1.2 1 加法原理、乘法原理以及排列、组合的概念（选修2-3）.doc

教学目标 1.正确理解排列、组合的意义． 2.掌握写出所有排列、所有组合的方法，加深对分类讨论方法的理解． 3.发展学生的抽象能力和逻辑思维能力． 教学重点与难点 重点：正确理解两个原理（加法原理、乘法原理）以及排列、组合的概念． 难点：区别排列与组合． 教学过程设计 师：上节课我们学习了两个基本原理，请大家完成以下两题的练习： （用投影仪出示） 1.书架上层放着 50 本不同的社会科学书，下层放着 40 本不同的自然科学的书． （1）从中任取 1 本，有多少种取法? （2）从中任取社会科学书与自然科学书各 1 本，有多少种不同的取法? 2.某农场为了考察三个外地优良品种 A，B，C，计划在甲、乙、丙、丁、戊共五种类型的上 地上分别进行引种试验，问共需安排多少个试验小区? （全体同学参加笔试练习．） 4 分钟后，找一同学谈解答和怎样思考的? 生：第 1（1）小题从书架上任取 1 本书，有两类办法，第一类办法是从上层取社会科学书， 可以从 50 本中任取 1 本，有 50 种方法；第二类办法是从下层取自然科学书，可以从 40 本中 任取 1 本，有 40 种方法．根据加法原理，得到不同的取法种数是 50+40＝90．第（2）小题从 书架上取社会科学、自然科学书各 1 本（共取出 2 本），可以分两个步骤完成：第一步取一本 社会科学 书，第二步取一本自然科学书，根据乘法原理，得到不同的取法种数是：50×40＝2 000．第 2 题说，共有 A，B，C 三种优良品种，而每个品种在甲类型土地上实验有三个小区，在乙类型 的土地上有三个小区……所以共需 3×5＝15 个实验小区． 师：学习了两个基本原理之后，继续学习排列和组合，什么是排列?什么是组合?这两个问题 有什么区别和联系?这是我们讨论的重点．先从实例入手： 1.北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线，需要准备多少种不同飞机票? 希望同学们设计好方案，踊跃发言． 生甲：首先确定起点站，如果 北京是起点站，终点站是上海或广州，需要制 2 种飞机票，若起点站是上海，终点站是北京或广州，又需制 2 种飞机票；若起点站是广州，终点站是北京 或上海，又需要 2 种飞机票，共需要 2+2+2＝6 种飞机票． 师：生甲用加法原理解决了准备多少种飞机票问题．能不能用乘法原理来设计方案呢? 生乙：首先确定起点站，在三个站中，任选一个站为起点站，有 3 种方法．即北京、上海、 广泛任意一个城市为起点站，当选定起点站后，再确定终点站，由于已经选了起点站，终点 站只能在其余两个站去选．那么，根据乘法原理，在三个民航站中，每次取两个，按起点站 在前、终点站在后的顺序排列不同方法共有 3×2＝6 种． 师：根据生乙的分析写出所有种飞机票． 生丙：（板演） 在航海中，船舰常以“旗语”相互联系，即利用不同颜色的旗子发送出各种不同的信号．如 有红、黄、绿三面不同颜色的旗子，按一定顺序同时升起表示一定的信号，问这样总共可以 表示出多少种不同的信号? 请同学们谈谈自己的想法． 生丁：事实上，红、黄、绿三面旗子按一定顺序的一个排法表示一种信号，所以不同颜色的 同时升起可以表示出来的信号种数，也就是红、黄、红这三面旗子的所有不同顺序的排法总 数． 首先，先确定最高位置的旗子，在红、黄、绿这三面旗子中任取一个，有 3 种方法； 其次，确定中间位置的旗子，当最高位置确 定之后，中间位置的旗子只能从余下的两面旗中 去取，有 2 种方法． 乘下那面旗子，放在最低位置． [来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net][来源:www.shulihua.net] 根据乘法原理，用红、黄、绿这三面旗子同时升起表示出所有信号种数是： 3×2×1＝6（种）． 师：根据生丁同学的分析，写出三面旗子同时升起表示信号的所有情况．（包括每个位置情况） 生戊：（板演） 师：第三个实例，请全体同学都参加设计，把所有情况（包括每个位置情况）写出来． 由数字 1，2，3，4 可以组成多少个没有重复数字的三位数?写出这些所有的三位数． （教师在教室巡视，过 3 分钟找一个同学板演） 根据乘法原理，从四个不同的数字中，每次取出三个排成三位数的方法共有 4×3×2＝24（个）． 师：请板演同学谈谈怎样想的? 生：第一步，先确定百位上的数字．在 1，2，3，4 这四个数字 中任取一个，有 4 种 取法． 第二步，确定十位 上的数字．当百位上的数字确定以后，十位上的数字只能从余下的三个数 字去取，有 3 种方法． 第三步，确定个位上的数字．当百位、十位上的数字都确定以后，个位上的数字只能从余下 的两个数字中去取，有 2 种方法． 根据乘法原理，所以共有 4×3×2＝24 种． 师：以上我们讨论了三个实例，这三个问题有什么共同的地方? 