢笔价格廉、质量好、外观美，很快就被销售一 空，结账时，售货员发现这批钢笔的销售总额为(399 ＋805)元．你能根据上面的 信息求出文具专柜共购进了多少支钢笔吗?每支钢笔的进价是多少元? 【答案】 解：设文具专柜共购进了钢笔 支， 则 ． 因为 为正整数， 也为正整数，所以 ＋2 是 7 的正约数， 所以 ＋2＝7 或 ＋2＝1． 所以 ＝5 或 ＝－1(不合题意，舍去)． 所以当 ＝5 时， ＝400． 即文具专柜共购进了 400 支钢笔，每支进价为 5 元． 类型三、分式的加减运算的应用 4、 已知 ，求整式 A，B． 【答案与解析】 解法一：由已知得 ， 即 ． 所以 所以 解法二：等式两边同时乘以 ，得 ， 令 ，则 A＝1．令 ，则 B＝2． 所以 A＝１，B＝2． 【总结升华】解法一是利用多项式恒等，则对应项的系数分别相等，列出方程组，求出 A， B 的值．解法二是运用特殊值法，因为多项式恒等，与 取值无关，故令 ＝1， ＝2 简化 式子，求出 A，B 的值． 举一反三： a a a y 399 805 399 798 7 73992 2 2 a ay a a a + + += = = ++ + + a y a a a a a a y 3 4 ( 1)( 2) 1 2 x A B x x x x − = +− − − − 3 4 ( 2) ( 1) ( 1)( 2) ( 1)( 2) x A x B x x x x x − − + −=− − − − 3 4 ( ) (2 ) ( 1)( 2) ( 1)( 2) x A B x A B x x x x − + − +=− − − − 3, 2 4, A B A B + =  + = 1, 2. A B =  = ( 1)( 2)x x− − 3 4 ( 2) ( 1)x A x B x− = − + − 1x = 2x = x x x5 【变式】（2015 春•东台市校级期中）已知 计算结果是 ，求常数 A、B 的值． 【答案】解：因为 = = = 所以 ， 解得 ， 所以常数 A 的值是 1，B 的值是 2． 类型四、分式的混合运算 5、（2016•聊城）计算：（ ﹣ ） ． 【思路点拨】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变 形，约分即可得到结果． 【答案与解析】 解：原式= • = • =﹣ ． 【 总 结 升 华 】 此 题 考 查 了 分 式 的 混 合 运 算 ， 熟 练 掌 握 运 算 法 则 是 解 本 题 的 关 键 ．6 【巩固练习】 一.选择题 1．下列运算中，计算正确的是( )． A. B. C. D. 2．（2016•德州）化简 ﹣ 等于（　　） A． B． C．﹣ D．﹣ 3．下列计算结果正确的是（ ） A． B． C． D． 4．下列各式中错误的是（ ） A． B． C． D． 5.（2014•十堰）已知：a2﹣3a+1=0，则 a+ ﹣2 的值为（　　） 　 A. +1 B.1 C.﹣1 D.﹣5 6. 化简 的结果是（ ） A.0 B.1 C.－1 D. 二.填空题 7．（2016•毕节市）若 a2+5ab﹣b2=0，则 的值为　 　． 8． 、 为实数，且 ＝1，设 ，则 P______Q(填 )(2 1 2 1 2 1 baba +=+ ac b c b a b 2=+ aa c a c 11 =+− 1 1 0a b b a + =− − 1 1 4 2 2 ( 2)( 2)x x x x − =+ − + − ))(( 211 2222 2 2222 xyyx x xyyx −− −=−−− y xxy y xx 2 312 2 36 22 −=− 3 3 3 2 9 15 2 + −=−−− − xxx x 2c d c d c d c d d a a a a − + − − − −− = = 5 2 12 5 2 5 a a a + =+ + 1x y x y y x − = −− − 2 2 1 1 ( 1) (1 ) 1 x x x x − =− − − 2 3 2a b c a b c c b a b c a c b c a b − + − + −− ++ − − + − − ( )2 2b c c a b − − − a b ab 1 1,1 1 1 1 a bP Qa b a b = + = ++ + + +7 “＞”、“＜”或“＝”)． 9.已知： 与 互为相反数，则式子 的值等于=________. 10． ＝______． 11．若 ＜0，则 ＝______． 12.（2015•自主招生）若 x ，则 =　 　． 三.解答题 13.计算下列各题 （1） （2） 14.化简求值： ，其中 ． 15．（2014 秋•乳山市期中）阅读，做题时，根据需要，可以将一个分数变成两个分数之差， 如： = =1﹣ ； = = ﹣ ； = = （ ﹣ ），等等．