1.1 2 基本计数原理和排列组合（选修2-3）.doc

一. 本周教学内容： 选修 2—3 基本计数原理和排列组合 二. 教学目标和要求 1. 掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理，并能用两个计数原理解决一些简单的问题。 2. 理解排列和组合的概念，能利用计数原理推导排列数公式，组合数公式，并解决简单的 实际问题。 3. 让学生体会思想与方法，培养学生分析问题，解决问题的能力，激发学生学习的兴趣。 注意问题的转化，分类讨论，注重数形结合，学会从不同的切入点解决问题。 三. 重点和难点 重点：两个基本计数原理的内容；排列和组合的定义，排列数和组合数公式及其应用 难点：两个计数原理的应用和应用排列组合数公式解决实际的问题 四. 知识要点解析[来源:www.shulihua.net] 1. 两个基本计数原理 （1）分类加 法计数原理： 做一件事情，完成它有 n 类办法，在第一类办法中有 m1 种不同的方法，在第二类办法中 有 m2 种不同的办法……在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事情共有 N＝m1＋ m2＋…＋mn 种不同的方法 （2）分步乘法计数原理： 做一件事情，完成它需要分成 n 个步骤，做第一个步骤有 m1 种不同的方法，做第二个步 骤有 m2 种不同的办法……做第 n 个步骤有 m n 种不同的方法，那么完成这件事情共有 N＝ m1×m2×…×mn 种不同的方法 说明： （1）两个基本计数原理是解决计数问题最基本的理论根据，它们分别给出了用两种不同 方式（分类和分步）完成一件事情的方法总数的计算方法 （2）考虑用哪个计数原理，关键是看完成一件事情是否能独立完成，决定是分类还是分 步。如果完成一件事情有 n 类办法，每类办法都能独立完成，则用分类加法计数原理；如果 完成一件事情，需要分成 n 个步骤，各个步骤都是不可缺少的，需要依次完成所有步骤，才能完成这件事情，则用分步乘法计数原理 （3）在解决具体问题，要弄清是“分步”，还是“分类”，还要弄清“分步”或者“分类”的标准 是什么，注意分类，分步不能重复，不能遗漏 2. 排列问题 （1）排列的定义：一般的，从 n 个不同的元素中任取 m（m n）个元素，按照一定的顺 序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列 说明： ①定义中包含两个基本内容：一是“取出元素”，二是“按一定顺序排列” ②一个排列就是完成一件事情的一种方法 ③不同的排列就是完成一件事情的不同方法 ④两个排列相同，需要满足两个条件：一是元素相同，二是顺序相同 ⑤从 n 个不同的元素全部取出的一个排列，叫做 n 个不同元素的一个全排列，记作 （2）排列数的定义：从 n 个不同的元素中任取 m（m n）个元素的所有排列的个数，叫 做从 n 个不同元素中任取 m 个元素的排列数。用符号 （3）排列数公式： （读作 n 的阶乘），0！＝1 说明：① ②公式右边是 m 个从大到小的连续正整数之积，最大的因数是 n，最小的因数是 n－m＋ 1 ③n 的阶乘是正整数 n 到 1 的连乘积 3. 组合问题 （1）组合的定义：一般地，从 n 个不同的元素中任取 m（m n）个元素，并成一组，叫 做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合 说明： ①如果两个组合中元素完全相同，不管它们的顺序如何都是相同的组合 ②当两个组合中元素不完全相同，就是不同的组合 ≤ n nA ≤ m nA !)!