1.1 锐角三角函数（第2课时）教学设计.docx

1 第一章 直角三角形的边角关系 《锐角三角函数（第 2 课时）》 教学设计说明 一、学生知识状况分析 1、学生已经知道的：学生在前一节课学习了有关正切的知识，学会了用直角三角 形中两条直角边的关系来描述梯子的倾斜度（即倾斜角的正切） 2、学生想知道的：直角三角形中边与角之间是否还存在着其他的关系呢？是否也 能用来刻画梯子的倾斜度呢？ 3、学生能自己解决的：探索出直角三角形中，一个锐角的对边与斜边的的比、邻 边与斜边的比是随锐角的大小变化而变化的. 二、教学任务分析 本课是九年级下册第一章第一节的第二课时，是让学生在理解了正切的基础上，进 一步通过探究发现直角三角形中直角边与斜边之间存在的关系.同时发现，可以用其它 的方式来刻画梯子的倾斜程度，从而拓展了学生的思维和视野.在导学探究过程中，不 同学生对问题的理解是不一样的，教师应尊重学生间的差异，不要急于否定学生的答案， 而要鼓励学生发表自己的看法，培养学生的逻辑思维能力，培养学生学习数学的自信心. 知识与技能 1、能利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数——正弦、余弦，理解锐 角的正弦与余弦和梯子倾斜程度的关系. 2、能够用 sinA,cosA 表示直角三角形中直角边与斜边的比，能够用正弦、余弦进 行简单的计算. 过程与方法 1、经历类比、猜想等过程.发展合情推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观 点. 2、体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神.2 情感与价值观 1、积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲，学有用的数学. 2、形成实事求是的态度以及交流分享的习惯. 教学重点：理解正弦、余弦的数学定义，感受数学与生活的联系. 教学难点：体会正弦、余弦的数学意义，并用它来解决生活中的实际问题. 三、教学过程分析 本节课设计了六个教学环节：第一环节：复习引入；第二环节：探求新知；第三环 节：及时检测；第四环节：归类提升；第五环节：总结延伸；第六环节：随堂小测； 第一环节 复习引入 1、如图，Rt△ABC 中，tanA = ，tanB= . 2、在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，tanA＝ ，AC＝10，求 BC,AB 的长. 3、若梯子与水平面相交的锐角（倾斜角）为∠A，∠A 越大，梯子越 ；tanA 的值越大，梯子越 . 4、当 Rt△ABC 中的一个锐角 A 确定时,其它边之间的比值也确定吗? 可以用其它的 方式来表示梯子的倾斜程度吗？ 设计意图：以练代讲，让学生在练习中回顾正切的含义，避免死记硬背带来的负面 作用（大脑负担重，而不会实际运用），第 4 题的问题引发学生的疑问，激起学生的探 究欲望. 第二环节 探求新知 探究活动 1：如图，请思考： （1）Rt△AB1C1 和 Rt△AB2C2 的关系是 ； 4 3 B1 B2 A C1 C23 （2） ； （3）如果改变 B2 在斜边上的位置，则 ； 思考：从上面的问题可以看出：当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对 边与斜边的比值__________，根据是______________________________________. 它的邻边与斜边的比值呢？ 设计意图：1、在相似三角形的情景中，让学生探究发现：当直角三角形的一个锐 角大小确定时，它的对边与斜边的比值也随之确定了.类比学习，可以知道，当直角三 角形的一个锐角大小确定时，它的邻边与斜边的比值也是不变的.2、在探究活动中发现 的规律，学生能记忆得更加深刻，这比老师帮助总结，学生被动接受和记忆要有用得多. 归纳概念： 1、正弦的定义： 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，我们把锐角∠A 的对边 BC 与斜 边 AB 的比叫做∠A 的正弦，记作 sinA，即 sinA＝________. 2、余弦的定义： 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°,我们把锐角∠A 的邻边 AC 与斜 边 AB 的比叫做∠A 的余弦，记作 cosA，即 cosA=_ _____. 3、锐角 A 的正弦，余弦，正切和余切都叫做∠A 的三角函数. 温馨提示： （1）sinA，cosA 是在直角三角形中定义的,∠A 是一个锐角； （2）sinA，cosA 中常省去角的符号“∠”.但∠BAC 的正弦和余弦表示为: sin∠ BAC，cos∠BAC.∠1 的正弦和余弦表示为: sin∠1，cos∠1； （3）sinA，cosA 没有单位，它表示一个比值； （4）sinA，cosA 是一个完整的符号，不表示“sin”,“cos”乘以“A” ； （5）sinA，cosA 的大小只与∠A 的大小有关,而与直角三角形的边长没有必然的关 系. 的关系是和 2 22 1 11 AB CB AB CB 的关系是和 2 22 1 11 AB CB AB CB4 A C B 设计意图：1、类比正切的定义，让学生理解正弦和余弦的含义；2、让学生了解： 求一个角的三角函数，是指求这个角的正切、正弦和余弦，不是单指某一个值；3、正 弦和余弦容易出现一些不规范的表示方法，在这里先进行明确，可以减少日后不必要的 错误. 探究活动 2：我们知道，梯子的倾斜程度与 tanA 有关系，tanA 越大，梯子越陡， 那么梯子的倾斜程度与 sinA 和 cosA 有关系吗？是怎样的关系？ 