第一章 直角三角形的边角关系
《锐角三角函数(第 1 课时)》
教学设计说明
一、教材分析
直角三角形中边角之间的关系在实际生活中应用广泛.这节先从实际问题:
梯子的倾斜程度引入了锐角三角函数——正切.它是刻画物体的倾斜程度,山的
坡度一个重要的量.本节从现实情境出发,让学生在经历探索直角三角形边角关
系的过程中,理解锐角三角函数正切的意义:直角三角形中边的比值与角的大小
之间的一种内在数量关系,并能通过实际举例来说明;并能够根据直角三角形的
边角关系进行计算.本节的重点就是通过角度的变化和边的比值之间的关系理解
tanA 的几何意义.并能够根据它们的数学意义进行直角三角形边角关系的计算,
难点是对三角函数意义的深层次理解.所以在教学中要注重创设符合学生实际的
问题情境,引出正切三角函数的概念,使学生感受到数学与现实世界的联系,鼓
励他们有条理地进行表达和思考,特别关注他们对概念的理解.
二、教学目标
知识目标
1.经历探索直角三角形中边的比值和角大小关系的过程;理解正切三角函
数的意义和与现实生活的联系.
2.能够用 tanA 表示直角三角形中两边的比,表示生活中物体的倾斜程度、
坡度等,能够用正切进行简单的计算.
能力目标
1.经历观察、猜想等数学活动过程,发展学生的思维推理能力,能有条理
地,清晰地阐述自己的观点.
2.进一步理解函数的概念:边与边比值与角大小之间的变化关系.
3.体验数形之间的联系,逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题.
会用化归思想对问题进行转换,从而解决问题,提高解决实际问题的能力.情感与价值观要求
体会客观现实世界中量与量之间的相互联系和变化关系.
教学重点
1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系.
2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义,并能进行简单的计算.
教学难点 : 理解正切的意义,并用它来表示两边的比.
三、教学过程:
一、创设问题情境,引入新课
1、通过对课件封面图片的观察,提出问题:
[问题 1]:以前我们学习了直角三角形中的勾股定理,在直角三角形中给出
两条边的长度可以求出第三边的长度,大家也知道直角三角形的两个锐角互余,
根据其中一个锐角的度数可以求另外一个内角.那么请问,在直角三角形中,知
道一边和一个锐角,你能求出其他的边和角吗?
[问题 2]:随着改革开放的深入,深圳的城市建设正日新月异地发展,幢幢
大楼拔地而起.上个世纪的地王大厦一直是深圳最高的大厦,但经过几十年的城
市发展,“深圳最高大厦”的桂冠早已被其他高楼取代,你们知道目前深圳最高
的大厦叫什么名字吗?你能应用数学知识和适当的途径得到京基大厦的实际高度
吗?
通过本章的学习,相信大家一定能够解决.
这节课,我们学习锐角三角函数.
(板书课题:锐角三角函数).
二、新课讲授
1、用多媒体演示如下内容:
梯子是我们日常生活中常见的物体.我们经常听人们说这个梯子放的“陡”,
那个梯子放的“平缓”,人们是如何判断的?“陡”或“平缓”是用来描述梯子什
么的?为了描述梯子的这种倾斜程度,先给大家介绍三个简单的概念:倾斜角,铅垂高,水平宽.请同学们看下图,并回答问题(用多媒体演示)
(1)梯子在上升变陡过程中,倾斜角的大小有无变化?如何变 ?
结论:倾斜角越大——梯子越陡
(2)甲组中 EF 和 AB 哪组梯子比较陡,乙图中 AB 和 EF 哪组梯子较陡.
结论:当铅直高度一样,水平宽度越小,梯子越陡;当水平宽度一样,铅
直高度越大,梯子越陡
(3)如图,梯子 AB 和 EF 哪个更陡?你是怎样判断的?
方法:在保持倾斜程度不变的情况下,将两部梯子的水平宽变成一样,比
较铅垂高,或者将铅垂高变成一样,比较水平宽.
这种比较方法还是很麻烦,需要找到更简便的方法,
(4)如图,三部梯子的倾斜程度一样,通过测量发现其中两部梯子的数据
如下,请你用上面的方法分析当倾斜角相等时,铅直高度和水平宽度之间有何关
系.
甲组 乙组结论:铅垂高和水平宽的比值一样
(5)回头看前面几个梯子,铅垂高和水平宽的比值与梯子的强些程度有无
一点的关系?
结论:梯子越陡,比值越大,从而也得出前斜角越到,比值越大.(让学生
体会直角三角形中的锐角 A 大小,它的对边与邻边之比之间的内在关系.)
练习:通过这个结论比较课件中四部梯子的倾斜程度.
6、 正切的定义
如图,在 Rt△ABC 中,如果锐角 A 确定,那么∠A 的对边与邻边之比便随
之确定,
这个比叫做∠A 的正切(tangent),记作 tanA,即
tanA= .
注意:
1.tanA 是在直角三角形中定义的,目前∠A 是一个锐角(注意数形结合,构
造直角三角形).
2.tanA 是一个完整的符号,表示∠A 的正切,省去“∠”号(注意 tanA 不表
示 tan 乘以 A).
3. tanA 没有单位,它表示一个比值,即直角三角形中∠A 的对边与邻边的
比..
4.tanA 的大小只与∠A 的大小有关,而与直角三角形的边长无关.
5.角相等,则正切值相等;两锐角的正切值相等,则这两个锐角相等.
思考:1.∠B 的正切如何表示?它的数学意义是什么?
2.前面我们讨论了梯子的倾斜程度,课本图 1—3,梯子的倾斜程度与 tanA
的邻边
的对边
A
A
∠
∠有关系吗?
总结:梯子越陡,tanA 的值越大;反过来,tanA 的值越大,梯子越陡.
练习:请你用不同的符号表示下列图形中两个锐角的正切
三、例题讲解
[例 1]:如图是甲,乙两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡?
分析:比较甲、乙两个自动电梯哪一个陡,只需分别求出 tanα、tanβ的
值,比较大小,越大,扶梯就越陡.
四、、坡度、坡角的定义
正切在日常生活中的应用很广泛,例如建筑,工程技术等.正切经常用来描
述山坡的坡度、堤坝的坡度.
如图,有一山坡在水平方向上每前进 100m,就升高 60
m,
那么山坡的坡度(即坡角α的正切——tanα)就是
tanα= .
( 这里要注意区分坡度和坡角.)
坡面的铅直高度与水平宽度的比即坡角的正切称为坡度.坡度越大,坡面就
越陡.
拓展: 如图,为拦水坝的横截面,其中 AB 面的坡度 i= ,若坝高 BC=20
5
3
100
60 =
3:1米,求坝面 AB 的长.
分析:现根据坡度的概念,知道 BC 的长,求出 AC,在利用勾股定理求 AB
的长度
五、课时小结
本节课从梯子的倾斜程度谈起,经历了探索直角三角形中的边角关系,得
出了在直角三角形中的锐角与它的对边与邻边之比之间的数量关系,并以此为基
础,在“Rt△”中定义了 tanA= .
接着,我们研究了梯子的倾斜程度,工程中的问题坡度与正切的关系,了
解了正切在现实生活中是一个具有实际意义的一个很重要的概念.
六、课后作业
1.习题 1.1 第 1、2、4.
2.观察学校及附近商场的楼梯,哪个更陡.
C
BD
E A
的邻边
的对边
A
A
∠
∠