( !)1()2)(1( mmn nmnnnnAm n −=+−−−=  !nAn n = nmNmn ≤∈ + 且,, ≤③排列和组合的区别：排列和顺序有关，而组合和顺序无关 （2）组合数定义：从 n 个不同的元素中任取 m（m n）个元素的所有组合的个数，叫做 从 n 个不同元素中任取 m 个元素的组合数。用符号 （3）组合数公式： （4）组合数的两个性质： ① ② 4. 排列和组合的关系： （1）二者区别的关键：是否和顺序有关 （2）二者的联系： 5. 解决站队和组数的常用方法： （1）特殊位置（或元素）优先考虑法：解决在与不在的问题 （2）捆绑法：解决元素相邻的问题 （3）插空法：解决元素不相邻的问题 （4）间接法：先总体考虑，后排除不符合条件的，转化问题 【典型例题】 例 1. （1993 年全国高考） 同室 4 人各写一张贺年卡片，先集中起来，然后每人从中拿一 张别人送出的贺年卡片，则 4 张贺年卡片不同的分配方式有：（ ） A. 6 种 B. 9 种 C. 11 种 D. 23 种 错解： ① 3×2×1×1＝6 选（A） ② 3×2×2×1－1＝11 选（C） ③ 3×2×2×2－1＝23 选 （D） 错解原因：由于本人不能拿自己写的卡片这一限制条件，导致它们之间有过多的相互影 响的限制，因此三种解法都没有能全面考虑。有的重复有的遗漏，思路不清晰，从而错解本 题。 由于本题 4 这个数目不大，设 4 人分别编号甲，乙，丙，丁，4 人对应卡片分别编号 1， ≤ m nC 1 ),,()!( ! ! )1()2)(1( 0 == ≤∈−=+−−−= + n nn m n CC nmNnmmn n m mnnnnC 且 mn n m n CC −= 1 1 − + += m n m n m n CCC m m m n m n ACA =2，3，4，我们可以采用穷举法逐一列举如下： 2 1 4 3 2 3 4 1 2 4 1 3 3 1 4 2 3 4 2 1 3 4 1 2 4 1 2 3 4 3 1 2 4 3 2 1 共有 9 种，所以正确答案选（B）[来源:www.shulihua.net] 分析：建立数学模型将贺年卡片的分配问题转化为数学问题，用 1，2 ，3，4 这 4 个数 字组成无重复的四位数，其中 1 不在千位，2 不在百位，3 不在十位，4 不在个位的 4 位数共 有多少个？ 思路：用乘法原理，千位只能放 2，3，4 三种；在放过数字 2 后，百位只能放 1，3，4 三种，后两位已经确定。类似的，当千位数字是 3，十位只能放 1，2，4，其余也已确定 ∴ 3×3×1＝9 ，共有 9 种，所以正确答案选（B） 评析：要分析清楚它们之间的关系，注意问题的转化，和数学问题联系起来，建立数学 模型。 [来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net] 例 2. （2003 年全国高考文科）将 3 种作物种植在如图所示的 5 块试验田里，每块种植一种 作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法共有 种（以数字作答） 错解：按照乘法原理 3×2×2×2×2＝48 种 错解原因：这 48 种里面有不符合条件的，设三种作物为 ABC，例如下面情况是存在的 ABABA，BABAB 只有两种作物，不符合题意，共有 种 正确解法：48－6＝42 种 例 3. 从包含甲的若干名同学中 选出 4 名分别参加数学，物理，化学和英语竞赛，每名学生 只能参加一科竞赛，且任 2 名同学不能参加同一科竞赛，若甲不参加物理和化学竞赛，则共 有 72 种不同的参赛方案，问一共有多少同学？ 