设计意图：在探究中进一步让学生理解正弦和余弦的含义，体会正弦和余弦的生活 意义，避免数学知识的枯燥无味，通过利用正弦和余弦来描述梯子的倾斜程度拓展了学 生思维，感受到从不同角度去解释一件事物的合理性，感受数学与生活的联系. 探索发现：梯子的倾斜程度与 sinA,cosA 的关系： sinA 越大，梯子 ； cosA 越 ，梯子越陡. 探究活动 3：如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°,AB=20，sinA=0.6，求 BC 和 cosB. 通过上面的计算，你发现 sinA 与 cosB 有什么关系呢? sinB 与 cosA 呢？在其它直 角三角形中是不是也一样呢？请举例说明. 小结规律：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于另一个锐角的 . 设计意图：在探究中进一巩固正弦和余弦的定义，同时发现直角三角形中两个锐角 的三角函数值之间存在一定的关系，拓展学生的知识储备. 第三环节 及时检测5 1、如图，在 Rt△ABC 中，锐角 A 的对边和邻边同时扩大 100 倍，sinA 的值（ ） A、扩大 100 倍 B、缩小 100 倍 C、不变 D、不能确定 2、已知∠A，∠B 为锐角 (1)若∠A=∠B，则 sinA sinB； (2)若 sinA=sinB，则∠A ∠B. 3、如图， ∠C=90°，CD⊥AB，sinB=( )=( )=( ) 设计意图：在练习中检验学生对知识的掌握，同时体会在不同的直角三角形中，（如 “双垂直模型”），一个锐角的三角函数可以有不同的表示方法，为日后的知识应用打下 基础. 第四环节 归类提升 类型一：已知直角三角形两边长，求锐角三角函数值 例 1、如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°, AC=3，AB=6，求∠B 的三个三角函数值. 类型二：利用三角函数值求线段的长度 例 2、如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=3，sinA= ，求 AC 和 AB. 类型三：利用已知三角函数值，求其它三角函数值 例 3、在 Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=6，sinA= ，求 cosA、tanB 的值. 类型四：求非直角三角形中锐角的三角函数值 例 4、如图，在等腰△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，求 sinB,cosB,tanB. A B C 13 5 5 36 设计意图：分类型进行演练，有利于学生掌握思路和方法，由特殊（直角三角形） 到一般（非直角三角形），让学生懂得寻找或构造直角三角形是解决三角函数问题的一 般思路. 第五环节 总结延伸 1、锐角三角函数定义：sinA= ，cosA= ，tanA= ； 2、温馨提示： （1）sinA，cosA，tanA， 是在直角三角形中定义的，∠A 是锐角(注意数形结合， 构造直角三角形)； （2）sinA，cosA，tanA 是一个完整的符号，表示∠A 的正切，习惯省去“∠”号； （3）sinA，cosA，tanA 都是一个比值，注意区别,且 sinA,cosA,tanA 均大于 0,无 单位； （4）sinA，cosA，tanA 的大小只与∠A 的大小有关，而与直角三角形的边长没有 必然关系； （5）角相等，则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等，则这两个锐角相 等. 3、在用三角函数解决一般三角形或四边形的实际问题中，应注意构造直角三角形. 设计意图：课堂小结，检查学生掌握情况，同时能对知识进行及时梳理，有利于学 生归纳和消化，特别对于重要的方法提示和要注意的细节，能再次呈现，使学生印象深 刻. 第六环节 随堂小测 1、如图，分别求∠α，∠β的三个三角函数值. 2、在等腰△ABC 中， AB=AC=13，BC=10，求 sinB,cosB.7 CE A D FB 3、在△ABC 中，AB=5，BC=13，AD 是 BC 边上的高，AD=4.求:CD 和 sinC. 4、在 Rt△ABC 中，∠BCA=90°，CD 是中线，BC=8，CD=5.求 sin∠ACD，cos∠ACD 和 tan∠ACD. 5、在梯形 ABCD 中，AD//BC，AB=DC=13，AD=8，BC=18，求 sinB,cosB,tanB. 6、如图，在△ABC 中，点 D 是 AB 的中点，DC⊥AC，且 tan∠BCD=1/3.求∠A 的三个 三角函数值. 设计意图：设计各种题型，可以检验学生的方法掌握情况，同时巩固学生的知识， 提高学生的运用能力，若时间不允许该部分也可作为课后作业完成. 四、教学反思 好的方面：由于上节课学生学习了三角函数中的正切，所以本节课结合初中学生身 心发展的特点，运用了类比法教学法，唤起和加深学生对教学内容的体会和了解，很容 易就掌握正弦和余弦的概念和意义.同时，探究活动培养和发展了学生的观察、思维能 力. 本课时贯彻“从生动的直观到抽象的思维，并从抽象的思维到实践”的基本认识规 律，运用了这些直观教学，能使学生学习数学的过程成为积极的愉快的和富有想象的过 程，使学习数学的过程不再是令人生畏的过程. 不足之处：一方面，学生一下子学习了三种三角函数，容易混淆这些定义，写错对 应边的比例关系；另一方面，学生对于三角函数是建立在“直角三角形中“这个前提条 件理解不深，在解答过程中容易忽略；再一方面，由于经验的缺乏，对于一般的图形中 的三角函数问题，学生对于如何构造直角三角形没有很明确的方向和策略，这是需要后 面进一步加强的内容.