导学案——《可化为一元一次方程的分式方程》

1 导学案——《可化为一元一次方程的分式方程》 【学习目标】 1. 了解分式方程的定义，根及增根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程． 2. 会列出分式方程解简单的应用问题． 【要点梳理】 【高清课堂 405788 分式方程的解法及应用 知识要点】 要点一、分式方程、根与增根 1.分式方程 分母中含有未知数的方程叫分式方程. 要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有 未 知数. （2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）. 分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程. （3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 2.分式方程的根、增根及检验 分式方程的解也叫作分式方程的根． 在检验时只要把所求出的未知数的值代入最简公分母中，如果它使最简公分母的值不等 于 O，那么它是原分式方程的一个根；如果它使最简公分母的值为 O，那么它不是原分式方 程的根，称它是原方程的增根． 要点诠释：（1）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义， 所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不 为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数 的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么 就会出现增根． （2）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分 母是否为 0，如果为 0，则是增根；如果不是 0，则是原分式方程的根． 要点二、分式方程的解法 1.解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最 简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种 根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根. 2.分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式 时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于 0，则这个解是原分式 方程的解，若最简公分母等于 0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 要点三、分式方程的应用 分式方程的应用主要就是列方程解应用题. 列分式方程解应用题按下列步骤进行：2 （1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系； （2）设未知数； （3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程； （4）解这个分式方程； （5）验根，检验是否是增根； （6）写出答案. 要点诠释：1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照 这五 5 步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单 位等． 2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度=路程时间；工作量问题：工作效 率=工作量工作时间等等．列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要 学会分析题意，提高理解能力． 【典型例题】 类型一、判别分式方程 1、（2016 春•闵行区期末）下列方程中，不是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数． 【答案】B； 【解析】解：A、该方程符合分式方程的定义，属于分式方程，故本选项错误； B、该方程属于无理方程，故本选项正确； C、该方程符合分式方程的定义，属于分式方程，故本选项错误； D、该方程符合分式方程的定义，属于分式方程，故本选项错误； 故选：B． 【总结升华】本题考查了分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 类型二、解分式方程 2、 解分式方程（1） ；（2） ． 