生：都是从一些研究的对象之中取出某些研究的对象． 师：取出的这些研究对象又做些什么? 生：实质上按着顺序排成一排，交换不同的位置就是不同的情况． 师：请大家看书，第×页、第×行．我们把被取的对象叫做双元素，如上面问题中的民航站 、旗子、数字都是元素． 上面第一个问题就是从 3 个不同的元素中，任取 2 个，然后按一定顺序排成一列，求一共有 多少种不同的排法，后来又写出所有排法．第二个问题，就是从 3 个不同元素中，取出 3 个， 然后按一定顺序排成一列，求一共有多少排法和写出所有排法．第三个问题呢? 生：从 4 个不同的元 素中，任取 3 个，然后按一定的顺序排成一列，求一共有多少种不同的 排法，并写出所有的排法． 师：请看课本，第×页，第×行，一般地说，从 n 个不同的元素中，任取 m（m≤n）个元素（本 章只研究被取出的元素各不相同的情况），按着一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中 取出 m 个元素的一个排列． 按着这个定义，结合上面的问题，请同学们谈谈什么是相同的排列?什么是不同的排列? 生：从排列的定义知道，如果两个排列相同，不仅这两上排列的元素必须完全相同，而且排 列的顺序（即元素所在的位置）也必须相同．两个条件中，只要有一个条件不符合，就是不 同的排列． 如第一个问题中，北京—广州，上海—广州是两上排列，第三个问题中，213 与 423 也是两个 排列． 再如第一个问题中，北京—广州，广州—北京；第二个问题中，红黄绿与红绿黄；第三个问 题中 231 和 213 虽然元素完全相同，但排列顺序不同，也是两个排列． 师：还需要搞清楚一个问题，“一个排列”是不是一个数? 生：“一个排列”不应当是一个数，而应当指一件具体的事．如飞机票“北京—广州”是一 个排列，“红黄绿”是一种信号，也是一个排列．如果问飞机票有多少种?能表示出多少种 信号．只问种数，不用把所有情况罗列出来，才是一个数．前面提到的第三个问题，实质上 也 是这样的． 师：下面我们进一步讨论： 1.在北京、上海、 广州三个民航站之间的直达航线，有多少种不同的飞机票价与准备多少种 不同的飞机票，有什么区别? 2.某 班某小组五名同学在暑假互相都通信一次，打电话一次，通信的封数与打电话的次数是 否一致? 3.有四个质数 2，3，5，7 两两分别作加法、减法、乘法、除法，所得到的和、差、积、商是否相同? 生 A：我回答第 1 个问题．前边已经讨论过有要准备 6 种飞机票，但票价只有三种，北京—上 海与上海—北京，北京—广州与广州—北京，上海—广州与广州—上海票价是一样的，共有 3 种票价． 生 B：我回答第 2 个问题．举个例子，张玉同学给李刚同学写信，李刚同学给张玉同学写信， 这样两封信才算彼此通一次信．而两人通一次电话，无论是张玉打给李刚的，还是李刚打给 张玉的，两个人都同时参与了，彼此通了一次电话． 师：那么通了多少封信?打了多少次电话? 生 C：五个人都要给其他四位同学写信，5×4＝20 封．关于打电话次数，我现在数一数：设 五名同学的代号是 a，b，c，d，e．则 a—b，a—c，a—d，a—e，b—e，b—d，b—e，c—d ，c—e，d—e．共十次． 生 D：我回答第 3 个问题．减法与除法所得的差和商个数是同一个数，因为被减数与减数，被 除数与除数交换位置所得的差与商是不同的．加法与乘法所得的和与积个数是同一个数，根 据加法、乘法交换律，被加数与加数，被乘数与乘数交换位置，和与积不受影响． 师：有多少个差与商?有多少个和与积? 生 E：2，3，5，7 都可以做被减数和被除数，对于每一个被减数（或被除数）都对应着有 3 个数作减数（或除数），共有 4×3＝12 个差或商．把交换位置的情况除去，就是和或积的数字， 即 12÷2＝6． 师：以上三个问题六件事，有什么共同点?再按类分，类与类之间有什么区别?区别在哪里? 生：都是从一些元素中，任取某些元素的问题． 可以分两类．一类属于前边学过的排列问题，即取出的元素要“按照一定的顺序排成一列” ，只要交换位置，就是不同的排列．前边三个问题中的飞机票、通信封数、减法与除法运算 的结果都属于这一类．另一类是取出的元素，不必管顺序，只有取不同元素时，才是不同的 情况，如飞机票价，打电话次数、加法与乘法运算的结果都属于这一类． 师：分析得很好，我们说后一类问题是从 n 个元素中任取 m（m≤n）个元素，不管怎样的顺序 并成一组，求一共有多少种不同的组．如以上三个问题中飞机票价题是 3 组，打电话次数题 是 10 组，和与积的个数题都是 6 组． 请同学们看课本，第×页第×行开始到第×页第×行结束． （用 5 分钟时间学生读课本，教师巡视，回答学生提出的问题） 师：组合这一节讲的主要内容是什么? 生：组合定义；什么是相同的组合，什么是不同的组合；排列与组合的区别；怎样写出某个 组合问题的所有组合． 