分析：若设共有 n 名同学，则我们可以用 n 把参赛方法总数表示出来，这种实际上就是 得到了一个关于 n 的方程，解方程即可求出 n 的值 解：设共有 n 名同学，首先从这 n 名同学中选出 4 人，然后再分别参加竞赛，按同学甲 分类：第一类，不选甲，则从剩下的 n－1 名同学中选出 4 人分别参加 4 科竞赛，有 种参 62 2 2 3 =AC 4 1−nA赛方式；第二类，选甲，首先安排甲，有 种方法，再从剩下的 n－1 名同学中选出 3 人参加 剩下的 3 科竞赛，有 种方法，共有 种参赛方式，所以根据分类计数原理，一共有 ＋ 种方法，根据题意得 ＋ ＝72，解得 n＝5[来源:www.shulihua.net] 评析：对于这类较为复杂的问题，我们往往感到无从下手，如 果，从竞赛学科的角度来思考，则需要分很多种情况，容易出错。 这时我们可以采用“先取后排”的原则：即首先取出符合条件的元 素，再按要求把它们排起来，这样解答比较条理，有利于问题的解 决。同学们在思考这个问题时，关键是要理清思路，注意问题的转 化，不要“一条道走到黑”，不要“钻牛角尖”。当然这道题也可采 用“先特殊后一般”的原则解决，大家不妨一试。 例 4. 用 0 到 9 这十个数字可以组成多少个没有重复数字的 （1）五位数 （2）五位奇数 （3） 五位偶数 （4）数字 0 不选上，但数字 2，3 必须选上且相邻的五位数 解：（1）首位是特殊位置，按照特殊位置优先考虑的方法，第一步：首位共有 方法， 第二步：从剩余的 9 个数字（包括数字 0）中选取 4 个排列，共有 种方法 根据乘法原理：共有 ＝27216 种 （2）填空法 思路一：首位和末位都是特殊位置，如果先考虑首位，则有首位是奇数和偶数两种情况， 分类讨论：首位奇数，则有 种，末位为奇数有 种，其余 种，所以共有 ＝6720 种方法。首位偶数，不能为 0，则有 种，末位为奇数有 种，其余 种，所以共有 ＝6720 种方法，则共有 ＋ ＝13440 种 思路二：先确定末位为奇数，有 种，首位不能为 0，则有 种，其余 种，所以共 1 2A 3 1−nA 3 1 1 2 −nAA 4 1−nA 3 1 1 2 −nAA 4 1−nA 3 1 1 2 −nAA 1 9C 4 9A 1 9C 4 9A 1 5A 1 4A 3 8A 1 5A 1 4A 3 8A 1 4A 1 5A 3 8A 1 4A 1 5A 3 8A 1 5A 1 4A 3 8A 1 4A 1 5A 3 8A 1 5A 1 8A 3 8A有 ＝13440 种 分析：两个特殊位置中末位更特殊，注意分析，有利于解决问题，在这里我详细分析， 注意体会，并在解题中加以应用。 （3）思路一：末位偶数，分两类：末位是 0，则首位有 种，其余有 ；末位不是 0， 有 种， 则首位有 种，其余有 ，所以共有 ＋ ＝13776 种 思路二：（间接法）利用五位数的方法数 ＝27216 种，减去五位奇数的方法数 ＝13440 种，所以共有 － ＝27216－13440＝13776 种 （4）数字 0 不选上，但数字 2，3 必须选上且相邻的五位数 第一步：选元素，数字 2，3 必须选上，然后再选择 3 个元素，有 种 第二步：排顺序，把 2，3 看成一个元素，俗称“捆绑”，共有 4 个元素排顺序，有 种， 但，2，3 两元素还有顺序，有 种 所以共有 ＝1680 种 分析：该例题涉及组数，关键分清题目中的条件的限制，常用方法就是，特殊位置（元 素）优先考虑，优先安排；相邻问题可以用捆绑法；不相邻问题可以用插空法；直接来求情 况较多，也可以用间接法。只有理解了题意，明白题目的意图，这些方法才能熟练应用。 思考：如何解决这个问题？ 用 1 到 9 这九个数组成九位数，要求偶数不能相邻，问有多少 种不同的排法？ 例 5. 六本不同的书，根据下列条件分配，各有多少种不同的分配方案？ （1）甲两本，乙两本，丙两本 （2）甲一本，乙两本，丙三本 （3）一人一本，一人两本，一人三本 （4）平均分成 3 堆 解：（1）有编号，有分步计算原理得 种 （2）有编号，甲有 ，乙有 ，丙 有 ，所以共有 ＝60 种 （3）无编号，先分组后分配给甲乙丙，分组有 ，分配有 ，所以共有 1 5A 1 8A 3 8A 1 9A 3 8A 1 4A 1 8A 3 8A 1 9A 3 8A 1 4A 1 8A 3 8A 1 9C 4 9A 1 5A 1 8A 3 8A 1 9C 4 9A 1 5A 1 8A 3 8A 3 7C 4 4A 2 2A 3 7C 4 4A 2 2A 902 2 2 4 2 6 =CCC 1 6C 2 5C 3 3C 1 6C 2 5C 3 3C 3 3 2 5 1 6 CCC 3 3A 3 3 2 5 1 6 CCC＝360 种 （4）平均分组 种 【模拟试题】 一、选择题 1. 已知椭圆 的焦点在 y 轴上，且 ，这样的椭圆共 有（ ）个 A. 9 B. 12 C. 15 D. 30 2. 某赛季足球比赛的计分规则是：胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分，一球队 打完 15 场比赛，积分 33 分，若不考虑顺序，该队胜平负的情况共有（ ）种 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. （1991 年全国高考） 从 4 名甲型和 5 名乙型电视机中任意取出 3 台，其中至少要有甲 型与乙型电视机各一台，不同的取法共有（ ）种 A. 140 B. 84 C. 70 D. 35 4. 四个不同的小球放入编号 1，2，3，4 的四个盒子中 ，则恰有一个空盒的方法共有 （ ）种 A. 288 B. 144 C. 72 D. 以上都不对 5. 四面体的和各棱中点共有 10 个点，在其中取四个不共面的点，不同的取法有（ ）种 A. 150 B. 147 C. 144 D. 141 6. 八个不同颜色的小球已平均分装在 4 个箱子中，现从不同的箱子中取出 2 个彩球，则不 同的取法共有（ ）种 A. 6 B. 12 C. 24 D. 28 7. 每天上午有 4 节课，下午 2 节课，安排 5 门不同的课程，其中安排一门课两节连在一起 上，则一天安排不同课程的种数 为（ ） A. 96 B. 120 C. 480 D. 600 8. 五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有（ ）种 A. 120 B. 78 C. 96 D. 72 3 3A 153 3 2 2 2 4 2 6 = A CCC 12 2 2 2 =+ n y m x }{ }{ 5,4,3,2,1,3,2,1 ∈∈ nm9. 从不同号码的 5 双鞋中任取 4 只，其中恰好有一双的取法种数为（ ） A. 120 B. 60 C. 240 D. 280 10. 分别在三张卡片的正反面上写有 1 与 2，3 与 4 ，5 与 6，且 6 可以当 9 用，把这三张 卡片拼在一起，表示一个三位数，则三位数的个数共有（ ）个 A. 12 B. 24 C. 48 D. 72 二、填空题 1. 有 100 个三好学生名额，分配到高三年级 60 班，每班至少一个名额，共有 种不 同的分配方案。 2. 马路上有 8 盏路灯，为节约用电又不影响正常的照明，可把其中的 3 盏灯关掉，但不能 同时关掉相邻的两盏或者三盏，也不能关掉两端的灯，那么满足条件的关灯方法共有 种。 3. 三个人坐在一排 8 个座位上，若每人两边都有空位， 则坐法种数为 4. 计算 5. 若 ，则 x＝ 6. 十只产品中有 4 只次品，6 只正品，每次取出一个测试，直到 4 只次品全测出为止，则 第 4 只次品在第 5 次测试时被发现的情形共有 种 三、解答题（套题） 有 3 名男生，4 名女生，在下列不同要求下，不同的排法有多少种？ （1）全体排成一排 （2）选其中 5 人排成一排 （3）全体排成一排，其中甲只能在中间或者两头位置 （4）全体排成一排，甲乙必须在两头 （5）全体排成一排，甲不在最左边，乙不在最右边[来源:www.shulihua.net] （6）全体排成一排，男女生各一边 （7）全体排成一排，男生必须排在一起 （8）全体排成一排，其中甲必须在乙的左边 （9）全体排成一排，男生不能排在一起 =++++ 2 10 2 4 2 3 2 2 CCCC  xx CC 20 72 20 =−（10）全体排成一排，甲乙两人之间必须有 3 人 （11）排成前后两排，前排 3 人，后排 4 人 （12）排成前后 2 排，甲必须在前排 请做完之后，再看答案【试题答案】 一、选择题 1. A 2. A 3. C 4. B 5. D 6. C 7. C 8. B 9. A 10. D 二、填空题 1. 挡板法，把 100 个名额看成 100 个位置，中间有 99 个空，插入 59 个挡板，分成 60 部分， 即 种 2. 插空法：问题转化为“在 5 盏亮灯的 4 个空中插入 3 盏暗灯”所以 ＝4 种 3. 24 4. 利用 ，结果为 5. 2x－7＝x 或 2x－7＋x＝20，解得 x＝7 或 x＝9 6. 第 4 只次品在第 5 次测试时被发现，说明前四次测试中有 3 只次品，一只正品，第 5 次 一定是次品，所以共有 种不同的方法。 三、解答题（套题） 【励志故事】 宽恕的力量 59 99C 3 4C 1 1 − + += m n m n m n CCC 1653 11 =C 5764 4 1 6 1 4 =ACC 2160)12( 5040)11( 7203)10( 1440)9( 25202 1)8( 720)7( 288)6( 37202)5( 240)4( 2160)3( 2520)2( 5040)1( 6 6 1 3 7 7 4 4 3 3 3 7 5 5 2 2 3 3 3 5 4 4 7 7 3 3 5 5 2 2 4 4 3 3 5 5 6 6 7 7 5 5 1 5 1 5 6 6 5 5 2 2 6 6 1 3 5 7 7 7 = == = = = = = =+−=+ = = = = AC AAAC AA ACA A AA AAA AAAAAAA AA AA A A 插空法 捆绑法，在美国南北战争期间，有个名叫罗斯韦尔·麦金太尔的年轻人被征入骑兵营。由于战事进 展不顺，士兵奇缺，在几乎没有接受任何训练的情况下，他就被临时派往战场。在战斗中， 年轻的麦金太尔担惊受怕，终于开小差逃跑了。后来，他以临阵脱逃的罪名被军事法庭判处 死刑。 当麦金太尔的母亲得知这个消息后，她向当时的总统林肯发出请求。她认为自己的儿子 年纪轻轻，少不更事，他需 要第二次机会来证明自己。然而部队的将军们力劝林肯严肃军纪， 声称如果开了这个先例，必将削弱整个部队的战斗力。 在这种情况下，林肯陷入两难境地。经过一番深思熟虑后，他最终决定宽恕这个年轻人， 并说了这样一句著名的话：“我认为，把一个年轻人枪毙对他本人绝对没有好处。”为此他亲自 写了一封信，要求将军们放麦金太尔一马：“本信将确保罗斯韦尔·麦金太尔重返兵营，在服完 规定年限的兵役后，他将不受临阵脱逃的指控。” 如今，这封褪了色的林肯亲笔签名信被一家著名的图书馆收藏展览。这封信的旁边还附 带了一张纸条，上面写着：“罗斯韦尔·麦金太尔牺牲于弗吉尼亚的一次激战中，此信是在他的 贴身口袋里发现的。” 一旦被给予第二次机会，麦金太尔就由怯懦的逃兵变成了无畏的勇士，并且战斗到自己 生命的最后时刻。由此可见，宽恕的力量何等巨大！由于种种原因，人不可能不犯错误，但 只有宽恕才能给他第二次机会，也才有可能让他弥补先前的过失。 ［小编插语］宽恕别人，也是在善待自己，这样我们才能收获更多。 www.shulihua.net w。w-w*k&s%5￥u www.shulihua.net w。w-w*k&s%5￥u