【答案与解析】 解：（1） ， 将方程两边同乘 ，得 ． 解方程，得 ． 10 5 22 1 1 2x x + =− − 2 2 5 1 03x x x x − =+ − 10 5 22 1 1 2x x + =− − (2 1)x − 10 ( 5) 2(2 1)x+ − = − 7 4x =3 检验：将 代入 ，得 ． ∴ 是原方程的根． （2） ， 方程两边同乘以 ，得 ． 解这个方程，得 ． 检验：把 代入最简公分母，得 2×5×1＝10≠0． ∴ 原方程的解是 ． 【总结升华】将分式方程化为整式方程时，乘最简公分母时应乘原分式方程的每一项，不要 漏乘常数项．特别提醒：解分式方程时，一定要检验方程的根． 举一反三： 【变式】解方程： ． 【答案】 解： ， 方程两边都乘 ，得 ， 解这个方程，得 ， 检验：当 时， ， ∴ 是增根， ∴ 原方程无解． 类型三、分式方程的增根 【高清课堂 405788 分式方程的解法及应用 例 3（1）】 3、（2015 春•安岳县期中）若解关于 x 的分式方程 会产生增根， 求 m 的值． 【思路点拨】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为 0 的根．把增根代 入化为整式方程的方程即可求出 m 的值． 【答案与解析】 解：方程两边都乘（x+2）（x﹣2），得 2（x+2）+mx=3（x﹣2） ∵最简公分母为（x+2）（x﹣2）， ∴原方程增根为 x=±2， ∴把 x=2 代入整式方程，得 m=﹣4． 7 4x = 2 1x − 52 1 02x − = ≠ 7 4x = 2 2 5 1 03x x x x − =+ − ( 3)( 1)x x x+ − 5( 1) ( 3) 0x x− − + = 2x = 2x = 2x = 2 1 23 3 x x x − = −− − 2 1 23 3 x x x − = −− − 3x − 2 1 2( 3)x x− = − − − 3x = 3x = 3 0x − = 3x =4 把 x=﹣2 代入整式方程，得 m=6． 综上，可知 m=﹣4 或 6． 【总结升华】增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式 方程即可求得相关字母的值． 举一反三： 【变式】如果方程 有增根，那么增根是________． 【答案】 ； 提示：因为增根是使分式的分母为零的根，由分母 或 可得 ．所以增根是 ． 类型四、分式方程的应用 4、甲、乙两班参加绿化校园植树活动，已知乙班每小时比甲班多种 2 棵树，甲班种 60 棵树所用的时间与乙班种 66 棵树所用的时间相等．求甲、乙两班每小时各种多少棵树? 【思路点拨】本题的等量关系为：甲班种 60 棵树所用的时间与乙班种 66 棵树所用的时间相 等． 【答案与解析】 解：设甲班每小时种 棵树，则乙班每小时种 棵树．由题意可，得 ， 解这个方程，得 ． 经检验 是原方程的根且符合题意． 所以 (棵)． 答：甲班每小时种 20 棵树，乙班每小时种 22 棵树． 【总结升华】解此题的关键是设出未知数后，用含 的分式表示甲、乙两班种树所用的时 间． 举一反三： 【变式】（2015•十堰）在我市开展“五城联创”活动中，某工程队承担了某小区 900 米长的 污水管道改造任务．工程队在改造完 360 米管道后，引进了新设备，每天的工作效率比原来 提高了 20%，结果共用 27 天完成了任务，问引进新设备前工程队每天改造管道多少米？ 【答案】 解：设原来每天改造管道 x 米，由题意得： + =27， 解得：x=30， 经检验：x=30 是原分式方程的解， 答 ： 引 进 新 设 备 前 工 程 队 每 天 改 造 管 道 30 米 ． 1 132 2 x x x −+ =− − 2x = 2 0x − = 2 0x− = 2x = 2x = x ( )2x + 60 66 2x x = + 20x = 20x = 2 22x + = x5 【巩固练习】 一.选择题 1．下列关于 的方程中，不是分式方程的是（ ） A． B． C． D． 2．（2016•柳州）分式方程 的解为（　　） A．x=2 B．x=﹣2 C．x=﹣ D．x= 3．要使 的值和 的值互为倒数，则 的值为( )． A.0 B.－1 C. D.1 4．已知 ，若用含 的代数式表示 ，则以下结果正确的是( )． A. B. C. D. 5．若关于 的方程 有增根，则 的值为( )． A.3 B.1 C.0 D.－1 6．（2014 秋•汉阳区期末）一项工程需在规定日期完成，如果甲队独做，就要超规定日期 1 天，如果乙队单独做，要超过规定日期 4 天，现在由甲、乙两队共做 3 天，剩下工程由 乙队单独做，刚好在规定日期完成，则规定日期为（　　） 　 A． 6 天 B．