师：现在请同学们回答这四个问题．每位同学只说一个问题． 生 F：组合定义是从 n 个不同的元素中，任取 m（m≤n）个元素并成一组，叫做从 n 个不同元 素中取出 m 个元素的一个组合． 生 G：如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合；只有 当组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合． 生 H：排列与元素的顺序有关，组合与顺序无关．如 231 与 213 是两个排列，2+3+1 的和与 2+1+3 的和是一个组合． 生 I：我举个例子．前边生 C 同学提到的 a，b，c，d，e 这五个元素，写出每次取出 2 个元素 的所有组合． 先把 a 从左到右依次与 b，c，d，e 组合，写出 ab，ac，ad，ae．再把 B 依次与 c，d，e 组合， 写出 bc，bd，be．再把 c 依次与 d，e 组合，写出 cd，ce．最后 d 与 e 组合，写出 de．前面生 C 面学已经写得很好． 师：一定要认真体会排列与组合的区别在于顺序是否有关，在以后的各种实际应用题中要区 别清楚才能寻找正确解题途径． 和排列一样，还需要区分清楚“ 一个组合”和“组合种数”这两个概念．一个组合不是一个 数，而是具体的一件事，刚才生 I 同学回答的每一种如 ab，又如 ac，…都叫一个组合，共 10 种，而 10 就是组合 数． 怎样写出所有的排列和所有的组合是本节的技能方面要求，现在请同学们写出由 1，2，3，4 中取出 3 个数所有组合． （教师请生 M 到黑板板演） 板演： 123，124，134，234． 师：最后希望大家思考，下面的问题是排列问题，还是组合问题?怎样解? 1.今欲从 1，2，3，8，9，10，12 诸数中选取两数，使其和为偶数，问共有几种选法? 2.有四张卡片，每张分别写着数码 1，2，3，4．有四个空箱，分别写 着号码 1，2，3，4．把 卡片放到空箱内，每箱必须并且只能放一张，而且卡片数码与箱子号码必须不一致，问有多 少种放法? （两道题用投影仪示出） 同学们独立思考几分钟，然后全班进行讨论，请思考成熟的同学发言． 生 n：我谈第 1 题．要求出用两个数码所组成的其和为偶数的数的个数，这时按两奇数的和为 偶数与两偶数的和为偶数这一标准，进行分类．选出的两数不考虑顺序，因为交换位置其和 不变，是组合问题．解法是： 在 1，3，9 中任选两段：1，3；1，9；3，9 有 3 个组合． 在 2，8，10，12 中任选两数：2，8；2，10；2，12；8，10；8，12；10，12．有 6 个组 合． 根据加法原理，3+6＝9． 所以共有 9 种选法． 生 P：我谈第 2 题．这是从四张卡片中取出 4 张，分别放在四个位置上，只要交换卡片位置， 就是不同的放法，是个附有条件的排列问题．解法是： 第一步是把数码卡片四张中 2，3，4 三张任选一个放在第 1 空箱． 第二步从余下的三张卡片中任选符合条件的一张放在第 2 空箱． 第三步从余下的两张卡片中任选符合条件的一张放在第 3 空箱． 第四步把最后符合条件的一张放在第四空箱．具体排法，我用下面图表表示： 所以，共有 9 种放法． 师：参加讨论的同学对于什么是排列，什么是组合?一个排列与排列种数，一个组合与组合种数区别是什么?怎样排列，怎样组合都比较清楚了．由于排列组合问题遇到的情况不是唯 一的，经常使用分类讨论的方法． 作业 课本：P232 练习，1，7；P243 练习 1，2，3，4，6． [来源:www.shulihua.net] 补充作业 1.空间有五个点，其中任何四点不共面，以每四个点为顶点作一个四面体，一共可作多少 个四面体?（5 个） 2.用 0，2，3，5 可以组成多少个数字不重复且被 5 整除的三位数?（10 个） 3.同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则四张 贺年卡不同的分配方式有多少种?（9 种） 课堂教学设计说明 1.温故才能知新，为了培养学生良好的学习习惯，学习新课前进行了复习练习． 2.为了更深刻地理解排列组合概念，设计教案时采取了两项有效措施． （1）先给出排列、组合的感性认识，再抽象出排列、组合定义，利于学生抽象能力的培养 ，并能激发学生的学习兴趣，积极参加学习过程中来． （2）改变了教材的安排，把排列与组合的概念放在同一节课，既节约了课时又通过对比， 更深刻理解排列与组合概念本质，掌握它们的共同点与不同点． 3.教案设计中注意了学生主体参与，通过学生实践，掌握概念的形成过程和应用，从而培养 能力，并注意训练学生的自学能力．  高考资源网[来源:www.shulihua.net] w。w-w*k&s%5￥u www.shulihua.net w。w-w*k&s%5￥u[来源:数理化网]