解答下列问题： （1）已知 a= ，b= ，c= ，比较 a，b，c 的大小． （2）求 + + + +…+ + 的值． （3）求 + + + +…+ + 的值． （4）求 + + + +…+ ． 【答案与解析】 一.选择题 1. 【答案】D； 【解析】 ； ； . 2. 【答案】B； 【解析】原式= + = + = = ，故选 B. 3. 【答案】C； 2 4 4x x− + | 1|y − ( )x y x yy x  − ÷ +   aa a −+− 2 1 4 2 2 x |3| 1 ||3 1 −−− xx 2 2 3 2 15 2 3 3 2 4 9 a a a a ++ ++ − − 4 3 2 1 4 1 2 1 1 1 1 x x x x xx + −++−+−− 2 2[ ( )]3 3 x y x yx yx x y x x + −− − − ÷+ 5 3 0x y+ = 1 1 2 2 2 a b a b ab ++ = b b bc ab a c ac ++ = 1 1c c a a a +− = −8 【解析】 ； ； . 4. 【答案】C； 【解析】 . 5. 【答案】B； 【解析】解：∵a2﹣3a+1=0，且 a≠0， ∴同除以 a，得 a+ =3， 则原式=3﹣2=1， 故选：B． 6. 【答案】A； 【解析】原式＝ . 二.填空题 7. 【答案】5 【解析】∵a2+5ab﹣b2=0，∴ ﹣ = = =5． 8. 【答案】＝； 【解析】 . 9. 【答案】 ； 【解析】由题意 ， . 10.【答案】 ； 【解析】 . 11.【答案】 ； 【解析】 . 1 1 4 2 2 ( 2)( 2)x x x x − = −+ − + − 2 2 2 2 2 2 1 1 2 x y y x x y − =− − − ( ) 2 2 2 315 2 15 3 9 3 9 ( 3)( 3) 3 xx x x x x x x x +− −− = + =− − − − + + x y x y x y x y y x x y x y x y +− = + =− − − − − 2 3 2 0a b c a b c c b a b c a b c a b c − + − + −− − =+ − + − + − ( )( ) ( ) ( )( ) 2 11 1 1 1 01 1 1 1 1 1 aba b ab a b ab b aP Q a b a b a b −− − + − − + + − −− = + = = =+ + + + + + 1 2 2 1x y= =， ( ) 2 1 1 2 1 2 x y x yx yy x xy   − −− ÷ + = = =  ×  1 2a + ( ) 2 2 2 22 1 1 4 2 4 2 a aa a a a a − ++ = =− − − + 2 2 9 x x − 2 1 1 1 1 2 3 | | | 3| 3 3 9 x x x x x x − = + =− − + − −9 12.【答案】 ； 【解析】解：将已知等式平方得：（x﹣ ）2=x2﹣2+ =16，即 x2+ =18， 则 = = ． 故答案为： . 三.解答题 13.【解析】 解：（1）原式 . （2）原式 . 14.【解析】 解：原式 因式 ，所以 ，代入 . 15.【解析】 解：（1）a= =1﹣ ，b= =1﹣ ，c= =1﹣ ， ∵ ＞ ＞ ， ∴﹣ ＜﹣ ＜﹣ ，即 1﹣ ＜1﹣ ＜1﹣ ， 则 a＜b＜c； （2）原式= + +…+ =1﹣ + ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ = ； （3）原式= [ + +…+ ]= （1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ）= ； （4）原式= + +…+ = （1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ）= 1 19 1 19 1 19 ( ) ( ) 2 2 2 2 3 3 2 3 2 152 3 2 15 02 3 2 3 4 9 4 9 a a aa a a a a − − + + ++= − + = =+ − − − 3 3 3 7 2 2 4 4 4 8 2 2 4 4 4 8 1 1 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x x −= − + = − =− + + − + − 2 2[ ( )]3 3 1 x y x y x y x x y x x + + −= − − ÷+ 2 2( 2)3 3 2 x x x x y x x y = − + × − = − 5 3 0x y+ = 5 3y x= − 2 2 3 5 4 3 x x x y x x = =− +10 ．