8 天 C．10 天 D．7.5 天 二.填空题 7. 当 ＝______时，分式 与 的值互为相反数． 8．（2016•广安）某市为治理污水，需要铺设一段全长 600m 的污水排放管道，铺设 120m 后，为加快施工进度，后来每天比原计划增加 20m，结果共用 11 天完成这一任务，求原计 划每天铺设管道的长度．如果设原计划每天铺设 xm 管道，那么根据题意，可列方 程　　 ． 9．（2015•枣庄校级一模）方程： =1﹣ 的根是　 　． 10．当 ＝______时，关于 的方程 的根是 1． 11．若方程 有增根，则增根是______． 12．关于 的方程 的解是负数，则 的取值范围为____________． 三.解答题 x 11 =+ xx 41 3 2 =+x x 5 2 4 3 3 =+ xx 6 5 16 −= x x 5 4 − − x x x x − − 4 24 x 2 1 4 3 2 1 − −=+ − y y x x x y 3 10+= xy 2y x= + 3 10 xy −= 7 2y x= − − x x k x −−=− 111 3 k x 3 x 2 6 x− a x 4 532 =− + xa ax 11 4 1 1 2 =−−− + xx x x 11 =+x a a6 13.（2015•贺州）解分式方程： = ﹣ ． 14. 甲、乙两地相距 50 ，A 骑自行车，B 乘汽车，同时从甲城出发去乙城．已知汽车的 速度是自行车速度的 2.5 倍，B 中途休息了 0.5 小时还比 A 早到 2 小时，求自行车和汽 车的速度． 15.有一个两位数，它的个位数字比十位数字大 1，这个两位数被个位数字除时，商是 8，余 数是 2，求这个两位数． 【答案与解析】 一.选择题 1. 【答案】C； 【解析】C 选项中分母不含有未知数，故不是分式方程. 2. 【答案】B； 【解析】解：去分母得：2x=x﹣2，解得：x=﹣2，经检验 x=﹣2 是分式方程的解， 则分式方程的解为 x=﹣2，故选 B. 3. 【答案】B； 【解析】由题意 ，化简得： 解得 . 4. 【答案】C； 【解析】由题意 ，化简得： ，所以选 C. 5. 【答案】A； 【解析】将 代入 ，得 . 6. 【答案】B； 【解析】解：设工作总量为 1，规定日期为 x 天，则若单独做，甲队需 x+1 天，乙队需 x+4 天，根据题意列方程得： 3（ + ）+ =1， 解方程可得 x=8， 经检验 x=8 是分式方程的解， 故选 B． 二.填空题 7. 【答案】18； 【解析】 ，解得 . 8. 【答案】 （或 ） 【解析】解：由题意可得， ，化简，得 . 9. 【答案】x=3； 【解析】解：去分母得：3﹣x=x﹣4+1， km 4 4 2 15 4 x x x x − −× =− − 2 4 15 x x − =− 1x = − ( )( ) ( )( )1 4 2 3x y x y− − = + − 3 10y x= − 1x = 3 1x k= − + 3k = 3 2 06x x + =− 18x =7 解得：x=3， 经检验 x=3 是分式方程的解． 故答案为：x=3 10.【答案】 ； 【解析】将 代入原方程，得 ，解得 . 11.【答案】 ； 【解析】原方程化为： ，解得 ，经检验 是增根. 12.【答案】a＜1 且 a≠0； 【解析】解：方程去分母得，a=x+1， 解得，x=a-1， ∵x＜0， ∴a-1＜0 即 a＜1， 又 a≠0 则 a 的取值范围是 a＜1 且 a≠0． 三.解答题 13. 【解析】 解：原方程可化为： = ﹣ ， 两边同时乘以（2x+1）（2x﹣1）得：x+1=3（2x﹣1）﹣2（2x+1）， x+1=6x﹣3﹣4x﹣2， 解得：x=6． 经检验：x=6 是原分式方程的解． ∴原方程的解是 x=6． 14.【解析】 解：设自行车的速度为 ，汽车的速度为 ， 由题意，得 ， 解方程，得 经检验， 是原方程的根， .所以自行车的速度为 12 ，汽车的速度是 30 . 答：自行车的速度为 12 ，汽车的速度是 30 . 15.【解析】 解：设十位上的数字为 ，则个位上的数字为 ，得 ． 解方程，得 ． 经检验： 是原方程的根． 所以个位上的数字为： ＝3＋1＝4． 所以这个两位数是：3×10＋4＝34． 17 3 − 1x = 8 5 5 12a a+ = − 17 3a = − 1x = ( )2 21 4 1x x+ − = − 1x = 1x = /xkm h 2.5 /xkm h 50 50 0.5 22.5x x = + + 125 50 6.25x= + 12x = 12x = 2.5 30x = /km h /km h /km h /km h x 1x + 10 ( 1) 2 81 x x x + + − =+ 3x = 3x = 1x +8 答：这个两位数是 34．